Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические аспекты вычислимого моделирования и проблемы применения вычислимых моделей 7
1.1. Этапы развития вычислимого моделирования 7
1.2. Сущность, классификация и предназначение вычислимых моделей общего равновесия 17
1.3. Методы вычислений и программные пакеты, применяемые в CGE моделировании 28
Глава 2. Модели развивающейся экономики региона и экономического сектора 35
2.1. Балансовая нормативная модель экономики с учетом денег, факторов производства при наличии налогообложения и теневого сектора 35
2.2. Аналитическое исследование нормативной модели общего равновесия 45
2.3. Численные эксперименты и частные режимы нормативной модели общего равновесия 55
Глава 3. Предложения по оптимизации модели 60
3.1. Постановка задачи идентификации. Построение метода решения 60
3.2. Результаты численных экспериментов над нормативной моделью Кировской области 68
3.3. Предложение по совершенствованию методов решения задачи идентификации с применением параллельных методов поиска глобального оптимума 95
Заключение 99
Литература 103
- Сущность, классификация и предназначение вычислимых моделей общего равновесия
- Балансовая нормативная модель экономики с учетом денег, факторов производства при наличии налогообложения и теневого сектора
- Результаты численных экспериментов над нормативной моделью Кировской области
- Предложение по совершенствованию методов решения задачи идентификации с применением параллельных методов поиска глобального оптимума
Введение к работе
Актуальность темы.
Мировой опыт CGE моделирования содержит существенные разработки по анализу последствий глобализации, увеличения объемов внешней торговли, изменений внутри национальной экономики (последствия налоговой или пенсионной реформы, регулирование естественных монополий, монетарной политики, структурные изменения, политика направленная на поддержку определенных отраслей). Эта проблематика весьма актуальна для России.
Однако, в России существует проблема разрозненности и нехватки статистики экономических показателей в разрезе регионов. Эта проблема существенно осложняет процесс прогнозирования развития экономики регионов. Как следствие, региональные модели создаются редко и практически все они являются эконометрическими, статичными. Такие модели дают хорошие прогнозы по узкому набору показателей, но сложны в проектировании, не могут быть оперативно перестроены (например, для ввода дополнительного агента, продукта, связи и др.) и не применимы ко всем регионам (для различных регионов строятся разные модели).
Перечисленные проблемы решаются за счет применения нормативной CGE модели и метода идентификации параметров данной модели, который позволяет выявить недостающие из статистики параметры, опираясь на имеющуюся статистику с применением высокопроизводительных вычислений на современной суперкомпьютерной технике.
Преимущество проектирования CGE моделей заключается в том, что переход от математической модели к вычислительному эксперименту может быть осуществлён уже на ранних этапах моделирования, что позволяет заблаговременно вносить поправки в проект, а также частично решить проблемы возможности повторного использования частей существующих компьютерных моделей в качестве строительных блоков для моделей новых. CGE модели позволяют исследователю безболезненно вносить изменения - добавлять новых агентов и новые переменные, дополнять статистику и т.д., так как «расширяемость» и масштабируемость моделей была заложена в их сущность.
В диссертационной работе подробно рассмотрен частный случай вычислимых моделей общего равновесия (Computable General Equilibrium Model CGE) -
нормативная балансовая модель общего равновесия, представляющая собой систему балансовых динамических уравнений, в которой перераспределение запасов благ и денег описаны посредством нормативов. Такая модель применена для прогнозирования развития региональной экономики, а также для оценки экономических последствий политики Регионального Правительства.
Построенная модель показала на примере реальных исследований свою высокую продуктивность. Продолжение интеграции данной модели применительно к конкретным регионам является необходимым шагом на пути решения задач развития экономики России. Ведь модель позволяет заблаговременно и точно спрогнозировать эффекты от проводимой политики, принимаемых управленческих решений; выявить скрытые зависимости в экономике. При этом реализация модели не несет в себе высоких материальных затрат. А структура модели позволяет адаптировать модель к каждому из регионов РФ. Модель имеет большое число уравнений и параметров с довольно простой структурой, что позволяет с помощью высокопроизводительных вычислений сделать ее полезной для практического применения.
Таким образом, данная модель имеет особую практическую значимость и актуальность.
Целью диссертации являлись разработка численного метода решения задачи идентификации параметров нормативной вычислимой модели общего равновесия в условиях недостатка статистики с применением параллельных вычислений на суперкомпьютерах.
Работа включает в себя:
Создание единообразного описания нормативной модели экономики региона.
Аналитическое исследование предложенной модели и обоснование пригодности данной модели к прогнозированию региональной экономики.
Разработку устойчивых численных методов и алгоритмов поиска работоспособного варианта нормативной модели региональной экономики, их реализация в виде программного обеспечения.
Разработку алгоритмов для решения задачи идентификации нормативной модели с последующим анализом результатов.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
Построить общий вид нормативной вычислимой модели общего равновесия, провести аналитическое исследование модели с применением результатов теории автономных систем дифференциальных уравнений.
На основе классических численных методов решения задачи Копій разработать алгоритм построения работоспособного варианта нормативной вычислимой модели общего равновесия.
Реализовать полученные алгоритмы в виде компьютерных программ, осуществить верификацию путем сравнения результатов расчета со статистическими данными.
Построить численный метод решения задачи идентификации параметров нормативной модели общего равновесия в условиях недостатка статистики с применением параллельных вычислений на суперкомпьютерах
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Новизна проявляется в следующих элементах исследования:
^ Впервые предложен и исследован частный вид CGE модели, в котором потоки благ описаны с применением нормативов. Обоснована пригодность для массового использования при прогнозировании региональной экономики или сектора экономики.
^ Впервые проведено аналитическое исследование нормативной модели в окрестности состояния равновесия и приведена экономическая интерпретация полученных результатов.
^ Впервые проведено численное исследование нормативной модели с применением классических методов вычислений. Получен работоспособный вариант модели. Проведены сценарные рассчеты. Полученные результаты интерпретированы экономически.
^ Впервые построен алгоритм идентификации модели в условиях недостатка статистических данных с применением параллельных вычислений на суперкомпьютерных системах.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический и практический характер. Полученные результаты могут быть распространены на все регионы России. Проведенные сценарные расчеты позволят
определить оптимальную и сбалансированную политику для эффективного развития регионов.
Построенная модель показала на примере реальных исследований свою высокую продуктивность. Продолжение интеграции данной модели применительно к конкретным регионам является необходимым шагом на пути решения задач развития экономики России. Ведь модель позволяет заблаговременно и точно спрогнозировать эффекты от проводимой политики, принимаемых управленческих решений; выявить скрытые зависимости в экономике. При этом реализация модели не несет в себе высоких материальных затрат. А структура модели позволяет адаптировать модель к каждому из регионов РФ. Модель имеет большое число уравнений и параметров с довольно простой структурой, что позволяет с помощью высокопроизводительных вычислений сделать ее полезной для практического применения.
Таким образом, данная модель имеет особую практическую значимость и актуальность. А полученные результаты важны как для теории CGE моделирования, так и для методологии прогнозирования развития экономики. Они могут быть полезны:
^ Председателю Правительства РФ и Региональным Правительствам для реализации системы прогнозирования развития региональной экономики, а также для тестирования и анализа предложений по модернизации региональной экономики;
> специалистам РУДН, факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, ВятГУ и других ВУЗов для проведения специальных курсов связанных с математическим моделированием (например, по CGE моделированию) и в качестве пособия по практическому применению параллельных вычислений.
Обоснованность и достоверность полученных результатов
Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и проверенные методы: метод Эйлера численного решения задачи Коїли для системы дифференциальных уравнений, свойства автономных систем дифференциальных уравнений, принцип максимума Понтрягина, методы редукции задачи оптимального
управления к задаче нелинейного программирования, схема разностной аппроксимации задачи оптимального управления с первой степенью точности и т.п. Полученные автором результаты не содержат противоречий.
Достоверность результатов подтверждается их согласованностью с результатами других авторов, полученных ими при рассмотрении частных случаев CGE моделей. Также полученные на основании анализа численных экспериментов выводы не противоречат предположениям относительно исследуемых экономических систем, сделанными другими авторами на основании качественного анализа теоретических и статистических данных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
IV Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии" ЭКОМОД-2009.
Международная конференция по исследованию операций (ORM-2010).
53-я Всероссийская научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук».
Научный семинар студентов и аспирантов кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН на базе ВЦ РАН.
Научный семинар лаборатории ВЦ РАН в ВятГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, 3 из которых опубликованы в изданиях одобренными ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 100 наименований. Общий объем диссертации - 108 страниц.
Сущность, классификация и предназначение вычислимых моделей общего равновесия
На сегодняшний день нет общепринятого определения вычислимой модели общего равновесия. Однако, мы выяснили, что все CGE модели объеденены рядом специфичных только для данного типа моделей признаков. П. Диксон и Б. Парментер приводят определение CGE-моделей, группируя их отличительные признаки следующим образом [62]:
Во-первых, эти модели характеризуют поведение экономических агентов: правительств, домашних хозяйств как агентов, максимизирующих полезность, и фирм как агентов, максимизирующих прибыль или минимизирующих издержки. Такие модели подчеркивают роль влияния товара и ценового фактора на потребление и производственные решения домашних хозяйств и фирм. Они также могут включать характеристики оптимизации, позволяющие описать поведение правительств, торговых союзов, инвесторов, импортеров и экспортеров.
Во-вторых, эти модели описывают спрос и предложение, сформированные различными экономическими агентами, определяют цены на товары и факторы производства. Для каждого товара и фактора применяются уравнения, гарантирующие, что цены формируются таким образом, чтобы спрос всех агентов не превысил объема предложения. Тем самым они используют допущение об общем рыночном равновесии.
В-третьих, эти модели дают численные результаты (т. е. являются вычислимыми). Коэффициенты и параметры в уравнениях оцениваются на основании базы данных. Центральным ядром базы данных CGE-модели обычно являются таблицы «затраты - выпуск» за данный год, показывающие, как распределяются потоки товаров и услуг между отраслями промышленности, домашними хозяйствами, правительствами, импортерами и экспортерами.
Согласно определению Кехо и Прескотта [80], вычислимая модель общего равновесия представляет собой систему уравнений модели типа Эрроу-Дебре, решением которой является общее экономическое равновесие, которое достигается засчет уравновешивания спроса и предложения на рынках товаров и услуг, представленных в модели. Прикладной характер моделей обеспечивается за счет использования в модели данных экономической статистики для получения макроэкономического или отраслевого прогноза или оценки эффектов экономической политики.
Согласно определению Яна Су Винга (Бостонский университет) [76], «вычислимые модели общего равновесия - это численное моделирование, которое объединяет абстрактную теорию общего равновесия, предложенную Эрроу и Дебре, с реальными экономическими данными, чтобы в дальнейшем получить численные значения спроса, предложения и цен, которые устанавливают равновесие на всех рассматриваемых рынках. Вычислимые модели общего равновесия - это стандартный инструмент широко используемый в эмпирических исследованиях для оценки общего изменения благосостояния и перераспределения богатства, которое произойдет в результате проведения политики, включающей в себя одновременное применение большого числа инструментов (налогов, субсидий, квот, трансфертов и т.д.)".
По своей сути любая CGE модель представляет собой систему уравнений, решением которой является общее экономическое равновесие. Чаще всего под равнвесием в CGE модели понимается уравновешивание спроса и предложения на рынках товаров и услуг, рассматриваемых в модели. На практике модельное равновесие достигается путем итеративного пересчета с помощью прикладных пакетов. Конечно, реальное состояние исследуемой экономической системы может быть далеко от равновесия, и модель является лишь некоторой идеализацией реальных объектов, но при этом технология вычислений позволяет имитировать процесс движения к равновесию. Это позволяет, к примеру, выявить в случае если реальные цены неравновесны, причину не выполнения условий равновесия, и оценить - как далеко еще до равновесия [23].
Помимо системы уравнений, описывающей равновесие на рынках, важной составной частью модели CGE является база данных (как правило, очень детализированная), которая состоит из следующих элементов:
Из таблиц «затраты-выпуски» или матрицы финансовых потоков -Social Accounting Matrix (SAM). Обычно в качестве базы данных для создания CGE моделей используют матрицу финансовых потоков (известную в иностранной литературе как Social Accounting Matrix или SAM) показывающую балансы расходов и доходов основных экономических агентов в базисном году. По своей сути SAM является расширением таблицы межотраслевого баланса путем добавления в нее финансовых результатов других экономических агентов -потребителей и правительств [1];
Из эластичностей - безразмерных параметров, призванных измерять чувствительность поведения агентов к различным изменениям экономической среды. Среди них - эластичности спроса домохозяйств по доходу, эластичности замещения факторов производства, эластичности Армингтона - показывающие степень заменимости товаров, произведенных в разных странах.
Важнейшая отличительная черта модели общего равновесия состоит в обязательности соблюдения в ней условий баланса, - все блага без остатка распределены между агентами, так что каждый из них в каждый момент времени обладает некоторым запасом блага, и все, что уходит от одного агента, должно обязательно попадать к другим. Это требование должно выполняться для всех видов благ, участвующих в модели.
В своей работе по классификации вычислимых моделей общего равновесия Тишен [99] выделяет две основных группы CGE моделей: макро CGE модели и модели вальрасовского типа. Модели вальрасовского типа являются практической реализаций теории общего экономического равновесия Вальраса. Многие авторы в качестве критики данного типа отмечают, что вальрасовские модели не отражают реально существующую экономику, они лишь являются инструментом, позволяющим проводить анализ последствий определенной экономической политики. Моделей вальрасовского типа создано существенно меньше, чем макро CGE моделей. К чистым вальрасовским моделям, например, можно отнести статическую модель мировой торговли проекта GTAP (работа Томаса Хертеля [75]). Данная модель была создана для анализа и количественной оценки влияния внешнеторговой политики отдельных крупных стран на мировую торговлю и мировую экономику.
Как уже упоминалось ранее, CGE модели различаются по теоретическим предпосылкам, лежащим в их основе. В соответствии с теоретическими предпосылками Тишен выделяет неоклассические CGE модели (инвестиции уравновешиваются со сбережениями на уровне, обеспечивающем полную занятость), кейнсианские (инвестиции могут быть на уровне, не обеспечивающем полную занятость, необходимы государственные расходы и налоги, помогающие уравновесить рынок заемных средств), неокейнсианские (жесткость номинальной зарплаты, несовершенная конкуренция) и др.
В качестве альтернативы приведенной выше классификации по теоретическими предпосылками можно использовать классификацию CGE моделей по способу оценивания параметров, входящих в модель. Параметры CGE модели можно оценивать с помощью процедуры калибровки. При этом параметры модели калибруются так, чтобы значения эндогенных переменных в модели совпадали со статистическими значениями. С другой стороны могут быть исползованы эконометрические методы оценки параметров модели.
Вычислимые модели общего равновесия также можно классифицировать по региональной структуре. Исследователи выделяют локальные, мультирегиональные и глобальные модели. Локальные модели описывают экономику отдельного региона (например, одну страну [52] или один из регионов страны [83]). В мультирегиональных моделях описывается более масштабная система, разбитая на несколько отдельных блоков (например, секторы экономики). Мультирегиональной можно назвать модель страны, разбитой на регионы или на секторы экономики, либо модель взаимодействия группы стран. И, наконец, глобальные модели описывают всю мировую экономику, при этом чаще всего модель имеет внутреннюю многосекторную структуру. Локальные и региональные модели, как правило, используются для анализа последствий политики, проводимой в отдельно взятой стране (либерализация внешней торговли, налоговая реформа и т.д.). Глобальные - для анализа процессов глобализации, создания торговых блоков, истощения природных ресурсов на планете, последствий принятия Киотского протокола и других проблем, связанных с экологией.
Ещё одним типом прикладных моделей общего равновесия, широко используемых в качестве инструмента прогнозирования, являются динамические стохастические модели общего равновесия. Несмотря на то, что основное внимание в таких моделях уделяется не столько долгосрочной, сколько среднесрочной динамике экономики (3-5 лет), с дополнительными предпосылками они применимы и для прогнозирования более длительных периодов (10 лет). Кроме того, использование подобных моделей может позволить более точно оценить динамику среднесрочных колебаний, способных в перспективе привести к сдвигу долгосрочного тренда.
Зарождение динамических стохастических моделей общего равновесия (DSGE) произошло в работах Лукаса, Кидлэнда и Прескотта [87]. Эти исследователи предложили использовать CGE модели для изучения деловых циклов. В результате появились модели реальных деловых циклов. Эти модели оказались очень полезным инструментом для изучения факторов экономического цикла. С другой стороны они были слабо приспособлены для прогнозирования (т.к. данные модели не приспособлены для моделирования кратко- и среднесрочных эффектов экономической политики).
Вскоре DSGE модели первого поколения были доработаны. Например, эти модели стали включать предпосылки об издержках установки инвестиционного оборудования ([56], [82]), о восприятии сигналов и обучения ([58], [60], [83]), об агрегировании агентов в пространстве и времени ([57], [59], [90]), об эндогенных технологических прогрессах ([74], [79], [98]) и неоднородности информации [97]. Это повлекло значительное усложнение усовершенствованных DSGE моделей в интерпретации. Позже было показано ([81], [86]), что реальные шоковые эффекты как основной источник кратко- и среднесрочных экономических колебаний не обладают достаточной объясняющей силой.
Для дополнения реальных шоковых эффектов DSGE модели были вновь усовершенствованы, чтобы отражать не только базовые предпосылки модели общего равновесия, но и среднесрочные монетарные проблемы, связанные с трансмиссионным механизмом и несовершенной структурой рынков, в том числе финансовых. Модели DSGE с предпосылками «новой кейнсианской» (salt water) макроэкономической теории в значительно большей степени подходили для анализа эффектов экономической политики, чем классические модели реального делового цикла [45].
Балансовая нормативная модель экономики с учетом денег, факторов производства при наличии налогообложения и теневого сектора
Нормативная балансовая модель общего равновесия с учетом запасов благ и денег при наличии налогообложения и теневого сектора является частным случаем CGE модели. Эта частная модель учитывает потоки благ, зарегистрированные в используемых статистических матрицах. Таким образом модель как бы следует за факторами, действиями, предметами потребления в соответствии со статистикой. Структурно модель представляет собой набор дифференциальных и стационарных уравнений, многие из которых нелинейны. Уравнения описывают поведение различных агентов. В нормативной вычислимой модели это поведение отражено в установленных долях перераспределения благ между агентами с помощью постоянных коэффициентов - нормативов. Уравнения также включают ряд ограничений, которые должны быть удовлетворены системой в целом.
Рассмотрим конкретную модель, реализующую подход вычислимого моделирования для рынка, не находящегося априори в равновесии. В данном разделе описаны экономические агенты и рынки, на которых происходит взаимодействие между ними; формально описано взаимодействие между агентами на этих рынках; представлено математическое описание модели.
При разработке модели предполагалась некая простота математического описания агентов: в частности, считалось, что все потоки между агентами являются некими постоянными долями от запасов материальных благ и денег агентов. С другой стороны, сложность и полнота рассмотрения взаимодействий между агентами привела к тому, что сами уравнения на изменение этих запасов и на начальные данные, как бы просто они ни создавались, довольно громоздки: всего в модели N параметров и М переменных, при этом все они имеют некий понятный экономический смысл. Именно это дало надежду на то, что модель удастся согласовать со статистическими данными за счет, возможно, активного использования вычислительной техники.
В модели рассматриваются семь экономических агентов: производитель X (условно считается перерабатывающим сектором промышленности) и производитель Y (добывающий сектор); соответствующие им теневые секторы X (теневая доля сектора X) и Y (теневая доля сектора Y); население L; посредник, или «продавец» Т; государство G; внешний рынок О; банковская система В (центральный банк).
Производители
Каждый агент-производитель производит продукт своей отрасли за счёт двух производственных факторов - труда и капитала. В качестве промежуточных продуктов используется как собственный продукт, так и продукт другой отрасли. Таким образом, у каждого производителя образуется четыре запаса: запас собственного продукта Q, запас продукта другой отрасли Q, запас капитала g и запас труда Q; кроме того, каждый агент в модели обладает денежным запасом Wm.
Запас собственного продукта увеличивается в результате производства, в качестве производственной функции в модели выбрана функция Кобба-Дугласа следующего вида
Уменьшение запаса собственного продукта происходит по следующим причинам:
1. Собственное производственное потребление в качестве промежуточного продукта. В данной модели принято, что объём этого потребления составляет фиксированную долю общего запаса: аб," .
2. Собственное потребление в качестве капиталообразующего продукта. В модели принято, что на капиталообразование выделяется фиксированная часть денежного запаса b"KWm. Известна также матрица С фондоёмкостей - норм затрат продуктов на создание единицы капиталообразующего продукта агента т.
3. Экспорт задаётся как фиксированная доля запаса: am Qmm.
4. Поставки торговому агенту Т задаются как фиксированная доля запаса: offiS Запас продукта смежной отрасли увеличивается за счёт покупки у агента-продавца, на это выделяется часть денежного запаса bf Wm. В дальнейшем этот продукт расходуется на производство основного продукта отрасли {a"mQ"m) и на образование капитала
Роль агента «население» в модели заключается в том, что, с одной стороны, оно предоставляет трудовые ресурсы производителям, с другой - потребляет продукты отраслей производства. Кроме того, как и все остальные агенты, оно участвует в перераспределении денежных запасов через механизмы налогообложения и социальных выплат.
Запас квалифицированного труда, который население может предоставить отрасли производства m, gf", считается постоянной величиной, определяемой из статистики на начальном шаге. Количество труда, фактически передаваемое отрасли за единичный период, не должно превышать эту величину
Государство
Роль государства в данной модели заключается в перераспределении доходов между производителями и потребителями, осуществляемом через механизм налогов и социальных трансфертов. Единственным запасом государства является денежный запас, изменяющийся по следующему закону
Банковская система (Центральный банк)
Банковские активы состоят из золото-валютных резервов R(t) и суммарной задолженности секторов Z(t), а пассивы - из суммарных запасов денег у контрагентов банковской системы W(t), которые подчиняются финансовому балансу банковской системы
Таким образом, построена достаточно гибкая модель, которая позволяет подробно описывать региональную экономику (или сектор экономики) с использованием одного или нескольких секторов.
На основе данной модели пострены региональные модели Кировской [13] и Нижегородской области [12], а также модель Алтайского края [33] и добывающего сектора экономики Монголии [14].
Для построения каждой из вышеперечисленных моделей сначала была проведена формальная адаптация модели к исследуемой экономической системе. Для выполнения адаптации необходимо выделить основные наиболее важные для анализа объекты экономической системы, а также их статистические характеристики и экономические показатели. Также важным шагом при адаптации модели является выбор агентов модели. На основании проведенного анализа, выбора главных объектов и показателей вносятся соответствующие коррективы в уравнения модели. Затем над моделью проводились численные эксперименты, чтобы найти работоспособный вариант, качественно верно отражающий процессы, происходящие в экономике.
Результаты численных экспериментов над нормативной моделью Кировской области
Как уже было отмечено выше нормативная вычислимая модель была настроена под условия Кировской области и программно реализована на языке программирования C++ [34]. При этом в модель заложен определенный позитивный сценарий (приток инвестиций и противокоррупционная политика Правительства региона).
Для получения работоспособного варианта модели проведен сбор, анализ и структуризация статистических данных. На базе статистики заданы начальные значения и параметры модели. Неизвестные из статистики параметры модели косвенно определены в ходе решения задачи идентификации. Для проведения качественных и количественных расчетов на модели необходимо провести идентификацию ее внешних параметров. Большая часть параметров не может быть оценена напрямую из данных экономической статистики, для их идентификации нужно сравнивать полученные при расчетах на модели временные ряды макропоказателей области со статистическими временными рядами этих макропоказателей. Технология идентификации параметров предусматривает высокоскоростные параллельные вычисления на кластерной компьютерной системе [29]. В качестве критериев близости временных рядов можно использовать индекс несовпадения Тейла и недавно построенный на основе вейвлет коэффициентов критерий близости [7], который лучше коэффициента корреляции Пирсона отражает связь нелинейных временных рядов.
Программная реализация структурно построена из четырех блоков: присвоение значений параметрам и начальным значениям переменных модели, описание алгоритма численного решения модельной системы уравнений, сравнение расчетных данных с имеющейся статистикой, опеределение оптимальных значений неизвестных параметров. Ниже приведены результаты численных экспериментов с работоспособным вариантом модели Кировской области. В данный листинг входит базовый вариант модели Кировской области - трехсекторная нормативная балансовая математическая модель региональной экономики, учитывающая налогообложение и теневой оборот. Динамика материальных и финансовых балансов выражается через изменение запасов продуктов, факторов производства и денег. Модель разработана для проведения имитационных экспериментов по анализу инновационного потенциала и инновационной инфраструктуры Кировской области с целью разработки предложений по активизации инновационной деятельности. Три сектора в модели экономики Кировской области представлены лесопромышленным комплексом (X), комплексом новых отраслей в биотехнологии и химии (Y), объединением оставшихся отраслей (Z).
Модель качественно верно отражаюет процессы, происходящие в экономике Кировской области. Полученные результаты согласуются реальным состоянием экономики региона. Лесопромышленный комплекс Кировской области играет существенную роль в экономике, поскольку леса Кировской области занимают 67% ее территории, из них 76,5% лесного фонда находятся в ведении Кировского управления лесами МПР России. Область является одной из ведущих в России по общему запасу древесины. В области интегрированы сырьевые и лесоперерабатывающие производства, обладающие мощным производственным и экспортным потенциалом. Однако основу ЛПК составляют лесозаготовительные предприятия. Область имеет большой экспортный потенциал в части поставок за границу изделий из древесины, в том числе пиломатериалов, фанеры, сигаретной бумаги, березовых и хвойных балансов и прочей лесопродукции. Экспорт продукции ЛПК Кировской области на протяжении последних лет составлял в среднем от 22 до 28 % совокупного экспорта области в стоимостном выражении, и после продукции нефтехимического комплекса в товарной структуре региона стабильно занимает второе место. Лесобумажная продукция экспортируется в 55 стран мира. Численные эксперименты с построенной выше моделью экономики показали, что существует область параметров модели, в которой экономические макропоказатели модели принимают осмысленные значения: положительные по смыслу экономические показатели положительны, значения макропоказателей отличаются от статистических аналогов не более чем на порядок. Это значит, что построенную здесь модель и ее блоки можно использовать в построении математических моделей других экономических систем, а также как в более детальных моделях, так и в более сжатых. Таким образом, модель можно использовать в дальнейшей работе, что называют работоспособностью модели.
Итак, в базовом варианте развитие экономики региона сопрвождается ростом цен на продукцию легалььного и теневого оборота в каждом из секторов экономики региона.
Рисунок 1.11 показывает, что сектора экономики реагируют на рост цен и индексируют заработную плату своих сотрудников. При этом политика производственных отраслей такова, что темп роста заработных плат в чистых отраслях выше, чем в теневом секторе. Однако, в абсолютном выражении зарплата в теневой части сектора всетаки выше, поэтому вновь приходящие трудовые ресурсы предпочитаю работать в теневой части секторов.
Рисунки 1.12 — 1.13 подтверждают правильность выбранной стратегии по применению штрафов за выявление теневых сделок на рынках лесопромышленности и биотехнологий. Применение жестких санкций ведет повышению темпа роста чистых (налогооблагамых) денежных средств, при этом сохраняется некий уровень в теневом секторе, в который правительство не может проникнуть.
Рисунок 1.16 как раз отражает часть позитивного сценария, заложенного в модель, которая касается вливания инвестиций в лесодобывающий сектор и сектор биотехнологий. Видно, что политика увеличения инвестиций, если ее удастся организовать, способствует поддержке достаточного уровня инвестиций и в дальнейшем движении экономики.
Правительства региона по отношению к представителям крупного бизнеса, а также к домашним хозяйствам региона. Из рисунка видно, что год от года происходит рост государственных трансфертов. Рост государственных трансфертов возможен за счет роста доходов бюджета, так что проводимая региональным правительством политика способствует росту экономики.
Общая ситуация также позитивно сказывается на банковской сфере. Из рисунка 1.19 мы наблюдаем снижение процентных ставок по кредитам в регионе.
Приведенный на рисунках вариант расчетов показывает работоспособность модели. Напомним, что работоспособность означает, что динамику экономических показателей можно проинтерпретировать, а модель использовать в дальнейших исследованиях. Возможно, модель можно усовершенствовать, в зависимости от задач, стоящих перед исследователем регтональной экономики. Однако, общий вывод таков: требуются дополнительные усилия для сбора статистических данных и приведения результатов расчетов в соответствие с ними в результате проведения трудоемких процедур идентификации. Тем не менее, из рисунков 1.1 - 1.19 видно, что макропоказатели принимают экономически осмысленные значения. Это значит, что внешние параметры этого варианта можно взять за основу для более точной идентификации модели в будущем, а сам вариант использовать как базовый для проведения качественных сценарных расчетов.
Также для усложнения задачи рассмотрим следующий сценарий 1. В этом сценарии трансферты консолидированного бюджета Кировской области в экономику области увеличиваются с 2007 года, и это увеличение происходит направленным образом: все дополнительные бюджетные трансферты поступают в сектор биотехнологий в расчете на поддержку инноваций. Но при этом структура расходов отрасли биотехнологий (включающей в нашем случае науку, научное обслуживание и образование) остается неизменной. А именно, пусть бюджетные трансферты в сектор биотехнологий возрастут с 2% до 22% от имеющегося запаса денежных средств на счетах консолидированного бюджета Кировской области.
Для наглядного представления изменений в сценарном расчете по сравнению с базовым сценарием удобно использовать вариацию изменения макропоказателей, выраженную в процентах. Если B(t) - значение некоторого макропоказателя в момент времени t в базовом сценарии, a S(t) - значение этого же макропоказателя в текущем сценарии, то вариация изменения макропоказателя U(t) в это момент времени будет
Предложение по совершенствованию методов решения задачи идентификации с применением параллельных методов поиска глобального оптимума
Для улучшения результатов и повышения быстродействия можно воспользоваться результатами из области решения задач многоэкстремальной (глобальной) оптимизации. Приведем предлагаемую Нижегородской научной школой постановку данной задачи [12]: где целевая функция cp(Z) удовлетворяет условию Липшица с соответствующей константой L, а именно
Используя кривые типа развертки Пеано Z(x), однозначно отображающие отрезок [0, 1] на N-мерный гиперкуб Р: таким образом, исходную задачу можно редуцировать к следующей одномерной задаче:
Рассматриваемая схема редукции размерности сопоставляет многомерной задаче с липшицевой минимизируемой функцией одномерную задачу, в которой целевая функция удовлетворяет равномерному условию Гельдера [42], т.е. где N есть размерность исходной многомерной задачи, а коэффициент К связан с константой Липшица L исходной задачи соотношением К AL-JN .
Редукция многомерных задач к одномерным с помощью разверток имеет такие важные свойства, как непрерывность и сохранение равномерной ограниченности разностей функций при ограниченности вариации аргумента. Однако при этом происходит потеря части информации о близости точек в многомерном пространстве, так как точка хє[0Д] имеет лишь левых и правых соседей, а соответствующая ей точка Z(x) є RN имеет соседей по 2N направлениям. А при использовании отображений типа кривой Пеано близким в N -мерном пространстве образам Z ,Z" могут соответствовать достаточно далекие прообразы х ,х" на отрезке [0,1]. Как результат, единственной точке глобального минимума в многомерной задаче соответствует несколько (не более 2N) локальных экстремумов в одномерной задаче, что, естественно, ухудшает свойства одномерной задачи.
Сохранить часть информации о близости точек позволяет использование множества отображений вместо применения единственной кривой Пеано Z(x) . Каждая кривая Пеано Z (x) є Zi(x) может быть получена в результате поворота развертки вокруг начала координат. При этом найдется отображение Z (x)eZL(x) , которое точкам многомерного пространства Z ,Z" , которым при исходном отображении соответствовали достаточно далекие прообразы на отрезке [0,1], будет сопоставлять более близкие прообразы х ,х" . Максимальное число различных поворотов развертки, отображающей N-мерный гиперкуб на одномерный отрезок, составляет 2N. Использование всех из них является избыточным. В используемой схеме [4] преобразование развертки осуществляется в виде поворота на угол ±л/2 в каждой из координатных плоскостей. Число подобных пар поворотов определяется числом координатных плоскостей пространства, которое равно C2N =N(N-\)/2, а общее число преобразований будет равно N(N-1). Учитывая исходное отображение, приходим к заключению, что данный способ позволяет строить до N(N-1)+1 разверток для отображения N-мерной области на соответствующие одномерные отрезки.
Использование множества отображений приводит к формированию соответствующего множества одномерных многоэкстремальных задач
Каждая задача из данного набора может решаться независимо, при этом любое вычисленное значение z = p(y ),y = у (х ) функции р{у) в і-й задаче может интерпретироваться как вычисление значения г = р(у ), у = у" (х") для любой другой s-й задачи без повторных трудоемких вычислений функции р(у).
Подобное информационное единство позволяет решать исходную задачу (54) путем параллельного решения индексным методом L задач вида (79) на наборе отрезков [0,1]. Каждая одномерная задача решается на отдельном процессоре. Для организации взаимодействия на каждом процессоре создается L очередей, в которые процессоры помещают информацию о выполненных итерациях. Используемая схема не содержит какого-либо единого управляющего процессора, что увеличивает надежность выполняемых вычислений.
Локально-адаптивный алгоритм является модификацией индексного метода глобального поиска, состоящей в том, что, начиная с некоторого шага, при выборе точек итераций используется дополнительная информация - текущие оценки плотности вероятности для расположения точки искомого оптимума. Оценки плотности определяются по значениям функционалов задачи, вычисленных в точках выполненных итераций. Таким образом, плотность переоценивается после каждой итерации, причем максимумы плотности соответствуют окрестностям точек текущих оптимальных значений. Существенным параметром этого метода является целое число 0 а 30, влияющее на характер сходимости. При а = 0 поиск носит глобальный характер, при а = 30 - локальный.
Смешанный алгоритм является модификацией индексного метода глобального поиска, состоящей в том, что, начиная с некоторого шага итерации, определяемые правилами индексного метода, чередуются с итерациями, определяемыми правилами локально - адаптивного алгоритма. Частота чередования является параметром метода.
Улучшен предложенный ранее подход к распараллеливанию поисковых методов на многопроцессорных кластерных системах, не требующий синхронизации работы процессоров и характеризуемый высокими показателями масштабируемости и надежности, впервые позволяющий эффективно использовать сотни процессоров для методов глобальной оптимизации [44], имеющих серьезные неявные зависимости по данным. Подход основан на новом способе построения множества отображений типа кривых Пеано [4].
Оказалось, что поведение макропоказателей региональной экономики существенно зависит от политики, проводимой Правительством региона. При осуществлении задуманной политики повышения производительности факторов производства за счет инновационной деятельности выпуски продукции и доходы всех агентов растут, однако, наличие теневой составляющей в производстве сохраняет высокие темпы инфляции.
Построена многосекторная динамическая балансовая нормативная модель региональной экономики Нижегородской области. Ее идентификация с помощью эффективных параллельных методов глобальной оптимизации на вычислительном кластере создают условия к проведению сценарных расчетов по прогнозированию экономического развития области.
С целью идентификации более сложных вариантов математических моделей экономики будут разработаны новые способы ускорения сходимости параллельных методов глобальной оптимизации:
внедрение методики локального уточнения рекордов в параллельный индексный метод с сохранением балансировки вычислительной нагрузки;
построение новой адаптивной схемы редукции размерности на основе разверток типа кривых Пеано с растущим уровнем детализации.
В результате на стыке двух научных направлений получена новая методика идентификации моделей региональной экономики с применением эффективных алгоритмов глобальной оптимизации.
