Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Устойчивость разностных схем с искусственной дисперсией для уравнения типа конвективной диффузии 14
1.1 Постановка разностной задачи для уравнения конвективной диффузии с малым параметром при старшей производной . 14
1.2 Построение разностных схем для уравнения конвективной диффузии 15
1.3 Исследование устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией 18
1.4 Выводы 23
Глава 2. Об одной задаче для системы параболических уравнений со специальными граничными условиями 24
2.1 Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов полупроводников из жидкой фазы 24
2.2 Решение модельной дифференциальной задачи 26
2.3 Исследование устойчивости разностной задачи 43
2.4 Результаты численных расчетов 61
2.5 Выводы 62
Глава 3. Асимптотическая устойчивость разностной схемы для одной краевой задачи 68
3.1 Понятие асимптотической устойчивости 68
3.2 Вычисление точного решения разностной схемы 70
3.3 Исследование асимптотической устойчивости и точности разностной схемы 81
3.4 Описание численных расчетов 86
3.5 Выводы 89
Глава 4. Численное моделирование эпитаксиального выращивания тройных полупроводниковых соединений 90
4.1 Физико-химические основы процесса 90
4.2 Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов CdyHgi-уТе из жидкой фазы 90
4.3 Моделирование эпитаксиальпого выращивания твердых растворов AlyGai-yAs из жидкой фазы 108
4.4 Выводы 113
Заключение 119
- Построение разностных схем для уравнения конвективной диффузии
- Решение модельной дифференциальной задачи
- Исследование асимптотической устойчивости и точности разностной схемы
- Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов CdyHgi-уТе из жидкой фазы
Введение к работе
Разностные схемы, используемые при математическом моделировании различных явлений, процессов и конструкций, должны обладать свойством устойчивости. Общая теория устойчивости линейных разностных схем была построена А.А. Самарским в середине 1960-х гг. Дальнейшее развитие этой теории представлено в работах многих авторов (Самарский АА, Гу-лин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973 г. и др.). Однако, для нелинейных несамосопряженных задач в настоящее время не существует законченной теории устойчивости разностных схем. В данной работе проводится исследование устойчивости разностных схем для некоторых несамосопряженных задач параболического типа с нелинейными граничными условиями.
Актуальность проблемы
В диссертации рассматривается класс задач параболического типа, возникающих при математическом моделировании процесса выращивания полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Такого рода исследования на протяжении ряда лет проводятся коллективом сотрудников Института Прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Важное значение этих работ обусловлено практическими потребностями производства полупроводниковых структур для электронной промышленности. В математическом отношении эти задачи описываются системой нелинейных уравнений, включающей уравнения Навье-Стокса и уравнения конвективной диффузии.
Указанный класс задач обладает рядом математических особенностей, вызывающих трудности при их исследовании и решении. К их числу относятся сложная нелинейная функциональная зависимость между концентрациями растворенных веществ на границе раздела фаз, а также преобладание конвективных процессов над диффузионными. Это приводит к наличию в рассматриваемых системах уравнений нелинейных граничных условий нестандартного вида и малых параметров при старших производных.
Для задачи об эпитаксиальном выращивании полупроводниковых структур были построены различные дифференциальные и разностные модели (Мажорова О.С. Попов Ю.П., Похилко В.И. Исследование алгоритмов численного решения систем параболических уравнений с нелинейными гранич-
ными условиями //Дифф уравнения, 1987, т 23, N 7, ее 1240 -1250) Однако, в процессе расчетов обнаружилась вычислительная неустойчивость или недостаточная точность некоторых использованных алгоритмов Поэтому возникла необходимость в теоретическом анализе свойств разностных схем, прежде всего с точки зрения их устойчивости, а также в построении на основе этого анализа надежных вычислительных алгоритмов для расчета рассматриваемого класса задач Настоящая работа посвящена этой проблематике что обуславливает ее актуальность Опыт использования методов математического моделирования для изучения процессов массопереноса в многокомпонентных средах с фазовыми переходами показал, что свойства алгоритма и, в первую очередь его устойчивость, в значительной степени зависят от способа численной реализации условий на границе раздела фаз
Теоретический и численный анализ дифференциальной системы уравнений и разностных схем в полной нелинейной постановке обычно затруднен, поэтому традиционно принятым является изучение линеаризованных моделей, сохраняющих характерные особенности реальной задачи Исследование устойчивости линеаризованной модели позволило из всей совокупности возможных вычислительных методов выбрать наиболее надежные, подходящие для решения исходной нелинейной системы
В диссертации приведен расчет задачи о получении тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы Показано, что разностные методы, неусюичивые в линейном случае, дают неправильные результаты и при расчете исходной нелинейной системы Напротив, с помощью устойчивых в модельном случае алгоритмов удаегся получить результаты, согласующиеся с физическими представлениями о процессе во всех рассмотренных областях изменения параметров
Цели работы
Исследование в линейном приближении устойчивости разностных схем для обоснования алгоритмов численною решения некоторых параболических задач нового класса, возникающих при моделировании технологических процессов получения полупроводниковых материалов и характеризующихся наличием малого параметра при старшей производной и нелинейными граничными условиями, построение надежных вычислительных алгоритмов для указанного класса задач, демонстрация их преимуществ на примере расчета полной задачи в нелинейной постановке.
Методы исследований
В работе используются теория разностных схем, методы математического анализа, математической физики и математического моделирования.
Научная новизна работы
Установлены достаточные условия устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение типа конвективной диффузии. Для линеаризованной системы параболических уравнений, моделирующей процесс выращивания тройных полупроводниковых соединений из жидкой фазы, найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми или неустойчивыми. Для чисто неявной схемы исследована также асимптотическая устойчивость. Теоретические результаты, найденные в линейном приближении, подтрерждены расчетами реальной нелинейной задачи.
Практическая значимость
Указан класс разностных схем. который гарантирует получение надежных результатов при численном решении задач параболического типа, моделирующих процесс выращивания тройных полупроводниковьж соединений из жидкой фазы.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
расширенном заседании кафедры Вычислительных методов и лаборатории Математического моделирования в физике на факультете Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (9 декабря 1998г.);
семинаре в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН (8 декабря 2003г.);
заседании кафедры Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова (11 февраля 2004г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем работы
Построение разностных схем для уравнения конвективной диффузии
Задача аппроксимации конвективных членов со вторым порядком точности, не вносящей, подобно (1.3), в численное решение нефизических высокочастотных осцилляции, ставится во многих работах. Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса приведен в [34]. Обзор зарубежных источников, в которых рассматриваются численные алгоритмы для уравнения типа конвективной диффузии, содержится в [33]. Отметим отдельные широко распространенные схемы.
В [24] рассматриваются гибридные схемы, основанные на комбинировании определенным образом центрально-разностной и односторонней ап проксимаций. В [64, 70] анализируются экспоненциальные дифференциальные схемы (другое их название - оптимальные схемы с направленными разностями). Недостатки таких схем указаны в [64]: вычисление экспонент значительно усложняет расчетный алгоритм, схема не является точной при расчете многомерных задач, наличии внешних источников и т.д. Известно, что гибридные схемы и экспоненциальные дифференциальные схемы эквивалентны схемам первого порядка точности с направленными разностями [33].
В [20] рассматриваются QUICK-схемы. Простейшие QUICK-алгоритмы (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) строятся на 4-хточечном шаблоне по пространству и имеют третий порядок точности. Более общая формулировка 4-хточечной аппроксимации конвективных членов предлагается в [27]. Отметим, что QUICK-алгоритмы являются фактически схемами с регуляризатором в виде третьей пространственной производной.
В настоящее время широко используются схемы со вторым порядком аппроксимации пространственных производных, такие, как классический метод Лакса - Вендроффа [27], в которые для подавления нефизических осцилляции введена искусственная диссипация 4-го порядка. В качестве одного из самых перспективных методов в [33] используется схема с так называемым универсальным ограничителем осцилляции. Техника ограничения осцилляции основывается на использовании в гладких областях изменения функции направленных разностей третьего порядка, а в областях больших градиентов - скомбинированных определенным образом направленных и центральных разностей. Отмечается, что для двух- и трехмерных случаев предложенный способ дает лучшие результаты, чем гибридные и экспоненциальные схемы, а также другие рассмотренные в [33] разностные алгоритмы.
В [66] указывается, что для подавления осцилляции, возникающих при аппроксимации конвективных членов, можно применить сглаживание, добавив, например, в разностную схему члены, содержащие разности четного порядка. В то же время отмечается, что увеличение диссипации для погашения пилообразных колебаний не должно ухудшать порядок аппроксимации разностной задачи.
В статье [23] предлагаются разностные уравнения с регуляризатором, за счет которого увеличивается локальная диффузия в схеме с центрально-разностной аппроксимацией или уменьшается влияние конвективных слагаемых в схеме с направленными разностями.
Другой способ, улучшающий точность схем в узких зонах больших градиентов, - преобразование координат, обеспечивающее достаточное сгущение сетки в погранслое [71]. Однако, с сложных многомерных и нелинейных задачах одно только сгущение сетки не предотвращает осцилляции в разностном решении.
Схемные диссипация и дисперсия, приводящие к недостаточной точности численного решения, выявляются на основе анализа дифференциального приближения [72, 27]. Дифференциальное приближение, или модифицированное уравнение, получается путем подстановки в разностную схему разложения в точке (ж,-, tj) искомой функции в ряд Тейлора. Известно [28], что дифференциальное приближение содержит в себе информацию как о дифференциальном уравнении, так и о разностной схеме. Рассматривая в модифицированном уравнении члены с наименьшими в ошибке аппроксимации производными четного и нечетного порядков, можно судить о дисси-пативных и дисперсионных свойствах разностного алгоритма. Добавление в схему слагаемого, содержащего третью пространственную производную и имеющего противоположный знак для компенсации схемной дисперсии, позволяет уменьшить ошибки аппроксимации дифференциального уравнения [72].
Следует отметить, что не существует универсальной разностной схемы, подходящей для всех задач. Применение того или иного разностного алгоритма определяется многими факторами, к которым относятся реально допустимая величина шага пространственной сетки, соотношение конвекции и диффузии, порядок требуемой точности и другие.
Решение модельной дифференциальной задачи
Численные расчеты показали, что для схемы 1 в области неустойчивости разностного решения при A l/d, d l, или Л 1/(22, d l, модуль точного решения, найденного из (3.6), убывает во времени, а модуль решения, рассчитанного методом прогонки, возрастает. В области устойчивости схемы 1 и для схемы 3 во всех рассмотренных вариантах оба решения практически совпадают.
Пусть Z?i=0,0597, Д =0,02, l/d=0,579, 1/ 22=0,335, Л=0,71, Лі 0,6313, т.е. А А\, Л=0,01, г=0,1. В случае схемы 1 имеем числа: р=1,67; 5=1,18; s=2,88; r=2,04; Re А=0,00851; в случае схемы 3- числа: р=1,616; 5=1,196; s=2,793; r=2,066; ReA=0,0073, которые и определяют начальные условия для применения метода прогонки к системе (2.25) - (2.31). Точное решение разностной задачи в случае схемы 1 немонотонно убывает по модулю во времени, а найденное с помощью метода прогонки - возрастает. Для схемы 3 - оба решения немонотонно убывают по модулю и совпадают между собой (рис. 3.3). Как было выяснено во второй главе, несовпадение решений в случае схемы 1 объясняется неустойчивостью этой схемы при данном 112 значении А: Л Лі -, A\ -z+ . v«y d l.
Выберем далее Л=0,03 из области, где обе схемы 1, 3 устойчивы. В этом случае числа A, / , Ц2 и оба решения (точное и численное) для схем 1, 3 практически совпадают (рис. 3.4). Это демонстрирует устойчивость численных алгоритмов, определяемых схемами 1, 3.
Для иллюстрации поведения разностного решения в области возрастающих по модулю со временем точных решений дифференциальной задачи зафиксируем Л=0,4; A(l/d2;l/d). Тогда в случае схемы 1 получаем характеристические числа и собственное значение: р=0; (/=0,6; s=0; г=1,035; Re А— — 0,00214, а в случае схемы 3: р=0; #=0,604; s=0; r=l,043; Re А= — 0,00218, которые и определяют начальные условия в системе (2.25) - (2.31). Оба решения разностной задачи - точное и численное - совпадают между собой с хорошей точностью (рис.3.5).
Таким образом, сравнение точного решения разностной задачи, найденного по формулам (3.6), и численного решения, определяемого с помощью метода прогонки, показало неустойчивость разностного алгоритма для схемы 1 в области изменения A: \A\ l/d, 2 1, и надежность получаемых по схеме 3 результатов при любых значениях параметров A, d.
В [10, с. 279] рассматривалась асимптотическая устойчивость численного решения классической задачи теплопроводности, все собственные функции которой убывают во времени по модулю. Однако, при моделировании сложных нестационарных процессов у системы дифференциальных уравнений могут быть и возрастающие по модулю гармоники. В таком случае также естественно требовать, чтобы решение в стадии регулярного реоіспма, определяемого первой собственной функцией разностной задачи, стремилось к асимптотике решения дифференциальной задачи как в области убывающих, так и в области возрастающих по модулю собственных функций.
Из анализа действительной части собственного числа разностной задачи (3.15) - (3.18) следует, что варьируя величину г, можно изменить не только модуль собственного числа А, но и знак Re А. Тем самым решение дифференциальной задачи в разностном случае может полностью исказиться.
Исследуем асимптотическую устойчивость схемы 3 в областях возрастающих и убывающих по модулю решений системы (2.1) - (2.5), соответствующих, для простоты изложения, чисто мнимым и действительным характеристическим числам. Область решений дифференциальной задачи, возрастающих со временем по модулю
В п. 2.2 показано, что растущие по модулю гармоники, отвечающие чисто мнимым характеристическим числам дифференциальной задачи, существуют при Ае ( -JJ; -.), d l или при Ае I -; - ), d l.
Из (3.17), (3.18) следует, что собственная функция разностной системы будет убывать по модулю в случае J2J 1, или ReA 0, и возрастать -при 1, или ReA 0. Рассмотрим предел \z\2 при h— 0. Учитывая то, что соотношения (3.9) - (3.10) при h— 0 в случае схемы 3 переходят в соответствующие уравнения для дифференциальной задачи, получаем, что
В системе (2.15) положим Pdif=0 и выпишем уравнение, которому удовлетворяет qdij: sh q — п sh aq=Q. Нетрудно получить приближенную оценку его корня: qdif q =j-.— Тй гАе У а определяются по формулам (2.14). Можно показать, что qdi/ q в рассматриваемой области изменения параметра А. Тогда, подставив в неравенство (3.24) вместо точного значения q Hf его приближение q, получим, что правая часть соотношения уменьшится. Далее, используя обозначения (2.14), неравенство (3.24) запишем в симметричном относительно коэффициентов і, D2 виде. Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее
Исследование асимптотической устойчивости и точности разностной схемы
Покажем также для шага по времени т=0,1 совпадение решений разностной и дифференциальной задач. Выберем параметры, отвечающие области асимптотической устойчивости и точности схемы 3. Пусть Z i=0,3; 2=0,47; А= - 5; Л=0,01. Тогда rf=0,799; l/d=l,25; l/d2=l,56 и =2,367, Pdt7=2,947. Из ограничения (3.28) получаем г 0,798. Собственная функция дифференциальной задачи и разностное решение при т=0,1; 0,2 совпадают с хорошей точностью (рис. 3.8,а-б) для всех рассчитанных моментов времени при ж=1 и во всех узлах пространственной сетки при =1.
В данной главе для разностной задачи (2.25)-(2.31), соответствующей схемам /Д вычислены первые собственные функции. Проанализировано влияние шагов сетки г и Л на первое собственное значение и характеристические числа разностной системы. Проведено сравнение первой собственной функции разностной задачи с численным решением, полученным методом прогонки по схемам 1 и 3. В результате этого показана неустойчивость схемы 1 в определенном диапазоне параметров задачи. Для чисто неявной схемы 3, реализованной методом матричной прогонки, изучены асимптотические устойчивость и точность численного решения. Установлено, что в области возрастающих со временем по модулю решений дифференциальной задачи чисто неявная разностная схема 3 не является асимптотически устойчивой; в области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи имеется диапазон изменения параметров, в котором разностная схема 3 не имеет асимптотической точности.
Однако, использование в практических расчетах чисто неявной схемы 3 представляется наиболее целесообразным, так как схемы 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми в определенных областях изменения параметров задачи. Вместе с тем, чисто неявная схема 3 может демонстрировать недостаточную точность в узком диапазоне параметров.
Метод жидкофазовой эпитаксии в настоящее время является широко распространенным промышленным способом получения полупроводниковых материалов. Основные варианты метода жидкофазовой эпитаксии рассматриваются в [47]. Особенности выращивания полупроводников в промышленных условиях обсуждаются в [85] - [87], [98]. Примерные схемы установок для жидкофазовой эпитаксии описаны в [88], [89]. Процесс выращивания полупроводниковых соединений методом жидкофазовой эпитаксии состоит в кристаллизации на подложке вещества, осажденного из раствора-расплава, в специальной ростовой камере. Кристаллизация на подложке происходит при охлаждении раствора-расплава. В зависимости от положения подложки различают горизонтальные и вертикальные системы. Схема горизонтальной ростовой камеры с расположением подложки внизу показана на рис. 4Л.
Полупроводниковые соединения типа A11 BVI на основе тройных твердых растворов СйуНду-уТе являются в настоящее время наиболее перспективными материалами. Изучению процесса эпитаксиального выращивания полупроводниковых соединений данного типа посвящено значительное число работ (см., например, [94]- [97]). Проведем расчет полной нелинейной задачи о выращивании твердых растворов CdyHgi yTe из жидкой фазы. Важное значение имеет вид разностной аппроксимации граничных условий, содержащих фазовую диаграмму и уравнение баланса частиц на границе раздела твердое - жидкое. При анализе линейного приближения этой задачи было выяснено, что способ разностной аппроксимации граничных условий в определенном диапазоне параметров задачи и шагов сетки существенно влияет на характер получаемых результатов.
Приведем математическую постановку задачи эпитаксиального выращивания твердых растворов CdyHg\-yTe [62]. Процессы массопереноса в растворе описываются уравнениями концентрационной конвекции в приближении Буссинеска [53], которые в переменных "функция тока, вихрь"пред-ставляются в виде:
Здесь х,у - декартовы координаты; Ъ - время; v - коэффициент кинематической вязкости раствора-расплава; Z)t- - коэффициент диффузии г -го компонента; g - ускорение свободного падения; и вихрь; ф - функция тока; и, v - компоненты вектора скорости; d - концентрация в растворе г-го компонента, выраженная в ат./TVcM3, [N число Авогадро, индекс г=1 соответствует концентрации Cd: г=2 - концентрации Нд)\ & - коэффициент концентрационного расширения; T(t) - температура; То - начальная температура подложки и расплава; а - скорость охлаждения всей системы, выраженная в град/мин. Предполагается, что температура расплава однородна по пространству.
Система уравнений (4.1)-(4.2) решается в области D=[0, ]х[0,#], где L длина подложки, Н - толщина расплава. Граница расчетной области представлена на рис. 4.2: Г={Гі иГгиГз}, где Гі - подложка, Гз боковые стенки ростовой камеры, Гз - верхняя граница расплава.
Рассмотрим граничные условия для задачи (4.1)-(4.2). На границе Г поле скоростей удовлетворяет стандартным условиям "непротекаиияии прилипания: и\т — v\T=Q. На границе Т\ условие представляется уравнением для баланса числа частиц на подложке [47]: Здесь Cf, С{, Ї=1,2 - концентрации растворенных компонентов в твердой и жидкой фазах соответственно.
Второе условие на Г і получается при предположении, что концентрации веществ Сі и Сг у фронта кристаллизации находятся в состоянии квазиравновесия и связаны между собой уравнением ликвидуса. В [62] фазовая диаграмма состояния системы аппроксимируется соотношениями:
Значения коэффициентов alm, (m=l,6) в формулах для 7ь (i Cd,Te) получены в [62] при помощи аппроксимации методом наименьших квадратов экспериментальных данных по фазовым равновесиям в системе Cd—Hg—Те, приведенных в [101], [102].
Математическое моделирование процесса выращивания твердых растворов CdyHgi-уТе из жидкой фазы
В качестве модельного для задачи о выращивании полупроводниковых материалов в первой главе рассматривается линейное безразмерное уравнение конвективной диффузии. В силу того, что процессы конвекции преобладают над диффузионными, после обезразмеривания уравнения при старшей производной появляется малый параметр порядка Ю-6 -f- 10 3. Б первой главе исследуются достаточные условия устойчивости семейства разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих линейное одномерное уравнение конвективной диффузии с преобладающим влиянием конвекции. Доказывается, что для схем на трехточечном шаблоне по пространству условие Куранта является достаточным для устойчивости; схемы на пятиточечном шаблоне по пространству - безусловно устойчивы.
Во второй главе проводится исследование одномерной линеаризованной системы двух параболических уравнений со специальными граничными условиями, также являющейся модельной для задачи о выращивании твердых растворов полупроводников из жидкой фазы. Устанавливается необходимое и достаточное условие существования частных решений дифференциальной задачи, не убывающих со временем по модулю. При проведении численных расчетов используются три разностные схемы: две схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий - схемы 1,2- и чисто неяная схема 3. По первым двум схемам компоненты решения вычисляются на каждом временном слое последовательно, по чисто неявной схеме искомые функции определяются одновременно при помощи матричной прогонки. Во второй главе устанавливаются диапазоны изменения параметров задачи и шагов сетки, в которых две схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми, условно устойчивыми или безусловно устойчивыми.Отмечается, что для чисто неявной схемы 3) необходимые условия устойчивости выполняются везде, где решения дифференциальной задачи убывают во времени по модулю. Теоретические результаты подтверждаются численными расчетами.
Таким образом, делается вывод о нецелесообразности использования при решении исходной двумерной нелинейной задачи разностных схем 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий, так как сеточное решение в процессе расчетов может выйти из области устойчивости вычислительного алгоритма в область неустойчивости.
В третьей главе для системы разностных уравнений, соответствующих схемам 1 и 3, находятся собственные функции. Анализируется влияние шагов сетки г и h на первое собственное значение и характеристические числа разностной задачи. Показывается, что в определенном диапазоне изменения параметров точное решение разностной системы для схемы 1 качественно отличается от численного решения, полученного по этой схеме с помощью метода прогонки. Этим подтверждаются теоретические выводы, сделанные во второй главе диссертации относительно ограничений на устойчивость схем с явной аппроксимацией одного из граничных условий. В случае схемы 3 собственная функция разностной системы и численное решение, полученное методом матричной прогонки, практически совпадают между собой во всех рассмотренных вариантах.
Для чисто неявной схемы 3, исследуются асимптотические устойчивость и точность. Устанавливается, что в области возрастающих со временем по модулю решений дифференциальной задачи эта схема не является асимптотически устойчивой; в области убывающих по модулю решений дифференциальной задачи имеется диапазон изменения параметров, в котором разностная схема 3 не является асимптотически точной.
Исследования, проведенные в третьей главе, подтверждают сделанное ранее заключение. Использование в практических расчетах чисто неявной схемы 3 является наиболее предпочтительным, так как схемы 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются неустойчивыми в определенных областях изменения параметров задачи. Вместе с тем, чисто неявная схема 3 может демонстрировать недостаточную точность в узком диапазоне параметров.
В четвертой главе описываются результаты расчетов нелинейной задачи о выращивании методом жидкофазовой эпитаксии полупроводниковых соединений CdyHgi-yTe и AlyGai-yAs, Так же, как и в линейном приближении, рассмотренном во второй и третьей главах, используются три разностные схемы: две схемы 1,2 с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявная схема 3. Серия расчетов одномерной и двумерной нелинейных задач с учетом реальных фазовых диаграмм проводится в различных диапазонах параметров, представляющих практический интерес. В одномерном и двумерном нелинейных случаях находятся варианты, для которых неприменимы одна из схем 1 или В, либо обе схемы. Вместе с тем, отмечается, что во всех рассмотренных случаях расчеты по чисто неявной схеме 3 дают надежные, отвечающие физическим представлениям о моделируемых процессах, результаты.
Общий вывод проведенных в диссертации исследований состоит в следующем. Чисто неявная схема 3, по которой искомые функции определяются совместно, является наиболее оптимальным, по сравнению со схемами 1, 2, или единственно возможным методом решения исходной двумерной нелинейной задачи. Рекомендации, полученные в первой главе при анализе устойчивости схем с искусственной дисперсией для решения уравнения конвективной диффузии, и - в третьей главе при исследовании асимптотической устойчивости и точности чисто неявной схемы, аппроксимирующей модельную задачу для системы двух параболических уравнений, могут быть также использованы в реальном вычислительном эксперименте по выращиванию твердых растворов полупроводников эпитаксиальным методом.
Новизна проведенной в диссертации научной работы заключается в следующем. Установлены достаточные условия устойчивости разностных схем с искусственной дисперсией, аппроксимирующих уравнение типа конвективной диффузии. Для линеаризованной системы параболических уравнений, моделирующей процесс получения полупроводниковых материалов, найдены области изменения параметров задачи, в которых разностные схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми и неустойчивыми. Для чисто неявной схемы исследованы асимптотическая устойчивость и точность. Теоретические результаты, полученные в линейном приближении, подтверждены расчетами реальной нелинейной задачи.
