Содержание к диссертации
Введение
1. Глава 1, Разработка метода и алгоритма оценки предельных отклонений траекторий динамических систем 13
1.1 Анализ современного состояния методических разработок по оценке маловероятных событий 13
1.1.1 Оценка предельных отклонений на основе метода статистических испытаний 13
1Л.2. Оценка предельных отклонений на основе теории диффузионных марковских процессов 20
1.1.3. Оценка предельных отклонений на основе теории «больших уклонений» 34
1.2 Построение метода оценки предельных отклонений траекторий динамических систем 40
1.2. 1. Основные положения 40
1.2.2. Определение основных характеристик экстремальных возмущений 45
1.2.3 Определение статистик компонент вектора состояний системы при воздействии экстремальных возмущений 49
1.2.4 Соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений 53
1.2.5 Экстремальные возмущения предельно допустимых опорных траекторий.. 56
1.2.6 Формирование рекуррентной процедуры определения вектора экстремальных возмущений 60
1.2.7 Определение вероятности выхода траектории за допустимые значения по функционалу действия 62
1.2.8 Порядок проведения расчетов по оценке вероятности выхода траектории за предельнО'допустимые значения 63
13 Сравнительный анализ метода экстремальных возмущений 70
1.3.1. Определение вероятности выхода за допустимый предел компоненты вектора состояния линейной системы 70
1.3.2. Определение вероятности выхода за допустимый предел компоненты вектора состояния нелинейной системы 82
2. Глава 2. Расчет вероятности предельных отклонений параметров бокового движения самолета 91
2.1. Описание процесса автоматической посадки 91
2.2, Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300 100
2.2.1 Оценка предельных отклонений методом статистических испытаний 100
2.2.2 Оценка предельных отклонений на основе теории Марковских процессов... 100
2.2.3. Решение задачи на основе метода экстремальных возмущений НО
2.2.4 Сравнительный анализ полученных результатов 118
Глава 3. Программный комплекс для оценки предельных отклонений компонент вектора состояний стохастических систем 121
3.1.Проектирование и структура программного комплекса 121
3.2.Функциональная схема работы программного комплекса. 126
3.3 Особенности реализации программного комплекса 134
3.4 Реализация библиотеки вычислителя 137
3.5 Автоматный интерфейс пользователя 141
Заключение 147
Список использованных источников
- Оценка предельных отклонений на основе метода статистических испытаний
- Определение основных характеристик экстремальных возмущений
- Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300
- Программный комплекс для оценки предельных отклонений компонент вектора состояний стохастических систем
Введение к работе
В настоящее время на самолетах гражданской авиации эксплуатируется несколько систем управления, предназначенных для захода на посадку в сложных метеоусловиях. Международной организацией гражданской авиации ICAO установлен ряд эксплуатационных категорий (посадочных метеоминимумов), характеризуемых дальностью видимости на ВПП и высотой принятия решений[68]. Эксплуатационная категория III предусматривает автоматическую посадку и рулений по ВПП при дальности видимости 200м (для ШВ - 50м, ШС - полное отсутствие видимости).
Возможности эксплуатации самолета в условиях той или иной категории ICAO определяются как летно-техническими характеристиками самого самолета, так и установленного на нем бортового и наземного оборудования установленного на аэродроме.
Основополагающее требование, предъявляемое к системам автоматической посадки самолета - обязательное выполнение условий обеспечения заданного уровня безопасности полета. В отношении к точностным характеристикам системы такие условия нормируют уровень и частоту возникновения недопустимых ошибок управления. Уровень ошибок характеризуется предельно-допустимыми значениями параметров движения самолета. Частота ошибки оценивается вероятностью Р их появления и ограничивается величинами Р^ = 10"4... 10"8[60]. Доверительная вероятность оценки принимается равной Рдов = 0.9
Определение соответствия системы требованию по вероятности недопустимых ошибок управления выполняется по совокупности расчетно-экспериментальных работ. Первоначально подтверждается достоверность математической модели возмущенного движения самолета. Это осуществляется
по критериям динамического и статистического подобия. Используются результаты оценочных летных испытании и статистического моделирования. Затем с использованием этой модели любым подходящим расчегао-ааалитическим методом определяется искомая вероятность^ 1]
Так как математическая модель возмущенного движения самолета представляет собой нелинейную стохастическую систему большого числа дифференциальных уравнения (20.30 порядка), предпочтительным методом оценки вероятностных характеристик является метод статистических испытаний. Вследствие простоты использования такой метод широко применяется в инженерной практике. Вопрос состоит только в том, как довести требуемый объем статистического моделирования до приемлемого уровня.
Оказывается, что для оценки столь малых вероятностей статистическое моделирование в приемлемом объеме можно провести, если выполнить его по схеме существенной выборки, однако заранее четко спланировать объем моделирования не представляется возможным. Объем зависит от конкретных характеристик исследуемой системы, а именно от степени различия между искомой вероятностью и ее допустимой величиной. Чем меньше это различие, тем больше реализаций требуется. Потребный объем моделирования меняется от случая, когда его проводить вообще не нужно, до случая, когда по каждому оцениваемому параметру движения самолета необходимо иметь несколько миллионов реализаций.
Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая задача совершенствования методов оценки малых вероятностей -вероятностей выхода компонент вектора состояний самолета за предельно допустимые значения.
Анализ современного состояния работ по оценке предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и его систем показывает, что на данный момент проблема оценки малых вероятностей не решена достаточно полно. В
основном, для получения оценок вероятностей выхода компонент вектора состояний за некоторые предельно допустимые значения, используются методы статистических испытаний и методы на основе теории диффузионных Марковских процессов, которые не лишены существенных недостатков. Например, полномасштабное описание статистического моделирования автоматической посадки самолета БОИНГ 757/767 [10] показывает, что с помощью метода статистических испытании можно с достаточно хорошей точностью вычислить математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение компонент вектора состояний самолета и его систем, тогда как так называемые «хвосты» распределений могут существенно отличаться от гауссовских распределений.
Методы оценки предельных отклонений на основе диффузионных Марковских процессов строятся, в основном, на приближенном решении уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка относительно плотности распределения траекторий компонент вектора состояний самолета и его систем. Однако, основным недостатком этих методов является неопределенность в ответе на вопрос - насколько точно приближение описывает действительную плотность распределения, а также колебательный характер аппроксимаций распределения на «хвостах», В последнее время появились также работы по оценкам оптимальных параметров взлетно-посадочной полосы Кана КХС, Кибзуна А.И., Тимофеевой Г.А. на основе оптимизации функции квантили и обобщенного доверительного множества в условиях неполной информации, которые используют нормально распределенные случайные величины.
Наличие этих обстоятельств обуславливает актуальность разработки новых методов оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета, на основе экстремальных возмущений, позволяющих определить наиболее вероятные предельные отклонения фазовых траекторий и параметров систем.
Цель исследования - развитие методов оценки уровня безопасности
систем управления самолета на основе теории экстремальных возмущений, позволяющей наиболее точно определить вероятности предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров приземления. Разработка современных программных средств решения задач оценки малых вероятностей, определяющих уровень безопасности посадки.
Объектами исследования являются стохастические модели процесса автоматической посадки самолета ИЛ96-300 с разнообразной структурой случайных возмущений, учитывающих:
Аддитивные шумы, обусловленные внешними возмущениями: ветровыми возмущениями, турбулентностью атмосферы, высокочастотными и низкочастотными радиотехническими помехами системы взлета и посадки и др.
Случайные параметры, учитывающие случайные отклонения конструктивных и энергетических параметров систем самолета, уклона ВПП, искривления радиосигнальных зон, залегания курсовой зоны, интервал времени выравнивания самолета и др.
Основная трудность при расчете экстремальных возмущений состоит в необходимости решения так называемой двухточечной краевой задачи для системы большого числа дифференциальных уравнений (несколько сот уравнений). Нужно расписать уравнения возмущенного движения самолета, провести их статистическую линеаризацию, назначить итерационную процедуру определения экстремальных возмущений, разработать программу для ПК и провести расчет.
Для выполнения работ по обеспечению всепогодных полетов необходимо создать программный комплекс по оценке безопасности полета.
Для поставленной цели в диссертации решались следующие основные задачи:
Изучение состояния вопроса по методам оценки предельных отклонений компонент вектора состояний самолета и параметров его систем,
Определение статистических характеристик вектора состояний самолета
при воздействии экстремальных возмущений.
Определение наиболее вероятной экстремальной траектории компонент вектора состояний и параметров самолета в процессе посадки.
Разработка метода и алгоритма определения наиболее вероятного выхода компонент вектора состояний и параметров за предельно допустимые значения
Разработка модели предметной области программного комплекса, решающего задачи автоматизированного вывода уравнений статистик процессов и получения оценок маловероятных событий по методу экстремальных возмущений
Разработка способа генерации, представления и решения систем уравнений большой размерности программными средствами,
Оценка эффективности метода экстремальных возмущений на основе сравнения других методов на примере точного решения задачи оценки предельных отклонений,
Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-
300 при автоматической посадке в боковом движении, на основе метода
экстремальных возмущений
Методы исследований. Теоретически исследования базируются на использовании современной теории стохастических систем, теории оптимального управления, математического программирования, стохастических дифференциальных уравнений, теории диффузионных Марковских процессов, методов вычислений и др. Программная реализация численных методов экстремальных характеристик процесса автоматической посадки самолета
осуществлена на основе современных программных средств в средах Matlab, Visual , и платформы Microsoft .NET Framework. Научная новизна работы.
Разработана модель экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем.
Описаны уравнения статистик нелинейных стохастических систем при воздействии экстремальных возмущений
Выведены соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений
4- Разработан алгоритм процедуры определения вектора экстремальных возмущений
Решена задача оценки уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения )
Разработан программный комплекс оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремального возмущения.
Разработана новая методика создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования,
Исследованы и использованы основные методики метапрограммирования для генерации вычислителей
Практическая ценность работы определяется тем, что метод экстремальных возмущении, позволяет достаточно точно решить задачу по оценке уровня безопасности автоматической посадки самолета и построить численные алгоритмы оценки предельных отклонений параметров и характеристик процесса автоматической посадки.
Разработанный программный комплекс позволяет проводить автоматизированный анализ нелинейных стохастических систем по методу
экстремальных возмущений.
Исследование выполнялось в рамках выполнения совместных НИР проводимых ФГУП «ЛИИ им. ММ. Громова» и кафедры Прикладной Математики и Информатики КГТУ им. А.Н, Туполева, по Федеральной целевой программе «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002-2010 годы и на период до 2015г.» (шифр «Безопасность»).
Прикладные исследования были выполнены также в рамках госбюджетной НИР «Научные основы построения информационных технологий высокопроизводительных вычислительных систем, сетей, методов средств информационной безопасности» Per. № НИР 1.10.05 в соответствии с научным направлением «Прикладная математика», по плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан.
Реализация результатов работы Результаты диссертационной работы, и их программная реализация были использованы в ЛИИ им. М.М. Громов при разработке методики оценки уровня безопасности автоматической посадки тяжелых самолетов по III категории.
Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертации доложены на 2-ой международной конференции «Авиакосмические технологии и оборудование» АКТО-2004 г. Казань и на IX международной научной конференции, посвященной 45-летию Сибирского Государственного аэрокосмического университета им. М.Ф.Решетнева (10-12 Ноября 2005г., г.Красноярск)
Публикации. По материалам диссертационной работы имеется 7 публикаций, одна из которых опубликована в журнане рекомендованном ВАК. По технологии автоматного программирования разработанной для данного программного комплекса и реализованного в других проектах были получены 2 авторских свидетельства.
Диссертация состоит из введения, трех глав, основных выводов и результатов, списка литературы и одного приложения.
В первой главе рассматриваются основные подходы к оценке предельных отклонений, сравнительный анализ которых показал, что метод экстремальных возмущений наиболее полно отображает физику влияния действующих возмущений на отклонения траекторий. Разработана модель экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем. Описаны уравнения статистик нелинейных стохастических систем при воздействии экстремальных возмущений. Выведены соотношения между корреляционными моментами компонент экстремальных возмущений- Разработан алгоритм процедуры определения вектора экстремальных возмущений.
Во второй главе рассматривается практическое применение метода экстремальных возмущений для исследования предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300 при автоматической посадке в боковом движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения ), которые определяют уровень безопасной посадки самолета по 3-ей категории единых требований летной годности ЕЗЕНЛГ - ВП в CS AWO 131(c) с вероятностью в интервале 10"4/
В третьей главе диссертационной работы представлена разработка программного комплекса, позволяющего решать задачи автоматизированного построения оценок предельных отклонений вектора состояний стохастической системы и проводить расчеты по оценке уровня безопасности посадки по алгоритмам метода экстремального возмущения. Разработана новая методика создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования. Исследованы и использованы основные методики метапрограммирования для генерации вычислителей для систем дифференциальных уравнений относительно статистических характеристик исходной системы.
На защиту выносятся:
Постановка задачи определения экстремального возмущения траектории нелинейных стохастических систем,
Модели расчета статистических характеристик процесса посадки самолета при воздействии экстремальных возмущений в классе диффузионных марковских процессов,
Алгоритм процедуры определения экстремальных возмущений.
Расчеты оценок уровня безопасности автоматической посадки самолета ИЛ96-300 по параметрам приземления в боковом движении (отклонения центра тяжести от оси взлетной полосы, отклонения угла крена, угла курса, угла скольжения)
Программный комплекс оценки уровня безопасности по алгоритмам метода экстремального возмущения.
Метасистема вывода, генерации библиотек вычислителей дифференциальных уравнения относительно статистических характеристик исходной системы.
Методика создания интерфейсов пользователя на основе автоматного программирования.
Оценка предельных отклонений на основе метода статистических испытаний
Метод статистического моделирования (статистических испытаний, Монте-Карло) [3, 4, 5, 6] является универсальным инструментом исследования динамических систем практически любой сложности.
Применительно к оценке предельных отклонений компонент вектора состояний и параметров приземления самолета, исследования на основе метода статистических испытаний заключаются в последовательном многократном решении стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) m= P(t t\B)+f{t,xm(t),x%)=x0, t[t09tk]9 (ілл) описывающих в общем виде поведение самолета и его систем при различных реализациях случайных возмущений. Это позволяет построить в выборочном пространстве случайных процессов (1ЛЛ) пучок траекторий и определить по нему требуемые статистики.
В уравнении (1ЛЛ) t- время, t0itk- начальная и конечная точки рассматриваемого интервала времени [t0ttk]; X(t) - я-мерный вектор фазовых координат, Х0- случайный н-мерный вектор начальных значений фазовых координат; p{t,X{t\B)- заданный «-мерный вектор нелинейных функций фазовых координат; Ь- /-мерный вектор случайных параметров; f(t,X(t))-матрица размерности пхп, определяющая коэффициенты возмущений; (/)-белый и-мерный шум.
При практической реализации метода статистических испытаний уравнения (1Л Л) представляются в дискретном виде + 1)Д0-Х(ЇДҐ) (/ДЛ X(t0)=X09te[t0ftk]9 (1-1.2) где і=0Д,..м[/А-/о]/Д ; At- величина дискреты по времени (имеет смысл дифференциала по времени); і -дискретный аргумент текущего времени; -независимые случайные л-мерные гауссовские векторы, компоненты которых имеют нулевые математические ожидания и единичные дисперсии,
В том случае, если в (1Л.2) случайные возмущения описываются случайными параметрами, то (1Л .2) представляют собой обычные соотношения численного интегрирования [7]. При наличии случайных функций (0 необходимо применять специальные схемы [8, 9]. Следует отметить, что схемы численного решения СДУ существенно зависят от того, в каком смысле понимается соответствующее СДУ - Ито или Стратоновича, Если (1.1.1) представляют собой уравнения Стратоновича, то для их интегрирования могут использоваться любые схемы.
Использование схем численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при решении СДУ затруднено недифференцируемостью белых шумов, входящих в правые части уравнений. Поэтому для преодоления этой трудности белый шум заменяется нормальным широкополосным случайным процессом, который дифференцируем для соответствующей разностной схемы необходимое число раз и имеет время корреляции меньшее, чем шаг интегрирования At. Тогда численные алгоритмы решения СДУ строятся с помощью обычных численных схем, в которых учитываются наличие случайных членов в правых частях. При этом приращение стандартного винеровского процесса на /-ом интервале заменяется выражением л/д/, где независимые нормально распределенные JV(-;0,1) случайные величины.
При генерации случайных величин в последнее время используются в основном программные методы получения реализаций случайных чисел на ЭВМ. Так как эти числа, строго говоря, не являются истинно случайными, поскольку можно всегда предсказать будущее случайное число и повторно воспроизвести всю последовательность, то эти числа называют квази- или псевдослучайными. Как показывает теория и эксперимент, к результатам моделирования при использовании псевдослучайных чисел можно применять те же формулы оценок, что и при использовании истинно случайных чисел. При этом возможность повторного воспроизведения псевдослучайной последовательности упрощает процедуру отладки и проверки используемых алгоритмов.
Определение основных характеристик экстремальных возмущений
Определим основные характеристики аддитивных экстремальных возмущений Р(0 = МО+( ) В общем случае элементы матрицы белых гауссовых шумов V(t) могут быть определены с характеристиками для параметрических возмущений W t): для элементов аддитивных шумов Nj(t): а также взаимными моментами: Для простоты дальнейших рассуждений положим, что математические ожидания возмущений нулевые, возмущения не коррелированны и с единичными интенсивностями: A/[JPff (01=0, M[iVtJ {t)Wg (г)3= (Г-г),
При определении основных характеристик /j(r) и (0 будем исходить из того» что возмущения //(/) обусловлены главным образом внешними аддитивными возмущениями Nj(t)9 О" = 1,..., л) и определяют переносное движение траекторий X(t) в пространстве состояний. Возмущения (/) определяют относительное движение (флуктуации) точек траектории Х{і) в 8- окрестности опорной траектории zx{f). При этом флуктуации точек траекторий X(t) в 5- окрестности опорной траектории zx{t) не зависят от того, в какой фиксированной точке выборочного пространства располагается опорная траектория zs(t) и от возмущения //(/), определяющего положение опорной траектории zx(t) в выборочном пространстве. Отсюда следует, что /i(t) и 4(t) удовлетворяют соотношениям ортогональности и независимости }А1Р(0 (ОА=0,(Р = 1,„„ЛО), (1.2.11) о МЫ№(Н)]=Ъ. (1.2.12) Определим (0 разложением f t) = Cafi(t), (1-2-13) где Са - диагональная матрица независимых случайных величин, fi(t) -вектор координатных функций p{t)=(px(0,- А-(0) компоненты которого удовлетворяют соотношению
Определим численные характеристики флуктуационной составляющей %р(/) экстремального возмущения л (0, (р = 1,.,.,и0), Так как (/) = Np(t)- Мр(0? то я(/)-нормальный случайный процесс с характеристиками: K h) = M[4{t{)r4{t2)}=M[N Взаимные моменты между аддитивными возмущениями fj(t) и (0 равны M[Mp(h)%q(t2)] = Q, (р=1(„.тл0; = 1,...,/ї0)?таккакМ[ (/І) (г2)]=0 при p q. При значениях р = q имеет место Отсюда учитывая (1.2Л5), (1.2.16) вследствие линейности оператора Ml] получим о что подтверждает (1.2.12).
Определим статистики вектора состояний системы (1.2-6) для фиксированной опорной траектории zx(t), соответствующей экстремальному возмущению Ji(t)=Cap{t) с «функционалом действия» ЛЖ0) При фиксировании возмущения fi(t) получим некоторое подмножество N(t) с N(t) компонент вектора внешних аддитивных возмущений N(t) N(t)= Д(/)+(0= СаД/) + «/), где №=Щ )-М(0 = Са№+К0 (1.2.21) с «функционалом действия»: / J№)) = l№F№= I №Р№= 1 - (1-2.22) Для вычисления условных численных характеристик компонент вектора состояний системы (1.2,6) со случайным возмущением N(t) запишем уравнения (1,2.6) в виде Ш = ЖХи,а}+Ы?,Х)\р(!)+М)\. (1.2.23) Представим X{t) =тх (і) + Xй (?), где тх ($) = M[X(t) #(/)] - условное математическое ожидание X(t), X(t) = X(t) - in, (/) - флуктуационная составляющая X(t). Определим уравнения для математических ожиданий вектора состояний (1.2.23) и корреляционных моментов: mx{t) M{X(t)\m},0{t)=M[X\t)X \t)\m}-Для вычисления mx(t) и 6(t) применим к (1.2.23) метод статистической линеаризации. Линеаризуем статистически элементы матриц yf(t,X,u,a), h(t,X): У, а,-) =Г,0( Л ))+ЇК,Х», к9 = д Ут , (i=l...,n); (1.2.24) Подставим (1.2.24) в уравнение (L2.23), представленное относительно компонент /) вектора-?!»: И ,л_ 0, jr (0 = JT(0+Z JM r IMr -)Mr) (1-2.31) где Xj (t) - центрированная составляющая, обусловленная начальными условиями системы, gjq(ttT)- весовая функция линейной системы (1.2.30). Умножим слева и справа (1.2.31) на 4р (t) и применим операцию математического ожидания, тогда получим Ки№ = м[х)шрш+ І Jgj,(r,r)Z4fr/)W[ (0fffr)№, Так как начальные условия по переменным системы не зависят от действующих возмущенийОпределим в уравнениях (1.2.26)» (1.2.29) выражения для вычисления
Кз (ttt). Используя переходную (весовую) функцию системы (1.2.3) выразим выходные переменные И ,л_ 0, jr (0 = JT(0+Z JM r IMr -)Mr) (1-2.31) где Xj (t) - центрированная составляющая, обусловленная начальными условиями системы, gjq(ttT)- весовая функция линейной системы (1.2.30). Умножим слева и справа (1.2.31) на 4р (t) и применим операцию математического ожидания, тогда получим Ки№ = м[х)шрш+ І Jgj,(r,r)Z4fr/)W[ (0fffr)№, Так как начальные условия по переменным системы не зависят от действующих возмущенийЩ{і) через входные функции возмущения , то первое слагаемое равно нулю и
Для установления соотношений между корреляционными моментами экстремальных возмущений представим флуктуационную составляющую Х (/) вектора состояний X{t) в уравнении (1,2,23) в виде XQ(t)=AXN(i)-AXn(t)9 где XQQ)9&XN(t\&Xp(t) вследствие линейности (1.2.30) определяются уравнениями:Определим диагональные элементы матриц 5(0 и Q{t) для момента времени tf9 определяющие дисперсии в конечный момент времени. Вследствие аддитивного действия возмущений диагональный элемент матрицы 5 ( ), соответствующий дисперсии компоненты вектора состояний Хк{1) определяется выражением w=[ ( / ia = [ м2 о-2-49 где [ r (tf)]2 дисперсия разброса компоненты (г) вектора состояний X(t) при t = tf от действия возмущения Np (() . Для вычисления Stk(rf) определим AXkN(tf) из (1.2.42) / Д ( /) = Ы / Жй,А0) N(t)dt, где gk{tf ) = {gkl{tf,t),...,gkpitf,t),...,gkn{tf,t)) вектор импульсных переходных функций системы (1.2.42). Для определения весовой функции gkp(iftt) как функции второго аргумента используем метод сопряженных систем [10]. В соответствии с этим методом весовые функции gkp(tf,t) определяются решением сопряженной с (1.2.42) системой уравнений dz it) "
Оценка предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300
Для оценки статистических характеристик распределения параметров приземления, соответствующим допустимым значениям вероятностей (табл. 2.2.1), на основе исходных уравнений, проведены статистические испытания с числом испытаний N - 2000. Статистические испытания показали, что математические ожидания параметров приземления практически равны нулю, среднеквадратические отклонения а, центральные моменты третьего порядка /І33 четвертого цА9 коэффициенты асимметрии А и эксцесса Е приведены в таблице 2,2.2
Статистические характеристики распределения параметров приземления приведенные в таблице 2 показывают, что распределение точки центра тяжести самолета 2цт9 вследствие практически малой величины коэффициента асимметрии А (малой «скошенности» кривой распределения в право) и значения коэффициента эксцесса достаточно близкому к коэффициенту эксцесса Е = 3 нормального распределения, близко к нормальному распределению. Распределения параметров приземления -углов крена у, рыскания у и скольжения /3, вследствие практически малой величины коэффициентов асимметрии А (малой «скошенности» кривых распределения в лево) и значений коэффициентов эксцесса достаточно близких к коэффициенту эксцесса Е = 3 нормального распределения, близки к нормальному распределению. Таким образом, распределение параметров приземления самолета при боковом движении достаточно близко к нормальному распределению.
Для определения вероятности предельных отклонений параметров приземления на основе теории диффузионных марковских процессов исходная система дифференциальных уравнений представляется системой с переменной структурой. Изменение структуры обусловлено различными режимами посадки и соответствующими моментами переключения типовых нелинейностей системы управления Для получения оценок вероятностей предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300 необходимо провести статистическую линеаризацию исходных уравнений 2Л, что приводит к системе линейных уравнений с переменными коэффициентами:
Математические ожидания и корреляционные функции в общем виде определяются уравнениями
Полностью системы уравнений относительно математических ожиданий и корреляционных функций приведены соответственно в приложениях 1 и 2. Для определения оценок вероятностей предельных отклонений параметров приземления самолета ШІ96-300 совместно решались системы 19-го порядка относительно математических ожиданий и 190 порядка относительно корреляционных функций.
Расчеты характеристик среднеквадратического отклонения и вероятности выхода параметров приземления с учетом случайного распределения бокового и продольного ветра, турбулентности атмосферы, случайного отклонения времени выравнивания, искривления, и залегания курсовой зоны приведены в таблицах 2.2,5 - 2,2,6
Для получения оценок вероятностей предельных отклонений параметров приземления самолета ИЛ96-300, на основе метода экстремальных возмущений, аналогично с 2.1.2, проводим статистическую линеаризацию исходных уравнений (2.1). Уравнения (2.2.2) описывают диффузионный марковский процесс, математические ожидания mt (t), корреляционные функции в(() и функции чувствительности w(t) которого в общем виде определяются уравнениями
Полностью системы уравнений относительно математических ожиданий, корреляционных функций и функций чувствительности приведены соответственно в приложениях 1, 2 и 3.
Полученные уравнения показывают, что определение вероятности предельных отклонений параметров приземления по методу экстремальных возмущений, требует для числа к = 96 возможных переключений системы управления в процессе посадки совместного решения: системы уравнений 19 - го порядка с переменной структурой относительно математических ожиданий и„(/= 1,,..,19) параметров приземления; сопряженной системы 19-го порядка с переменной структурой относительно весовых функций ,(7 = 1,...,19), характеризующих влияние возмущений на параметры приземления; решение системы 190 - го порядка с переменной структурой относительно элементов матрицы корреляционных моментов StJ (і = 1 19;; = 1,,,.,19) параметров приземления, которые обусловлены аддитивным воздействием экстремального возмущения, приводящему к смещению траекторий математических ожиданий в пространстве компонент вектора состояний процесса посадки и их флуктуации относительно математических ожиданий; решение системы 190 - го порядка с переменной структурой относительно функций чувствительности W4 (і -1,...,19;./ = 1,-,19), представляющих собой слагаемые в элементах матрицы корреляционных моментов StJ., обусловленных экстремальным возмущением.
Таким образом, для определения вероятности предельных отклонений параметров приземления по методу экстремальных возмущений необходимо решать 96 систем дифференциальных уравнений 418-го порядка.
Расчеты характеристик среднеквадратического отклонения и вероятности выхода параметров приземления с учетом случайного распределения бокового и продольного ветра, турбулентности атмосферы, случайного отклонения времени выравнивания, искривления, и залегания курсовой зоны приведены в таблицах 2,2.10 - 2.2.11.
Программный комплекс для оценки предельных отклонений компонент вектора состояний стохастических систем
Математическая модель возмущенного движения самолета на этапе автоматической посадки содержит 20 30 дифференциальных уравнений первого порядка. Такие уравнения нужно статистически линеаризовать и затем расписать несколько сотен уравнений итерационной процедуры расчета экстремальных возмущений. Для этого требуется очень большой объем рутинной вычислительной работы. Необходимо процесс составления и решения указанных уравнений автоматизировать, создав соответствующее автоматизированное программное обеспечение- Два обстоятельства позволяют надеяться на гарантированный успех в этом деле.
Во-первых, исходные уравнения математической модели возмущенного движения самолета содержат, как правило, лишь типовые нелинейности, для которых формулы расчета параметров статистической линеаризации приведены в литературе [26]. Для составления линеаризованных уравнений достаточно создать библиотеку подпрограмм типовых нелинейностей и разработать алгоритм ее использования. Во-вторых, векторно-матричные уравнения итерационной процедуры не зависят ни от конкретного вида математической модели, ни от ее порядка и числа учитываемых возмущений. Для сокращения времени счета на компьютере уравнения должны быть приведены к скалярному виду- Такое преобразование можно сделать в формульном виде, так как правые части уравнений представляют собой суммы однотипных слагаемых: произведений матрицы на матрицу, или вектор. Несколько осложняет ситуацию тот факт, что для придания стандартной формы уравнения должны иметь сквозную нумерацию, а это не очень удобно при практическом использовании. Такое затруднение можно обойти, если разработать подпрограмму для прямого и обратного перевода физических и машинных переменных.
Унифицированное программное обеспечение целесообразно разработать не в виде одной программы, а в виде пакета подключаемых библиотек динамической компоновки. Это повышает гибкость использования программного обеспечения и облегчает условия введения в него изменений, если при отладке и расчетах возникает такая необходимость. Пакет библиотек должен быть составлен на базе системы программирования, которая широко распространена и удовлетворительно себя зарекомендовала. При проектировании программного комплекса реализации метода оценки предельных отклонений необходимо реализовать алгоритм символьного построения, а затем и решения, уравнений относительно семиинвариантов. При этом при введении исходной дифференциальной системы пользователем необходимо распознать к какому из известных типов принадлежит система и проводить дальнейшие вычисления и построения только необходимых в данном случае компонент,
В процессе определения исходной системы необходимо предусмотреть три типа введения данных - ручной ввод, загрузку из файла и построение дифференциальных уравнений с привлечением специального программного Wizard a (мастера построения системы).
Вычислительные процедуры реализуются при помощи стандартных численных методов, но необходимо предусмотреть экспортирование полученной системы уравнений в формат программы MatLab, для, возможно, более точного анализа уравнений.
Необходимо реализовать автоматическую генерацию и компиляцию библиотек для последующего анализа без повторения процедуры вывода всех систем дифференциальных уравнений.
Вывод результатов должен производиться как в графическом, так и в числовом виде, при необходимости должна иметься возможность просмотра промежуточных результатов построения уравнений - системы уравнений для коэффициентов сноса и диффузии, уравнений относительно математических ожиданий, дисперсий и функций чувствительности, промежуточных расчетов алгоритма оценки предельных отклонений компонент вектора состояний.
Критерием окончания процесса может быть не только выполнения ограничения по времени определенному пользователем системы, но и другие факторы, такое как малое изменение состояния на текущем и предыдущем шагах, устремление результата в бесконечность и др,5 что обеспечит гарантированное завершение работы программы и позволит избежать так называемых «зацикливаний».
Исходя из постановки задачи, программный комплекс, в процессе своей работы, должен генерировать различные вычислители систем ДУ и решать их согласно алгоритму. Для этого был использован методология создания программного обеспечения известная как метапрограммирование. Метапрограммирование — создание программ, которые создают другие программы как результат своей работы. Во многих случаях метапрограммирование позволяет получить программу при меньших затратах времени и усилий, чем если бы программист писал её вручную. При использовании метапрограммирования необязательно генерируется код. Если программа может изменяться на стадии выполнения (как Лисп, Smalltalk, Руби и т. д.), подобная техника может применяться без прямой генерации кода. Генерация кода, как правило, происходит во время выполнения программы при поддержке программы средой выполнения (в .NET в пространствах имён System.Reflection и System.Type собраны классы, позволяющие получать о любом типе информацию (состав полей, их тип и так далее)), создавать на лету новые классы и т. д
