Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 . Средняя длительность гшрода занятости в однолинейной системе массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным входящим потоком 25
1.1 Постановка задачи 25
1.2 Вывод дифференциальных уравнений 26
1.3 Вид решений и их нахождение 27
1.4 Характеристическое уравнение 30
1.5 Нахождение в} и в2 зi
1.6 Нахождение средней длины периода занятости 32
1.7 Расчет безусловной средней длительности периода занятости 33
1.8 Расчет вспомогательных вероятностей 34
1.9 Расчет основных вероятностей .35
1.10 Характеристическое уравнение и его корни 36
1.11 Нахождение pn(l) и p2l(i) 38
1.12 Нахождение щ и %2 40
1.13 Стационарная плотность вероятностей незавершенной работы 41
ГЛАВА 2. Средняя длительность периода занятости системы массового обслуживания с вытеснением заявки при дважды стохастическом синхронном входящем потоке 49
2.1 Постановка задачи 49
2.2 Вывод уравнений для условной средней длительности периода занятости 50
2.3 Нахождение условных средних длительностей периода занятости ,...51
2.4 Вычисление вероятностей 53
2.5 Плотность вероятностей незавершенной работы 57
ГЛАВА 3. Расчет характеристик бесконечно линейной системы массового обслуживания при дважды стохастическом входящем потоке 63
3.1 Описание системы 63
3.2 Финальные вероятности 63
3.3 Расчет характеристик системы через производящие функции. 65
3.3.1 Расчет финальных вероятностей состояния потока 65
3.3.2 Математическое ожидание числа заявок в системе 66
3.3.3 Дисперсия числа заявок в системе 67
3.4 Непосредственный расчет характеристик системы 68
3.4.1 Расчет среднего числа заявок в системе 68
3.4.2 Вычисление вторых начальных моментов 69
3.4.3 Функция корреляции 70
3.5 Асимптотическое исследование системы 72
3.6 Период занятости 79
3.7 Средняя длительность периода занятости 81
ГЛАВА4. Имитационное моделирование исследованных систем массового обслуживания и расчет их характеристик 86
4.1 Шаблон объектного проектирования для реализации функциональности процесса моделирования в имитационных моделях СМО 86
4.2 Программное обеспечение проведенных исследований 95
4.2.1 Общая характеристика программы 96
4.2.2 Основы работы с программой 98
4.2.3 Расчет характеристик однолинейной СМО 100
4.2.4 Расчет характеристик СМО с вытеснением заявки 100
4.2.5 Расчет характеристик бесконечнолинейной СМО 101
4.2.6. Экспорт данных 102
4.2.7. Окно результатов 103
4.2.8. Примеры имитационного моделирования СМО 105
Заключение 111
Литература
- Вывод дифференциальных уравнений
- Нахождение условных средних длительностей периода занятости
- Расчет финальных вероятностей состояния потока
- Общая характеристика программы
Введение к работе
Актуальность работы. Системы массового обслуживания (СМО) являются стандартной математической моделью для описания многих технических, биологических и других систем. В частности, они находят всё более широкое применение для описания сетей связи и сетей ЭВМ, как локальных, так и глобальных.
Важнейшим элементом всех таких систем являются входящие потоки некоторых событий (заявок, задач и т.д.), которые поступают на обслуживающие приборы, занимая их на некоторое время для своего обслуживания, и затем или покидают систему, или уходят на другой обслуживающий прибор.
В реальных системах эти потоки событий, как правило, являются нестационарными. Кроме того, интенсивность потока может также меняться случайным образом. Поэтому достаточно адекватными реальности являются так называемые дважды стохастические потоки заявок.
Одним из наиболее изученных дважды стохастических потоков является поток событий с двумя возможными значениями интенсивности. Свойства потоков, где переходы между значениями интенсивности образуют дискретный марковский процесс с непрерывным временем, оценка его параметров и фильтрация интенсивности изучена в работах A.M. Горцева и его сотрудников. Ими же изучены характеристики ряда СМО при таком входящем потоке.
Однако имеется одна характеристика, которая осталась не исследованной в работах A.M. Горцева и его соавторов. Эта характеристика - период занятости СМО при таком входящем потоке. Между тем знание хотя бы средней длительности периода занятости представляет определенный интерес при проектировании сетей связи и сетей ЭВМ.
Приведем примеры ситуаций, в которых знание характеристик периода занятости позволяет оптимизировать работу.
Администрирование в сетях ЭВМ. Например, провайдер, который предоставляет нам доступ в Интернет, фиксирует только наш вход в систему и выход из нее, а к каким сайтам мы обращаемся во время нашего сеанса работы - его не касается. Поэтому свое представление о нас он формирует только по моментам начала и конца периодов занятости и должен строить свои оценки именно по этим данным.
В последнее время при проектировании и эксплуатации вычислительных сетей часто используются технологии распределенных сетевых ресурсов и распределенных вычислений. Основная идея этих технологий заключается в следующем: дорогостоящие ресурсы вычислительной сети не должны дублироваться на рабочих местах пользователей, но при этом мощности сетевых вычислительных ресурсов должны обеспечить комфортную работу всех пользователей сети.
К сожалению, на сегодняшний день большинство вопросов, связанных с количеством и качеством такого рода оборудования, чаще всего решаются эмпирическим путем. Это очень часто приводит к естественным последствиям -перечисленные технологии либо не работают, либо работают не на том уроне, который достаточен для нормальной работы сетевых клиентов. Оптимизировать работу подобных сетевых ресурсов невозможно, не зная характеристик периода занятости. Предлагаемые в работе модели и методы моделирования подходят в качестве математической основы для такого рода исследований.
3. Наконец, типичным примером таких ситуаций являются физические, технические или биологические системы
с так называемым «мёртвым временем», когда часть событий исходного потока теряется из-за эффекта мёртвого
времени, возникающего в регистрирующих приборах, и наблюдению доступны лишь моменты начала периодов
занятости.
Поэтому изучение этой характеристики дополняет работы A.M. Горцева и представляет определенный практический интерес. В работах А.Б. Орлова изучены свойства этой характеристики, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим потоком с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми образуют дискретный марковский процесс с непрерывным временем. Представляет интерес дальнейшее изучение систем массового обслуживания для других видов дважды стохастических входящих потоков.
Целью данной работы является изучение характеристик периода занятости некоторых систем массового обслуживания, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим синхронным потоком с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок.
При выполнении данной работы ставились следующие задачи для дважды стохастического синхронного потока с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок:
I. Найти для однолинейной СМО с бесконечным бункером и однолинейной СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании:
Условную среднюю длительность периода занятости при условии, что известно значение интенсивности в начале периода;
Переходные вероятности между значениями интенсивности в начале и в конце периода занятости;
3. Переходные вероятности между значениями интенсивности в начале и в конце периода простоя системы;
4. Финальные вероятности значения интенсивности в начале периода занятости и безусловную среднюю
длительность периода занятости.
П. Найти для бесконечнолинейной СМО:
1. Математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции числа заявок в системе;
2. Коэффициенты сноса и диффузии, среднюю длительность периода занятости, показав, что при больших
загрузках число заявок в системе может быть аппроксимировано диффузионным случайным процессом.
III. Разработать программное обеспечение для расчета всех этих характеристик.
Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, теории массового обслуживания. Конечные расчеты были проведены на ЭВМ.
Состояние проблемы. Оценивать место работы автора в кругу других работ можно по двум параметрам: по работам по нахождению характеристик периода занятости СМО и по типу входящего потока заявок.
Характеристики периода занятости долго не привлекали особого внимания исследователей. В классических монографиях и даже в очень подробных справочниках можно найти лишь распределение длительности периода занятости однолинейной СМО в следующих ситуациях:
рекуррентный входящий поток заявок и экспоненциальное распределение времени обслуживания;
пуассоновский входящий поток заявок и рекуррентное обслуживание.
Однако даже характеристики периода занятости в бесконечнолинейной СМО при пуассоновском входящем потоке заявок и рекуррентном обслуживании были получены сравнительно недавно.
С другой стороны, период занятости СМО имеет самое прямое отношение к проблемам работы регистрирующей аппаратуры. Поэтому знание характеристик периода занятости не только позволяет оценить возможности регистрирующей аппаратуры, но и построить оценки интенсивности потока поступающих на прибор частиц по наблюдениям над началами периодов занятости. Исследованиям в этом направлении посвящены работы Е.В. Глуховой и А.С. Шкуркина, непосредственным продолжением которых является и настоящая работа.
С другой стороны, работа отличается от других работ по типу входящего потока заявок. Автор рассматривает входящий поток заявок как дважды стохастический поток с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок. Несмотря на то, что такие потоки и системы массового обслуживания при таком входящем потоке исследовались в работах A.M. Горцева и его сотрудников, вопросы, касающиеся периода занятости, в них не затрагивались.
Поэтому основное отличие предлагаемой работы от работ других авторов состоит в том, что в ней найдены вероятностные характеристики периода занятости некоторых систем массового обслуживания, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим потоком с двумя состояниями, переходы между которыми возможны только в моменты прихода новых заявок.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:
Во всех рассмотренных системах входящий поток заявок является дважды стохастическим синхронным потоком с двумя состояниями интенсивности Xj и Х2. Переходы между этими состояниями возможны только в момент
наступления нового события. Если поток находится в состоянии Xj, то вероятность перехода Xj —>Х2 равна оц, а
вероятность остаться в том же состоянии 1-oCj. Если поток находится в состоянии Х2, то вероятность перехода
Х2 —> Xj равна а2, а вероятность остаться в том же состоянии 1-ос2.
Автор выносит на защиту следующие научные результаты:
1. Для однолинейной СМО с бесконечным бункером и экспоненциальным распределением времени
обслуживания найдены:
а) условные средние длительности периода занятости т1 и т2, при условии, что в момент начала периода
занятости интенсивность потока X = X,, і = 1,2;
б) финальные вероятности пі того, что период занятости начнется при значении интенсивности X = X,;
в) условные (при условии, что интенсивность потока равна X,) стационарные плотности вероятностей яДи") и
я 2 (w) незавершенной работы, а также безусловная плотность вероятностей незавершенной работы.
2. Для однолинейной СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании при произвольном
распределении времени обслуживания найдены
а) условные средние длительности т1 и т2 периода занятости системы при условии, что в момент начала
периода занятости интенсивность потока была равна Xt,, /' = 1,2 ;
б) финальные вероятности п1 и п2 того, что период занятости начнется с состояния интенсивности потока
X = X., /' = 1,2 , и безусловную среднюю длительность периода занятости;
в) условные плотности вероятностей 7ij(w) и n2(w) незавершенной работы w при условии, что интенсивность
потока X = X., /' = 1,2 , и безусловную плотность вероятностей %(w) незавершенной работы.
3. Для бесконечнолинейной СМО с экспоненциальным распределением времени обслуживания найдены
математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе;
функция корреляции числа заявок.
Проведен асимптотический анализ изучаемой системы при больших загрузках и показано, что процесс изменения числа заявок в системе может быть аппроксимирован диффузионным случайным процессом. Найдены
коэффициенты сноса и диффузии этого процесса;
асимптотическая плотность вероятностей для числа заявок в системе;
преобразование Лапласа от плотности вероятностей периода занятости изучаемой системы;
средняя длительность периода занятости.
Эти результаты, выносимые на защиту, и составляют научную новизну диссертационной работы.
Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней найдены характеристики периода занятости некоторых СМО при синхронном дважды стохастическом входящем потоке. Автору представляется, что подобным же образом, по крайней мере, в асимптотике, можно рассмотреть изученные в работе СМО и при других типах дважды стохастических потоков заявок.
Практическая ценность работы Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы в системе Delphi 6.0. Они могут быть использованы при расчете характеристик проектируемых СМО. Результаты работы включены в спецкурс «Системы массового обслуживания», читаемого студентам факультета математики и информатики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство» Анжеро-Судженск, 2001 г.
Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2002 г.
8-th Korea - Russia Internation Symposium on Science and Technology. 2004.
Ill Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». 2004 г.
Вывод дифференциальных уравнений
Обозначим через w незавершенную работу в момент времени t. Через /Wj(w), / = 1,2 обозначим среднее время до опустошения системы, если в момент времени / интенсивность входящего потока была равна Xt.
Выведем уравнение для mx{w). Рассмотрим интервал времени /,ґ + Дґ]. За это время может произойти: 1. с вероятностью 1 — XyAt + o(At) новая заявка не придет; тогда незавершенная работа уменьшится на Дґ, а среднее время до опустошения системы станет m w — At); 2. с вероятностью XlAt(i al) + o(At) придет новая заявка, требующая для своего обслуживания время х, а состояние потока останется прежним. Тогда незавершенная работа станет w + x — At, а среднее время до опустошения системы станет w + х - At; 3. с вероятностью XiAta{ +o(At) придет новая заявка, требующая для своего обслуживания время х и изменится состояние потока. Тогда незавершенная работа станет w + x At, а среднее время до опустошения системы станет m2(w + х At).
Если выполнено условие а, +а2 1 (что обычно имеет место на практике; оно означает, что вероятности переходов а, и а2 малы), то будет Dx 0. Это означает, что при z = 1/9 f{z) 0. Но при z - -00 f{z) - -00 и поэтому уравнение (1.13) имеет отрицательный корень, а так как произведение корней положительно, то имеется и еще один отрицательный корень. Так как уравнение (1.13) есть уравнение третьей степени, то у него всего лишь три корня и поэтому положительный корень единственный.
К сожалению, при 1 а, + а2 2 доказать единственность этого корня не удалось. Однако, проведенные автором многочисленные численные расчеты показали, что в области 1 а, + а2 2 положительный корень единственный. Два остальных корня либо отрицательные, либо комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью. Так что, по видимому, полученное решение верно при любых значениях параметров.
Но Х2 - J ! 0, а Х(9 1. Поэтому D 0 и это значит, что при zB - ,,9 -1 левая часть уравнения (1.16) отрицательна. Так как при zG — +со левая часть (1.16) стремится к +со, то отсюда следует, что положительный корень z уравнения (1.16) удовлетворяет условию z8 , -1, откуда и следует, что z9 + l-A.,9 0 и z8 + 2-X,0 O. Поэтому тх 0. Так как Х2 Х{, то тем более т2 0.
Найдем среднее время простоя системы тп если в начальный момент поток находился в состоянии Х(. Пусть в момент времени t в системе нет заявок, тогда может произойти только приход новой заявки, который завершит период простоя. В среднем заявка придет через время —. Таким образом ПХі =—.
Расчет безусловной средней длительности периода занятости
Величины тх и т2 являются условными средними значениями периода занятости, т.к. щ предполагает, что в начале периода занятости Х = ХГ Для вычисления безусловного среднего значения периода занятости надо найти вероятности пі того, что в начале периода занятости Х = Хп тогда т — щЩ + ж2т2. Расчет величин п1 достаточно громоздок и основан на графе переходов системы. Пусть / - число заявок в системе, верхняя строка графа переходов соответствует X = XV нижняя Х-Хг. Тогда граф переходов системы имеет вид представленный на рис. 1.1.
Нахождение условных средних длительностей периода занятости
Для нахождения окончательного выражения для средней длительности периода занятости надо найти финальные (стационарные) вероятности 7Г;-, / = 1,2 того, что период занятости начинается со значения интенсивности потока Х = Х;.
Обозначим через Py\w) вероятность того, что период занятости закончится при значении интенсивности Х = Х: при условии, что в момент / интенсивность X = Xj и незавершенная работа заявки, находящейся на обслуживании, была w.
Найдем іи(и ) и Р2\\ )- Вывод уравнений для них повторяет вывод уравнений для m{\w) и m2{w) с небольшими отличиями. Так, при выводе аналога уравнения (2.3) для Ру, ( v) будет отсутствовать слагаемое At. Pn{w) = (\-Xlto)Pu(w-At) + (l-al)XlAtPn+ (2.15) + alXlAtPn + o(At) где со Р, = \Р,{Т)Р(М о и поэтому уравнение для Рх t (w) будет иметь вид Pn(w) + XiPn(w) = (l ai)XlPu+aiXlP2X. (2.16а) Аналогично, уравнение для P2i{w) имеет вид Pii(w) + X2P2l(w) = (\-a2)X2P2l+a2X2Pil. (2.166) Следующее отличие будет в граничных условиях. По смыслу ситуации они имеют вид
Можно показать, что решение (2.25) и (2.30) удовлетворяют этим условиям. Между двумя соседними периодами занятости, находится период простоя системы, когда в ней нет заявок. Обозначим через q.y вероятность того, что период простоя закончится значением интенсивности потока Х — Ху, если он начался при значении интенсивности потока Х Х}. Эти величины имеют вид ?12 =«1 11 =1 —«і, 722=1 -«2» ?2]=а2- (2.32)
Теперь можно найти и вероятности %-п і 1,2 того, что период занятости начнется со значения интенсивности потока Х X,. Обозначим через Гу вероятность того, что период занятости начнется со значения X = Х= при условии, что предыдущий период занятости начался со значения Х = Х Так как эти два периода занятости разделены периодом простоя системы, то
Все входящие сюда величины вычислены выше. Очевидно, что л,- есть финальные вероятности дискретной цепи Маркова с двумя состояниями и переходными вероятностями Гу. Поэтому имеем Щ=щги+п2г2і,щ + ті2 1, (2.34) откуда щ = __Р_ , к2 = Рп . (2.35) + 21 12 + 21 Теперь можно вычислить и среднюю длительность периода занятости m нашей системы по формуле m — щЩ + п2Ш2 (2.40)
Разумеется, все эти вычисления можно проделать лишь численно на ЭВМ при конкретизации вида р(т). 2.5 Плотность вероятностей незавершенной работы
Все исследование, сделанное выше, велось с использованием незавершенной работы w. Представляет некоторый интерес нахождение стационарной плотности вероятностей n(w) этой величины.
Чтобы продемонстрировать используемую ниже методику, мы рассмотрим сначала СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании, когда входящий поток — пуассоновский с постоянной интенсивностью X.
Пусть в момент времени / мы имеем некоторое значение w. Рассмотрим момент времени t - At и перечислим варианты, когда в момент времени t мы окажемся в состоянии w. Итак:
1. За интервал времени At не наступило события потока. Тогда попасть в состояние w можно из состояния w + At. Вероятность этого события равна \-\Al + o(At).
2. С вероятностью XAt + o(At) наступит событие потока. Так как поступившая заявка вытеснит старую, то попасть в состояние w можно с плотностью вероятностей p(w).
В результате имеем соотношение 7t(w) = (t - XAt)n(w + At) + XAtp(w) + o(At). (2.41)
Разлагая it(w — At) в ряд Тейлора n(w -At) = n(w) + At(n (w) - Xn(w)+Xp(w)) + o(At), откуда после предельного перехода At — О получим уравнение для 7c(w): n (w) - Xn(w) + Xp(w) = 0. (2.42) Решим это уравнение двумя способами, чтобы описать методы его решения. Сначала решим это уравнение непосредственно. Однородное уравнение n (w) Xn(w) 0 имеет решение 7i{w) С-е .
Расчет финальных вероятностей состояния потока
Пусть i(t) есть число заявок, находящихся в системе в момент времени t. Рассмотрим процессы ik(t) = i(t)Pk(t),k = \,2, где предполагается, что в момент времени / интенсивность потока равна Хк. Рассмотрим интервал времени (t,t + At) и обозначим Ai(t) = i(t + At) — i(t). Основным для дальнейшего будет следующее соотношение: если интенсивность потока равна Хк, то +1, с вероятностью XkAt + o(At), Д/(0 = -1, с вероятностью i{t)pAt + o(Af), (3.20) 0, с вероятностью l A,kAt-i(t)pAt + o(At). Обозначим mk(t) = M{ik(t)} и выведем дифференциальное уравнение для этой функции. Имеем il(t + At) = i(t + At)Pl(t + At) = (i(t) + Ai(t))Pl(t + At) = = (/(0 + A/(0)( i (00 - XiftAt) + P2(t)X2p2At + o{At)). Раскрывая скобки, получим il(t + At) = il(t) + Ai(t)Pl(t) + (4i(t)Xlpl+i2(t)\2p1)At + o(At). (3.21) Усредняя по значениям величины Д "(0, будем иметь Miwmt) 1 /(0}=o-i - mm (о+o{At). С учетом этого соотношения, усредняя (3.20), получим соотношение для функции т,(0 ml (t + At) = т,(0 + [ -1 1 (0-Ц і(0 -X tn t) + X2p2m2(t)]At + o(At), откуда обычным образом получаем дифференциальное уравнение для ml (/): m[(t) = XxPl(t)-m(t) Xlplml(t) + \2p2m2(t). (3.22) Уравнение для tn2(t) получается из (3.22) заменой индексов 1-о2.
Опять таки рассмотрим стационарный режим, который получается при / — оо. Обозначая Urn mk(t) = тк т (3.22) получим систему уравнений f-K» {\ + l,p,)m,-l2p2m2 =llR{ = j ЦгР1 -, (3.23а) hPi+hPi -/ / +(1 + 2/ 2 "2 = (3.236) 1\Р\+1гР2 Ее решение имеет вид = _2p2a±i2{p1±p2y)_i (324а) (кР\+12Рг)(У + 1\Р\+1гРг) т2 = tyiP + hJPi+Pi)) _ /3 246) (АЛ +12Р2)(\+1\Р\ +l2pi) Отсюда, в частности, следует, что M{i(t)} = m, + m2 = hhiB±PA (3 25) 1хр{+12Р2 что дает среднее число заявок, находящихся в системе в стационарном режиме. 3.4.2 Вычисление вторых начальных моментов Рассмотрим процесс 2 (0 2(0 (0 к = \,2; его математическое ожидание будем обозначать как т2к (t). Рассматривая, как и выше, момент времени t + At, будем иметь /21(/ + Д0 = /2(Г + А/)Р1( + ДО = 0 (О + А/(г))2Р1(/ + Д0 = = (/(О + 2I(0AI (0 + (W))2)(Pi (0(1 - X, р, ДО + P2(t)X2p2At) + o(At). Раскрывая скобки, получим /2, (/+ДО = /2i (0+2/(0 1 (О МО+(МО)2 ї (0+ + Д/[-/21(0 іА+/22(0 2,Р2] + о(Д0- (3.26) Используя выражение (3.20) для Дг(0 имеем м{д/(ОР,(ОІ (0} KA-i -№\1)т&+о(А0, M{(Ai(t))2P1(t)\i(t)} = (Xl + i(t)[i)Pl(t)At + o(At). Подставляя все это в (3.26), имеем - i МІ(0 + ЬгРгЫО]+ (д0 Усредняя это выражение, отсюда обычным путем получим m 2i(t) = 2Xlml(t)-2m2l(t) + XlPl(t) + + \iml(t)-Xlplm2l(t) + X2p2m22(t) Аналогично может быть выведено и второе уравнение т 22 (0 = 2?,2т2 (/) - 2 22 (0 + Х2Р2 (t) + + \m2(t)-X2p2m22(t) + Xiplm2l{t) Опять таки рассмотрим лишь стационарный режим. Обозначая Hm m2k(t) = т2к из (3.27а) и (3.276) получаем систему двух уравнений /-»03 (2 + /,/7, )т21 - 12р2т22 = (1 + 2/1)т1 + /, Д,, 2g -l\Pim2l + {2 + l2p2)m22 = (1 + 2/2)т2 +/,й2 Можно выписать аналитическое решение этой системы, но оно очень громоздкое. Заметим лишь, что тгх + т22 = M{i } = т2. 3.4.3 Функция корреляции Рассмотрим функцию ад,/2) = Л {і(0/г(/2)}, г = 1,2, при /2 ґ,. Как и ранее, имеем /,(/2 + д0 = №) + Д 2))(Л02)(ї - КРА ) + (У МО + (д0 Умножим на /(/() и преобразуем получившееся выражение /(/1)/1(/2+Д0 = ДМ)[А( 2) + Д ) ( )-А( 2ЯІАД + ( 2) 2Д ]+О(Д0 Усредняя, получаем Kt(tl,t2+At) = Kl(tl,t2) + + At[ximl%{l) -ixiK J + X K t -X it y +oiAt) Отсюда обычным образом получается дифференциальное уравнение для К,(/,,/2): = ,7: -(1 + /, ) (/,,/2) + / ( , )]. (3.29)
Перейдем, наконец, к функции КД/1;/2) = Ks(txJ2)-mms S = U2, которая, по смыслу, является функцией кросс-корреляции процессов /(/) и /,(/). После несложных преобразований, уравнение (3.29) примет вид + (1 + 1) /,,/2)-/ 2(/,,/3)1 = 0. (3.30а) dt2 Аналогичное уравнение для K2(t{,t2) таково - + (1 + 2) 2( , )-/, ,(/,, )3-0. (3.306) dt2
Мы имеем, таким образом, систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно решить стандартными методами. Характеристическое уравнение для этой системы имеет вид = 0. (3.31) г + ц(1 + /,р,) -и/ / 2 -HAA z+ \i(l +12р2) Непосредственной подстановкой легко проверить, что корни этого уравнения равны z, =-ц, z2 =-І(1 + /ІА +l2P2) и общее решение системы (3.30а), (3.306) имеет вид ВД./г) = l2p2Ce- + De- M +i b V f где С и D — произвольные константы.
Полагая t2 = /, и используя полученные выше результаты, получим систему уравнений для определения С и D l2p2C + D тгх — тгПу, /,р,С - D = т22 — тт2, откуда получаем C(llpl+l2p2) = m2n2=D{i}, D = (m2 j — m22 - mmy + mm2 )/2, что и определяет полностью искомые функции кросс-корреляции.
Заметим, что К(/1,/2) = К1(/„/2) + К2(/,,/2) есть по смыслу функция корреляции процесса i(t). Для нее, при t2 tx получим или, в общем виде К ЬОДе" - 1, (3.33) что и дает функцию корреляции процесса i(t). 3.5 Асимптотическое исследование системы Найти точное распределение вероятностей для числа заявок, находящихся в системе, очень сложно. Проведем поэтому асимптотический анализ рассматриваемой системы методом, предложенным А.А. Назаровым в [56]. Полученные результаты применимы в случае больших загрузок. Покажем, что при да процесс i(t) аппроксимируется диффузионным процессом. М Введем процесс 2, если Щ) — . Обозначим P(i(t) = i,k(t) = k) Pk(i,t). Тогда, на основании графа переходов изучаемой системы (см. рис. 3.2), можем записать P](iyt + At) = {\-(Xl+ili)At)P](i,t) + XlAt -Pi)P lt)+ ,-.. ч (3.34а) + (i + l)liAtPl(i + \,t) + X2Atp2P2(i-\,t) + o(At), P2(i,t + At) = (\-(X2+iii)At)Pl(i,t) + X2At(\-p2)P2(i-\,t)-i (3.346) + (i + l)liAtP2(i + l,t) + XlAtp]Pl(i-l,t) + o(At).
Отсюда обычным способом получаем систему дифференциальных уравнений для Pk(i,t): т M+aI+Wft0= (335a) = , (/-1,0 + (1 + 1) (/+1,0 + 2 2 2( -1.0. №+( ї+адад,)= (3356) + 2 (/-1,0 + 0 + 01 2 + 0 + 1 1 ( -10 Опишем теперь случай больших загрузок. К его определению можно подходить по-разному, но мы, следуя методу А.А. Назарова [56], рассмотрим случай, когда интенсивность обслуживания ц. мала, точнее, асимптотика получится в предположении, что р. — 0.
Обозначим д = є2, \xt = t. Перейдем от процесса /(0 к процессу е2/ = pi = х(т) + гу, где х(т) — некоторый детерминированный процесс, который будет определен ниже, а у — случайная добавка. Кроме этого, введем функцию жк(у,т,в) = Pk(i,t)/s и будем считать ее непрерывной дифференцируемой функцией.
Общая характеристика программы
Написанная программа осуществляет имитационное моделирование исследуемых систем и численный расчет найденных характеристик.
Для однолинейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком численно вычисляются: условные средние длительности периода занятости СМО, при условии, что в момент начала периода занятости интенсивность потока была равна одному из двух возможных значений; финальные вероятности того, что период занятости начнется при значении интенсивности равной одному из двух возможных значений; условные (при условии, что интенсивность потока равна одному из двух возможных значений) стационарные плотности вероятностей незавершенной работы; безусловная средняя длительность периода занятости СМО, также есть возможность построения ее графика; безусловная плотность вероятностей незавершенной работы, также есть возможность построения ее графика.
С помощью имитационного моделирования однолинейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком находятся: условные средние длительности периода занятости СМО, при условии, что в момент начала периода занятости интенсивность потока была равна одному из двух возможных значений; безусловная средняя длительность периода занятости СМО; финальные вероятности того, что период занятости начнется при значении интенсивности равном одному из двух возможных значений;
Для бесконечно линейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком при значении интенсивности равной одному из двух возможных значений численно вычисляются: математическое ожидание числа заявок в системе; дисперсия числа заявок, находящихся в системе; функция корреляции числа заявок, с возможностью построения ее графика; средняя длительность периода занятости.
С помощью имитационного моделирования бесконечно линейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком находятся: математическое ожидание числа заявок в системе; дисперсия числа заявок, находящихся в системе; функция корреляции числа заявок, с возможностью построения ее графика; средняя длительность периода занятости.
Для системы массового обслуживания с вытеснением заявки при дважды стохастическом входящем потоке и значении интенсивности равном одному из двух возможных значений: условные средние длительности периода занятости системы; финальные вероятности, того что период занятости начнется с состояния интенсивности потока находящейся в одном из двух возможных значений; безусловную среднюю длительность периода занятости; условные плотности вероятностей незавершенной работы; безусловную плотность вероятностей незавершенной работы с возможностью построения ее графика.
С помощью имитационного моделирования системы массового обслуживания с вытеснением заявки при дважды стохастическом входящем потоке находятся: условные средние длительности периода занятости системы; финальные вероятности, того что период занятости начнется с состояния интенсивности потока находящейся в одном из двух возможных значений; безусловная средняя длительность периода занятости.
Для работы с программой не требуется особых возможностей ЭВМ. Достаточно, чтобы на ЭВМ был установлен Windows 95-2000. Запуск программы осуществляется выполнением файла modelsmo.exe.
Главное окно программы состоит из: строки меню, рабочей области и строки подсказок отображающей краткие комментарии в течении работы с программой. Главное меню содержит пункты Файл, Редактирование, Расчет, Окно, Справка. А В меню Файл размещены стандартные команды: Новый — новое окно, Открыть — открыть файл, Сохранить — сохранить открытый файл с текущим именем, Сохранить как ... - сохранить открытый файл с новым именем, Печать — печать открытого файла на принтере, Выход — завершение работы с программой.
В меню Редактирование находятся команды для работы с буфером обмена данными — Вырезать, Копировать, Вставить. В меню Расчет находятся команды для расчета характеристик СМО.
Однолинейная СМО — расчет характеристик для однолинейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным пуассонов-ским потоком с двумя значениями интенсивности.
СМО с вытеснением заявки — расчет характеристик для однолинейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным пу-ассоновским потоком с двумя значениями интенсивности.
Бесконечнолинейная СМО — расчет характеристик для однолинейной системы массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным пу-ассоновским потоком с двумя значениями интенсивности. В меню Окно находятся команды для работы с окнами программы.
Чтобы завершить работу с программой надо выбрать команду Выход в меню Файл или нажать комбинацию клавиш Alt + F4. Если в данный момент имеются открытые документы, не сохраненные на диске, то программа выдаст предупреждение об этом и предложит сохранить документ. Если же документы не изменялись или были сохранены ранее, то предупреждение не появится.
