Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор состояния проблемы анализа устойчивости и оптимизации стержней и лопаток турбомашин 8
1.1. Основные понятия 8
1.2. Обзор задач анализа устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами 10
1.3. Роль упрощенных моделей в проектировании лопаток ГТУ 14
1.4. Обзор состояния проблемы аэроупругости лопаток турбомашин 18
1.5. Связь задач анализа динамической устойчивости стержней и лопаток турбомашин 34
1.6. Актуальность и план работы 37
2. Сравнение численных методов исследования устойчивости стержней 38
2.1. Математическая модель стержня 38
2.2. Вариационно-разностный метод 44
2.3. Метод Бубнова-Галеркина и метод конечных элементов 46
2.4. Метод сагиттарной функции 48
2.5. Результаты анализа устойчивости 50
3. Модифицированный конечный элемент предварительно закрученного стержня для моделирования лопатки ГТУ 67
3.1. Математическая модель предварительно закрученного стержня 67
3.2. Проверка реализованного конечного элемента 78
3.3. Определение области применимости реализованной стержневой модели 84
4. Анализ аэроупругих колебаний лопатки турбины ГТУ 89
4.1. Обзор методов анализа флаттера лопаток турбомашин 89
4.2. Моделирование изгибно-крутильного лопатки ГТУ 98
5. Автоматизированное проектирование стержней и лопаток ГТУ по критерию динамической устойчивости 116
5.1. Задача оптимального проектирования стержней 116
5.1.1. Оптимизация в задаче устойчивости консольного стержня 122
5.1.2. Оптимизация в задаче устойчивости свободного стержня 128
5.1.3. Оптимизация колонны с дополнительной опорой 132
5.2. Применение методов оптимизации для повышения запаса аэроупругой устойчивости лопатки турбины ГТУ 140
Выводы 145
Литература
- Роль упрощенных моделей в проектировании лопаток ГТУ
- Вариационно-разностный метод
- Проверка реализованного конечного элемента
- Моделирование изгибно-крутильного лопатки ГТУ
Введение к работе
Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена численному исследованию особенностей динамической потери устойчивости стержней и лопаток турбомашин и разработке методики их оптимизации по критерию устойчивости. Фундаментальные результаты по численному и аналитическому исследованию динамической устойчивости и оптимизации таких систем получены в работах В. В. Болотина, В. И. Феодосьева, Г. Циглера, А. П. Сейраняна, А. А. Хорикова, В. А. Светлицкого, С. В. Аринчева, Н. В. Баничука, В. Б. Гринева, А. П. Филиппова, А. В. Шринивасана, Г. Фершинга, Ю. Сугиямы и др. Актуальность работы связана с тем, что в ней на основе аналогии между активно разрабатываемой в настоящее время задачей анализа устойчивости механических систем, зависящих от параметров и нагруженных неконсервативными силами и важной в плане практического применения задачей моделирования аэроупругой неустойчивости лопаток турбомашин проводится исследование особенностей динамической потери устойчивости этих технических объектов и разработка методики их оптимизации по критерию устойчивости. Не менее важным является проведенное в работе построение математических моделей таких технических объектов и выбор численных методов их анализа.
Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в развитии методики численного анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования конструкций при их нагружении неконсервативными силами. Работа направлена на практическое применение анализа бифуркаций собственных значений с целью повышения нагрузки потери устойчивости для ряда расчетных схем нагружения стержней следящими силами и моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбин газотурбинных установок. Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:
Сравнение численных методов анализа динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами.
Разработка модифицированного нелинейного конечного элемента закрученного стержня, позволяющего учесть различие положений центров тяжести и изгиба поперечного сечения стержня.
Численное моделирование изгибно-крутильного флаттера лопатки турбомашины.
5 4. Численная оптимизация формы стержней, нагруженных следящей силой, и пера лопатки турбомашины по критерию устойчивости.
Методы исследования. В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения теории упругой устойчивости и механики стержней, а также вариационные принципы. При численном моделировании использовались вариационные и разностные методы анализа динамики конструкций, методы решения больших разреженных систем линейных
уравнений, методы определения собственных значений заполненных и больших разреженных матриц, методы вычислительной газовой динамики. Для оптимизации конструкций применялись методы нелинейного программирования.
Достоверность и обоснованность результатов основаны на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела и газовой динамики, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов. Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата. Достоверность подтверждается соответствием результатов численного анализа устойчивости стержней и деформирования закрученных стержней с данными других авторов, полученными численно, аналитически и экспериментально.
Научная новизна. В рамках реализации методов анализа динамической устойчивости и оптимального проектирования стержней и лопаток турбомашин выполнено сравнение численных методов анализа устойчивости стержней переменного поперечного сечения при неконсервативном нагружении. На основе результатов этого сравнения разработан учитывающий разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейный конечный элемент предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и прочности лопаток турбомашин. С использованием созданного конечного элемента разработана методика численного моделирования изгибно-крутильного флаттера лопаток турбомашин и показана принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины стационарной газотурбинной установки в зоне рабочих режимов.
Методами оптимального проектирования получены новые оптимизированные формы консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при
нагружении следящей силой. Осуществлено повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру при условии постоянства центробежной нагрузки и геометрических ограничениях.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при численном анализе устойчивости распределенных неконсервативных систем и их оптимизации по критерию устойчивости. Эти результаты были учтены при разработке методики оценки запаса динамической устойчивости лопаток стационарных газотурбинных установок большой мощности, проектируемых компанией ООО «СП «Альстом Пауэр Унитурбо».
На защиту выносятся следующие положения:
Сравнение численных методов анализа, устойчивости стержней при
неконсервативном нагружении.
i Разработка учитывающего разницу положений центров изгиба и кручения сечений лопатки геометрически нелинейного конечного элемента предварительно закрученного стержня для экспресс-анализа собственных частот и прочности лопаток турбомашин.
Получение оптимизированных форм консольного и свободного стержней, а также стержня с дополнительной опорой в задачах их устойчивости при нагружении следящей силой.
Методика численного моделирования аэроупругих колебаний лопаток турбомашин, использующая разработанный КЭ- закрученного стержня; показанная с использованием этой методики принципиальная возможность возникновения изгибно-крутильного флаттера лопатки турбины газотурбинной установки в зоне рабочих режимов.
Повышение запаса динамической устойчивости лопатки турбины газотурбинной установки к изгибно-крутильному флаттеру методами оптимального проектирования при условии постоянства центробежной' нагрузки и геометрических ограничениях.
Апробация работы. Основные результаты диссертационный работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики» 4-6 мая 2006 г., Москва; 6-й международной конференции «EUROMECH Nonlinear Dynamics», Санкт-Петербург, 30 июня — 4 июля 2008 г.; 2-й
7 международной конференции «Physics and Control», 24-26 августа 2005 г., Санкт-Петербург; международной конференции «Nonlinear Dynamics», 14-16 сентября 2004 г., Харьков; 2-й международной конференции «Nonlinear Dynamics», 25-28 сентября 2007 г., Харьков, 6-й конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GMBH, 20-21 апреля 2006 г., Москва; 2-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей, 1-29 февраля 2008 г., Москва; общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна - 2005», 4-29 апреля 2005 г., Москва.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 научных работах ([58]-[61], [66], [67], [142]-[145]), из них в журналах по списку ВАК - две ([59],[61]). Публикации [66], [67] без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Диссертация изложена на 183 страницах, содержит 89 иллюстраций, 8 таблиц. Библиография включает 154 наименования.
Роль упрощенных моделей в проектировании лопаток ГТУ
Как было указано ранее, одним из примеров инженерной конструкции, подпадающей под определение стержня, является лопатка турбомашины, в частности, лопатка турбины стационарной газотурбинной установки (ГТУ) для производства электроэнергии. На рис. 1.4 а-г показан вид типичной ГТУ большой мощности и лопатки последней ступени ее турбины. Рабочая часть лопатки турбины стационарной ГТУ (ее перо) представляет собой вытянутое тело, максимальный поперечный размер которого (хорда профиля), как правило, меньше длины пера в 3-4 раза.
В настоящее время для расчета динамики (частот и форм свободных и вынужденных колебаний) и прочности (деформаций и напряжений, возникающих в материале) сопловых и рабочих лопаток турбомашин методом конечных элементов чаще всего используются объемные твердотельные или оболочечные модели. При современном развитии вычислительных средств затраты времени на проведение отдельных расчетов по этим моделям обычно соизмеримы со временем подготовки данных для них, и потому удовлетворительны. Иначе дело обстоит при необходимости проведения серии однотипных расчетов, в частности, в процессе приведения собственных частот колебаний проектируемой лопатки в соответствие с требованиями норм прочности. В этом случае для перебора множества конфигураций за ограниченное время возникает потребность в высокой скорости расчета. компрессоров и турбин достигается, в том числе, значительной закруткой периферийных сечений относительно корневых. Первые серьезные исследования закрученных стержней методами теории упругости были проведены для расчета лопастей пропеллеров С.А.Тумаркиным [65], П.М.Ризом [47], А.И.Лурье и Г.Ю.Джанелидзе [35]. И.А.Биргер [11] одним из первых предложил использовать для расчета лопаток турбомашин модель длинных призматических стержней, предложенную А.Лявом [111] и основанную на гипотезах Кирхгофа-Клебша для тонких стержней. Этот подход не учитывает взаимосвязь продольных, поперечных и крутильных перемещений и годится только для слабо закрученных стержней со сплошным поперечным сечением. И.А.Биргер также разработал полупространственную теорию стержней с призматическим сечением [12], [14] которая использует вышеупомянутую стержневую модель, дополненную решением задачи двумерной теории упругости для сечения. Этот подход позволяет верно оценить напряжения в поперечных сечениях, не учтенные моделью длинного призматического стержня. На основе работ [11], [35], [47], [65] Ю.С. Воробьевым [21], Б.Ф. Шорром [75], [76], [77], были созданы технические теории предварительно закрученных стержней, учитывающие связь между изгибными, крутильными и продольными перемещениями, вызванную предварительной закруткой и несимметричностью сечения. Гипотезой, лежащей в основе этих теорий, является утверждение о том, что кручение предварительно закрученного стержня вызывает его сжатие или растяжение, так как изменяется длина продольных винтовых волокон его материала. В стержнях с несимметричным поперечным сечением такое изменение длины волокон вызывает не только продольные усилия, но также и изгибающие моменты. Наоборот, изгиб предварительно закрученного стержня вызывает его кручение, так как различные винтовые волокна подвергаются различной степени деформации. Общие уравнения технической теории закрученных стержней наиболее подробно изложены в работе Ю.С. Воробьева, Б.Ф. Шорра [22]. Уравнения равновесия прямолинейных естественно закрученных стержней также можно найти у В.А. Светлицкого [48].
Многие стержневые модели лопаток турбомашин [55], [90], [134] предполагают совпадение центров тяжести и изгиба их поперечных сечений. Такое допущение верно для стержней двусимметричного поперечного сечения, рассмотренных выше (см. 2.2) [70], для стержневых моделей лопаток турбомашин данный подход вносит заметные погрешности в модель, оценке которых, в том числе, посвящен раздел 3 настоящей работы. По-видимому, первыми учли различие в положениях центра тяжести и изгиба в уравнениях линейных изгибно-крутильных колебаний прямых стержней СП. Тимошенко и Д. Янг [147]. Линейная теория колебаний предварительно закрученных стержней, учитывающая несовпадение центров тяжести и изгиба, представлена в работах Дж. Рао и др. [139], Дж. Монтои [115], А. Баумгарта [81].
В работе Ю.М. Темиса и В.В. Карабана [55] впервые была реализована нелинейная модель предварительно закрученного стержня, использующая для описания деформации члены второго порядка малости, что позволило существенно повысить точность расчетов и учесть нелинейные эффекты, такие как изменение центробежной нагрузки, действующей в на вращающуюся лопатку в процессе ее деформинования.
Вариационно-разностный метод
Рассмотрим применение вариационно-разностного метода [54] к решению задачи Бека для упругого стержня. Преобразуем уравнение (2.18), умножив его на весовую функцию w() C[o;i], удовлетворяющую всем граничным условиям, накладываемым на v(), и проинтегрируем полученное уравнение:
Интеграл может быть аппроксимирован как по формуле трапеций, обеспечивающей второй порядок аппроксимации, так и формулам Симпсона (4-й порядок), прямоугольников (1-й порядок). Группируя слагаемые при w-h получаем из (24): wlfi(vi,v2,...,vN) + ... + wNfN(vl,v2,...,vN) = 0, (2.25) где fi являются линейными функциями своих аргументов. Так как w(x), за исключением границ, является произвольной функцией, выражение в левой части (2.25) равно 0, если /і —/ = ... =/v= О, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Vi,...,VN /(v„...,v„) = 0 (2.26) /„Oi,-, ) = О которая всегда допускает представление в виде Kv+tf 2Mv = 0. (2.27) Матрицы не зависят от со2. К характеризует жесткость системы, в неё также входит величина нагрузки Р. Размерность матриц К и М равна числу узлов разностной схемы N, которое является параметром дискретизации вариационно-разностного метода. Конечноразностная аппроксимация в данном случае приводит к пятидиагональным ленточным матрицам. Учет граничных условий (20) методом множителей Лагранжа [54] приводит к системе вида где конечноразностная аппроксимация граничных условий (2.20) имеет вид Xv = 0. Теперь частоты со2 консольного стержня в задаче Бека можно определить как собственные числа в обобщенной проблеме собственных значений (2.28). Совершенно аналогично вариационно-разностный метод применяется и к задаче Гопака. Необходимо сказать несколько слов о применяемых численных методах. Для числа узлов до 200 в качестве решателя задачи на собственные значения используется процедура DGVCRG из библиотеки численного анализа IMCL [101], предназначенную для определения всех собственных чисел в обобщенной проблеме собственных значений для заполненных действительных матриц вида Az = ABz, (2.29) основанная на QZ-алгоритме [101]. Если же число точек разностной схемы более 200, используется процедура DNAUPD библиотеки ARPACK [НО], использующая разреженность матриц для уменьшения времени счета (алгоритм представляет собой неявно перезапускаемый метод Арнольди [124], разновидность метода проекции на подпространство). Причина использования различных алгоритмов заключается в том, что для матриц малых размеров порядка нескольких сотен алгоритм Арнольди, как это было установлено на практике, может давать сбои в сходимости к собственным значениям. QZ алгоритм IMCL [101], в свою очередь, не рассчитан для анализа собственных значений редкозаполненных матриц, и его использование для матриц порядка более 200 приводит к резкому увеличению времени расчетов и переполнению оперативной памяти ЭВМ.
Метод Бубнова-Галеркина и метод конечных элементов Пусть теперь w(x) - решение задач, сопряженных к (2.18)-(2.21) [118]. Легко убедиться, что v() и w() для задач Бека и Гопака соответствуют стационарным точкам функционалов і J(v, w) = \(s{%)vV + pv (l)w(l)-pw V - m )arvw) d% [108] (2.30) о и 1 1 J(v,w)= l(stfyW -pvWw(0)m(t)-pv w \m(OdC-m(t)G)2vw)dt [33], 0 f соответственно. Условие стационарности функционала в комбинации с методом Бубнова-Галеркина либо методом конечных элементов дает простой способ дискретизации задачи. Остановимся на процедуре метода Бубнова-Галеркина в применении к рассматриваемой задаче [27], [33], [48]. Ищем решения в виде разложений по N базисным функциям
Проверка реализованного конечного элемента
Для проверки разработанного конечного элемента предварительно закрученного стержня была рассмотрена задача растяжения вытянутой предварительно закрученной полосы прямоугольного поперечного сечения. Данная расчетная схема, представленная на рис. 3.4, была экспериментально исследована в работе Б. Ф. Шорра [76].
Оценим точность разработанной модели в предсказании величины упругой раскрутки такого стержня при растяжении. Помимо сопоставления с экспериментально замеренными значениями раскрутки сравним результаты, полученные при помощи стержневой расчетной схемы с результатами аналогичного расчета по объемной твердотельной конечноэлементной модели. Использованные в ней элементы являются 20-ти узловыми квадратичными прямоугольными параллелепипедами; по толщине полосы сетка имеет как минимум 2 элемента. И для стержневой, и для твердотельной модели рассматриваются результаты как линейного, так и геометрически нелинейного расчета. Так как прямоугольное поперечное сечение обладает двумя осями симметрии, его центры тяжести и изгиба совпадают и в данном случае линейная стержневая модель соответствует модели, предложенной в [55], [90], [134] нелинейная — модели из [55]. Сравнение результатов приведено на рис. 3.5. Для случаев слабой закрутки (рис.3.5 а, б) заметно хорошее соответствие результатов, полученных с использованием всех расчетных моделей и эксперимента. В случае в величина упругой раскрутки по воздействием растягивающей силы существенно недооценена линейной моделью; реализованная нелинейная модель, напротив, демонстрирует хорошее совпадение с экспериментом и расчетом по твердотельной модели.
Для определения области применимости линейной стержневой-модели, широко используемой в (Процессе проектирования лопаток турбомашин [22], [115] были построены контурные диаграммы (рис. 3.6), отражающие величину 5 относительной погрешности расчета- с использованием стержневой модели: I где расскрутка pw вычисляется с использованием стержневой модели, q 3D — пространственной, модели (линейной и нелинейной), Ръй_мах является наибольшей раскруткой, стержня текущей конфигурации. Диаграммы построены в координатах /3-є. Штриховые линии соответствуют увеличению нагрузки в расчетных схемах рис. 3.5, а-в. Здесь параметр закрученности стержня, введенный Б.Ф: Шорром [76], удлинение стержня без учета его предварительной закрученности, характеристика приложенной растягивающей силы. Как следует из рис. 3.6 а, различие между линейной стержневой и прострагственной моделью не превосходит 10% для широкого диапазона параметров. Наибольшее расхождение между линейной стержневой и нелинейной твердотельной моделями наблюдается в области малых углов начальной закрученности (рис. 3.6 б). Это объясняется существенным изменением момента сопротивления кручению для стержня, раскрученного путем растяжения на углы, сопоставимые с его начальной закрученностью.
Из диаграмм рис. 3.6 следует, что линейная стержневая модель адекватно описывает лопатки с параметром закрученности /? = 0.8-1.3, что соответствует [22] типичной закрученности компрессорных и турбинных лопаток, но недостаточно для широкохордных лопаток современных вентиляторов. Роста погрешности также следует ожидать и для испытывающих значительные центробежные нагрузки тяжелых лопаток последних ступеней турбин.
Моделирование изгибно-крутильного лопатки ГТУ
Уравнение малых колебаний находящейся под воздействием нестационарных аэродинамических нагрузок вращающейся лопатки в конечноэлементной форме [80] имеет вид Mx + Cx + Kx = Faero(x,x), (4.11)
Получение уравнения движения в виде (4.11) полностью аналогично (3.20), (3.29). Здесь х(/) - вектор узловых перемещений, М - матрица масс (см. (3.29)), К=К7 - жесткости, включающая предварительное нагружение центробежными силами (3.29), С - демпфирования, вектор F (х,х) = aero \ 7 / вектор нестационарных аэродинамических нагрузок, вызванных колебаниями лопаток, в общем случае зависящий как от их перемещений, так и от скоростей. При записи (4.11) предполагается, что явно от времени аэродинамические нагрузки не зависят, то есть нестационарность в задачу вносится только движением лопаток, а не внешними факторами. Этот факт находится в полном соответствии с определением флаттера, данным автором [148] (см. раздел 1.4), таким образом, в дальнейшем моделировании аэроупругих колебаний лопаток мы ограничиваемся именно явлениями флаттера.
Подобно исследованию флаттера крыла самолета (см. раздел 1.4, [29] и формулы (1.5)-(1.6)) выражение для аэродинамичеких нагрузок обычно [85], [72] линеаризуется по обоим аргументам: Мх + (С + Сл)х + (К + К1)х = 0, (4.12) где матрицы СА и Кл, являющимся несимметричными дополнениями к матрицам С и К, отражают аэродинамическую жесткость и демпфирование. Линеаризация аэродинамических нагрузок по векторам перемещзений и скоростей лопатки допустима, так как нас в первую очередь интересует сам факт возбуждения аэроупругих колебаний, и, следовательно, их амплитуду можно считать сколь угодно малой. Так как для настоящего исследования интерес представляет колебательные решения уравнения (4.12), будем искать их в виде: х = Хе ш, (4.13) со - частота колебаний. Подставляя выражение в уравнение динамики (4.12), приходим к типичной обобщенной проблеме собственных значений [110]: {со2Ш + со{С + СА)+(К + КА)}х = 0. (4.14) Если G) = a + ib, (4.15) где я, Ъ - действительные числа, и Ь 0, колебания возрастают неограниченно и начинается динамическая потеря устойчивости (флаттер) лопатки ГТУ в виде бифуркации, описанной ранее в разделе 1.5. Хотя предложенная обобщенная проблема собственных значений (4.14) может быть решена непосредственно, авторы [85], [72] делают дальнейшее допущение, предполагая независимость нестационарных нагрузок, действующих на лопатку, от скорости ее колебательного движения. Таким образом, матрица Сл предполагается равной нулю. Данное допущение законно вследствие того, что скорости движения точек колеблющихся лопаток турбомашин и вибрирующего крыла самолета сильно различаются. Действительно, рассмотрим аналогию с формулой (1.5):
Для типичных лопаток турбомашин величина угла поворота лопаток при вибрации (до нескольких градусов) превышает величину отношения скорости движения (-0.5- 1м/с) и скорости набегающего потока (-200 м/с). Таким образом, второй член в скобках может быть опущен - пользуясь этой аналогией, авторы [85], [72] рекомендуют аналогично пренебрегать матрицей 100 C .
Несмотря на то, что существует известный парадокс дестабилизации неконсервативной системы малым внутренним демпфированием [86], [153] действие которого может привести к снижению предела устойчивости даже при исчезающе малой величине отношения x/V, в настоящей работе в дальнейших расчетах мы также пренебрегаем матрицей СА, так как согласно исследованиям динамики стержней, нагруженных следящими силами, такой процесс дестабилизации малым демпфированием, хотя и существует, реально приводит к дестабилизации лишь по прошествии весьма продолжительного периода времени (см. Приложение 3 и работу Ю. Сугиямы [123]). Важно упомянуть также установленное А.П. Сейраняном свидетельство [104], [105], [128] того, что малые внутренние диссипативные силы не всегда приводят к дестабилизации неконсервативной системы, а могут также вести к ее стабилизации. Исключение из рассмотренной задачи обтекания лопатки сил демпфирования также имеет методическое значение, так как позволяет продемонстрировать и правильно классифицировать взаимодействие собственных частот неконсервативной системы, не искаженное вязкими эффектами. По той же причине, в настоящей работе мы также пренебрегаем механическим демпфированием (С=0): за исключением случая дестабилизации малым внутренним демпфированием, упомянутого выше, который не приводит к немедленной потере устойчивости лопаткой при превышении критического значения нагрузки [123], остальные виды демпфирования (к примеру трение в замке лопатки) обладают стабилизирующим воздействием на конструкцию. В силу этого, полученные без учета демпфирования результаты анализа устойчивости являются оценками в запас, и потому с практической точки зрения приемлемы.
Похожие диссертации на Численный анализ математических моделей динамической устойчивости и оптимизация лопаток турбомашин
