Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование уширения спектра непрерывной волны накачки в волоконных световодах 16
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Математическая модель 20
1.3 Численные алгоритмы 25
1.3.1 Метод расщепления по физическим процессам . 26
1.3.2 Вычисление интегрального оператора 29
1.4 Результаты численного моделирования 31
2 Солитоны с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 40
2.1 Постановка задачи 40
2.2 Математические модели теории ДУ-солитонов 49
2.2.1 Основная математическая модель 49
2.2.2 Средне-квадратичный моментный метод 55
2.2.3 Метод, основанный на разложении по полиномам Гаусса-Эрмита 60
Оглавление З
2.2.4 Усредненные модели обобщенного нелинейного уравнения Шредингера 65
2.3 Численные методы 72
2.3.1 Алгоритм нахождения солитонного решения методом Петвиашвили стабилизирующей поправки 72
2.3.2 Вычисление интегрального оператора 74
2.4 Результаты численного моделирования 79
2.4.1 Получение ядра интегрального оператора 80
2.4.2 Устойчивость солитонного решения 85
3 Моделирование волоконных линий связи с оптической регенерацией сигналов 88
3.1 Постановка задачи 88
3.1.1 Оптические регенераторы 89
3.1.2 Вычисление коэффициента ошибки 90
3.2 Математические модели 92
3.2.1 Насыщающийся поглотитель 92
3.2.2 Смешение и разделение каналов 95
3.2.3 Модели фильтров 96
3.2.4 Математическая модель волоконного эрбиевого усилителя 98
3.3 Блок-схема программы для расчета и оптимизации волоконно-оптических линий связи 98
3.4 Результаты численного моделирования 102
3.4.1 Образование автосолитона 106
Оглавление
3.4.2 Примеры оптимизации конфигураций волоконно-оптических линий передачи со спектральным уплотнением каналов 109
Заключение 117
Литература
- Метод расщепления по физическим процессам
- Основная математическая модель
- Усредненные модели обобщенного нелинейного уравнения Шредингера
- Вычисление коэффициента ошибки
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Беспрецедентное увеличение пропускной способности волоконно-оптических линий связи обусловлено увеличением спроса на телекоммуникационные услуги. Действительно, за последние 25 лет суммарная скорость передачи информации выросла на пять порядков и достигла величины ~ 1 Тбит/с. Однако, даже такие скорости передачи информации не смогут удовлетворить все возрастающие потребности пользователей Интернета, поскольку их число непрерывно растет. Так, если в 1998 году в мире было около 25 млн. человек пользователей Интернета, то в конце 2005 г. число пользователей составило уже 970 млн. человек. Поэтому весьма актуальной является задача дальнейшего увеличения пропускной способности оптических линий связи, которое возможно либо путем расширения спектрального диапазона передачи данных, либо путем увеличения спектральной эффективности передачи данных, определяемой как отношение скорости передачи информации в одном частотном канале к расстоянию между соседними частотными каналами. Ключевую роль в модернизации существующих линий связи и в созда-
Введение б
ний будущего поколения высокоскоростных магистральных линий оптической связи играют методы математического моделирования, поскольку экспериментальные методы исследования этих систем зачастую оказываются невозможными, а возможности аналитических методов весьма ограничены.
Актуальность настоящей диссертационной работы определяется тем, что в ней методами математического моделирования решен ряд задач, способствующих разработке сверхскоростных магистральных линий передачи информации.
Целью работы является создание, тестирование и обоснование эффективных численных алгоритмов и реализующих их программ для изучения эволюции оптических импульсов большой амплитуды в оптоволоконных линиях связи сверхбольшой протяженности и способов управления параметрами сигналов при их распространении по волоконным линиям связи с целью существенного увеличения дальности передачи информации и пропускной способности этих линий.
Научная новизна. Разработан оригинальный эффективный численный алгоритм решения обобщенного интегрального уравнения Шредин-гера, основанный на рекуррентном методе вычисления интегрального оператора. Впервые определены основные характеристики процесса формирования оптического сигнала с ультра-широким плоским спектром в результате распространения и модуляции непрерывной волны накачки в волоконном световоде в режиме аномальной хроматической дисперсии.
Разработан новый эффективный численный алгоритм для построе-
Введение 7
ния солитонных решений в рамках усредненного обобщенного уравнения Шредингера. Найдены новые солитонные решения для важных в практическом отношении дисперсионных конфигураций волоконных линий связи.
Предложена конфигурация оптического 2R регенератора сигналов на основе полупроводникового насыщающегося поглотителя. Определены параметры конкретных конфигураций многоканальных оптоволоконных линий связи с дисперсионным управлением и периодически встроенными в них оптическими регенераторами, и установлено, что оптические сигналы в подобных линиях связи способны передаваться на расстояния порядка 8-Ю тысяч километров с пропускной способностью 40 Гбит/сек в одном частотном канале и спектральной эффективностью 0.2 бит/Гц/с.
Практическая ценность работы. Разработанные эффективные численные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть применены для решения задач выбора оптимальной конфигурации волоконно-оптических линий связи. Результаты исследований могут быть использованы для модернизации существующих линий оптической связи и при создании сверхбыстрых солитонных линий связи.
Основные положения, выносимые на защиту:
новый эффективный численный алгоритм решения обобщенного интегрального уравнения Шредингера с использованием рекуррентного метода вычисления интегрального оператора;
оригинальный экономичный численный алгоритм для решения нелинейного усредненного уравнения Шредингера в спектральной области,
Введение 8
основанный на теореме о свертке и методе стабилизирующей поправки;
новые солитонные решения нелинейного усредненного уравнения Шре-дингера в спектральной области для практически важных конфигураций волоконно-оптических линий связи с дисперсионным управлением (распределенной дисперсией);
методология эффективного уширения непрерывной волны накачки в широкополосных рамановских (ВКР) усилителях на основе эффекта модуляционной неустойчивости;
определенные на основе вычислительных экспериментов оптимальные параметры высокоскоростных волоконно-оптических линий связи со спектральным уплотнением каналов и оптических регенераторов сигналов, обеспечивающие максимальные дистанции распространения информационных сигналов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 131 страницу, включая 2 таблицы и 39 рисунков. Список литературы содержит 91 наименование.
Содержание работы
Во Введении формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, и приведено краткое ее содержание по главам.
Метод расщепления по физическим процессам
Запишем уравнение (1.11) формально в операторной форме ЗА = (D + N)A, (1.13) где D обозначает оператор линейной части, учитывающий дисперсион-ные эффекты и затухание, и N — нелинейный оператор. Они записываются в следующем виде Ь = -& +% (1.14) 2 8Т2 6 дТг 2 v Моделирование уширения спектра непрерывной волны накачки (1.15) N = i y \A? + ±\l(№)R№ uQAdTK] n dT Дисперсия и нелинейность действуют одновременно на протяжении всей длины оптоволокна. Метод расщепления по физическим процессам позволяет получить приближенное решение в предположении, что при распространении оптического сигнала на малое расстояние h нелинейность и дисперсия действуют независимо. Иными словами, распространение от z к z + h разделяется на два последовательных шага. Сначала действует только нелинейность, и D = 0 в (1.13). На втором шаге, учитывается только дисперсия, N — 0 в (1.13). Тогда формально решение выглядит так A(z + h,T) = exv[hD]exp[hN]A(z,T). (1.16)
Действие экспоненциального оператора exp[hD] можно выполнить в фурье-пространстве, следуя формуле exp[hD\B(z,T) = {F lexv[hD(iuj)}F}B(z,T), (1.17) где F обозначает операцию преобразования Фурье, D(iuS) получен из (1.14) при замене дифференциального оператора д/дТ на ш, и ш — частота в спектральном представлении. Использование быстрого преобразования Фурье [44] позволяет сделать численное вычисление (1.14) относительно быстрым. По этой причине данный метод может быть вплоть до двух порядков величины быстрее, чем большинство конечно-разностных схем [45].
Далее оценим точность предлагаемого алгоритма. Формально точное
Моделирование уширения спектра непрерывной волны накачки решение уравнения (1.13) можно записать в виде A{z + h,T) = exp[h{D + N)]A{z, T) (1.18) если N предполагается независящим от динамической переменной z. Известна формула Бейкера-Хаусдорффа для двух некоммутирующих one-раторов а и Ь ехр(а) ехр (6) = ехр a -+-S-I- -[a, S] + _[a-S,[a,S]] + ... (1.19) где [a,b] — ab — ba. Сравнение уравнений (1.16) и (1.18) показывает, что данный метод расщепления не учитывает некоммутирующую структуру операторов D и N. Используя (1.19) с a — hD и 6 = hN, получим, что определяющим ошибку членом является коммутатор h2[D,N]. Тогда схема (1.16) имеет глобальный первый порядок точности но шагу h.
Для повышения точности Фурье метода расщепления по физическим процессам могут быть использованы различные вычислительные процедуры, моделирующие распространение оптического импульса на расстояние длины h. Одна из таких процедур предложена ниже. Вычислительный алгоритм запишем в виде z+h z+h A(z-\-h,t) = ехр N(s)ds ехр hD ехр N(s)ds A{z,t). S+i (1.20)
Поскольку оператор (1.20) имеет симметричную структуру, то данный алгоритм известен как симметричный метод расщепления. Можно показать, что схема (1.20) имеет глобальный второй порядок точности по шагу h.
Основная математическая модель
Основным уравнением для описания эволюции ДУ-солитонов в волоконно-оптических линиях связи является уравнение (1.12), дополненное членами, учитывающими усиление и затухание оптических сигналов при их
Солитоны с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 50 распространении по волоконным световодам: где G(z) — член описывающий затухание (усиление) сигналов, конкретный вид которого зависит от типа усилителей, используемых для усиления оптических сигналов. Обычно производится следующая замена переменных A(z, t) = PoA(z, t)exp( / G(z )dz ). Тогда (опуская тильды) получим следую-Л щее уравнение с периодическими коэффициентами: +сг(г)й+еф)л2л=0- (13)
Здесь введены следующие нормировки: z измеряется в длинах ZQ (В км), определенной ниже; время t измеряется в to (в ПС); огибающая электрического поля выражается в единицах \/Лъ гДе Ро характерная мощность. Функция d(z) = ф) + (d) = -/32{z)Z0/(2tl) = Xl ZQD(Z)І (47Г Qtg) описывает периодическую компенсацию дисперсии (с периодом L в физических единицах). Периодическая (с периодом Za) функция ec(z) = c(z) + (с) = 2irn2PoZ0exp(f0z G(z )dz )/(X0Aeff) дает вариацию мощности за счет оптических потерь и усиления. Дистанция усиления Za и период дисперсионной компенсации L в общем случае различны. Можно рассмотреть общий случай, когда L and Za связаны соотношением nZa — mL = Zoc целыми пи га. В (2.3) расстояние z = Z/ZQ нормализована на минимальный из периодов ZQ функций d(z) and c(z).
Эффективный численный алгоритм для нахождения точных периодических решений уравнения (2.3) был предложен в работе [65]. Алгоритм для нахождения периодических решений имеет следующий вид:
Глава 2. Солитоиы с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 51
1. стартуем с некоторого произвольного распределения A(t) = Ao(t). Желательно стартовать с распределения, которое имеет приблизительно "правильные"параметры. Для этого можно использовать, например, некоторую априорную информацию;
2. рассматриваем распространение импульса по заданной периодической волоконно-оптической линии связи и вычисляем длительность импульса в фиксированной точке каждой секции линии. Например, в конце каждой секции. Если в этой точке длительность импульса уменьшается но сравнению со значением, которое он имел на предыдущей секции, то заносим иоле в массив Amin(t), в противном случае заносим поле в массив Amax(t);
3. определяем соседние экстремумы Amin(t) и Amax(t) за некоторое конечное число, вообще говоря, заранее неизвестных итераций. Каждая итерация соответствует одной периодической секции линии;
4. предполагая, что максимумы полей Amin(t) и Amax(t) находятся в точке t = О, определяем поле А (), как { } \AmU0)\ mm[ )+ \AmaM max[ h
5. по полю A (t) вычисляем поле Anew(i), которое имеет одинаковую энергию с исходным полем Anew(, W \j J\A (t)\4f
6. полагаем А о (t) = Anew(i) и вновь начинаем с пункта 1, пока периодическое решение не будет найдено с наперед заданной точностью.
Солитоны с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 52
Представим некоторые результаты по изучению свойств ДУ-солито-нов в волоконных линиях связи с мало-масштабной дисперсионной компенсацией и в системе с усилением оптических сигналов на основе волоконных рамановских усилителей с обратной накачкой. Для построения этих решений использовался численный алгоритм, приведенный выше.
В случае мало-масштабного дисперсионного управления [66]- [G8] расстояние между усилителями равно Za, и дисперсионный профиль является двухступенчатым с периодом дисперсионной компенсации L = Za/J (км). Хроматическая дисперсия отдельной секции волоконной линии связи задается в виде: ( d+(d), if ) z k-f, d(z)={ , fc = 0,1,2, ...,.7-1. [ЇТЇ + Ю, if k-f k-f, Здесь параметр a Є (0,1).
Следующие параметры использовались в численном моделировании: a = , d = ±16 + 0.1 пс/нм/км, коэффициент нелинейности a = 2 7г пгДАо A://) = 2.43 Вт_1км-1, потери в световоде a = 0.21 дБ/км. Расстояние между усилителями равно 40 км, период дисперсионной компенсации равен 4 км.
Рис.2.1 показывает, что эволюция основных параметров солитона вдоль одного периода носит асимметричный характер, вследствие световодных потерь. Быстрые колебания ширины, пиковой мощности и чирпа импульса сопровождаются экспоненциальным затуханием мощности.
Усредненные модели обобщенного нелинейного уравнения Шредингера
В данном разделе, следуя [79], будет показано, как с помощью процедуры гамильтоновского усреднения получить усредненное уравнение в спектральной области. Уравнение (2.3) может быть записано в гамильтоновской форме: В А ІЇН г— = {А, Щ = — = -ф)4, - ec(z) \А\2А, (2.27) с гамильтонианом +00 Я = ( (ф) At 2 -ефО/2 А 4) dt, (2.28) -сю и скобкой Пуассона, определенной следующим образом, +00 [ ( SF 8G 5F 5G \ 1 }" J \6A(ttz)5A (t,z) 5A%z)SA(t,z)J ( j
Солитопы с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 66
Реальный ДУ-солитон является решением уравнения (2.27) в форме A(z, t) = exp(ikz) M(z, t) с периодическими функцией M(z + L,t) = M(z, t). Цель теоретического анализа заключается в том, чтобы представить последовательный путь описания формы солитонов M(z,t) с различными к. Основная идея, предложенная в [80, 81], состоит в использовании малого параметра є для получения усредненной модели, которая дает систематическое описание ДУ-солитона в главном порядке. Усреднение не может быть выполнено непосредственно в уравнении (2.27) из-за сильного различия d (d). Однако, усредненное уравнение распространения может быть получено после перехода в частотную область и предварительного линейного преобразования. Подход, предложенный в [81], может быть рассмотрен как разложение динамики ДУ-импульса на быструю эволюцию фазы и медленную эволюцию амплитуды. В этом случае форма ДУ-солитона описывается нелокальным нелинейным уравнением, устойчивые стационарные решения которого дают аппроксимацию ДУ-солитона в главном порядке. Далее будет показано, что при некоторых условиях усредненное уравнение может быть преобразовано в интегральное нелинейное уравнение Шредингера. Для начала сделаем преобразование Фурье +00 A(z,t) = / Ajcxp[-iwt]duj (Au = A{z,u)) (2.30) -00 и запишем исходное уравнение в частотной области. Глава 2. Солитолы с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 67 Тогда уравнение (2.27) принимает вид +00 дА [ i- --d(z)cu2AUJ-\-e / Риі2з{г)5(си+и1-Ш2-и 3)А 1А2Аз(Іиі(ІШ2(іи}2 = 0, -00 (2.31) где Fwi23 = c{z). Для того, чтобы исключить периодическую зависимость линейного члена, проведем, так называемое, преобразование Флоке-Ляпунова К = фш exp{-iuj2R0(z) - iQ(u )}, = ф) - (d). (2.32) az Вводим фазовый множитель в(ш), который не изменяет коэффициенты, зависящие от пространственной переменной z. Цель этого преобразования заключается в том, чтобы исключить большой коэффициент d из уравнения (2.27). В новых переменных уравнение имеет вид +00 г— —(д)и?фи-\-е I GШl2з(z)5(ш+uJl-LJ2-u з)ф шФlф2фзdыdL ldL02du 3 = О, -00 (2.33) где СцЛ2зй — c(z)exp{iAQ,Ro(z) + iA6} и А9, = и2+ ы\-и\-и\, АО = 0CJ + #1 — 02 — #з- Заметим, что (7ші23 зависит только от специфической комбинации частот АО,. Оба преобразования Фурье и Флоке-Ляпунова являются каноническими и переводят исходный гамильтониан в +00 Н = {d) J ш2\ фш 2 dco —оо +00 є / ші2з5(и + ші-Ш2- из)ФІ,ФіФ2фі 1м(Іш Ш2(Ьз. (2.34) -00 Теперь выполним гамильтоновское усреднение с помощью следующей Глава 2. Солитоны с управляемой дисперсией в оптоволоконных линиях связи 68 замены переменных +00 Фи = фш + / K,i23#(w + Wi - W2 - ) 1 2 3 1 2 3 , (2.35) -оо % г W ) = і J [ОлгзМ - ш] dr, (2.36) о 1 1 71,123 = (Gwm) = і Gum(z)dz = / ф)ехр{гА До(г) +iM}dz, о о (2.37) тогда усредненное уравнение принимает вид
Здесь (рш предполагается убывающей достаточно быстро для сходимости интегрального члена. Это уравнение впервые было получено в [81] с помощью простых физических соображений.
Представленное здесь гамильтоновское усреднение позволяет внести некоторые дополнения в существующую усредненную модель. Из структуры гамильтониана исходного уравнения видим, что матричный элемент Тш\2ъ обладает следующими симметричными свойствами [80]
В случае распространения без потерь (c(z) = CQ = const) и двухступенчатой дисперсионной конфигурации, состоящей из оптоволокна с дисперсией d\ + (d) и длиной /і, и компенсирующего волокна длины /2 = 1 - її и дисперсией cfo + (d) (d\l\ + dih = 0), матричный элемент Тшпз
Параметр /І = ( характеризует так называемую "силу карты". Сильное дисперсионное управление отвечает большому \i (d), а так называемой, слабой карте соответствует \i С {d).
Матричный элемент аналогичного вида получается для мало-масштабной дисперсионной карты, когда длины кусков оптоволокна, составляющие передающую линию, много меньше чем длина периода усиления.
Таким образом, используя гамильтоновское усреднение, было показано, что при выполнении некоторых условий распространение нелинейных волн в системе с периодически меняющимися дисперсией и нелинейностью может быть описано интегральным нелинейным уравнением Шре-дингера.
Вычисление коэффициента ошибки
Data — процедура инициализации входных данных. В этой процедуре считываются параметры, и задаются характеристики оптоволоконной линии, а также генерируются псевдослучайные битовые последовательности, различные для каждого из передающих каналов. Происходит формирование информационного сигнала по сгенерированной предварительно псевдослучайной логической битовой последовательности.
Mux — процедура смешения информационных частотных каналов в один несущий сигнал в соответствии с формулой (3.5).
Процедура StepZ реализует продвижение на один шаг по эволюционной переменной симметричным методом расщепления по физическим процессам. Подробнее структура этой процедуры и ее блок-схема будут приведены ниже на рисунке 3.4 слева.
Основные временные затраты связаны с вычислением Q-фактора на каждом пространственном шаге. CalcQ — процедура, позволяющая вычислить коэффициенте ошибки в каждом из передающих каналов в терминах Q-фактора. Блок-схема этой процедуры рассмотрена на рис.3.4 справа.
Процедура TD определяет дистанцию распространения сигнала, при достжении величины Q-фактора критической величины.
GainNoise — процедура, описывающая воздействие волоконного эр-биевого усилителя на оптический сигнал.
OR — процедура, реализующая модель встроенного оптического регенератора на основе насыщающегося поглотителя. Подробнее ее блок-схема показана на рис.3.7.
Моделирование линий связи с оптической регенерацией сигналов 101 Отдельно, более подробно, рассмотрим наиболее важные вычислительные процедуры. Func 1 Four(1) Demux I / I I \ LineFour ChanEI I Four(-1) Qfactor I \ I I / Func Min{Q}
Процедура StepZ реализует распространение оптических импульсов в рамках уравнения (1.11) с помощью метода расщепления. Ее блок-схема приведена выше. Сначала происходит вычисление нелинейного оператора на первом пространственном полушаге (Func). п о А п с -7 Для реализации линейного опера Рис. 3.4: Блок-схемы процедур otepZ и r CalcQ тора (LineFour) производится пе реход в спектральную область и обратно с помощью процедуры быстрого преобразования Фурье — Four. Далее вновь вычисляется нелинейный оператор на втором полушаге по эволюционной переменной.
Вычисление Q-фактора происходит по следующей схеме. Сначала реализуется спектральное разделение каналов (Demux), далее описывается действие электрического фильтра на информационный сигнал в каждом канале с помощью процедуры Bel, вычисляется Q-фактор с помощью процедуры Qfactor и происходит обработка информации с помощью процедуры Min{Q}.
Три приведенных ниже процедуры имеют схожую структуру. Для их реализации требуется выполнить прямое и обратное преобразование Фурье, и в спектральной области произвести действие оптического или элек Моделирование линий связи с оптической регенерацией сигналов
Последняя блок-схема изображает структуру работы оптического регенератора. Поскольку регенерация происходит для каждого канала в отдельности, то сначала требуется их разделение с помощью процедуры Demux. Далее последовательно моделируется волоконный эрбиевый усилитель с помощью процедуры GainNoise, решается уравнение распространения оптического сигнала по участку сильно-нелинейного оптоволокна фиксированной длины (HNF), Используются оптический фильтр (ChanOpt) и аттенюатор (Att) для контроля средней мощности сигнала. Обратное смешение частотных каналов осуществляет процедура Mux
