Содержание к диссертации
Введение
1. Двухмодовые циклы нелинейного телеграфного уравнения в случае резонанса 1:2 Ю
1.1. Постановка задачи 10
1.2. Алгоритмическая часть 10
1.3. Линейный анализ устойчивости 13
1.4. Обоснование алгоритмической части 15
2. Периодические решения и буферность в системе трех связанных нелинейных телеграфных уравнений 20
2.1. Постановка задачи 20
2.2. Алгоритмическая часть 21
2.3. Анализ квазинормальной формы 23
2.4. Линейный анализ 25
2.5. Основной результат 31
2.6. Численный анализ квазинормальной формы 36
3. Буферность в системе трех однонаправленно связанных телеграфных уравнений 40
3.1. Постановка задачи 40
3.2. Построение асимптотики цикла системы связанных телеграфных уравнений 40
3.3. Анализ устойчивости цикла. Основной результат 43
3.4. Динамические свойства системы
амплитудно-фазовых уравнений 48
4. Программный комплекс ТгасегЗ 58
4.1. Компилятор формул 58
4.1.1. Ообенности работы с анализатором формул 58
4.2. ТгасегЗ, общая информация 59
4.2.1. Построение фазовых портретов 59
4.2.2. Вычисление ляпуновских показателей 60
4.2.3. Метод Бенеттина 63
4.2.4. Метод динамической перенормировки 64
4.2.5. Метод динамической перенормировки для дифференциальных уравнений 66
4.2.6. Эффективность и надежность метода динамической перенормировки 68
4.2.7. Зависимость старшего ляпуиовского показателя от параметра . 69
4.3. Работа с программой 70
4.4. Подробное описание интерфейса 73
Заключение 77
Литература
- Алгоритмическая часть
- Обоснование алгоритмической части
- Численный анализ квазинормальной формы
- Метод динамической перенормировки для дифференциальных уравнений
Введение к работе
Краевые задачи гиперболического типа описывают большой класс физических моделей, связанных с проблемами распространения волн различной природы. При этом, в нелинейной постановке такие задачи решаются, как правило, численно, аналитические же результаты в этой области появляются достаточно редко.
Одним из наиболее содержательных примеров привлечения к моделированию физических явлений нелинейных волновых уравнений является математическая модель RCLG автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Эта задача была поставлена и частично решена А. А. Виттом в работе [1], она состоит из линейных уравнений в частных производных гиперболического типа, а нелинейность содержится в краевых условиях. При решении проблемы Витт использовал метод медленно меняющихся фаз и амплитуд и на этом пути получил асимптотические формулы для периодических решений изучаемой задачи. Вид асимптотических формул позволил, кроме того, заключить, что при подходящем выборе параметров данная краевая задача может обладать произвольным наперед заданным числом циклов. Такое явление приобрело название буферности, и под ним в настоящий момент понимают одновременное существование в фазовом пространстве динамической системы сколь угодно большого числа однотипных аттракторов (циклов, торов и т.д.) Следует отметить, что результаты, полученные Виттом, были в значительной степени эвристическими, поскольку отсутствовал необходимый математический аппарат для их обоснования.
В целом, нелинейные краевые задачи гиперболического типа довольно долго изучались лишь в квазилинейной постановке. Такой подход подробно изложен и обоснован, например, в книге Ю.А. Митропольского и Б.И. Мосеенкова [2]. Бифуркационные задачи для уравнений гиперболического типа начали изучаться лишь в конце прошлого века в работах Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова и С.А. Кащенко [3-11].
Основная трудность, с которой приходится сталкиваться в этой ситуации, состоит в том, что при критических значениях параметров счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи лежат на мнимой оси. Тем самым реализуется так называемое бесконечномерное вырождение. Одной из характерных задач, обладающих таким свойством, является телеграфное уравнение:
с краевыми условиями Дирихле или Неймана на границах отрезка [0,1] изменения про-
странственной переменной х. Здесь u(t,x) - скалярная функция, определенная при t > t0, О < х < 1, е - положительный малый параметр, а > 0, f(u,v) — скалярная функция из С00, порядка малости в нуле выше первого.
Как известно, цепочки и решетки связанных генераторов с сосредоточенными параметрами являются полезными физически содержательными моделями, позволяющими выяснить ряд закономерностей развития пространственно-временного хаоса в сплошных средах [12-14]. При этом, как правило, в качестве отдельно взятого звена цепочки (парциальной системы) рассматривается генератор, описывающийся системой обыкновенных дифференциальных уравнений с единственным устойчивым циклом. Например, в работах [12-14] бралась одна и та же парциальная система
й = и-с1\и\2щ d=l + ico, СоЄЖ, (0.2)
где и — комплекснозначная функция, но рассматривались различные отвечающие ей цепочки. А именно, в [12,13] изучалась цепочка однонаправлеино связанных генераторов (0.2), т.е. система вида
uj + a(uj - Uj-i) — Uj - d\uj\2Uj, j = 1,2,..., а Є С, (0.3)
а в [14] — аналогичная цепочка диффузионно связанных генераторов
щ — а{щ+і — 2щ + Uj-i) + щ — d\uj\2Uj, j = 1, 2,..., а Є С, (0.4)
где щ = upf,UN+i = щ, Rea > 0. Было установлено, что в обоих случаях при достаточно большом числе звеньев в соответствующей системе может наблюдаться хаотическое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцилляторов. Предположим теперь, что в цепочках (0,3), (0.4) или в какой-либо аналогичной цепочке каждое звено заменено генератором с распределенными параметрами вида (0.1), в итоге получаем систему, имеющую (при определенных дополнительных условиях) достаточно большое число сосуществующих аттракторов различной природы. Как будет показано ниже при рассмотрении конкретных примеров, для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случае сосредоточенных осцилляторов, или, как это было сделано в статье [15], в которой рассматривались цепочки диффузионно связанных обобщенных кубических уравнений Шредингера или нелинейных телеграфных уравнений. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством. В работе [16] рассматривается система трех однонаправлеино слабо связанных осцилляторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
В данной работе в качестве парциальных осцилляторов были выбраны нелинейные уравнения гиперболического типа. Таким образом, исследовались системы из трех одно-направленно связанных волновых уравнений вида
d2Uj дщ Ф2Щ л/ дщ. . л п „ ,. гЛ
-^г + є-qT + Щ + ecmj-i = а Q2 + /К' ~q)> 3 = lj 2>3' u = Из' ^-5)
с краевыми условиями Дирихле или Неймана.
Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение динамических свойств нелинейных краевых задач (0.1) в различных постановках и с различными нелинейностями f(u,v), а также систем (0.5) связанных в кольцо осцилляторов такого типа. Особое внимание уделяется условиям возникновения явления буферности в этих задачах.
Методы исследования. Методом решения бифуркационных задач с бесконечномерным вырождением является метод квазинормальных форм, впервые предложенный в работе Ю.С. Колесова [3] для уравнений параболического типа с малой диффузией, а затем обоснованный и распространенный на уравнения гиперболического типа и на сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (А. Б. Васильева [4], С. А. Кащенко [5-8], А.Ю. Колесов [9-11], А.Ю. Колесов и Н.Х. Розов [17-19]). Однако, этот метод не позволяет автоматически распространять свойства решений квазинормальной формы на решения исходной задачи и как следствие говорить о их соответствии друг другу. Для обоснования такого соответствия необходимо оценивать невязку асимптотического приближения решения, полученного на основе грубых устойчивых режимов нормализованной системы (см., например, работы [17-19], где соответствующий анализ проделывается).
Научная новизна работы. В диссертационной работе предложено решение нескольких бифуркационных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Найдены условия возникновения в этих задачах явления буферности. На защиту выносятся следующие положения:
Доказано существование и устойчивость двухмодового цикла телеграфного уравнения с малым параметром при квадратичной нелинейности при наличии внутреннего резонанса 1:2.
Исследована система трех нелинейных телеграфных уравнений с малой однонаправленной связью, получены условия существования и устойчивости циклов системы; в
рамках задачи продемонстрировано явление буферности.
Показано наличие буферности в системе трех однонаправленно связанных осцилляторов без квадратичной нелинейности.
Создан программный комплекс численного анализа динамических систем ТгасегЗ.
Обоснован метод динамической перенормировки определения старшего ляпуновеко-го показателя для отображений.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы для анализа систем нелинейных волновых уравнений. Представленный в последней части работы программный продукт (ТгасегЗ) может найти и находит применение в качестве иллюстративного материала в учебном процессе и в качестве исследовательского инструмента при численном анализе инвариантных числовых характеристик динамических систем.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:
XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2005;
XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2006 (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-2006».);
VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (МФЛ-2006), Крым, Алушта, 2006.
Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ [20-27]: 5 статей и 3 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.
Краткое содержание работы. Структурно диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 52 наименования. Диссертация содержит 13 рисунков и одно приложение, в котором приводится принципиальная часть разработанных автором вычислительных процедур, входящих в программный комплекс ТгасегЗ.
В первой главе работы рассмотрен уединенный осциллятор, описываемый нелинейным телеграфным уравнением. Изучается вопрос о бифуркации периодических решений этого уравнения с нулевыми граничными условиями Дирихле. В случае, когда линеаризованная в нуле задача допускает решения exp(±icont) sinnx с резонансом вида 2соп — u)2k+i, построена асимптотика периодического решения, бифурцирующего на модах, которым соответствуют частоты, находящиеся в резонансном соотношении. Показано существование и устойчивость цикла с данной асимптотикой.
Во второй и третьей главе рассматриваются две системы из трех однонаправленно связанных в кольцо осцилляторов.
Во второй главе система уравнений содержит квадратичную и кубическую нелинейность, а также слагаемое, содержащее первую производную по времени при малом параметре. В третьей главе система содержит лишь простейшую кубическую нелинейность, что значительно упрощает анализ задачи. При этом задача обладает столь же богатой динамикой, что и в главе 2.
Для обеих задач построена асимптотика периодических решений, и с помощью метода квазинормальных форм найдены условия существования и устойчивости решений с построенной асимптотикой.
В рамках задачи, рассматриваемой во второй главе, реализуется феномен буферное, в данном случае доказано одновременное существование у задачи при соответствующем выборе параметров сколь угодно большого числа устойчивых циклов.
Наряду с аналитическим поиском автомодельных циклов квазинормалыюй формы, производился ее численный анализ. Он показал, что при определенном изменении параметров квазинормальная форма демонстрирует нерегулярное поведение.
Заметим, что в отличие от циклов и торов различной размерности для подобных нерегулярных режимов не существует методов обоснования соответствия между решениями исходной задачи и ее квазинормальной формы, и наличие сложного поведения у исходной задачи остается лишь предположением.
В третьей главе рассматривается система связанных осцилляторов (0.5) в случае про-
стейшей кубической нелинейности и при отсутствии слагаемого, отвечающего за трение. Построение квазинормальной формы позволяет получить условия существования и устойчивости у системы (0.5) орбитально экспоненциально устойчивых циклов и торов. Применение той же методики, что и в главе 2, дает возможность показать, что данная система демонстрирует буферность, причем однотипными аттракторами, сосуществующими у системы, оказываются как циклы, так и торы. В конце главы рассмотрены динамические свойства квазинормальной формы. Аналитическими методами нетрудно показать, что от орбитально экспоненциально устойчивого автомодельного цикла при определенном условии мягко ответвляется орбитально экспоненциально устойчивый тор (бифуркация Андронова - Хопфа). Дальнейшее изменение параметров системы приводит к усложнению ее колебательных режимов и возникновению нерегулярных колебаний.
Для установления данного факта во второй и третьей главах использовались численные методы. В частности, с помощью созданного автором программного комплекса ТгасегЗ, различными методами вычислялись ляпуновские показатели траекторий системы. Появление в спектре показателей положительной величины считается эвристическим признаком возникновения хаоса в динамической системе.
В четвертой главе описан программный комплекс ТгасегЗ, его функции и возможности. Приведено описание метода динамической перенормировки вычисления старшего ля-пуновского показателя и его обоснование в случае отображений. Построены таблицы, содержащие результат сравнения эффективности методов Бенеттина и динамической перенормировки на ряде модельных систем. Также в четвертой главе приведено используемое определение хаотического аттрактора.
Алгоритмическая часть
С, действующий из пространства последовательностей 12 о в пространство W?,: h = С г) = (V0 + fi2Vx)v + ]Р tom2[exv(iojmt){smmx + /j?crm(t, x))rjm+ твМ + exp(-iwmt)(sinmx + V2o-m(t,x))fjm] (1-20) Здесь Vn+l,Vn+l, ) Щк, V2k,V2k+2, Ък+2, ) Є hi v = {Vn,Vn,V2k+i, n2k+i)T, функции V0,Vi взяты из (1.14), M = {m Є N : т ф п, тф2к + 1}. Подставим в (1.19) h Crj, считая, что компоненты rj формально дифференцируются как v = }i2Dv, fjm = fi2vmr]m, т Є М. Иначе говоря, положим hx = BCrj, дС h2-ht = —ц + іл2СА0г), at где Л0 = diag(D, vu z i, , vn-i,un-U un+u ип+ї,..., v2k) &&, +2, hk+2, )
Данная замена даст нам в пространстве последовательностей следующее уравнение: г) = 2Ло + М4Лі(м,і )??- (1.21) Таким образом, легко видеть, что вычисленные выше характеристические показатели совпадают с точностью до порядка /Iі с показателями, действительные части которых определяют устойчивость данной, а следовательно, и исходной системы. Нам остается доказать существование решения. Сделаем в (1.1) замену u(t,x) = /j,ui(t,x) + jj,3u2(t,x) + [/h(t, x), r = (l + fl4)t и соберем в левой части все линейные по h слагаемые (1 + /л45)2НТТ + h- a2hxx -fi2{l + /j,A5)[h(ulT + MVT)(1 - 2ux - 2JJ,2U2)+ + hT(ui + fj,2u2)(l - щ - ц2и2)} = ij,2F(T,x,h,hT, 5), (1.22) где F — гладкая по совокупности переменных, периодическая по г с периодом 27r/wn функция. Обозначив линейный оператор в левой части 11(/1,5), перейдем к уравнению П(/І, 5)h — fJ?F(r, х, h, hT, ji, 6). Поскольку оператор П есть результат линеаризации исходной задачи на функции д и = fj,ui + //) дающей невязку 0(/л5), то h0 = —-(щ + іл2щ) является приближенным решением однородной задачи П/г = 0 с невязкой 0(//). Рассмотрим уравнение Ші = 0, где 1(h) Г dh Uh — Uh-UhoT7— , 1(h) — \ \hu)nsmunT + — cos и)пт] sin nxdx. l[ho) Jo дт
Для него ho будет уже точным решением. Вычтем такое же слагаемое (имеющее порядок /J) из правой части (1.22) и рассмотрим вопрос о разрешимости полученной задачи П(/х, 5)h = іл2Р{т, х, h, hT, \i, 5), (1.23) где ji2F = ix2F(T,x,h,hT,ii,8)-Jlho 1(h) в пространстве Я, состоящем из 27г/о п-периодических по т функций h(r,x), таких, что о о h(r,x) непрерывна по г в метрике W, hT — в метрике W.j , a hTT — в метрике L i. Также рассмотрим пространство Щ функций h(r,x), 27г/шп-периодических и непрерывных по т, о как функций изКв W . Нормы определим следующим образом: \\Щн = max{/i a + Ц/ц-ll + \\КТ\\Ь}, Ш\н0 = тахЩ/гП }.
Легко показать, что, если д0 — принадлежащее Я решение сопряженной однородной задачи П д = 0, удовлетворяющее условию нормировки dh0 \ 27Г от I ип где круглые скобки обозначают 2тг/ш„ я (u,v) =// uvdxdr, о о то задача (1.23), если рассматривать правую часть, принадлежащую Я0, при фиксированных функциях h, hT, имеет в Я решение hF тогда и только тогда, когда 2F{T,x,h,hT,ii,5),g0{T,x,[i,5)) = 0. (1.24) Решение hp определяется единственным образом, если на него наложить условие которое будем считать выполненным. Вычтем из правой части (1.23) левую часть равенства (1.24), умноженную на ——. Полученное уравнение ft(/Lt, 6)h = PL2F(T, х, h, hT, [1,5)-- (/J?F(T, X, h, hT, /л, 5),д0(т, x, \x, 5)) —± (1.25) заведомо разрешимо в нужном классе. Можно показать, что выполнены следующие неравенства: supT \\F{T,х,uhvi,fi, 5) - F{T,X,U2,V2, ii,5)\\ W2 Nifl(\ui-U2\ + \vi-V2\), (1.26) supT \F(T,X,0,0, ,5)\\ N2, \\hF\\H N3 2\\F\\Ho, первые два из которых проверяются непосредственно, а третье следует из замены (1.20) и получаемой с ее помощью системы (1.21). (Здесь JVj, і = 1,2,3 — универсальные константы, которые не зависят от ji, 5. N\ = N\(R), где R = max{wi, \vi\, \u2\, \v2\}.)
Теперь обратим в (1.25) оператор П. В качестве П-1 здесь выступает оператор, сопоставляющий правой части (1.25) функцию hp, однозначно определенную указанным выше образом. Неравенства (1.26) позволяют применить в Я к полученному интегральному уравнению принцип сжимающих отображений. Заметим, что сделанные по ходу рассуждений добавки не оказывают влияния на существенные свойства правых частей. Обозначим найденное по принципу сжимающих отображений решение /І (его норма ограничена так, что \\К\\Н iV4). Подстановка /і в функцию F из (1.24) даст уравнение на поправку к частоте 5: 5 = р{/і) + іі[1(іл,5). (1.27)
Здесь функция р(/л) ограничена, а функции 1(ц,6) и l s(fi,5) ограничены равномерно по /І на любом компактном множестве изменения 5. Следовательно, уравнение (1-27) можно разрешить относительно 5, применив к нему теорему о неявной функции.
Обоснование алгоритмической части
Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение. Теорема 2. Пусть выполнены условия (2.7), (2.10), (2.15), (2.25), (2.26). Тогда существует Єо 0, такое что задача (2.1) при любом 0 є Єо имеет экспоненциально орбиталъно устойчивый цикл с асимптотикой (2.2), (2.12).
Замечание. Буферность в рамках задачи (2.1) реализуется следующим образом: по любому натуральному числу щ мы можем подобрать, — во-первых, достаточно большое а — такое, что Уп щ выполняется условие существования автомодельного цикла квазинормальной формы (2.5): А = а/2шп 1/л/З, и также Vn щ выполняется одно из условий отрицательности собственных чисел матриц Dm (2.26); — во-вторых, достаточно малое а позволяет добиться выполнения второго условия отрицательности собственных чисел матриц Dm (2.25) для всех п щ. — в третьих, учитывая выбранное а, уменьшением параметра Ь мы можем удовлетворить неравенству (2.15), сделав устойчивым автомодельный цикл при Vn щ;
Таким образом, для любого наперед заданного числа циклов щ можно выбрать параметры так, что, применив соответствующее число раз Теорему 2 и, выбрав наименьшее среди всех доставляемых Теоремой 2 значений єо, мы получим, что все циклы задачи (2.1) для Vn п0 будут существовать и являться устойчивыми.
В доказательство данного утверждения трехмерность исследуемой задачи не вносит существенных изменений по сравнению с приведенным в предыдущей главе, оно заключается в сведении системы (2.1) к дифференциальному уравнению вида ?7 = єЛ0п + e3/2Ai{ji, t, х)г], Л0 = diag(D, DUDU... Dn_i, IVi, Аи-ь Аи-i, ) на пространстве последовательностей, а также в проверке корректности соответствующих замен и ограниченности остаточных членов.
Сперва обоснуем алгоритм вычисления характеристических показателей линеаризованной задачи (2.16). Заменой ти dh v = Lh, w = —, д2 где h = (hi,h2,hz)T a L — такой оператор, что L2 = I — , приведем систему (2.16) к ox1 системе первого порядка по времени: v = Lw, (2.27) w = -Lv + ell2{AxL-lv + A2w) + e{-aGL lv + BxL-lv + B2w). Далее, рассмотрим оператор С, действующий из пространства последовательностей 12 о в пространство W: оо h = Cr) = {V0 + elt2V1+eV2)u+ Y, u-2[exp(iumt){V0m + e1?2Vlm + eV2m+ гп=\,тфп + exV(-icomt)(V0m + el 2V + sV2m)f)n}. (2.28) Здесь « = {"I, h,»2, »2, 3, 3, Vl,U »71,2, 71,3, 1,1, 1,2, 7l,3, , Vn-l,l,Vn-l,2, Г?п-1,3, Vn-1,1, fjn-1,2, Vn-1,3, Vn+l,l,Vn+l,2, Vn+1,3, Vn+l,l,fjn+l,2,Vn+l,3, ), V = (і/ь Щ, U2, Щ, І/з, з)Т, ї?т = {Vm,UVm,2, ]т,з)ТфуНКЦИИ V0, VU V2 ВЗЯТЫ ИЗ (2.18). Подставим в (2.27) h = Сг/, считая, что компоненты г\ формально дифференцируются как і/ = eDu, f]m = eDmr]m, тфп. Иначе говоря, положим v = LCr], и = гк = кгП + єСА0г], at где Л0 = diag(D, Du Д., Dn_b 5П_Ь Dn+h Dn+i,...). Данная замена даст нам в пространстве последовательностей следующее уравнение: )7 = еЛо77 + є3/2Лі(А4,і,Ф- (2-29)
Таким образом, легко видеть, что вычисленные выше характеристические показатели совпадают с точностью до порядка є3/2 с показателями, действительные части которых определяют устойчивость данной, а следовательно, и исходной системы.
Нам остается доказать существование решения. Рассуждения, приведенные в главе 1, переносятся на трехмерную задачу без существенных изменений. Заметим, что функции Uij(t, т, х), і = 1,2,3,4, j = 1,2,3 зависят от t и т специальным образом, а именно, представимы в виде щ {Ь,т,х) = и ((1 + / 0/wn), х).
Теперь введем обозначение u j(t, х) = ell2u j (t, х) + eu j2(t, х) + e3/2u j (t, х) + є2и 4(і, х) и сделаем в (2.1) замену Uj(t,x) = u (t,x)+3/2h(t,x), и одновременно заменим время t — т = (1 + єфо/шп + e25)t. Теперь соберем в левой части все линейные по h слагаемые d2h- d2h- dh {1 + єф0/іоп + є25)2- + hj - а2—ф - є112 [ahj(T, х)Щ + CL2J(T, х){1 + єф0/шп + є25)—±] - є [ - ahj-i + &I,J(T, х, e)hj + b2j{T, x, )(1 + єф0/ип + е2Я)-тр] = = eFj(T,x,h,hT,e,6), j = 1,2,3, (2.30) где Fj — гладкие по совокупности переменных, периодические по г с периодом 2ж/шп функции. Обозначив линейный оператор в левой части Tlj(e,6), перейдем к уравнению П(є, 5)h = eF(r, х, h, hT,e, S), где F = colon(Fi, F2, F3), П = со1оп(Пі, П2, П3), h - со1оп(/гь h2, h3).
Численный анализ квазинормальной формы
Характеристический многочлен (3.36) при Ь/шп — с0 имеет следующие две пары собственных чисел: , .9 + V69 Лі)2 = ±г— , (3.38) 4ш„ А3)4 = - (-5л/з±г(9 + \/б9)). (3.39) 4шп
Из них — собственные числа (3.39) имеют отрицательные действительные части, а собственные числа (3.38) — чисто мнимые, отсюда следует, что потеря устойчивости состояния равновесия (3.14) происходит колебательным образом и для асимптотического анализа окрестности состояния равновесия при достаточно малой надкритичности є = с - с0 (3.40) нужно определить первую ляпуновскую величину (3.13) в точке (3.14). Для определения этой величины в [5] получена удобная формула, которой мы и воспользуемся:. Формула построена для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = (Д) + є Аг)х + F2{x, х) + F3(x, х, х), (3.41) где х Є Rn, А0, А\ — квадратные пхп матрицы, дающие линейную составляющую разложения правых частей изучаемой системы, F2(x, х) — билинейная, a F3(x,х, х) — трилинейная составляющие этого разложения. Матрица Ао имеет одну простую пару чисто мнимых собственных чисел ±ш , причем AQU = iui a, A b = —ito b и (a, b) = 1 (последнее — удобная нормировка), остальные собственные числа этой матрицы лежат в левой комплексной полуплоскости. В этом случае для нахождения асимптотики цикла, ответвляющегося от нулевого состояния равновесия системы (3.41), нужно найти следующие величины: щ + ііІ}0 = {А1а,Ь) (3.42) d0 + гш со = (Fs(a, a, a) + F3{a, a, a) + Fz(a, а, а)+ + F2(a, v0) + F2(v0, a) + F2{vu a) + F2{a, ы), b), (3.43) где v0 = -AQ1 (F2(a, a) + F2(a, a)), ы - (2iuj E - AaylF2{a, a). Если выполнено Po 0, d0 0, (3.44) то при є 0 происходит бифуркация Андронова - Хопфа и мягко возникает орбитальио асимптотически устойчивый цикл, асимптотика которого имеет вид x(t) = J—- (ехр(гсЛ)а + ехр(-гсЛ)а) +0(є ). (3.45) V "о
Для вычисления величин (3.42) и (3.43) по правым частям системы (3.13) применялся пакет символьных вычислений "Mathematica". В результате оказалось, что собственному числу Хі = ги = г9 69 матрицы линейной части соответствует собственный вектор с координатами _ / 2 -1-гл/З -1+гл/З 7 3 ,187136312539\/2 27 + 67585693885у/Зл/46 а \ Дй п /Ш п _ s/Wn лД 1 35517321250 + 4275783018л/б9 _ (34923 + 4080ч/б9)г/4 (81291 + 9432л/б9)х/4\ V2 + V2 Г [ЪМ) а величины (3.42), (3.43) имеют вид / о + і Фо = - (l6\/69 - 115 + г(45л/3 - 2\/23)) и 0.0231943 + гО.0885371, (3.47) d0 + шсо = (37989 + 3413 69 + г\/6(56014435271 + 6727443517\/б9) 965 V v « -137.491 - І1698.19. (3.48)
Легко видеть, что выполнено условие (3.44) и в фазовом пространстве системы (3.13) происходит бифуркация Андронова- Хопфа (см., например, [28]). Тем самым, можно использовать асимптотическую формулу (3.45), для которой нами найдены все неизвестные. Полученные числа (р0, d0 позволяют воспользоваться результатами книги [28] и сформулировать следующее утверждение о циклах системы (3.13).
Лемма 1. Существует e Q 0 такое, что для любого О є є 0, где є определяется из (3.40), система (3.13) имеет орбитально асимптотически устойчивый цикл с асимптотикой (3.45).
В соответствии с теоремой о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров, система (3.13) будет иметь устойчивый цикл на некотором промежутке изменения с Є (со, Сі), где С\ 18.16 определено численно.
К найденному у системы (3.13) циклу могут быть применены рассуждения аналогичные приведенным для состояния равновесия (3.14) и обосновано следующее утверждение. Теорема 4. Пусть выполнены условия (3.15), (3.34). Тогда существует 82 5г 0 и Єо 0 такие, что при выполнении Ь Со + 01 — с0 + д2 задача (3.1) при любом 0 є Єо имеет экспоненциально орбитально устойчивый тор с асимптотикой (3.2), где zh- =0, к ф п, j = 1,2,3, а функции 2() являются квазипериодическими решениями системы (3.8).
Рассуждения приведенные выше для обоснования существования и устойчивости сколь угодно большого числа циклов задачи (3.1) могут быть применены также и для других устойчивых режимов системы (3.13).
Рассмотрим теперь фазовые перестройки системы (3.13) при изменении параметров. Учитывая, что бифуркационным параметром системы является отношение Ь/шп зафиксируем шп — л/2 и будем менять Ъ. Численный анализ, произведенный с помощью программы ТгасегЗ [29], позволяет выделить следующие фазовые перестройки.
1) При 0 6 о, где Ь0 — с0\/2 « 21.1018, устойчиво состояние равновесия (3.14). Численный анализ показывает, что оно является единственным аттрактором системы (3.13) на данном промежутке.
2) При Ь = Ь0 происходит бифуркация Андронова - Хопфа и на промежутке Ь0 Ъ ЬХ) где Ь\ « 22.89, устойчив ответвившийся от состояния равновесия (3.14) цикл. Других аттракторов в пределах точности численных методов не обнаружено (устойчивый цикл системы (3.13) изображен на рис. 7а).
3) При b = Ьг происходит бифуркация удвоения периода. На промежутке 6Х Ъ Ь2, Ь2 « 25.63, этот цикл устойчив и других устойчивых режимов нет (в этом случае устойчивый цикл (3.13) изображен на рис. 7Ь).
Метод динамической перенормировки для дифференциальных уравнений
1) Случай системы ОДУ — численное интегрирование. Для того, чтобы решать систему ОДУ, нужно: а) На закладке «Объект» выбрать «Дифференциальное ур-е» и дать ему название. б) На закладке «Система» в соответствующее окно ввести исследуемую систему в следующем формате: varl =f Kvarl, ... vara, pari. . .parn) varn =fn(varl, ... varn, pari...parn)
Здесь varl ... varn - имена переменных, например: x, xl, у, z, omega, pari...parn - параметры, например: a, b, с fl...fn - функции от переменных и параметров, которые могут содержать скобки, числа с десятичным разделителем - точкой, а также следующие операции и элементарные функции: +. -, /» ". sin, cos, tg, ctg, exp, In, lg, mod, ind. ПРИМЕР: x =-y+sin(x) y =(x) mod (2)
в) На закладке «Система» в соответствующее окно ввести значения параметров в формате: а = 5 Ь = —4.1.
г) На закладке «Условия» ввести в столбик начальные условия в том порядке, в каком заданы переменные на шаге 2. Если исследуемая система неавтономна, следует отметить флаг «независимая переменная», задать ее имя и начальное значение.
д) На закладке «Шаг» нужно выбрать либо постоянные шаг, либо переменный; в последнем случае необходимо также указать величину погрешности.
е) В меню «Options- Settings» выбрать, какие переменные должны отображаться на одномерном графике, какие переменные будут откладываться по осям х, у, z в трехмерном сечении фазового пространства, и, если необходимо, какие координаты будут зациклены.
ж) На закладке «Графика ID» выбрать нужный масштаб (все величины задаются в точках на единицу).
з) На закладке «Графика 3D» выбрать углы поворота и масштаб (их можно будет менять в процессе вычисления).
и) Если требуются графики зависимости координат от времени, следует выбрать пункт меню «Windows- 3aBHCHMOCTb координат от времени».
к) Теперь можно приступать к построению траектории с помощью управляющих кнопок - «Старт» «Стоп» и «Очистка».
л) После нажатия кнопки «Стоп» в окне «Текущие координаты» закладки «Условия» появятся текущие значения переменных.
2) Случай системы ОДУ — ляпуновские показатели. Для того, чтобы вычислять ляпуновские показатели траекторий ОДУ, нужно: а) На закладке «Система» в соответствующее окно ввести систему в вариациях следующего вида: Х = J {Z)\z=:Xold X т.е. основные переменные имеют те же имена, что и в исходной системе, а для того, чтобы подставить какую-либо координату решения исходной системы, к ее имени нужно дописать «old». б) Некоторое время решать систему, пока траектория не выйдет на аттрактор, затем остановить вычислительный процесс. в) Выбрать пункт меню «Windows- Ляпуновские показатели». г) Выбрать метод вычисления показателя д) На закладке «Параметры» в случае вычисления по Бенеттину задать время между перенормировками, а в случае вычисления методом динамической пере нормировки — еще и величины Umax и Umin (в этом случае параметр «время перенормировки» будет задавать интервал между выводами на экран значения показателя).
е) Если требуется статистическая обработка (нахождение среднего и отклонения за последние п точек), отметить пункт «включить журнал».
ж) На закладке «Графика» выбрать три цвета для трех старших показателей при вычислении первым методом, цвет для старшего показателя при вычислении вторым методом, а также масштаб и расположение нулевой отметки на экране.
з) Управляющими кнопками «Старт» и «Стоп» запустить процесс вычисления, и остановить, когда нужно.
Результат вычисления в последней точке отображается на закладке «Графика», а для метода Бенеттина полный спектр показателей отображается на закладке «Результат».
3) Случай системы уравнений с запаздываниями (отличия от ОДУ) а) Возможен лишь метод Рунге - Кутты с постоянным шагом. б) В закладке «Условия» добавляется окно для ввода запаздываний в формате d=i h=0.5
Наибольшее запаздывание должно стоять на первом месте, дальнейший порядок не важен. в) Чтобы в системе задать значение x(t — d), следует написать xd. г) Начальными условиями будут функции из соответствующего окна, взятые на промежутке [-d,0], где d — наибольшее запаздывание. д) При вычислении методом Бенеттина используется равномерная норма, а в но вом методе — квадратичная. 4) Случай отображений (отличия от ОДУ): а) Отсутствует вывод зависимости координат от времени. б) Отсутствует выбор шага. в) Система xn+i = f(xn) задается в виде x_=fi(x,y) y_=f2(x,y) Главное меню Через меню «File» можно сохранить текущую систему или открыть сохраненную. Пункт «Options- Settings» открывает окно настроек. Пункты «Windows- Л япуновские показатели», «Windows- 3aBHCHMocTb координат от времени» и «Windows- 9HTponHH» открывают, соответственно, окна для нахождения ляпуиовских показателей, построения одномерных зависимостей, и вычисления энтропии. Панель управления В верхней части находятся кнопки для управления процессом построения траектории: запуск, остановка, очистка экрана, и включение-отключение графики (вычисления в режиме с выключенной графикой производятся быстрее).
В закладке «Графика Ш» настраиваются масштабы для построения одномерных зависимостей.
