Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка нелинейных стационарных задач фильтрации 25
1.1 Постановка нелинейной стационарной задачи фильтрации 25
1.2 Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти 28
2 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации для решения вариа ционных неравенств с псевдомонотонны ми операторами 34
2.1 Постановка общей задачи 35
2.2 Метод итеративной регуляризации в случае банахова пространства 36
2.3 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства 38
2.4 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства 44
2.5 Реализация метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства 50
2.6 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом итеративной регуляризации 52
Исследование итерационного метода расщепления для решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными опреаторами 57
3.1 Задача о поиске седловой точки 58
3.2 Построение итерационного метода расщепления 64
3.3 Исследование сходимости итерационного метода расщепления 66
3.4 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом расщепления 79
Результаты численных экспериментов решения некоторых задач фильтрации 86
4.1 Построение внутренних аппроксимаций для вариационных неравенств с пседомо- нотонными операторами. Построение схем МКЭ
для стационарных задач фильтрации 87 4.2 Точные характеристики для некоторых задач фильтрации 90
4.2.1 Задача определения целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин 90
4.2.2 Задача определения целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин 97
4.3 Результаты численных экспериментов для модельных задач 98
4.3.1 Результаты решения задачи об определении целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин 99
4.3.2 Результаты решения задачи
об определении целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин 111
4.4 Результаты численных экспериментов для задач фильтрации с законами, имеющие степенной рост, и для областей, отличных от прямоугольных 116
Литература
- Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти
- Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства
- Исследование сходимости итерационного метода расщепления
- Задача определения целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин
Введение к работе
Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [59], [77], [79], [85], [110], [118] - [123], [1251, [126].
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, задачи нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [48], [66], [73], [83], [84], [105], [106], [114], [116], [128], [129], [132]).
Диссертация посвящена построению и исследованию приближенных методов решения нелинейных стационарных задач фильтрации с предельным градиентом (см. [3], [4], [107], [116]) и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко пластичной нефти (см. [48], [68] -[72], [83], [113], [124]). Эти классы задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися операторами монотонного типа (монотонными, обратно сильно монотонными [62], псевдомонотонными [94]) в банаховых пространствах.
Методы теории монотонных и псевдомонотонных операторов (см., на-пример, [35],[44] - [47], [49], [50], [56], [58], [81], [91], [94], [142] - [144]), а также выпуклого анализа (см., например, [53] - [55], [57], [74], [95], [104],
[115], [117], [130], [133], [140]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.
Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.
Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [60], [61], [76], [78], [79], [98], [99], где математически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [78], [79], [98] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным градиентом близким законом без предельного градиента. В [61], [76], [79], [98] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [60], [79], [98] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.
Математическая модель задачи стационарной фильтрации с разрывным законом в виде вариационного неравенства второго рода рассмотрена в работе [89], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [93] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.
Вопросам корректности математических моделей стационарных задач фильтрации с разрывным законом, сформулированных в виде вариационных неравенств первого рода, задач на минимум функционала, с многозначными операторами, исследованию двойственных задач посвящены работы [8], [33], [75], [80], [96]. В частности, в работе [75] установлена эквивалентность вариационного неравенства первого рода включению с многозначным законом фильтрации. В работах [6], [31], [38], [92], [97], [99], [101]
проводилось построение и исследование конечномерных аппроксимаций (конечно-разностных и конечноэлементных) для рассматриваемых задач. В работах [7], [32], [33] изучались вопросы регуляризации разрывного закона близким непрерывным.
Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [5], [14] - [17], [32], [43], [47], [51], [52], [58], [59], [62], [64], [65], [81], [82], [111], [130], [135] - [145]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [10] - [13], [28], [29], [36], [45], [46], [56].
Для задач фильтрации итерационные методы рассматривались в рабо-тах [9], [11], [15], [29], [32] - [34], [36] - [38], [40] - [43], [93], [97], [99], [101]. Эти методы предполагали предварительную регуляризацию - замену разрывного закона фильтрации близким непрерывным.
Отметим, что для ряда специальных областей и законов фильтрации в работах [3], [48], [Щ - [73], [83], [107], [116], [124], [129] были построены точные характеристики решения (границы областей, где модуль градиента давления равен предельному градиенту) методами теории струй [63]. Эти характеристики оказываются весьма полезными при оценке эффективности приближенных методов, предложенных для решения задач с произвольными областями и законами фильтрации.
Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [90], [100] - [103], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.
В настоящей диссертации проведено построение и исследование прибли-
женных методов решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости.
Диссертация состоит из введения и четырех глав.
В первой главе рассматриваются постановки стационарных задач фильтрации, которые математически формулируются в виде вариационных неравенств второго рода. Приведены постановки задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному разрывному закону фильтрации с предельным градиентом, и задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.
В 1 дастся постановка стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации с предельным градиентом.
Рассматривается установившейся процесс фильтрации несжимаемой жидкости. Фильтрация происходит в ограниченной области О, С Лт, т > 1 с непрерывной по Липшицу границей Г = Гі U Гг, Гі П Г2 = 0, mes Г2 > 0, где Гі - ограниченное открытое подмножество Г, Гг - внутренность Г\Гі. Закон фильтрации будем записывать в виде (см. [3], [83], [116]):
v = -g(\Vu\2)S7u, (0,1)
где v - скорость фильтрации, и - давление, —э- #(2) - функция, определяющая закон фильтрации, относительно которой предполагаем следующее:
~* 2) _ неотрицательная, непрерывная функция, равная нулю при С 5: Р{Р > 0 ~ предельный градиент), не убывающая при > 0, имеющая на бесконечности степенной рост порядка р ~ 1 > 0, функция —> д\ (2)
имеет вид
У1^ Jq ^0, > & 0 > 0.
Если 1? > 0, то функция —* #(2) имеет разрыв первого рода.
Предполагаем также, что на границе области 1 выполнены следующие краевые условия:
(и(ж),п)=0, х Є Гі, n - внешняя нормаль к Гі, u = 0, а; Є Гг.
Отметим, что на практике важным моментом при решении задач нелинейной фильтрации с предельным градиентом является нахождение границ застойных зон - границ областей, где течение жидкости не происходит, т.е. линий, где |Vw| = /?.
Перейдем к математической формулировке описанной выше задачи.
Пусть V = {и И(А) : и(х) = 0, х Є Г2} , А0 : V ^ V* ~ оператор, порождаемый формой
(Аащті) = Jgo(\Vu\2) {4u,Vrf)dx, (0.3)
функционал Fi : V -* Д1 определен соотношением
FM = Jj gi{f)№dx = tijh(\v
no n
Го, c
Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации, в области Q будем понимать функцию и V, являющуюся решением вариационного неравенства второго рода (см. [89], [96])
(ylou^-uJ + FiW-^ti) >(/,»?-«) Vr?eV, (0.5)
где f Є V* - заданный элемент, характеризующий плотность внешних источников.
Поскольку оператор Aq является монотонным, коэрцитивным (см. [98]), функционал Fi - выпуклым, липшиц-непрерывным (см. [29]), то задача (0.5) имеет по крайней мере одно решение (см. [89], [96]).
Отметим, что при р = 2 (т.е. при линейном росте функции, которая определяет закон фильтрации (0.1)) пространство V является гильбертовым.
В 2 главы 1 дается постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти (см. [69]).
Рассматривается процесс вытеснения вязкопластичной нефти из пласта водой. Отличительной особенностью вяз ко пластичных жидкостей, отличающей их от обычных ньютоновских жидкостей, является способность оставаться неподвижными в пористой среде, если модуль градиента давления не превосходит предельного значения /? (предельного градиента давления). Предположим, что в процессе длительного вытеснения в пласте образовался равновесный целик, обтекаемый стационарным потоком вытесняющей воды. Это означает, что область фильтрации распадается на область движения воды и область, занятую неподвижной вязкопластичной нефтью (предельно равновесный целик). Существенным моментом при этом является определение границ таких целиков. Эта задача аналогична задаче фильтрации однородной жидкости с многозначным законом фильтрации. Застойные зоны (области, где жидкость не движется) отвечают целикам, а область течения - области движения воды. Область, в которой модуль градиента давления равен предельному градиенту, в законе фильтрации, соответствует области частично промытого пласта, часть мощности которого занята целиком, а часть - промыта.
Таким образом, задача поиска предельного целика сводится к определению стационарных полей давления и и скорости v жидкости, вытесняющей нефть, в области ГЇ с непрерывной по Липшицу границей Г = Гі U Г2, где Гі П Гг = 0, mes Г2 > 0, Г\ - ограниченное открытое подмножество Г,
Г2 - внутренность Г\Гі, удовлетворяющих уравнению неразрывности и соответствующими граничными условиями:
div v(x) = /, х Є Q,
~v(x) egd{\Vu\2)Vu = g0(\Vu\2) Vu + # Я(І^]Г^ Vu, xeQ,
(v, n) = 0, x Є Гі, u(x) = 0, x Є Г2,
(0.6) где H - многозначная функция, определяемая по формуле
ГО, <0,
и($ = \ [0,4, = о,
[і, >о,
(3 > 0, 1? > 0 - заданные константы, функция —» о(2) удовлетворяет условиям, сформулированным в 1.
Описанная задача математически формулируется также в виде вариационного неравенства (0.5).
Во второй главе построен метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и выпуклыми, недифференцирусмыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, к которым сводятся, в частности, задачи фильтрации, рассматриваемые в главе 1. Проведено исследование сходимости предложенного итерационного метода. Рассмотрена реализация метода итеративной регуляризации для задач фильтрации.
В 1 сформулирована постановка общей задачи - вариационного неравенства второго рода.
Пусть V - рефлексивное банахово пространство с равномерно выпуклым сопряженным пространством V*, (,) - отношение двойственности между V и V*, М - выпуклое замкнутое множество в V, Aq : V —> V* -псевдомонотонный [94, стр. 190], коэрцитивный оператор. Предполагаем, что Ло - ограниченно липшиц-непрерывный оператор [56, стр.43]:
\\А№-Авп\\у*<р{К)Щи-ф) V«,j?V; (0.7)
где Я = max{||u||v, ||ї?|[і/}, fJ> ~ неубывающая на [0,+oo) функция, Ф -непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функция, такая, что Ф(0) = О, Ф() —* +оо при —> +оо. Кроме того, считаем, что оператор Ло удовлетворяет условию (см. [56], [96]): і
/ {{A0(t(u +1?)), w + т?) - (A0(
(A0(u-htt]),i])dt Vu,77V. (0.8)
о Пусть, далее, і*\ : У —» Л1 - выпуклый (вообще говоря, недифференци-руемый), липшиц-непрерывный (с константой 7 > 0) функционал.
Рассматривается задача поиска элемента и є М, являющегося решением вариационного неравенства второго рода
<4)U,7/-u) + Fi(7/)-Fi(u)>(/,?7-u) \/т)ЄМ. (0.9)
В 2 главы 2 построен метод итеративной регуляризации решения вариационного неравенства (0.9).
Для є > 0 вводится функционал F\E) удовлетворяющий условиям
WiM - FM\ < с(е), VqeV, 1ітф) = 0, (0.10)
|^i(v)-Fic(«)| <7*||u-w||v Vu,wy, 7*>0. (0.11)
Для решения задачи (0.9) рассмотрим следующий итерационный метод. Пусть v№ Є М - произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2,... элемент v,(n+1^ Є М как решение вариационного неравенства:
> т{/ - Ло«(и), ї? - u(rt+1)) V?7 Є М, (0.12)
где т > 0 - итерационный параметр, J : У — V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф (см. [94]):
(JW) = || Ji?||v.|Mlv = *(IMIv)IMIv Vr>є v-
В 3 главы 2 исследована сходимость метода (0.12) в случае банахова пространства.
Введем функционал
F(n) = ВД + Fl(r}) - (/,7/), F0(r)) = J {A0{tri),n)dU f Є V\
Теорема 0.1. Пусть J^c(e„) = о < +оо, 0 < г < min < 1, — > , где до = ^№ + Ф_1(-йі + 7*))» -Ro = sup ||«||v, Лі = sup ||Л0и - f\\v*,
So = [и Є М : F(u) < F{u^) + 2a}.
Тогда последовательность (г/)} ; построенная согласно (0.12), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (0.9).
В 4 главы 2 рассмотрен случай, когда V - гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным V*. Предполагаем, что оператор Aq вместо условия (0.7) удовлетворяет условию обратной сильной монотонности (см. [62], [145], [146]):
||j40u - Л0г]\\у < d0 (Л0и - AQri, и - 7])v , d0 > 0 Vu, 7] Є V. (0.13)
Теорема 0.2. Пусть >"Jc(n) = о~ < +оо, оператор Aq является
п=0
коэрцитивным и удовлетворяет условиям (0.8), (0.13).
Пусть и^ Є М - произвольный элемент. Определим для п = 0,1,2... элемент п("+1) Є М как решение вариационного неравенства:
(U(«+D - и(») , п - u^)v + r(Fln(v) - Fien(u{n+1))) >
> r{f - A0u{n\t] -u(n+1)V V 7} Є M, (0.14)
где 0 < r < tq — 2/(. Тогда вся последовательность {«*")} сходится слабо в V к некоторому решению исходной задачи (0.9) при п —»-Ьоо.
В 5 главы 2 приведена реализация метода (0.14) в случае специального вида функционала i*\.
Пусть V, Н - гильбертовы пространства, М = V. Предполагаем, что F\ = Сі о Л, Л : V —* Н - линейный, непрерывный оператор, такой что
(Ли,Krj)n = {u,rj)v Vu,rj є V, 0.15)
С? і : H —> R1 - собственный, выпуклый, слабо полунепрерывный снизу функционал. Введем функционал G\i который удовлетворяет условиям вида (0.10), (0.11). Тогда положим F\E — G\e о А.
Для решения неравенства (0.14) рассматривается следующий итерационный процесс. Для заданных г > 0, начальных приближений Л^ Є Я, р(1 Є Я, таких, что Л() Є 5С?іЕ(р^)> определим для к — 0,1,2,... последовательности {ш«}, {р«}, {А<*>} следующим образом:
1) определяем -ц/"+1) как решение задачи
(«,(*+!)-TjF„, г))у + рЫк)-rpik) + rAw{k+l\Ar}) =0 Уг)ЄУ, (0.16)
где Fn =f-A0 и^ - 1/ Т U<n>;
2) находим pt"+1)j решая задачу минимизации
Gu (р(к+1]) - (A(fc)^(fc+1))H+ І |Аадї*+1ї -р(4+11
< G* () - (Л<*\ ї)я + 5 ||Лгу("+1) - ff| Vg є Я, (0.17)
3) вычисляем Л^+1' находим по формуле
д(*+і) = д<*) + r (Wfc+1> - p(fc+1>) . (0.18)
При этом {w^} сходится слабо в V к некоторому решению w задачи (0.14) при к —> + со, {р^} сходится сильно в Я к Лгу при к —* + оо.
В 6 главы 2 рассмотрено применение метода итеративной регуляризации для решения задач фильтрации.
Предполагаем, что функция — зо(2) кроме, условий определенных в 1 главы 1, удовлетворяет так называемому условию подчинения (см. [60], [98]):
*№і*ІЇ*><С1а + ( + г,Г' У?,„>0,ез>0,
{
1, прир>2, О, прир < 2.
e~\l
, р>2, т} \ с5(1+20р~\ с5>0,р>2.
Ф«) = {
При этом оператор Ао удовлетворяет условию (0.7) с функциями Ф, /л, задаваемыми формулами (см. [36])
В случае, когда пространство V является гильбертовым, оператор Ло является обратно сильно монотонным, т.е. удовлетворяет условию (0.13).
Для решения рассматриваемых в главе 1 задач фильтрации выполнены условия теорем 0.1, 0.2 главы 2.
Далее рассмотрена реализация метода (0.14) в случае гильбертова пространства. Функционал Fi, определяемый соотношением (0.4), представим в виде суперпозиции Fi — Gi о Л, где Л = V, а функционал G\\ Н — [L,2{l)\m —> Rl задается соотношением
G1(p) = 0jh(\pl-ffidxJ рєН.
Теперь исходное вариационное неравенство приобретает следующий вид {А0и ,7]~u)v + Gi(At0 - Gi(Au) > (/, г} - и) V щ Є V. Определим функцию
С 0, < /5 - є,
{ 0, > /?,
которая порождает функционалы F\E и G\s. Имеет место
Лемма 0.1. Функционал F\s удовлетворяет условию (0-Ю), причем с{є) = 2єmes Q.
В случае гильбертова пространства J = —Д. Поэтому метод итеративной регуляризации (0.16)-(0.18) для определения последовательностей {«,№)}, (р№)}, {AW} запишется в следующем виде: пусть р^ є Н - произвольный вектор, А() - 9isQp{G) f)p(a)/ \р{0)\. Для к = 0,1,2,...
1) находим ги^+1) как решение краевой задачи
-(1 + rr)Aw{k+l) = р [>„ + div (A(ft) - 77?w)] , аг є fi,
(ад<к+1ї(х), n) = 0, х є Гі, ад^+і)^) = о, х Є Г2; (0.19)
2) полагаем р(А+1) = Oij{gl{t2) + г), где а = А^ + rVu/fc+1\
{
\a\/r, z
(і){іЗ-є) + є |а|)/(0 + ег), г(Р - є) < |а| < r/? + 0,
(|а|-#)/г, [a|>r/? + tf;
3) вычисляем \<~k+V = \W + r (Wfc+1) ~p(*+i)).
Таким образом, на каждом шаге итерационный метод сводится фактически к решению краевой задачи (0.19).
В третьей главе построен итерационный метод расщепления решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами в гильбертовых пространствах, к которым сводятся задачи фильтрации, рассмотренные в главе 1. Проведено исследование сходимости метода. Рассмотрена реализация метода расщепления для задач фильтрации.
В 1 рассмотрен частный случай вариационного неравенства (0.9) в гильбертовом пространстве, когда функционал i*\ является суперпозицией выпуклого функционала и линейного непрерывного оператора.
Пусть V,H- гильбертовы пространства, М — V,
Ф : V" —» Я1 - дифференцируемый по Гато функционал, причем производная Гато Aq = Ф' : V —* V - коэрцитивный, обратно сильно монотонный оператор, G\ : Н —> R1 - собственный, выпуклый, слабо полунепрерывный снизу функционал, Л : V —> Н - линейный непрерывный оператор, имеющий ограниченный обратный, такой, что выполнено (0.15). Рассматривается задача
F(u) = inf F{rj). (0.20)
г}Є V
Эта задача имеет по крайней мере одно решение и эквивалентна следующему вариационному неравенству второго рода (см., например, [130])
(А0и - /,т] - u)v + С?і(Лт?) - Gi(Au) > 0 Vt? Є V, (0.21)
являющемуся частным случаем вариационного неравенства (0.10). Поэтому задача (0.21) также имеет по крайней мере одно решение. Введем функцию Лагранжа L :V х Н х Н —> Л1,
L(r], z-ф) = Щп) + я - (7,i?)v
и модифицированную функцию Лагранжа Lr : V х Н х й" —> Л1
Lr(r),z;fi) = L(ri,z\ii) + - \\Ari-z\\H, г > 0.
Наряду с задачей (0.20) рассматриваются следующие задачи о поиске седловых точек функционалов L и Lr:
inf sup L(r],z;fi), (0.22)
TiV,zlI fiH
inf sup Lr(7j, г;//). (0.23)
Теорема 0.3. Задана (0.22) разрешима, при этом первая компонента седловой точки и - решение задачи (0.20) , вторая и третья компоненты седловой точки у и X связаны с первой компонентой и соотношениями у = Аи, А Є dG\{Au). Обратно, если и -решение задачи (0.20), Аи — у, тогда существует А Є dG\ (Аи) такая, что (и, у; А) - седловая точка задачи (0.22).
Теорема 0.4. Множества седловых точек задач (0.22) и (0.23) совпадают.
В 2 главы 3 построен итерационный метод расщепления решения задачи (0.21).
Из теорем 0.3, 0.4 вытекает, что для нахождения решения задачи (0.21), в силу ее эквивалентности задаче (0.20), можно использовать алгоритмы поиска седловой точки функции Лагранжа Ьг.
Пусть vt) Є V - произвольный элемент, полагаем у^ = Аи^\ находим Д() Є dGi(v,()). Определим для к = 0,1, 2,... последовательности {и^}, {у^}, {А^} следующим образом:
1) находим элемент и^ как решение задачи
„(Ы-1) = иЮ _ Т
А0и(к) - / + Л*Л(*> + г и<к) - г ЛУ fc>l , (0.24)
где г - итерационный параметр;
2) определяем элемент у^к+1\ решая задачу минимизации
Lr(u^k+1\ y(fc+1>; Л<*>) < Lr{U(k+l\ z; A<fc>) \fz Я; (0.25)
3) вычисляем Ajt+i по формуле
д(*+1> = А^ + г (hu^ - ^+1)) . (0.26)
При численной реализации метода расщепления (0.24) - (0.26) основную трудность представляет решение задачи минимизации (0.25). Запишем (0.25) в виде:
< GiW + \ Ы\Ъ - GWfc+1)) - \ ||ї/№+1) fff Vz Є Я, или
(r W*+1> + \{k\z - у(ш))н < GT{z) - Gr(y(k+V) Vz є Я, (0.27)
где Gr(z) = Gi(г)+ 2 H ^ІЯ-
Используя определение субдифференциала dGr> запишем (0.27) в виде включения:
г Auik+1) + А<А) Є dGr(y(k+V). (0.28)
Известно (см. [130, стр. 31]), что q Є dGr{z) тогда и только тогда, когда z Є dG*(q), где G* - сопряженный к Gr функционал. Поэтому включение (0.28) эквивалентно следующему:
у(к+^ Є dG*r{r Лї/*+1> + A<*>).
Таким образом, решение задачи (0.25) существенно упрощается в случае, когда мы можем эффективно вычислить субдифференциал dG*. При этом задача поиска элемента y(k+l) сводится к вычислениям по явным формулам. Этим мы пользуемся ниже при решении рассматриваемых задач фильтрации.
В 3 главы 3 проведено исследование сходимости итерационного процесса расщепления (0.24) - (0.26). Определим гильбертово пространство Q = V х Н х Н со скалярным произведением
(", -)q = Ol ("і ')v + а2 (, ")я + а3 (', *)д »
1 — тг г 1
г, г - положительные константы, связанные соотношением тг < 1. Рассмотрим оператор Т : Q — (?: 7 = {^i
її? = gi - т [А)3 + г 1 - г Л*2], T2q = Arg mm LT(Txq, z; ?3),
T3q - g3 + г [ЛГід - T2(?].
Тогда итерационный метод (0.24) - (0.26) запишется в виде q(k+l) = Tq&\ q(k) = ( и^к\ yW; А^ ), к — 0,1,2..., т.е. Г - оператор перехода итерационного процесса.
Теорема 0.5. Множество седловых точек задачи (0.22) совпадает с множеством неподвижных точек оператора Т.
Таким образом, исследование сходимости метода (0.24) - (0.26) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений для нахождения неподвижной точки оператора Т.
Теорема 0.6. Пусть т < 2d0/(2dor + 1), q^ Є Q - произвольно заданный элемент, последовательность {^} построена по формуле q{k+i) _ Tq(k)^ fc _ 0,1,2,— Тогда последовательность {q^} сходится слабо в Q при к —> Н-оо, ее предел q* является пеподвиоіспой точкой оператора Т} и справедливы равенства
(^
,(*)
fc—»+оо
яГ - Ч
-0,
к—»+оо
.(А+1)
,(*)
= 0.
(0.29)
Затем рассмотрен случай, когда оператор Ло удовлетворяет более сильному условию, чем условие обратной сильной монотонности. Справедлива
Теорема 0.7. Пусть оператор Aq сильно монотонен и липшиц-пепрерывен:
{Аои-А0г),и-г))у>5\\и-г}\\1, 5>0 У%7)еУ,
\\А0и - А0г]\\у <-у \\и - ri\\v, 7>0 УщцеУ, выполнено условие
г <
2г+72 * тогда справедливы соотношения (0.29) и следующие, равенства
(к)
q\} -и
к—*+оо
= 0, Нт
V fc-++oo
$> ~ ки
-О,
где и - решение задачи (0.21).
В 4 главы 3 метод расщепления (0.24) - (0.26) применен для решения рассматриваемых задач фильтрации. Для этих задач Л = V, а Л* = — div. Пусть и^ Є V - произвольный элемент, полагаем у^ — Аи^\ находим
А<> в 3Gi(ut>).
Реализация (0.24) состоит в решении краевой задачи
-Aw = f- Au(k) + div (A(fc) - rpik)) + г Au(k\ хєП,
(го(ж), n) = 0, x Є Гі, гу(г) = 0, х Є Га, (0.30)
после чего вычисляется u^+1) = и^ + тгу. Далее, функционал (?г имеет вид
Gr{p) = J J 9г(Є№ dx, дг(ЄК
n 0 установлено, что сопряженный функционал G* имеет вид
<ЭД = / [д*ЛЄ№<іх, д;(Є)ї= І (ЗІ rp
Функционал С?* является выпуклым и дифференцируемым по Гато, субдифференциал этого функционала состоит из единственного элемента, совпадающего с его градиентом, который определяется следующим обра-30u:{Gl)'z = g:{\z\2)z.
Поэтому задача минимизации (0.25), в соответствии с рассуждениями, приведенными в 2 главы 3, сводится к нахождению у^к+1^ по явным формулам
y(k+i) = r*(|g]2)g; q = r Aw(fc+1> + A(fc).
Вычисление элемента выполняется по явным формулам (0.26).
Таким образом, каждый шаг итерационного метода расщепления сводится фактически к решению краевой задачи (0.30).
В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов для модельных задач фильтрации, полученные методом итеративной регуляризации и методом расщепления, проводится их анализ.
В 1 проведено построение внутренних конечноэлементных аппроксимаций (см. [31]) вариационных неравенств с пседомонотонными операторами применительно к рассматриваемым задачам теории фильтрации
В 2 главы 4 приведены постановки некоторых задач об определении границ предельно равновесных целиков вязкопластичной нефти, для которых аналитическим способом определены характеристики точных решений - линии, на которых модуль градиента давления равен /? - предельному градиенту давления (границы целиков). Эти задачи рассматриваются при различных схемах расположения скважин.
Сначала рассматривается задача для бесконечной цепочки скважин с расходом q, расположенных на одной прямой на расстоянии 2 друг от друга, при этом:
1) функция —» ##(2) имеет следующий вид (задача la) :
Г <*, о<
где 0<а<1и/?>0. Решение данной задачи зависит от безразмерного параметра Q = q/(4ft), характеризующего скорость фильтрующейся жидкости на бесконечности. Изучаются два случая: Q < а и Q > 1;
2) функция —+ #(2) имеет следующий вид (задача lb)
Г о, о< 9*(2)={ [о,/?], -/?, (0.31)
[ 6 >Д
где /? > 0 - предельный градиент.
Элемент течения для этой задачи представляет собой полу пол осу (0 < х < i^y > 0} (см. рис. 4.7), которая при решении заменяется на конечную прямоугольную область. Скважина расположена в точке (0,0).
Далее рассматривается задача при пятиточечной схеме расположения скважин с расходом q. Эта двоякопериодическая система расстановки скважин характеризуется тем, что в вершинах квадратов расположены эксплуатационные скважины, а в их центрах - нагнетательные. Исследуется случай, когда функция, определяющая закон фильтрации, определена соотношением (0.31) (задача 2Ь).
В 3 главы 4 приведены результаты численных расчетов для описанных в 2 главы 4 задач об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.
Б 4 главы 4 приведены результаты численных расчетов для законов фильтрации, которые имеют нелинейный рост на бесконечности, и для других областей.
Приведены результаты численных расчетов для задачи о бесконечной цепочке скважин, когда функция —* 7t?(2)) имеет следующий вид (задача За):
2) =
О, 0<
[О,/?], ^ = /3,
y/t-0 +0, І>Р-
Приведены также результаты численных расчетов для L-образной области, внутри которой располагаются две скважины с расходом q, одна -эксплуатационная, другая - нагнетательная (задача 4а), и для крестообразной области, внутри которой располагаются 4 эксплуатационные скважины с расходом q (задача 4Ь) или одна скважина с тем же расходом q (задача 4с). Функция —» <7#(2)) определяется соотношением (0.31).
Приведенные численные результаты показали эффективность предложенных методов решения стационарных задач фильтрации.
Основные научные положения и результаты работы
Достаточные условия сходимости метода итеративной регуляризации решения вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах.
Достаточные условия сходимости метода расщепления решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными, потенциальными операторами и выпуклыми недифференцируемыми функционалами в гильбертовых пространствах.
3. Результаты численных экспериментов по решению стационарных задач фильтрации с многозначным законом, подтвердившие эффективность предложенных итерационных методов.
Результаты диссертации докладывались на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (г. Казань, 2002 г.), 4-м и 5-м Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (г. Казань, 2002, 2004 г.г.), весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIV, XV - Современные методы теории краевых задач" (г. Воронеж, 2003, 2004 г.г.)3 "12-й Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам"(г. Владимир, 2003 г.), Международной конференции по вычислительной математике "МКВМ - 2004"(г. Новосибирск), Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 70-летию НИИММ им. Чеботарева (г. Казань, 2004 г.), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 2002-2005 г.г., научных семинарах кафедры вычислительной математики К ГУ, лаборатории математического моделирования Института информатики КГУ и опубликованы в работах [18] - [27], [134].
В публикациях [26], [27] Скворцову Э.В. принадлежит получение точных аналитических решений для ряда модельных задач, остальные результаты в этих работах, а также результаты в работах [18] - [25], [134] принадлежат авторам в равной степени.
Самую искреннюю признательность автор выражает своим научным руководителям А. Д. Ляшко и О. А. Зад воронову, а также И. Б. Бадриеву за постоянное внимание к работе и ценные советы, а также всем участникам научного семинара кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета и сотрудникам лаборатории математического моделирования Института информатики Казанского государственного университета за полезные обсуждения.
Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти
Рассматривается процесс двухфазной фильтрации, а именно, процесс вытеснения вязкопластической нефти из пласта водой. Предполагается, что нефть остается неподвижной в пористой среде, если модуль градиента давления не превосходит некоторого предельного значения /? (предельного градиента давления). В процессе вытеснения может возникнуть область, занимаемая нефтью, в которой всегда модуль градиента давления не превосходит предельного градиента. Это значит, что в этой области нефть двигаться не будет. По мере продвижения вытесняющей нефть воды застойная зона окажется обойденной ею и превратится в конечном итоге в целик остаточной нефти.
Специфика целиков (см. [71]) вязкопластичной жидкости в том, что при достаточно малых их размерах они могут сохранять свою форму в обтекающем их потоке вытесняющей воды неограниченно долго. Такие не меняющие своей формы целики называются равновесными. По мере изменения размеров целика может наступить момент, когда на его границе градиент давления окажется равным предельному. Если это состояние достигнуто во всех точках контура целика, то такой целик называется предельно равновесным.
Предельно равновесный целик остаточной нефти представляет собой наибольшую область, которая может быть занята остаточной вязкоплас-тичной жидкостью неограниченно долго, то есть характеризует вклад пластических свойств жидкости в остаточные потери нефти.
Таким образом, расчет предельно равновесных целиков представляет собой один из подходов к оценке влияния пластических свойств нефти на предельную нефтеотдачу.
Считаем, что в процессе длительного вытеснения в пласте сформировался равновесный целик, обтекаемый стационарным потоком вытесняющей воды. Это означает, что область, занимаемая пластом нефти, распадется на область движения воды и область занятую неподвижной вязко-пластичной нефтью (целик). Предполагаем также, что сам целик также может состоять из двух областей. В одной нефть содержится по всей толщине пласта, а в другой пласт "промыт" частично. В предположении, что предельный градиент для нефти возрастает от подошвы к кровле пласта, течение вытесняющей воды в частично "промытой" области будет происходить у подошвы пласта. На неизвестной границе предельно равновесного целика модуль градиента давления в вытесняющей жидкости должен быть равным предельному градиенту давления нефти. Кроме того, поскольку граница целика является для потока воды линией тока, градиент давления фильтрационного потока воды направлен вдоль этой границы. Предполагая, что предельная водонасыщенность в промытой зоне постоянна, а пласт однороден получим, что поле давления вытесняющей жидкости в этой зоне должно удовлетворять уравнению Лапласа.
Задача об определении таких полей давления, скорости и неизвестной границе аналогична задаче о фильтрационном течении однородной жидкости с разрывным законом фильтрации, рассматриваемой в 1.1 настоящей главы. Застойные зоны при этом отвечают целикам, а область течения - области движения воды. Область, в которой модуль градиента давления равен предельному градиенту, в законе фильтрации, соответствует области частично промытого пласта, часть мощности которого занята це ликом, а часть промыта.
Задача поиска предельного целика сводится к определению стационарных полей давления и и скорости v = (ui, ) жидкости, вытесняющей нефть, в области Q, занимаемой пластом, удовлетворяющих уравнению неразрывности и соответствующими граничными условиями: div v{x) = /, хє1, (1.14) (ф),п) = 0, хеГи и(ж) = 0, жГ2, (1.15) где / известная функция, характеризующая плотность внешних источников, граница Г = Гі U Г2, Г і П Г2 = 0, mes Г2 0, Гі - ограниченное открытое подмножество Г, Гг - внутренность Г\Г і, п - внешняя нормаль кГь
Пусть V = {и Є ИДО) : м(ж) = 0, х Є Г2} . Из условий (1.19), (1.20) следует (см. [98]) ограниченность формы о(-, ), очевидно, что она линейна по второму аргументу на V х V, так что i(u, rj) = {А0и, т})= J (gQ(\Vu\2) V«, Vr/) da, (1.26) si где J4O : F — V -ограниченный операторотношение двойственности между V и сопряженным к нему V .
Таким образом, в соответствии с (1.24), под решением задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти будем понимать функцию ие7, являющуюся решением вариационного неравенства (см. [89], [96]) Л0«,)7-«) + 1(»?)-Л («) (/,»?-« V7?eV, (1.27) где элемент f ЄУ порождается формой о Функционал Fi является субдифференцируемым (см. [96]), поэтому вариационное неравенство (1.27) можно записать в виде включения
Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства
Пусть V - гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным V , М = V, Ло : V — V-псевдомонотонный, коэрцитивный оператор, удовлетворяющий условиям (2.4) и (2.27). Пусть, далее, і \ : V —» R1 - выпуклый, вообще говоря недифференци-руемый, липшиц-непрерывный (с константой 7 0) функционал. Рассматривается задача поиска элемента и Є У, такого, что (А «, 7-гО + 1М- 1(«) СМ-«) VJ/ЄК (2.42)
Отметим, что при условиях, наложенных на оператор Ло и функционал Fi, задача (2.42) имеет по крайней мере одно решение (см., например, [94], [130]).
Для решения задачи (2.42) в 2.4 настоящей главы предложен итерационный процесс (2.28), позволяющий свести эту задачу к вариационному неравенству второго рода с оператором двойственности вместо исходного псевдомонотонного оператора и регуляризованным функционалом.
Каждый шаг указанного итерационного процесса сводится к решению вариационного неравенства (Jwiri-w) + T(FKM-Fien(w)) T(Fn,ri-iD) VIJGV, (2.43) где Fn = f- AouW + 1/r J« " .
Предположим дополнительно, что F\ = G\ о Л, где Л ; V + Я -линейный непрерывный оператор, такой, что Gi : Я — Л1 - собственный, выпуклый, слабо полунепрерывный снизу функционал, где Я - гильбертово пространство со скалярным произведением (, -)я. Введем функционал G\i который удовлетворяет условиям (2.10), (2.11). Тогда функционал F\E запишем в виде F\E = G\E о Л.
Для решения вариационного неравенства (2.43), согласно [138], [140], рассматривается следующий итерационный процесс.
Для заданных г 0, начальных приближений Ло Є Я, р0 є Я, таких, что Ао Є dGieipo), определим последовательности {w }, {рк}, {А } следующим образом. Найдем элемент w k+1 как решение задачи (ш( +и - ri?n, )v + р (\к - грк + rAw(k+1), Arty = 0 V7] є К (2.44) По известному гу +1 находим элемент jp +1\ решая задачу минимизации 2 Я \Aw + q\ УдвН. (2.45) І І ті Находим элемент А "1"1- по явной формуле А +1 - А + г (Wfc+1 - p fc+1 ) . (2.46)
Из [138], [140] вытекает, что справедлива Теорема 2.4. Пусть последовательности {W }3 {р }, {Л } построены согласно (2.44) (2-4 )- Тогда w сходится слабо в V к некоторому решению w задачи (2,43) при к — + со, р сходится сильно в Н к Ли при к — + оо.
Следует отмстить, что задачу минимизации (2.45) данного итерационного процесса для задач фильтрации, рассматриваемых в главе 1 настоящей диссертации, удается решить по явным формулам при определенном виде функционала G\.
Для решения нелинейных стационарных задач фильтрации, сформулированных в первой главе, рассмотрим применение метода итеративной регуляризации.
Как уже отмечалось выше, оператор AQ является ограниченным, монотонным, а, следовательно (см. предложение 2.5 [94, стр. 191]), псевдомонотонным. Кроме того, в [96] установлено, что он является потенциальным, причем выполнено равенство (2.4), функционал Fi является выпуклым, липшиц-непрерывным с постоянной Липшица 7 = (mesfi)1 2.
Предположим теперь, что функция — ?о(2) кроме (1.2) - (1.6) удовлетворяет также так называемому условию подчинения ([60], [98]) Ю1 Й2 „,(! + + , ,„ „, ОО, прир 2, ы-»ыъйе К у v?j4 0] прир 2.
Из [36] следует, что оператор Л удовлетворяет условию (2.3) с функциями Ф, /л, задаваемыми формулами c4 0, 1 p 2, cs 0, p 2.
В случае p — 2, когда V является гильбертовым пространством, оператор Ло является обратно сильно монотонным, т.е. удовлетворяет (2.27). Таким образом, для решения рассматриваемых в главе 1 задач фильтрации выполнены условия теорем 2.2, 2.3.
Рассмотрим случай гильбертова пространства. В этом случае М — V. Предполагаем, что функционал Fi, определяемый соотношением (1.10), представим в виде суперпозиции F\ = Gi о Л, где Л = V, а функционал Gi : Н = [L2{i)]m —» R1 задается соотношением
Исследование сходимости итерационного метода расщепления
Исследуем сходимость предложенного итерационного метода. Определим гильбертово пространство Q — VхНх Н со скалярным произведением (, -)q = oi -, -)v + а2 + а3 (-, )# гДе 1 — тг г 1 r,r - положительные константы, связанные соотношением тг 1, а также дополнительными условиями, которые будут сформулированы ниже. Введем в рассмотрение оператор Т : Q — Q следующим образом: Tq = {Tiq, T2q, Tzq,} , Tiq = qi-r [Aoqi - / + A 3 + r qx - r A q2], (3.28) T2q = Arg min Lr(Tiq, z\ 3), (3.29) ге Я T3g = qz + r [ATig - T2q] , (3.30)
Тогда итерационный метод расщепления (3.21) - (3.23) записывается в виде q(k+1) = Tq(k\ q№ = (и к\у ;Х ), т.е. Т - оператор перехода итерационного процесса. Справедлива
Теорема 3.3. Множество седловых точек задачи (3.6) совпадает с множеством неподвижных точек оператора Т.
Доказательство. Пусть (#1,(/2,3) неподвижная точка оператора Г, т. с. Tiq = 7i, T2q = q% T3 / = 3. Из (3.30) имеем, что A i = q2, то есть q\ — Л 2- С учетом этого равенства из (3.28) следует, что AQ ft — J + Л дз = О, откуда, принимая во внимание равенство Ао — Ф , имеем, что (Ф зі f,V Qi)v + fe, ЛЇЇ - q2)n = О V т? V, и Ф(ї7)-Ф(9і) (/) -9і)у + (9з)Л7/-фг)я 0 Vr? Є V. (3.31) Далее, расписывая соотношение (3.29), имеем: ФЫ + ?і(ф) - (/, ft)v + (, Aft - q2)n + Agi - q2\\2H Ф(яО + (ЗД - (/, qi)v + (Й, Aft - г)л + Aft - z\\% Vz є Я, (3.32) или, Gi( ) - Gi(ft ) - 3, z - q2)n + r (2 - Aft, г - )я О V2 Є Я. Отсюда, принимая во внимание равенство Aft = q2, получаем, что Gl{z) G1{q2)-{qz,z-q2)H VzeH. (3.33) Сложим теперь неравенства (3.31) и (3.33): О Ф(т?) - Ф(й) + 3, ЛЇ? - 2)я - (/, V)v+ +Gi(z) - Gi(g2) + (/,ft)v - (ft, - ф)я Vfo, г) Є V x Я, то есть ф(ф) + ?іО»)-(/,аі)у Ф(Ї?) + С?і(г) + (5з, Л?? - z)H - (/, r7)v V (r),z) є V х Я, откуда, снова используя равенство Aft = фг» получим, что Цяь Q2\ ц) = Ф(?і) + Gi(Qi) - (/, ft)г + (м, Aft - ф)л = = Ф(дх) + Gi(g2) - (/, ft)v Ф(»ї) + Gi{z) - (/,»?)Г + (. Лї? - г)я = = L(i],z;qz) \/(r),z) eV х Н, V//Є Я. (3.34) Полученные соотношения означают, что (#і, 72,#з) - седловая точка функционала L.
Обратно, пусть (#ъ#2,#з) - седловая точка функционала L, т.е. выполнены соотношения (3.34).
По аналогии с доказательством теоремы 3.1, нетрудно проверить, что Aq\ = 2, откуда вытекает равенство 5з = 7з + г [Адг q2]. (3.35)
Далее, подставляя в правое неравенство в (3.34) г) = gi, с учетом того, что Л ?1 = #2, имеем, что справедливо неравенство (3.32), т.е. q2 = ArgmmLr(qi, z;q3). (3.36)
Подставляя, наконец, в правое неравенство в (3.34) z = Q2, получим, что справедливо неравенство (3.31), откуда вытекает равенство qi = qi-r [ЛоЗі -/ + Л $г3 + г qx - г A q2]. (3.37)
Соотношения (3.35) - (3.37) означают, что (gi, 72, (7з) - неподвижная точка оператора Т. Теорема доказана.
Таким образом, исследование сходимости итерационного метода расщепления (3.21) - (3.23) можно свести к исследованию сходимости метода последовательных приближений для нахождения неподвижной точки оператора Т. Имеет место
Введем множество К = \ q Є Q : g — pg d = — pL \, являющееся выпуклым, замкнутым и ограниченным. Оператор Т (в силу теоремы 3.4) является нерастягивающим, а следовательно, переводит множество К в себя, поскольку № - P\\Q = \\ТЯ - TV\\Q 11« - P\\Q d VqeK.
Очевидно, что итерационная последовательность { } содержится в множестве К и, таким образом, ограничена. Следовательно, у нее существуют слабо предельные точки. Пусть q - одна из них, т.е. существует такая подпоследовательность { /fem }, что g(fcm) _v q при m _ +0О в Q (3.56) Докажем, что q - неподвижная точка оператора 7\ Из соотношений (3.52), (3.56) и монотонности оператора AQ вытекает, что .№») ,(Ьп) (AQr)-AoPuri-pl)v= lim ( 4о17- оаГ ,1?-аГ") 0 VJ? Є V. тп—»+оо (3.57) Из (2.27) вытекает липшиц-непрерывность оператора А. Но тогда из (3.57) следует равенство Aoq = A) Pi в силу леммы 18.1 ([50, стр. 257]). Далее, из (3.28) для q = qW имеем равенство JJfc+i) (к) q[ = q[) - г используя которое, а также учитывая (3.53), (3.52), (3.45), получаем lim Л - tlim (9Г - «Г"1 ) - lim (Atf" -/) ft— -гсо /с— --оо t к— Н-оо -г lim (q\K} - Л ) = (AQpi - /) = -(Л0 ві - /). (3.58) fe— +oo С другой стороны, из (3.56) следует, что Л 5з - Яз ПРИ m +J и, таким образом, имеем lim л й = -(4, гі-Я, A g?m) - Л%Й = 0. (3.59) (3.60) Далее, поскольку, с одной стороны, из (3.56) следует слабая сходимость последовательности (Aq[ — ф ) г к (Aql — q ) при т — +оо в Я, а с другой, в силу (3.45), этот предел равен нулю, получаем равенство
Задача определения целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин
Рассматривается задача об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластической нефти для течения в элементе симметрии пятиточечной системы расстановки скважин при площадном заводнении, когда добывающие скважины образуют квадратную решетку, а нагнетательные - располагаются в центрах, образованных добывающими скважинами квадратов (задача 2Ь). Элемент течения (элемент симметрии) изображен на рис. 4.5, в точке О находится источник расхода д, в точке О - сток расхода q.
В данной задаче функция, определяющая закон фильтрации, задается формулой (4.23) (рис. 4.4).
В настоящем параграфе приведены результаты численных расчетов для задач фильтрации, рассмотренных в 4.2 настоящей главы, полученные с помощью предложенных в диссертации итерационных методов.
Для решения задач в соответствии с 4.1 настоящей главы на областях Q строятся триангуляции, получаемые путем равномерного разбиения ее сторон на Пі и П2 частей, построения треугольников с диагоналями, параллельными биссектрисе первого и третьего координатного углов. Затем применяется метод конечных элементов с использованием кусочно-линейных на треугольниках функций.
Результаты численных экспериментов приведены графически на рисунках 4.7-4.28. На этих рисунках представлены лишь те части областей П, которые являются существенными. Более темным цветом выделены конечные элементы, на которых модуль градиента приближенного решения равен постоянному значению (3. На рисунках также представлены характеристики точных решений задач, описанные в 4.2 настоящей главы.
В результате расчетов определялись оптимальные значения итерационных параметров гиг. Критерием оптимальности являлось минимальное количество выполненных итераций для решения задачи. Приводятся графики количества итераций при различных значения итерационных параметров.
При решении первой задачи в случае бесконечной цепочки скважин полуполоса (рис. 4.1) заменяется на конечную прямоугольную область (х, у) = {[0,1] х [О, К]}, Y , на трех частях границы (х — 0, х = , у = 0) которой задаются краевые условия непротекания ди/дп = 0, гдеп -нормаль к границе, а на границе Т = {у = Y}, "отрезающей" бесконечность, задается однородное условие Дирихле и = 0 (рис. 4.6). Скважина с расходом q расположена в точке О.
Входными параметрами для решения задачи являются: і - ширина прямоугольника, Y - длина прямоугольника, ггі,П2 - количество точек разбиения сторон прямоугольника, /3 - значение "предельного градиента", q - расход скважины, Q = q/(4{3) - безразмерный параметр расхода, характеризующий скорость фильтрации на бесконечности, i = Qj3.
Критерием выхода из итерационных процессов является достижение относительной разностью значений приближенного решения на соседних итерациях заданной точности е — 10
При расчетах устанавливались следующие значения входных параметров задачи: і = 0.1, Y = 1, разбиение области ri\ = 50, Пз = 500, Р = 1, а Є (0,1), значения итерационного параметра т варьировался от 0.1 до 2 с шагом 0.1, значения итерационного параметра г варьировался от 0.1 до 2 с шагом 0.1. Скважина моделировалась дельта-функцией.
Рассмотрим результаты численных экспериментов для задачи 1а, когда функция — &?(2) определена формулой (4.8) (см. рис. 4.2).
На рисунках 4.7, 4.8 представлены результаты расчетов, полученные с помощью метода итеративной регуляризации, при Q а и разных значениях итерационных параметров г, г. На них изображены границы целиков при следующих значениях параметров задачи: Q = 0.4, а = 0.5, q = 0.16.
Линии А В, С D - это границы области (целиков), где модуль градиента давления равен постоянному значению /?. Эти линии построены согласно формулам (4.13) - (4.16).
При решении задачи определялись оптимальные значения итерационных параметров гиг (рис. 4.9).
Похожие диссертации на Итерационные методы решения вариационных неравенств нелинейной стационарной фильтрации
