Введение к работе
Актуальность темы
Задача создания реакторов нового типа, обеспечивающих высокий уровень безопасности, становится все более актуальной в связи с рядом аварий на АЭС и быстрым расходованием ограниченных запасов урана (U-235). Быстрые реакторы работают на смеси U-238 и Pu-239, воспроизводя в ходе своей работы плутоний. Реакторы такого типа, способные работать в саморегулируемых нейтронно-ядерных режимах, являются хорошими кандидатами для решения обеих этих проблем.
Построение сложных реакторных систем не обходится без их предварительного анализа посредством физического (натурного) и математического моделирования; второе из них является более вариативным и менее затратным.
Основой математической модели быстрых реакторов является многогрупповое уравнение переноса нейтронов. Решение уравнения переноса является одной из наиболее трудоемких частей моделирования реакторных задач. Это связано с большой размерностью задачи, т.е. большим количеством переменных, от которых зависит функция распределения (фазовые переменные и время). Исследование саморегулируемых нейтронно-ядерных процессов в активных зонах быстрых реакторов приводит к необходимости динамического моделирования процессов переноса нейтронов совместно с выгоранием, реакторной кинетикой и управлением. Поэтому необходимо разрабатывать высокоэкономичные методики решения уравнения переноса, чтобы при использовании современных суперкомпьютеров можно было проводить динамические расчеты за обозримое время. Большинство существующих на данный момент методов решения уравнения переноса имеют определенные недостатки: либо они вычислительно дороги, либо уравнение переноса заменяется более простой системой уравнений диффузии нейтронов. Создание эффективных численных методов для трехмерного моделирования переноса нейтронов с учетом процессов в сплошных средах (выгорание, реакторная кинетика, управление) очень актуально.
Трудности решения уравнения переноса помимо большой размерности связаны с несколькими факторами:
– построение аппроксимации дифференциального оператора в левой части уравнения связано с дилеммой точность-монотонность;
– интеграл рассеяния в правой части уравнения приводит к итерационному процессу решения уравнения переноса, сходимость которого ухудшается при сильной анизотропии рассеяния;
– во многих физических приложениях уравнение переноса нужно решать совместно с другими уравнениями, такими как уравнения выгорания и реакторной кинетики в задачах переноса нейтронов; объединенная система уравнений может обладать сильной нелинейностью, хотя само уравнение переноса линейно относительно своих переменных;
– при решении задач переноса нейтронов возможна постановка задачи на собственные значения, при решении которой в обычно используемых методах на итерационный процесс, связанный с рассеянием и делением, накладывается итерационный процесс нахождения собственного значения и собственной функции; если при этом необходимо найти критическую сборку, то возникает дополнительный итерационный процесс, так что становится необходимым многократное решение уравнения переноса, что вычислительно очень дорого.
Цель и задачи исследования
Настоящая работа посвящена разработке эффективных численных методов решения уравнения переноса с квазидиффузией. Метод квазидиффузии (В.Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения // ЖВМ и МФ, 1964, т.4, № 6, с.1078-1087) заключается в постепенном понижении размерности используемых уравнений. На первом этапе происходит усреднение уравнения переноса по угловым переменным, в результате которого получается многогрупповая система уравнений квазидиффузии. На втором – усреднение по энергии, что приводит к эффективной одногрупповой системе уравнений квазидиффузии. При внешнем усложнении подхода метод квазидиффузии позволяет решить некоторые из вышеперечисленных проблем. Во-первых, метод квазидиффузии нелинеен, так как вводит дробно-линейные функционалы для вычисления компонент тензора квазидиффузии, замыкающих систему уравнений меньшей размерности. Во-вторых, уравнения квазидиффузии выражают собой законы сохранения, поэтому консервативность получается автоматически. В-третьих, при умеренной анизотропии рассеяния метод квазидиффузии позволяет выразить главную часть интеграла рассеяния внутри группы через групповые скалярный и векторный потоки, которые вычисляются самостоятельно из системы уравнений квазидиффузии, что обеспечивает быструю сходимость итераций по рассеянию. В-четвертых, введение интегральных по энергии уравнений квазидиффузии позволяет эффективно объединять эту систему с уравнениями, описывающими другие физические процессы. Для задачи на нахождение собственных значений и/или критических параметров активной зоны реактора значительно сокращается общее число итераций.
Разработка эффективных численных методов решения уравнений на всех этапах метода квазидиффузии в трехмерной геометрии и приложение разработанных методов к математическому моделированию саморегулируемых режимов в активных зонах быстрых реакторов составляют содержание данной работы. Первым шагом динамического моделирования активных зон быстрых реакторов в саморегулируемых нейтронно-ядерных режимах является определение параметров критической сборки.
Методы исследования
Методы работы основаны на построении разностных схем для дифференциальных уравнений в частных производных, построении методов решения полученных разностных уравнений и способов ускорения сходимости итераций. Проводится сопоставление численных решений с точными решениями, там, где они существуют, исследуется сеточная сходимость, а также проводится сравнение результатов математического моделирования с результатами, полученными для задач меньшей размерности.
Научная новизна
Все выводы и результаты работы являются оригинальными. Трехмерное моделирование быстрых реакторов проводится на суперкомпьютерах последние пятнадцать лет. Квазидиффузионный подход к решению этих задач, показавший свою высокую экономичность в сравнении с другими методами в задачах переноса излучения, нигде ранее не рассматривался. Построенная консервативная модификация характеристического метода решения уравнения переноса является новой.
На защиту выносятся следующие положения:
Предложена консервативная модификация характеристического метода численного решения двумерного стационарного уравнения переноса в ячейке с точным перераспределением выходящих потоков по граням.
Разработан алгоритм решения стационарного уравнения переноса для трехмерной гексагональной геометрии на основе метода коротких характеристик и предложенного консервативно-характеристического метода решения уравнения переноса в ячейке.
Интегро-интерполяционным методом построена схема для численного решения системы уравнений квазидиффузии; решение полученной системы разностных уравнений ищется методом последовательной верхней релаксации.
На основе математической модели многогруппового уравнения переноса с квазидиффузией создана программа для расчета критических параметров сборки активной зоны реактора типа БН-800, способного работать в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме; с ее помощью получены численные результаты для параметров критической сборки.
Теоретическая и практическая ценность
Теоретическая ценность научной работы заключается в разработке консервативных методов решения уравнения переноса и квазидиффузии в случае трехмерной гексагональной геометрии. Численное решение этих уравнений практически реализовано в комплексе программ на языке фортран. Созданный комплекс программ позволяет делать расчет критических параметров активных зон быстрых реакторов, способных работать в саморегулируемых нейтронно-ядерных режимах. Полученные результаты могут быть основой для инженерных решений конструирования быстрых реакторов нового поколения, обладающих повышенными экономичностью и безопасностью по нейтронно-ядерным процессам.
Основные публикации
По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе две [3,5] – в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.
Достоверность результатов
Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), анализ сходимости при сгущении сеток. Достоверность результатов также подтверждается их сравнением с расчетами по моделям меньшей размерности.
Апробация результатов диссертации
Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на Всероссийских и Международных конференциях, семинарах ведущих институтов:
48-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2005, Москва;
Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”, январь 2006, Дубна;
49-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2006, Москва;
The 20th International Conference on Transport Theory, July 2007, Obninsk, Russia;
V Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”, январь 2008, Дубна;
52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009, Москва;
53-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2010, Москва;
Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”, январь 2011, Пущино;
Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ, 2009 – 2011, Москва.
Личный вклад соискателя
Ранее коллективом, в котором работает автор, была построена иерархия моделей более низкой размерности (1D, 1,5D, 2D); в создании последней из них автор принял активное участие. Частично методика расчета критических параметров была перенесена в 3D-модель. Все научные результаты по методам расчета всей системы уравнений переноса с квазидиффузией в трехмерной геометрии, изложенные в диссертации, получены лично автором.
Для реализации построенных алгоритмов с целью нахождения критических параметров активной зоны быстрого реактора автором был разработан комплекс программ.
Связь с научными проектами
Работа выполнялась в рамках проектов Российского фонда фундаментальных исследований:
грант 03-01000443а;
грант 11-01-00389а.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, список использованных источников содержит 62 наименования.
