Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Диффузионная фильтрация изображений с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности
1.Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности 14
2. Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим модуля градиента и от интеграла по локальной окрестности 28
3. Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов 35
ГЛАВА 2. Методы диффузионной фильтрации изображений с различными источниками
1.Методы диффузионной фильтрации со знакопостоянным источником 43
2. Методы диффузионной фильтрации со знакопеременным источником 54
3.Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов 62
ГЛАВА 3. Методы повышения резкости изображений основанные на решении обратной задачи для уравнения диффузии
1.Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с постоянным коэффициентом 67
2. Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности 72
3 .Реализация алгоритмов повышения резкости изображений, их применение и сравнение результатов 76
Заключение 80
Список литературы 81
- Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим модуля градиента и от интеграла по локальной окрестности
- Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов
- Методы диффузионной фильтрации со знакопеременным источником
- Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время одной из обширных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка изображений1
Существует множество задач, для решения которых применяется цифровая обработка изображений2 Типичными задачами являются фильтрация изображений, распознавание текста, идентификация объектов на изображении, обработка данных измерений, внедрение и распознавание водяных знаков, компрессия и другие Кроме того цифровая обработка изображений используется для работы с изменяющимся во времени сигналом, таким как, например, видеосъемка или результат работы томографа
Разнообразие и важность задач цифровой обработки изображений обуславливают актуальность разработки широкого спектра математических методов обработки изображений, их реализации в программном обеспечении и применения для решения возникающих задач
Одним из часто используемых классов математических методов обработки изображений являются методы диффузионной фильтрации Эти методы основаны на решении задач для уравнения диффузии с обрабатываемым изображением, взятым в качестве начального условия Самые простые алгоритмы диффузионной фильтрации состоят в решении задачи для линейного уравнения диффузии с постоянным коэффициентом Существуют методы, в которых коэффициент диффузии зависит от начального или текущего изображений, методы с коэффициентом диффузии выбранном в виде матрицы, методы, использующие уравнения диффузии с источником и ряд других3
' Гашников М В, Глумов Н И, Ильясова НЮ и др, Методы компьютерной обработки изображений Учебное пособие (под ред СойфераВ A)//ISBN 5922101803 2001
2 Acharya Т, Ray A, Image Processing Principles and Applications //ISBN 0471719986 Wiley 2005
3Weickert J, A review ofnon'meardiffosion filtering//Lecture Notes In Computer Science 1997 V 1252 P 3-28
В настоящее время методы диффузионной фильтрации применяются в таких областях как выделение контуров, сегментация, реконструкция изображений, постобработка неустойчивых результатов измерений, визуализация, компьютерный контроль качества, слежение за объектом, определение оптического потока, метод активных контуров, и многие другие Весьма интенсивно методы диффузионной фильтрации применяются в обработке данных медицинских измерений
Широкая область применения методов диффузионной фильтрации изображений определяет актуальность разработки новых методов и их программной реализации
Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в разработке новых методов диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений, их программной реализации и применению для некоторых классов изображений
Научная новизна и практическая значимость. Разработаны новые методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использованы новые модели коэффициента диффузии и источника Предложены методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и новой модели коэффициента диффузии На их основе разработаны численные алгоритмы и комплекс программ, который применен для обработки ряда изображений
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной научной конференции «Тихонов и современная математика», в г Москва, в 2006г, на XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2007», в г. Москва, в 2007г, на Международной конференции по компьютерной графике, машинному зрению, обработке изображений и видео «Графикон'2007», в г
Москва, в 2007г, а также на семинарах кафедры математической физики факультетаВМиК МГУ им MB Ломоносова
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка, содержащего 77 наименований Диссертационная работа изложена на 88 страницах машинописного текста и содержит 29 рисунков
Методы диффузионной фильтрации с коэффициентом диффузии, зависящим модуля градиента и от интеграла по локальной окрестности
В предыдущем параграфе рассматривались методы диффузионной фильтрации, использующие информацию об объектах на изображении. Источником информации служила интегральная интенсивность изображения в локальной окрестности точки. Есть и другие источники информации, которые также используются при построении методов диффузионной фильтрации. Один из наиболее известных способов был предложен в работах Регопа и Malik [14-15]. В качестве источника информации авторы использовали детектор контуров объектов, основанный на вычислении модуля градиента изображения. В тех точках, где величина модуля градиента достаточно велика, скорее всего, расположена граница объекта. Чем больше величина - тем более выражена эта граница. Соответственно величина коэффициента диффузии выбирается обратно-пропорциональной величине модуля градиента изображения. Это означает, что в точках принадлежащих границам объектов, диффузия минимальна.
Алгоритмы диффузионной фильтрации, предложенные в [14-15], основываются на решении следующей начально-краевой задачи для уравнения диффузии
В случае если в качестве детектора контуров вместо величины V/ используется JVWJ , метод фильтрации получается адаптивным, однако уравнение (2.1) становится нелинейным.
Методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении задачи (2.1)-(2.3) являются хорошо изученными и часто применяются на практике [17]. В некоторых случаях недостатком используемого в них детектора контуров, может являться тот факт, что значение модуля градиента велико не только на границах объектов, но и в точках высококонтрастного шума. Соответственно коэффициент диффузии в таких точках мал, что затрудняет задачу фильтрации высококонтрастного шума. Для того чтобы решить обозначенную проблему, построим новые методы фильтрации, добавляя в коэффициент диффузии информацию об интегральной интенсивности в локальной окрестности точки. Так как интегральная интенсивность в окрестности высококонтрастного шума сравнительно мала, алгоритм фильтрации сможет отличать их от точек принадлежащих объекту и эффективно фильтровать. Рассмотрим задачу
Данная задача определяет метод диффузионной фильтрации учитывающий априорную информацию двух типов, дифференциальную и интегральную. Это позволяет получать дополнительные преимущества при фильтрации. Для удобства вычисления интеграла, входящего в коэффициент диффузии, в задаче (2.5)-(2.7), определяющей метод диффузионной фильтрации, выбрано краевое условие первого рода.
Наряду с рассмотренным вариантом коэффициента диффузии можно использовать и ряд других, в которых величины градиента и интеграла могут вычисляться на основе текущего изображения:
Представленные варианты коэффициентов диффузии определяют адаптивные методы диффузионной фильтрации, но являются более сложными при реализации.
Перейдем к рассмотрению численных методов решения поставленных задач. Разностная задача для уравнения (2.5)-(2.8) строится на основе стандартной консервативной разностной схемы для уравнения диффузии [72]. Построим разностную схему для решения задачи (2.5)-(2.7), с коэффициентом диффузии (2.10) и исследуем порядок аппроксимации исходной задачи разностной. Введем в области равномерную сетку с шагом h по пространственным переменным и г по времени
Реализация алгоритмов диффузионной фильтрации, их применение и сравнение результатов
Предложенные в первой главе методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft Visual Studio 2005 на языке С#. Для работы с графическими объектами использован программный интерфейс DirectDraw из коллекции Microsoft DirectX 9.0с. Приложение выполнено в виде двух частей: интерфейса пользователя, реализованного с использованием Windows Forms 2.0 и набора подключаемых библиотек, реализующих как стандартные, так и предложенные в предыдущих параграфах методы диффузионной фильтрации.
Рассмотрим результаты применения разработанных алгоритмов и программ для фильтрации изображений, их сравнения между собой и с известными методами. Для того чтобы иметь возможность сравнивать методы, обладающие различной и неравномерной скоростью фильтрации, нами был разработан специальный алгоритм. Время фильтрации, являющееся основным параметром методов, выбиралось следующим образом. На оригинальном зашумленном изображении выбирается некоторая область G свободная от полезных объектов, в которой расположено множество шума, подлежащего фильтрации. Затем выполняется подсчет суммарного значения модуля градиента в выбранной области («объем шума»):
Устанавливается значение желаемого уровня объема шума V0.
Процесс диффузии продолжается до тех пор, пока объем шума в выбранной области на фильтруемом изображении не снизится до установленного значения V0.
Рассмотрим результаты сравнения гауссовского фильтра и метода диффузионной фильтрации основанного на задаче (1.13)-(1.16). Первое сравнение, демонстрирующее эффект от использования локальной интегральной информации, проведем на модельном изображении. На рисунке 1 располагается исходное модельное изображение. Толстая вертикальная черта моделирует полезный объект, а точка -высококонтрастный шум. На рисунке 2 представлены изображения, отфильтрованные двумя сравниваемыми методами в моменты времени, когда «объем шума» в некоторой фиксированной области G, представляющей собой прямоугольник, обрамляющий точку, на каждом изображении установился равным VQ = 47. Слева расположен результат фильтрации линейным гауссовским фильтром, а справа изображение, полученное с использованием построенного метода диффузионной фильтрации. Четко различима разница между результатами фильтрации. Метод, задаваемый задачей (1.13)-(1.16), сохранил границы полезного объекта значительно более адекватно, по сравнению с фильтром Гаусса. С течением времени, в моменты когда «объем шума» на обоих изображениях стал равным V0=3\, различие становится еще более значительным.
Рисунок 3 демонстрирует, что предложенный метод диффузионной фильтрации сохранил границы полезного объекта достаточно хорошо, а гауссовский фильтр их практически полностью размыл.
Методы диффузионной фильтрации со знакопеременным источником
В данном параграфе рассматриваются мотоды диффузионной фильтрации, задаваемые начально-краевой задачей для уравнения диффузии со знакопеременным источником, зависящим от интеграла по локальной окрестности. Предложены методы, основанные на сочетании источника различными коэффициентами диффузии. Рассмотрены вопросы численной реализации методов фильтрации.
В предыдущем параграфе ряд методов фильтрации был построен с использованием введения в знакопостоянного источника уравнение диффузии. Вследствие того, что в приведенных постановках коэффициент Ql всегда больше нуля, «отрицательный источник» (сток) действует в каждой точке изображения. Соответственно, наряду с уменьшением интенсивности высококонтрастного шума, предложенные . методы диффузионной фильтрации уменьшают и интенсивность полезных объектов. В некоторых случаях при больших значениях Т этот эффект может приводить к значительному снижению контрастности изображений. Чтобы избежать потерь интенсивности объектов при фильтрации и увеличить контраст, построим алгоритм, выбрав функцию, определяющую источник специальным образом. Рассмотрим задачу таких точках. Величина параметра Z0 задает порог отсечения шума.
Варьируя значение этого параметра можно делать алгоритм более или менее чувствительным к зашумленности фильтруемого изображения. В то же время, если величина интеграла в окрестности некоторой точки лежит в принадлежит полезному объекту. Функция Q2\x,y,f) в этом случае неположительная, а значит, в рассматриваемой точке, либо расположен «положительный источник», либо Q2{x,y ,f)u = 0. Это соответствует тому, что полезные объекты на изображении усиливаются или остаются без существенных изменений. Вид функции R(z) является управляющим параметром данного метода.
По аналогии с предыдущим параграфом, алгоритм можно сделать более адаптивным, поставив функцию Q2 в зависимость от текущего решения
Линейный метод (2.1)-(2.3) с функцией Q2{x,y;u) = 0 является самым простым алгоритмом диффузионной фильтрации. При фильтрации он не учитывает ни информацию об интенсивности объектов, ни о направлении контуров. Покажем, что добавление нелинейного источника в уравнение, задающее метод диффузионной фильтрации, дает преимущество и для гораздо более сложных алгоритмов.
Существует класс изображений, на которых полезными объектами являются достаточно тонкие и поврежденные линии. Для их фильтрации нужно использовать алгоритмы, учитывающие локальные направления линий. Одним из наиболее эффективных алгоритмов обработки таких изображений является анизотропный метод диффузионной фильтрации, предложенный в работе [38]. Этот метод построен таким образом, чтобы уменьшать диффузию в направлении перпендикулярном линиям тем больше, чем сильнее выражена их граница. С другой стороны диффузия вдоль границы продолжается, фильтруя шум не разрушая контура. Чтобы использовать при фильтрации информацию о направлении линий, в качестве коэффициента диффузии выбирают матрицы специального вида.
Методы повышения резкости изображений основанные на использовании уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности
Предложенные в предыдущих параграфах методы повышения резкости изображений программно реализованы в Microsoft Visual Studio 2005 на языке С#. Для работы с графическими объектами использован программный интерфейс DirectDraw из коллекции Microsoft DirectX 9.0с. Приложение выполнено в виде двух частей: интерфейса пользователя, реализованного с использованием Windows Forms 2.0 и набора подключаемых библиотек, реализующих как стандартные, так и предложенные в предыдущих параграфах методы повышения резкости изображений. В разработанное приложение включен модуль, который позволяет методом перебора определять значения некоторых параметров фильтров. Для его работы достаточно указать область изменения параметра, шаг и подать на вход несколько изображений, которые будут использоваться в расчетах. С помощью этого модуля вычислялось значение параметра а. При исследовании применимости задачи метода квазиобращения с коэффициентом диффузии, зависящим от локальной интегральной интенсивности, нами был разработан алгоритм аналогичный (2.6)-(2.9), но для одной пространственной переменной. Это позволило более детально исследовать работу алгоритма и определить возможные границы изменения параметров. Этот алгоритм был программно реализован в виде отдельного приложения. Интеграция с комплексом программ, работающим с двумерными изображениями, не проводилась. На рисунке 1 представлен исходный зашумленный сигнал (представлен на рисунке зигзагообразной кривой) и сигнал, отфильтрованный одномерным аналогом алгоритма (2.6)-(2.9). Этот пример демонстрирует основное свойства построенного алгоритма Изображение 2 получено в результате применения диффузионного фильтра с постоянным коэффициентом диффузии к зашумленному изображению, содержащему некоторый текст. Области между буквами стали равномерно серыми, однако наряду с этим границы букв подверглись сильному размытию. На рисунке 3 представлен результат обработки методом, задаваемым задачей (1.10)-(1.12). Размытость исходного изображения существенно уменьшена, контраст каждой буквы увеличился. При этом возможно появление на изображении небольших артефактов в виде серых линий, обрисовывающих контуры объектов. Эти линии - результат добавления в задачу (1.10)-(1.12), члена содержащего четвертую производную. Интенсивность этих линий можно уменьшить, задав меньшее значение параметра а, но тогда допустимое время обработки также уменьшится. Стоит отметить, что изображение 3 есть решение задачи (1.10)-(1.12), взятое в момент времени Т , то есть дальнейшее применение алгоритма повышения резкости (1.10)-(1.12), вызвало бы сильные осцилляции, как это представлено на рисунке 5. На рисунке 4 представлен результат работы алгоритма основанного на решении задачи (2.6)-(2.9). Время фильтрации, при котором было взято данное изображение меньше Т , что означает, что при необходимости можно было бы продолжить применение метода повышения резкости к данному изображению. Визуально, резкость на изображении 4 выше, чем на 3, буквы более яркие, границы - более подчеркнутые. В то же время мелкие объекты, как например точки над "і", выглядят одинаково на обоих обработанных изображениях. Причина этого в том, что в таких точках величина интеграла, входящего в оператор (2.10), мала, и действие обоих алгоритмов практически одинаково. Стоит обратить внимание, что в процессе предварительной фильтрации вызвавшей потерю резкости некоторые буквы слились вместе, например буквы "Т" и "h" в левом верхнем углу изображения 2. В дальнейшем, как видно из рисунков 3 и 4, ни один из методов не смог разделить эти буквы обратно. Это является следствием необратимости физического процесса диффузии. В целом результаты расчетов демонстрируют эффективность методов повышения резкости, основанных на решении задач (2.2)-(2.5) и (2.6)-(2.9) и обоснованность введения в алгоритм информации о локальной интегральной интенсивности обрабатываемого изображения. Программное обеспечение, в котором реализованы рассмотренные в третьей главе методы повышения резкости, может быть использовано для исследования свойств методов, сравнения результатов их работы и определения оптимальных значений параметров, для выбранных классов изображений. Независимость реализации расчетных модулей и интерфейса пользователя позволяют легко масштабировать приложение, добавляя в него новые алгоритмы обработки изображений. Кроме того, реализация новых методов повышения резкости в виде подключаемых библиотек позволяет использовать их в других приложениях.
