Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные аспекты математического моделирования систем стохастической динамики и случайных процессов 44
1.1. Основания и принципы предметной области 44
:1.2. Краткая историческая справка и обзор предметной области 51
1.2.1. Этапы математического описания и фильтрации случайных процессов 51
1.2.2. Эволюция теории синтеза фильтров случайных процессов 53
1.2.3. Уравнения стохастической динамики 55
1.3. Обзор и сравнительный анализ моделей динамических случайных процессов 59
1.3.1. Фильтры Калмана и Пугачёва 60
1.3.1.1. Задача оптимальной фильтрации 60
1.3.1.2. Задача субоптимальной нелинейной фильтрации 61
1.3.1.3. Методы получения субоптимальных фильтров. Обобщённый фильтр Калмана-Бьюси 62
1.3.1.4. Задача условно-оптимальной фильтрации. Фильтры Пугачёва 66
1.3.2. Основные современные подходы в моделировании динамических случайных процессов 68
1.3.2.1. Структурная основа фильтра Калмана 69
1.3.2.2. Эконометрический подход 71
1.3.2.3. Полиномиальная модель Брауна с последовательной фильтрацией ; 73
1.3.3. Структурная классификация Колмогорова нестационарных случайных процессов 76
1.3.3.1. Описание движения случайными процессами со стационарными приращениями 76
1.3.3.2. Структурные функции 78
1.4. Выводы 80
ГЛАВА 2. Обоснование и разрешимость проблемы математического моделирования динамических случайных процессов 82
2.1. Предметная область. Нестационарные случайные процессы,
содержащие информацию о поведении эволюционирующих сложных систем 85
2.1.1. Описание динамики сложной системы 86
2.1.2. Динамическая система с дискретным временем 90
2.1.3. Проблема вложения каскада в нелинейный процесс 93
2.1.4. Случайные процессы, отражающие эволюцию системы. Динамика основной тенденции случайного процесса 93
2.1.5. Стационарные приращения высокого порядка 94
2.1.6. Определение структуры модели ДСП 96
2.1.7. Исходные данные математического описания 97
2.2. Альтернирование и регуляризация математических моделей сложных систем 99
2.2.1. Альтернирование систем, моделей 100
; 2.2.2. Регуляризация плохо обусловленных задач моделирования 103
2.2.3. Асимптотическое поведение динамической системы с дискретным временем 104
2.3. Алгоритмические модели с рекуррентной структурой 105
2.3.1. Эффективность рекуррентных процедур 105
2.3.2. Алгоритмические модели 107
2.4. Структурные функции случайных процессов со стационарными приращениями ПО
2.4.1. Верификация моделей и тесты эволюционности процесса 110
2.4.2. Структурные функции оценок математического моделирования ДСП 112
2.5. Требования к формируемым моделям динамических случайных процессов 116
2.6. Выводы 120
ГЛАВА 3. Формирование конфигурации динамической предикторной модели. состав: ядро, параметровариатор, каскадный фильтр 122
3.1. Направленность и цели математического описания случайных процессов. Динамические модели 124
3.2. Формализация динамического ядра алгоритмической модели с использованием рекуррентного эффективного преобразования фильтрации 126
3.2.1. Условия формирования конфигурации модели 126
3.2.2. Формализация модели первого порядка 129
3.2.3. Формализация модели второго порядка 132
3.2.4. Формализация модели осциллирующего полезного сигнала 133
3.2.5. Формализация моделей высших порядков 135
3.3 Конфигурация структурных модулей ДПМ. Ядро, предиктор, параметровариатор, каскадный фильтр 137
3.3.1. Распараллеливание информации. Реконструкция многомерной
структуры сложной системы 137
3.3.2. Критерии эффективности 139
3.4. Каноническая форма ДПМ и особенности моделей сложных систем. 140
3.4.1. Соответствие структур ДПМ и динамической системы 140
3.4.2. Особенности моделей сложных систем. Нелинейное статистическое
оценивание 143
3.4.3. Модельные структурные и кросс-структурные функции 146
3.5. Выводы 147
ГЛАВА 4. Каскадная фильтрация в динамических моделях случайных процессов 150
4.1. Экспоненциальный оператор фильтрации, как инструмент
исследования динамических случайных процессов 151
4.1.1. Формы оператора экспоненциальной фильтрации 152
4.1.2. Свойства операторов одноуровневой фильтрации 156
4.2. Динамический статистический анализ 162
4.3. Каскадный фильтр 165
4.4. Расчёт параметров фильтрации каскадного фильтра 174
4.4.1. Изолинии 175
4.4.2. Настройка параметров фильтрации в интегрированной
динамической предикторной модели 177
4.5. Выводы 181
ГЛАВА 5. Настройка параметров динамической модели методом адаптивного случайного поиска 184
.5.1. Адаптивные возможности случайного поиска 185
.5.2. Информатное оценивание адаптации случайного поиска 195
5.3. Адаптация случайного поиска методом направляющего конуса 199
5.3.1. Постановка задачи 202
5.3.2. Пробный анализ 204
5.3.3. Характеристики распределения-конуса 205
5.3.4. Расчёт осевого направления конуса 207
5.3.5. Определение качества результатов поиска 209
5.3.6. Адаптация параметров и стратегии поиска 210
5.3.7. Выбор величин рабочего и пробного шагов в окрестности , оптимума 211
5.3.8. Расчёт величины рабочего шага поиска вдали от оптимума 211
5.4. Тестирование поиска 213
5.4.1. Графическая интерпретация поверхности Q 213
5.4.2. Тестовые функции 213
5.4.3. Условия сходимости адаптивного случайного поиска 215
5.5. Выводы 217
ГЛАВА 6. Алгоритмизация разработок, программная реализация и вычислительный эксперимент 220
6.1. Исходные данные. Основные виды информации 221
6.2. Постановка задачи. Критерии и методика эксперимента 222
6.2.1. Объект исследования и его характеристики 222
6.2.2. Критерии вычислительного эксперимента 223
6.2.3. Критерии отбора алгоритмов в вычислительном эксперименте... 225
6.2.4. Модели эксперимента 226
6.2.5. Методика вычислительного эксперимента 229
6.2.6. Имитация объекта 232
6.3. Выбор языка разработки. Программные средства 233
6.3.1. Язык С# как средство программной реализации 233
. 6.3.2. Программная реализация 236
6.4. Сравнение и исследование свойств моделей динамических случайных процессов 239
6.4.1. Сравнительный анализ моделей 239
6.4.2. Исследование свойств ДПМ 242
6.4.3. Прогноз 246
6.5. Алгоритмизация метода адаптивной настройки параметров моделей для экспериментальных исследований 248
6.6. Выводы 256
ГЛАВА 7. Внедрение результатов дпм-моделирования 259
7.1. Оценка состояния обрабатываемой поверхности изделия на основе ДПМ-моделирования для поддержания эффективного состояния режущего инструмента 259
7.2. Идентификация собеседника по аудиозаписи в зашумлённом помещении 270
7.2.1. Экспорт данных 273
7.2.2. Особенности идентификации индивидуальности звукового источника 274
7.2.3. Дискретизация 276
7.2.4. Сложности, связанные с оцифровкой 277
7.2.5. Кодирование экспортируемых цифровых аудиосигналов 279
7.2.6. Моделирование 279
7.3. Численное ДПМ-моделирование вязкости по Муни сополимера 280
7.4. Выводы 287
Заключение 290
Литература 292
Приложения 310
- Обзор и сравнительный анализ моделей динамических случайных процессов
- Динамическая система с дискретным временем
- Формализация модели первого порядка
- Свойства операторов одноуровневой фильтрации
Введение к работе
Актуальность темы. Проблема математического моделирования нестационарных случайных процессов возникает в задачах исследования сложных систем, под которыми понимаются эволюционирующие системы в условиях неполной и статистически неопределённой информации.
Научно-технические работы по математическому моделированию нестационарных случайных процессов в основном не используют конкретную классификацию таких процессов, лишь отрицая их стационарность и указывая на зависимость их параметров от времени. Далее постановка задачи оценивания процессов упрощается до признания их реализаций однородными на интервалах исследований и они исследуются как эргодические процессы без учёта нестационарных особенностей исходных процессов.
Методология моделирования, разработанная в каждой предметной области, всегда выделяется в самостоятельное научное направление, основанное на интеграции поставленных задач и методов смежных дисциплин. Математическое моделирование динамических случайных процессов представляет собой самостоятельное научное направление, основанное на интеграции задач и методов теории случайных процессов, математической статистики, математической теории систем и разностных схем, статистической поисковой оптимизации и вычислительной математики. Для эффективного решения проблемы математического моделирования нестационарных случайных процессов следует учитывать причину возникновения этих процессов, которая связана с исследованиями движения сложных объектов, в биологических и социальных системах, в ГИС, т.е. с исследованием сложных эволюционирующих систем.
Математическое описание нестационарных случайных процессов в условиях статистической определённости к данному моменту хорошо разработано для случая, когда случайный процесс представляет собой отклик линейной динамической системы первого порядка, искажённый несвязным гауссовским шумом. Оптимальной моделью для этих условий является фильтр Калмана, использующий статистически определённую информацию и основанный на учёте ковариационных взаимодействий в последовательности наблюдаемых величин. Но при нарушении указанных условий фильтр Калмана расходится.
В данной диссертационной работе сформулирована и разрешена актуальная проблема формирования и исследования математических моделей динамических случайных процессов, описывающих поведение сложных эволюционирующих систем в условиях статистической неопределённости и неполноты результатов наблюдений.
Поэтому становится актуальным развитие аппарата математического моделирования, преобразующего скалярную наблюдаемую информацию в адекватное описание многомерной системы, генерирующей данный процесс.
Для решения этой проблемы в настоящей работе была предложена и реализована методология формализации семейства динамических предикторных моделей с модульной структурой, относящихся к классу алгоритмических мо-
делей. Реализация динамических моделей представляет собой актуальное решение задачи численной аппроксимации поведения сложных систем в режиме реального времени. Полученные модели не только аппроксимируют траекторию системы на основе статистического подобия на отдельных временных интервалах, но и описывают динамику системы. Научное направление диссертационной работы актуально, поскольку продиктовано необходимостью разработки единой научной базы создания математических моделей важного класса динамических случайных процессов, отражающих поведение эволюционирующих сложных систем в условиях текущей информационной неопределённости.
Исследования по созданию математического и предметно-ориентированного программного обеспечения, направленные на внедрение в технических системах, дополняют актуальный характер настоящей работы.
Научно-теоретической основой данного исследования послужили труды: в области стохастической динамики – К.Ито, Р.Калмана, В.С.Пугачёва, И.П.Бусленко, которые, в свою очередь, опирались на работы А.Эйнштейна, М.Смолуховского и П.Ланжевена в исследованиях броуновского движении и диффузионных процессов; математического моделирования нестационарных случайных процессов и сложных систем в условиях информационной неопределённости с применением компьютерных технологий – В.С.Пугачёва, Л.А.Растригина, Я.З.Цыпкина; формализации алгоритмических моделей – С.В.Емельянова; в классификации, исследовании нестационарных случайных процессов и эволюции объектов – А.Н.Колмогорова, А.М.Яглома, А.С.Монина, В.И.Татарского; программирования итерационных алгоритмов – В.В.Воеводина, В.В.Андреева.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с научным направлением НОУ ВПО Международного института компьютерных технологий «Программные модели и системы: программные средства информационно-аналитического описания объектов в системах идентификации и навигации».
Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка каскадного подхода к синтезу динамических моделей случайных процессов со стационарными приращениями для повышения степени адекватности моделей с учетом динамической структуры процессов.
Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:
-
Изучение, анализ и теоретическое обобщение известных задач и методов математического моделирования нестационарных случайных процессов.
-
Разработка целостного научно-методологического подхода в формировании математического описания случайных процессов со стационарными приращениями, содержащих информацию о поведении сложных систем.
-
Формализация семейства динамических моделей, с выводом, в ходе доказательства основных утверждений, их структуры в составе каскадного фильтра, распараллеливающего измеряемую информацию, и динамического ядра, реконструирующего многомерную динамику сложной системы.
-
Анализ конфигурации динамических предикторных моделей, исследование каскадного фильтра с его эффективным преобразованием и модулей динамического ядра: предиктора и параметровариатора, формирующих оценки параметров модели.
-
Разработка адаптивных методов статистической поисковой оптимизации необходимых для параметрической настройки моделей.
-
Обоснование эффективности и применимости полученных моделей с помощью разработанных критериев. Разработка и тестирование алгоритмического обеспечения и предметно-ориентированного программного комплекса вычислительного эксперимента, используемого для исследования свойств и предметной области разработанных моделей.
-
Разработка алгоритмических и программных средств на основе результатов, полученных в диссертации, для внедрения в производство.
Методы исследования. Выполненные теоретические и экспериментальные исследования базируются на использовании математической теории систем, теории вероятности, теории случайных процессов, математической статистики, математического и функционального анализа, математического моделирования, вычислительной математики и поисковой оптимизации.
Тематика работы соответствует п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ»; п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели» паспорта специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
Научная новизна. Получены результаты, характеризующиеся научной новизной:
Теоретически и экспериментально обоснованный методологический
принцип формирования динамических моделей случайных процессов со ста
ционарными приращениями, определяющий новое научное направление, отли
чающийся использованием каскадной архитектуры при построении моделей,
что позволяет описывать динамику случайных процессов и сложных систем.
Семейство новых математических динамических моделей, отличаю
щихся наличием каскадного фильтра и динамического ядра, что позволяет ре
конструировать многомерную структуру сложной системы по скалярной реали
зации случайного процесса.
Динамическое ядро как многоуровневая структура, представленное
набором рекуррентных алгоритмов, восстанавливающее вектор многомерного
фазового пространства сложной системы.
Аналитический фильтр, предназначенный для создания структурного
вектора динамического случайного процесса из его скалярной реализации, ос-
нованный на каскадном подходе к фильтрации с использованием эффективного преобразования, обладающего свойствами фильтрации и динамики одновременно.
Численная процедура последовательного дифференцирования, рабо
тающая на данных, искажённых статистическим шумом, с использованием ди
намической модели на основе каскадной фильтрации.
Новый способ определения порядка статистических моделей, отли
чающийся процедурой сравнения структурных и ковариационных функций,
обеспечивающий совпадение с истинным порядком функции математического
ожидания динамического процесса.
Новый способ статистического описания динамики случайного про
цесса, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры мо
делирования динамики, отличающийся использованием оригинальной кросс-
структурной функции, определяющей статистическую и инерционную взаимо
связь между последовательными приращениями случайного процесса.
Новый численный метод адаптивного случайного поиска, отличаю
щийся обучением распределения вероятностей в пробном анализе, используе
мый для настройки параметров каскадного фильтра в условиях глобального оп
тимума.
Практическая значимость работы заключается в разработанных и компьютерно реализованных методиках математического моделирования динамических случайных процессов, в теоретическом и экспериментальном определении свойств динамических моделей и предметной области их функционирования, в алгоритмическом и программном обеспечении разработанных методик, а также в инструментальных средствах, представляющих собой процедуры и исследовательские технологии вычислительного эксперимента.
Разработан предметно-ориентированный программный комплекс, отличающийся универсальностью области применения и позволяющий проводить исследования в широком круге прикладных задач моделирования стохастической динамики и поисковой статистической оптимизации.
Результаты практических применений подтверждают, что разработанные модели, методы и алгоритмы позволяют получать эффективные оценки поведения сложных систем по реализациям динамических случайных процессов. Основные результаты диссертационной работы алгоритмически и программно представлены в производственных системах оценки качества продукции, контроля и управления персоналом и оперативного оценивания неизмеряемых параметров. Результаты работы востребованы в вузовском и послевузовском образовании и входят в лекции и лабораторные практикумы, учебные пособия и методики послевузовского образования, представлены в докладах и статьях аспирантов, связанных с математическим моделированием, исследованием операций, поисковой оптимизацией и программной реализацией результатов.
Внедрение результатов работы.
Имеются следующие реализации результатов диссертационной работы:
Результаты НИОКР «Разработка эффективной методики расчёта моментов смены режущего инструмента на станках с ЧПУ» (исполнитель к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), основанной на разработанной динамической модели, прошли опытную эксплуатацию и приняты к внедрению в виде подсистемы системы контроля качества на ОАО «АГРОЭЛЕКТРОМАШ», г. Воронеж.
Результаты ОКР «Разработка алгоритмического и программного обеспечения для персональной идентификации собеседника по аудиозаписи в зашум-лённой среде» (руководитель разработки к.т.н., с.н.с. Каладзе В. А.), использующей каскадную фильтрацию и разработанную динамическую модель, после испытаний в НПО ООО «Апогей», г. Воронеж, включены в программное обеспечение изделия «Голосовой распознаватель переговоров в кабине тепловоза».
Результаты диссертационного исследования используются в учебном процессе Международного института компьютерных технологий при подготовке инженеров по специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», бакалавров и магистров направления «Информатика и вычислительная техника» и аспирантов по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
На программный комплекс «Предметно-ориентированная среда алгоритмического моделирования динамики нестационарных случайных процессов», для проведения компьютерных исследований по теме диссертации получено Свидетельство о государственной регистрации Федеральной службой по интеллектуальной собственности.
Копии актов о внедрении и Свидетельство о государственной регистрации программного комплекса помещены в Приложении 1.
Апробация работы. Основные результаты исследований по теме диссертации были доложены на международных и всероссийских конференциях: на VII международной конференции «Современные сложные системы управления СССУ/HTCS ’2005» (Воронеж, 2005); 2-й международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007); Международной научной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» (Воронеж, 2007); 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12-й международной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); 21-й международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008); Всероссийской научно-практической конференции «Информатизация образования. Информационные технологии в АСУ» (Воронеж, 2008); Международной научно-технической конференции «Информационные и управляющие системы в пищевой и химической промышленности» (Воронеж, 2009); Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2009); Международной научной конференции «Информационные технологии в связи, вычислительной технике и энергетике» (Воронеж, 2010); Всероссийской конференции «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах» (Москва-С-Петербург-Воронеж, 2010); 1-й
Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных и информационных систем» (Воронеж, 2011); Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях» (Воронеж, 2011).
Публикации. По материалам диссертации опубликованы 50 печатных работ, из них: 15 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ, 1 монография (изд-во «Lorman, MS, USA: Science Book Publishing House»), 1 Российское Свидетельство о государственной регистрации Федеральной службой по интеллектуальной собственности Программного комплекса.
Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате: [5-7, 23, 36, 41, 42] – математическая модель; [1-4, 10, 24, 35, 40, 43, 46, 49] – методы и алгоритмы моделирования; [34, 44, 47. 50] – проведение вычислительного эксперимента; [44, 47, 50] – постановка задачи и алгоритмическое обеспечение программных модулей; в [17-22] – постановка задачи, алгоритмическое обеспечение и программная реализация каскадного фильтра; [10, 48, 49] – методика проведения инженерных расчётов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы – 320 страниц текста, из них 309 страниц – основное содержание, включая 34 рисунка и 5 таблиц.
Обзор и сравнительный анализ моделей динамических случайных процессов
Унифицированность приёмов разработанной методики формирования семейства математических моделей динамических случайных процессов позволяет создавать модели любой степени сложности для типовых ситуаций и модифицировать их в зависимости от требований задачи.
Динамические предикторные модели осуществляют многократное последовательное преобразование одномерного метрического пространства измерений в многомерное фазовое пространство модели, идентичное фазовому пространству системы. В процессе математического моделирования ДСП алгоритмической моделью ДИМ проводится реконструкция многомерной динамики сложной системы, обеспеченная распараллеливанием скалярной случайной временной последовательности каскадным фильтром в структурный вектор 5 модели.
Модели ДИМ предназначены для фильтрации случайного процесса со стационарными приращениями, как информационного образа сложной системы, представленного в расширенном фазовом пространстве И/П+2. Алгоритмические модели ДИМ, формализуемые по единственной реализации таких процессов, решают задачи численной идентификации текущего состояния стохастической динамической многомерной системы в условиях информационной неопределенности.
С использованием динамической модели на основе каскадной фильтрации впервые сформирована численная процедура последовательного дифференцирования по скалярным значениям аналитической функции, работающая на данных, искажённых статистическим шумом, являющаяся продолжением известных теорем Такенса в регулярном случае.
Введённая модельная форма структурных функций, в которой, как аппроксимация основной тенденции М[У(7)] используется ДПМ-модель динамического случайного процесса, позволяют достаточно просто рассчитывать структурную функцию и-го порядка при стационарности п-го последовательного приращения. Модельные структурные функции позволяют также оценивать эффективность и адекватность моделирования динамических случайных процессов.
Предложен метод исследования динамики случайных процессов со стационарными приращениями статистическими методами через установление взаимосвязи между последовательными приращениями динамического процесса, как между случайными процессами, но с учётом инерционности изменения их характеристик, обеспечивающий снижение вычислительной сложности процедуры моделирования динамики случайных процессов.
Для определения численных значений взаимосвязи, в которой участвуют последовательные приращения высших порядков, предлагается использовать разработанные кросс-структурные функции, позволяющие оценивать динамическую взаимосвязь характеристик случайных процессов со стационарными приращениями.
На основе сравнения структурных и ковариационных функций разработан способ, отличающийся процедурой определения порядка статистических моделей, что соответствует выбору эффективной структуры этих моделей, обеспечивая совпадение с истинным порядком функции математического ожидания динамического процесса. Таким образом, стационарность приращения, как и супремальность (адекватность без информационной избыточности) формы модели, устанавливается из соотношения структурной и ковариационной функций.
Разработанные в диссертации динамические предикторные модели, в отличие от многих субоптимальных моделей, обладают общей теоретической базой и единым методологическим подходом, отличаются простой, чётко выделенной, обоснованной конфигурацией и конкретной предметной областью их применения.
Моделью, близкой динамическим предикторным моделям по применению к системам стохастической динамики, является оптимальный фильтр Калмана. Он также ориентирован на фильтрацию и прогноз в реальном времени динамических случайных процессов по единственной наблюдаемой фазовой компоненте. Однако идентификация этого оптимального фильтра жёстко связана с характеристиками моделируемой системы: система должна быть линейной с динамикой первого порядка при наличии в системе шумов гауссовского типа. Кроме того, формирование фильтра Калмана основано на ковариационных оценках, что осложняет его работу в условиях нестационарности.
Вывод алгоритмических структур, представляющих динамические предикторные модели, не был связан ограничениями по типу и статистическим характеристикам искажающего шума, а также требованиями к конфигурации, характеру нелинейности, динамичности и параметрам функции сложной системы. Областью применения ДПМ могут быть задачи, возникающие на производстве, при обработке сигналов различной сложности, а также анализ социально-экономических процессов.
В четвёртой главе проведено исследование модуля каскадной фильтрации моделей семейства ДПМ. Структура каскадного фильтра определяет процедуры динамического статистического анализа данных мониторинга сложной системы, поступающих к исследователю в виде значений хронологического выборочного функционала динамического случайного процесса. Результаты преобразования представлены субгармониками процесса, используемыми процедурами параметровариатора при идентификации структурных параметров модели.
В связи с возникающими разночтениями понятия «каскадный фильтр» дадим необходимые пояснения.
Каскадная форма аналогового фильтра, действующего в частотной области, представляет собой последовательно соединённые фильтры, определённые из условия разложения частотного отклика результирующего фильтра, как полинома Ы-го порядка, на сомножители-полиномы порядка меньшего чем И-й. В цифровых КИХ-фильтрах происходит пропускание входных отсчётов, представляющих собой дискретную последовательность измеренных значений, как, например, в фильтре скользящего среднего (moving average), через последовательность регистров памяти, которую обычно называют каскадом.
Обе эти «каскадные формы» ни коим образом не связаны с динамической системой с дискретным временем, которая является каскадом, фомируемым как группа операторов на основе производящего оператора, который рассматривается как эффективное преобразование каскада.
В данном исследовании формализованный в ходе доказательств теорем каскадный фильтр представляет собой динамическую систему с дискретным временем, эффективным преобразованием которой является экспоненциальный фильтр.
Пренебрежение в выборе методов исследования нестационарных случайных процессов такой важной особенностью, как отсутствие у них генеральной совокупности, приводит к повышению вероятности принятия необоснованных результатах решений, даже при формально правильно поставленной задаче.
В этой связи в качестве эффективного преобразования в каскадном фильтре использован оператор экспоненциального среднего S(y), способный не только выделять полезный сигнал из неоднородной случайной выборки в режиме реального времени, но и учитывать динамику поступающей оперативной информации. В этой главе также проведено исследование основных форм экспоненциального преобразования.
Динамическая система с дискретным временем
На рис. 2.1.2 проиллюстрирована наблюдаемая динамика поведения на фондовом рынке сложной экономической системы РТС. Проиллюстрированная динамика сложной системы, действовавшей в предкризисный период, традиционно оценивается двумя вариантами аппроксимации направленности изменения её тенденции - линейной и кусочно-квадратичной.
Таким образом, наблюдаемая случайная временная последовательность (уг) может отображать: - поведение динамических систем управления; - динамику критериев эффективности; - динамику сложных систем и т.п. Характеристики рассматриваемых случайных процессов со стационарными приращениями (носителей информации о поведении эволюционирующих систем в фазовом пространстве) не только изменяются во времени, но и отражают информационное обесценивание ранее измеренных данных и инерционность системы.
Случайные факторы, в свою очередь, могут быть разной природы: внезапными, приводящими к скачкообразным изменениям в механизме формирования значений и({) входных факторов системы, влияющими на объект непрерывно в течение всего времени исследования, или действующими аппликативно несвязными множествами значений и постоянно присутствующими на всей допустимой области системы.
2.2. Альтернирование и регуляризация математических моделей сложных систем
Одним из серьёзных аспектов, влияющих на результаты математического моделирования динамических случайных процессов, которому многие исследователи не уделяют должного внимания, является квантование оси времени, определяющее дискретные моменты измерения данных, являющихся исходными для описания. По возможности следует учитывать динамику объекта и стохастическую обстановку при выборе промежутка квантования времени [7].
Но, если исследователь поставлен перед фактом конкретного разбиения, то в процессе моделирования надо учитывать все возможные последствия такой ситуации. Эта особенность, с которой исследователь часто сталкивается в ходе математического моделирования ДСП, накладывает существенный отпечаток, как на точность модельных оценок, так и на адекватность самой модели.
Появление в измерениях динамической ошибки, в частности, связано с необоснованностью выбора моментов наблюдения, что сказывается на работе рекуррентных алгоритмов моделирования динамических систем, когда оценки, полученные на предыдущем шаге, используются как начальные значения для текущих расчётов. В такой ситуации полученные наблюдения исследователями рассматриваются как значения в случайных сечениях, внося дополнительную случайность в наблюдения, что значительно усложняет процедуру фильтрации, особенно ту часть, которая связана с восстановлением полезного сигнала.
В некоторых работах [92, 88] указывается, что природа искажающего шума, действующего в динамической системе, может быть не только статистическая, но шум в таких системах во многом может определяться как детерминированный динамический хаос. Наблюдаемое хаотическое поведение в динамических системах предположительно возникает не из-за внешних или внутренних источников возмущений. Оно порождается собственной динамикой нелинейной детерминированной системы, когда она математически описывается в форме задачи Коши. Поведение такой системы, относительно представлений исследователя определяется как случайное, даже если в её феноменологическом описании отсутствует случайность.
Хаос в динамике означает чувствительность динамической эволюции к изменениям начальных условий задачи. Ряд экспериментаторов, имеющих дело с хаотической динамикой, делают попытки найти показатели, указывающие на наличие свойства детерминированного хаоса в системе. Так в [83] с этой целью исследовали разработанные алгоритмы вычисления показателя Ляпунова Ь. Было установлено, что для регулярных движений Ь = 0, но в хаотических режимах Ь 0. Таким образом, признак Ь может являться своего рода критерием хаоса.
Однако не следует забывать, что понятие динамического хаоса относится, в первую очередь, к математическим динамическим системам, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Данное исследование направлено на математическое моделирование реальных динамических систем, отличающихся сложным поведением и, необязательно, описываемых в каждом конкретном случае конкретной системой дифференциальных уравнений с конкретными начальными условиями. Поэтому, в данном исследовании используется термин «альтернирование», как наиболее точно описывающий ситуацию внезапного нарушения, по разным причинам, согласованности реальной сложной системы и её математической модели.
Альтернирование - это рассогласование между системой и моделью, возникающее на достаточно длительном интервале времени после относительно кратковременного их соответствия. И не столь важно для рассматриваемой проблемы, что является тому причиной - несовершенство модели или изменчивость системы.
Понятие альтернирования динамической системы впервые было использовано Я.З. Цыпкиным [133] применительно к импульсным системам управления, когда поведение системы наводит исследователя на мысль, что структура и/или параметры системы начали меняться, и необходимо менять закон управления, а соответственно и модель, на которой этот закон основан. Таким образом, сама система может и не меняться, а претерпевают изменения предложенные исследователем закономерности, связывающие данные измерений. И, следовательно, модель должна сменить свою структуру и значения параметров и, что важно, принять новые начальные значения.
Формализация модели первого порядка
Введение адаптивного параметра а позволяет получить робастную оценку дисперсии, а при замене п на н + 1 это выражение определяет текущую оценку точности прогноза случайной временной последовательности. Для оценки текущих значений ковариационной функции случайного процесса можно сформировать соответствующую рекуррентную зависимость
Выражения (4.1.9) и (4.1.10) можно использовать [51] для формирования хорошо обусловленного варианта фильтра Калмана. Заменяя в них преобразование (4.1.8) преобразованием (4.1.6), получим адаптивные варианты этих рекуррентных выражений.
В литературных источниках операция оценивания скользящего среднего представлена конечной формой оператора А„ для некоторого временного промежутка длиной т, называемого «окном скольжения» в процедуре фильтрации, а далее следует словесный комментарий о способе перемещения этого окна. Однако для скользящего оператора легко получить [61] аналитическую итеративную форму представления Объём памяти фильтра (4.1.11) определяется величиной т, которая в однородном случае для повышения точности оценки должна увеличиваться. Для адекватного отслеживания переменного полезного сигнала величина т может определяться из обратной пропорциональной зависимости к скорости изменения значений выделяемой последовательности: чем выше скорость, тем меньше должен быть объём памяти. В этом компромиссном выборе и состоит метод параметрической настройки оператора Стп. Возможна взвешенная модификация оператора Стп, но полная неясность в способе определения весов такой процедуры препятствует её практической реализации. В концепции скользящего среднего заложена систематическая ошибка, обусловленная стратегией конечного оператора накопления. У скользящего среднего получаемая оценка всегда относится к середине окна фильтрации, что легко усмотреть [28] из непрерывной формы этого оператора из которой следует, что средняя оценка относится к середине отрезка интегрирования. Т.е. систематическая ошибка оценки скользящего среднего составляет 0.5(/и —1) - половину интегральной памяти оператора. Если момент / является текущим и значения на правой части отрезка [? — А, / + А] относятся к будущим состояниям и неизвестны, то усреднение проводится по левой части отрезка для момента - 0.5А, что при т - 1 = 2А/Д/, где Дг1 - величина цикла квантования, и определяет указанную оценку систематической ошибки скользящего оператора.
Традиционные конечные методы статистической идентификации систем (типа метода наименьших квадратов) основываются на различных способах решения систем алгебраических уравнений, не обладающих регуляризующими свойствами в задачах математического описания ДСП. В решении плохо обусловленных задач моделирования традиционно используются различные приёмы снижения статистической неопределенности в виде усредняющих процедур, использующих принцип среднего арифметического и эффективных в условиях статистической однородности наблюдений. В этом случае траектории состояния системы рассматриваются как фиксированные кривые на пройденном интервале наблюдений. Для расширения области статистической идентификации в сторону динамической статистики следует применять итерационные методы, которые имеют ряд существенных преимуществ по сравнению с конечными методами моделирования.
Итерационные методы, использующиеся при формировании математических моделей динамических систем, сами обладают важными свойствами сглаживания при условии, если они отвечают условиям сжатия отображения [62] и (см. п. 4.1 Главы 4), и самокоррекции за счёт информационного обновления в процессе моделирования в режиме реального времени. В связи с этим свойством, итерационные оценки, начиная с некоторого номера шага, не зависят от начальных значений. Скорость V затухания влияния начальных данных в итерационной процедуре можно определить [141] через характеристический корень Я полинома, находящегося в знаменателе передаточной функции такой системы где Я — наименьший по модулю корень, а т - расстояние по времени до начальных значений. Математические модели динамических систем разработанного семейства ДПМ используют оценки дифференциальных характеристик различных порядков к = 1, ...,«, а фазовые траектории их состояний описывают эволюционно изменяющиеся состояния системы в режиме нормальной эксплуатации.
При описании динамических случайных процессов, как в случае случайного процесса со стационарными приращениями, для определения ОТ, как функции математического ожидания М[У(?)] применения одноуровневого оператора не достаточно. Для этого надо строить аппроксимацию в соответствии с порядком основной тенденции. Если же эволюция ОТ высокого порядка, то следует учитывать динамические свойства, в дискретном времени отвечающие принципу подобия, которые определяются действием однопараметрической группы преобразований. В этом случае важным моментом является выбор производящего оператора. На эту роль в данной работе в качестве эффективного преобразования выбран оператор экспоненциального среднего. Такой выбор связан с его особенностями, важными в данном исследовании, такими как рекуррентная форма и динамические свойства, свойства фильтрации статистического шума в режиме реального времени и возможность обучения на уровне настройки его единственного параметра.
Для оперативной оценки фазовых состояний динамических систем при наличии статистической помехи наблюдения большинство других моделей динамических случайных процессов требуют достаточно объёмной измеряемой, а порой и достоверной априорной информации о вероятностных характеристиках исследуемого процесса, чаще всего гауссовского распределения. На практике получать информацию, отвечающую таким требованиям, в общем случае не представляется возможным. Чтобы математические модели ДСП, в большинстве являющиеся модификациями [5, 99, 152, 154] модели Калмана, работали в условиях неопределенности, прибегают к различного рода приёмам, способствующим придать устойчивость получаемым структурам, выведенным модифицирующими приёмами из состояния устойчивости исходной модели. Так, например, модификация Шмидта [181] связана с добавлением «фиктивного» шума, а во многих других применяют различные процедуры взвешивания, «замораживание» матрицы усиления фильтра и т.п. Все они, как и исходная процедура, априорно обуславливаются в постановках конкретными вероятностными характеристиками исследуемого процесса. Однако и другие, ставшие традиционными модели, независимые по структуре от фильтра Калмана, но созданные на ковариационных зависимостях, мало отвечают одновременным требованиям статистического подобия и динамического соответствия в описании динамических случайных процессов. Так модель Мехра [175] случайного процесса удовлетворительно работает только со стационарными объектами, а фильтр Язвинского [165] ориентирован лишь на некоррелированный характер шума.
В динамических моделях [70] и (Глава 3) для обработки неоднородной динамической статистической информации используется процедура мгновенной иерархической фильтрации в форме каскадного фильтра [58].
Исследуемые ДСП обладают двумя важными особенностями. С одной стороны, основная тенденция процесса по условиям пункта 2.1 Главы 2 и [71] реализуется в фазовом пространстве И/г+\ а с другой - структура ДСП определяется частотным спектром [91], на который влияют динамические характеристики сложной системы, диапазоны субгармоник которого выявляет каскадный фильтр [58].
Таким образом, возникновение подобного способа обработки информации связано с тем, что в динамическом случайном процессе, а, соответственно, и в наблюдаемой его реализации - случайной временной последовательности, содержатся сведения о вариациях состояний динамических систем.
Для корректного математического моделирования систем (и процессов, их представляющих) важно не только соответствие законов, которым они подчиняются, и законов математического описания, но и принадлежность их информационных множеств и множества модельных оценок изоморфным пространствам. Очевидно, что Я е Уп+ , / = /,/,...,/ е \УпЛ и при этом У” и Ц/П+1 изоморфны в силу унитарности оператора 5 () и каскадного фильтра. Каскадный фильтр представляет собой многократное последовательное преобразование одномерного метрического пространства К в (га+1)-мерное пространство Уп+] (п. 2.1)
Свойства операторов одноуровневой фильтрации
При разработке программного комплекса использована Visual Studio 2008 Express [161] — свободно распространяемая версия Visual Studio .NET, которая позиционируется как мощный инструмент программирования. Эффективный и в то же время бесплатный инструмент от Microsoft, с помощью которого можно осуществлять практически любые задачи, содержит полнофункциональный компилятор и дополнительные утилиты.
Проекты, созданные в Express Editions, можно свободно перенести в профессиональные версии Visual Studio.
Входящие в состав .NET Framework общеязыковая среда выполнения - CLR обеспечивает объектно-ориентированную модель программирования, имеет собственный загрузчик файлов, сборщик мусора, свою систему безопасности, потоки и др.; и библиотека классов — FCL предоставляет объектно-ориентированный API-интерфейс, определяет типы, с которыми работает программист.
Технология разработки программ в .NET Framework вкладывается в рамки RAD за счет повторного использования кода, управления ресурсами, многоязыковых возможностей, обеспечения безопасности, развертывания и администрирования. Важным моментом в разработке программного обеспечения явилась возможность использования имеющихся наработок, выполненных в среде Delphi. В Visual Studio возможно вызывать процедуры и функции, не только выполненные в промежуточном IL-коде, а библиотеки И; модули, написанные в Delphi.
, Для поддержки среды .NET Framework создан язык С#, являющийся наследником двух самых успешных в мире языков программирования: С и C++. Он использует их синтаксис, ключевые слова, операторы, усовершенствованную объектную модель. Также C# схож и с языком Java, другим потомком С и C++, например, в использовании промежуточного кода, динамическом обнаружении ошибок, управляемом выполнении программ.
Есть в C# и новшества, такие как делегаты, свойства, индексаторы, итераторы, анонимные типы, лямбда-выражения, язык запросов, упрощенное создание компонентов, т.е. средства, увеличивающие производительность разработки. Эти возможности оказались особенно важными при интеграции комплекса задач вычислительного эксперимента. Следует также отметить, что C# использует технологию компонентного программирования, что является несомненным его достоинством. Основные характеристики языка, как отмечено в [6.3], следующие: —C# учитывает все возможности .NET, т.к. создавался параллельно с ним; - C# полностью объектно-ориентированный язык, где даже типы, встроенные в язык, представлены классами; - C# использует возможности наследования и универсализации; - C# сохранил лучшие черты популярных языков программирования С и: C++, облегчая переход программистов к С#; - по сравнению с «родителями» язык стал проще и надежнее; - благодаря каркасу .NET Framework, повысилась эффективность, поскольку CLR является компилятором промежуточного кода, в отличие от виртуальной Java-машины; - мощная библиотека каркаса поддерживает удобство построения различных типов приложений на С#; - реализация, сочетающая построение надежного и эффективного кода, является немаловажным фактором, способствующим успеху С#. C# играет важную роль в производстве устойчивых к сбоям продуктов: ох настольных приложений до Web сервисов, от высокоуровневых решений в автоматизации бизнес-процессов до программ системного уровня и от однопользовательских продуктов до корпоративных решений в сетевых распределенных средах [128]. Язык C# стал одним из популярнейших и самым важным в 21 веке языком программирования. Версия 3.0 C# с включенным языком интегрированных запросов, по мнению Г. Шилдта [134], стала стандартом для новых языков программирования. В ходе непрерывного уточнения, адаптации и нововведений C# продемонстрировал способность быстро реагировать на потребности программистов в переменах.
В разное время были созданы авторские разработки в Delphi и C# в виде разрозненных программных модулей и комплексов, направленные на экспериментальное исследование динамических случайных процессов и созданных их моделей. Для объединения этих разработок были задействованы возможности программной среды Visual Studio .NET, позволяющие совместно эксплуатировать программные приложения, разработанные в Delphi и С#.
В ходе подготовки и проведения вычислительного эксперимента в среде Visual Studio .NET был создан специализированный программный комплекс, функционально представленный прикладными и управляющими модулями, обеспечивающими средства управления ходом эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ является проблемно-ориентированной средой для проведения в конкретной форме компьютерного эксперимента.
В связи со случайностью исследуемого процесса в ходе эксперимента многократно повторялись вычисления по обработке статистических данных при однотипных и изменяющихся исходных условиях и данных. Анализируя отчёты по проведённым исследованиям, часто принимались решения о повторениях отдельных их этапов с целью получения новых данных для уточняющих расчётов. Ошибка! Закладка не определена.
