Содержание к диссертации
Введение
1 Физическая и математическая постановки задачи 18
1.1 Физическая постановка задачи 18
1.2 Математическая постановка задачи 22
1.3 Граничные условия 32
2 Метод регаения 41
2.1 Метод контрольного объёма 41
2.2 Метод расчёта течений 48
2.3 Решение системы алгебраических линейных уравнений . 59
2.4 Решение системы уравнений для характеристик турбулентности 75
3 Численные исследования закономерностей распространения продуктов сгорания ТЭЦ в приземных слоях атмосферы 81
3.1 Расчёты тестовых задач 81
3.1.1 Расчёт ламинарного пограничного слоя 81
3.1.2 Расчёт турбулентного пограничного слоя . 87
3.1.3. Расчёт течения в прямоугольной каверне 90
3.1.4 Определение параметра гчбриднго алгоритма . 94
3.2 Анализ осреднённых газодинамических полей задачи о распространении продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмосферы 96
Заключение 112
Литература 114
- Математическая постановка задачи
- Решение системы алгебраических линейных уравнений
- Решение системы уравнений для характеристик турбулентности
- Анализ осреднённых газодинамических полей задачи о распространении продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмосферы
Введение к работе
В работе рассматривается актуальная задача о распространении продуктов сгорания ТЭЦ из трубы в атмосферу. Актуальность задачи определяется тем, что продукты сгорания, истекающие из трубы, представляют собой окись углерода, оксиды серы и азота, летучие углеводородные соединения, которые являются экологически опасными для окружающей среды и человека как элемента экосистемы;
На долю ТЭЦ приходится большая часть производимой электроэнергии . В странах с умеренным климатом ТЭЦ является источником тепловой энергии. Существует альтернатива ТЭЦ как источника электрической энергии - это гидроэлектростанции, атомные электростанции, электростанции на альтернативных источниках энергии (ветрянные, солнечные, термальные, приливные). Удельный вклад энергоресурсов в общее мировое производство показан в таблице 1
Таблица ІУдельньїй вклад энергоресурсов в мировое энергопроизводство.
Электроэнергия обладает тем замечательным свойством, что её можно транодорировать с относительно небольшими потерями, на значительные расстояния, что обеспечивает независимость размещения источников электроэнергии и её потребления. Впервые человек научился добывать энергию путём сжигания углеводородного топлива. Остальные источники энергии появились относительно недавно. Поэтому на долю ТЭЦ при-
ходится большая часть производимой энергии. В настоящее время наметилась тенденция к уменьшению её вклада. Исследования в области термоядерного синтеза позволяют предположить, что его промышленное применение дело недалёкого будущего, возможно к 2050 году..
Алтернативу ТЭЦ как источника тепловой энергии найти труднее. Теплоэнергия, в отличии от электроэнергии, значительно труднее передаётся на расстояние. Это означает, что источники теплоэнергии должны находится в непосредственной близости от мест её потребления. Можно выделить два альтернативных источника, которые могут непосредственно производить теплоэнергию: атомные электростанции (АЭС) и термальные источники. Последние очень сильно привязаны к конкретным географическим местам, что является существенным недостатком к их широкому применению. Атомные станции в своём технологическом цикле ипользуют пар и горячую воду, но и здесь есть некоторые ограничения. Атомная станция является источником повышенной опасности. Это относится как к топливу, отработанному топливу, так и самой станции. Поэтому АЭС, как правило, не размещают в крупных городах или непосредственной близости от них. В связи с вышесказанным, можно отметить, что ТЭЦ на сегодняшний день являются единственным источником тепловой энергии, пригодным к широкому применению.
Современная ТЭЦ на угле мощностью один миллион киловатт потребляет в год около 4-4.5 миллиона тонн угля [82]. Значит, для неё в карьерах в год должно быть вскрыто 30-35 гектаров земли. Да сама ТЭЦ с учётом золоотвалов, подъездных дорог, водохранилищ может занимать 300 гектаров земли. Отторжение земель не единственный вред, причиняемый ТЭЦ. Сейчас человечество ответственно за поступление в атмосферу 400-500 миллонов тонн пыли в год. По сравнению с естественными источниками это немного - всего одна десятая. Однако следует учесть, что практически все антропогенные выбросы пыли происходят вблизи
мест проживания человека. Энергетика поставляет" около половины антропогенной пыли, получающейся прежде всего при переработке углей и их сгорания. Если мощности угольной энергетики вырастут в 2-3 раза, то поступления антропогенной пыли возрастут в полтора раза.
Пыль не единственная вредная составляющая продуктов, появляющихся при работе ТЭЦ. При сжигании одной тонны низкосортного угля в среднем выбрасывается [82]:
-"34 кг. шлака;
200 кг: золы;
230 кг. двуокиси углерода;
10 кг. окислов азота;
25 кг. двуокиси серы;
2 кг. летучих соединений, не пойманных фильтрами;
Следует учесть, что для конкретных сортов углей отдельные показатели могут быть больше, чем приведенные выше. Особую опасность для человека из них представляет двуокись серы. Она, в отличиии от других соединений, оказывает вредное действие не только на человека, но и на технику и сооружения. В отличии от пыли, доля антропогенной составляющей выброса серы по сравнению с природными источниками довольно значительна: энергетика "ответственна" за 100 миллионов тонн двуокиси серы в год, природные явления- за 300 миллионов.
Главным объектом воздействия данных веществ является атмосфера. Загрязнение атмосферы приводит к значительному повреждению растительности. Во многих городах и вблизи них исчезают сосна и другие породы деревьев. Например, в Центральной Европе повреждено почти 1 млн. га хвойных лесов, или 10% общей площади леса. Общая площадь.
пораженных лесов, значительная часть которой связана с воздействием загрязнения атмосферы, в Европе (без СНГ) и Северной Америке составляет более 6 млн. га.
Лишь благодаря поглотительной деятельности растений, почвенной и водной среды происходит очищение атмосферного воздуха. Однако возможности этих систем.не безграничны. Более того, они не справляются с поглощением и обезвреживанием суммарного годового выброса. Этим можно объяснить "отказ" растительности регулировать содержание 00% в воздухе. Так, в Англии интенсивность фотосинтеза древесных насаждений снизилась более чем в 5 раз. Загрязнение воздуха из локального (до конца XX века) превратилась в глобальное. Доказано, что загрязненный воздух из Германии достигает Норвегии, Швеции, а из Японии - США.
Масса атмосферы нашей планеты - всего лишь одна миллионная массы Земли. Однако ее роль в природных процессах биосферы огромна. Наличие вокруг земного шара атмосферы определяет общий тепловой режим поверхности пашей планеты, защищает ее от вредных космического и ультрафиолетового излучений. Циркуляция атмосферы оказывает влияние на местные климатические условия, а через них на режим рек, почвенно-растительный покров и на процессы рельефообразова-ния. Современный газовый состав атмосферы - результат длительного исторического развития земного шара. Он представляет собой в основном газовую смесь двух компонентов- азота (78,09%) и кислорода (20,95%). В норме в нем присутствуют также аргон (0,93%), углекислый газ (0,03%) и незначительные количества инертных газов (неон, гелий, криптон, ксенон), аммиака, метана, озона, диоксидов серы и других газов. Наряду с газами в атмосфере содержатся твёрдые частицы, поступающие с поверхности Земли (например, продукты горения, вулканической деятельности, частицы почвы) и из космоса (космическая пыль), а также
различные продукты растительного, животного или микробного происхождения. Кроме'того, важную роль в атмосфере играет водяной пар. Наибольшее значение для различных. экосистем имеют три газа, входящих в состав атмосферы: кислород, углекислый, газ и азот. Благодаря действию ультрафиолетовых лучей кислород превращался в озон. По мере накопления озона произошло образование озонового слоя в верхних слоях атмосферы. Озоновый слой, как экран, надежно защищает поверхность Земли от ультрафиолетовой радиации. Современная атмосфера ^одержит едва ли двадцатую часть кислорода, имеющегося на нашей планете. Главные запасы кислорода сосредоточены в карбонатах, в органических веществах и окислах железа, часть кислорода растворена в воде, В атмосфере, по-видимому, сложилось приблизительное равновесие между производством кислорода в процессе фотосинтеза и его потреблением. Но в последнее время появилась опасность, что в результате человеческой деятельности запасы кислорода в атмосфере могут уменьшиться: Особую опасность представляет разрушение озонового слоя, которое наблюдается в последние годы. Большинство ученых связывают это с деятельностью человека. Круговорот кислорода в биосфере необычайно сложен, так как с ним вступает в реакцию большое количество органических и неорганических веществ, а также водород, соединяясь с которым кислород образует воду. Углекислый газ (диоксид углерода) используется в процессе фотосинтеза для образования органических і^еществ. Именно благодаря этому процессу замыкается круговорот углерода в биосфере. Как и кислород, углерод входит в состав почв, растений, животных, участвует в многообразных механизмах круговорота веществ в природе. Содержание углекислого газа в воздухе, который мы вдыхаем, примерно одинаково в различных районах планеты. Исключение составляют крупные города, в которых содержание этого газа в воздухе бывает выше нормы. В то же время исследования показывают, что с начала
прошлого века среднее содержание углекислого газа в атмосфере, хотя и медленно, но постоянно увеличивается. Другие составные части воздуха не участвуют в биохимических циклах, но наличие большого количества загрязнителей в атмосфере может привести к серьезным нарушениям этих циклов. Различные негативные изменения атмосферы Земли связаны главным образом с изменением концентрации второстепенных компонентов атмосферного воздуха.. Существует два главных источника загрязнения атмосферы: естественный и антропогенный . Естественный источник - это вулканы, пыльные бури, выветривание, лесные пожары, процессы разложения растений и животных. К основным антропогенным источникам загрязнения атмосферы относятся предприятия топливно-энергетического комплекса, транспорт, различные машиностроительные предприятия , Помимо газообразных загрязняющих веществ, в атмосферу поступает большое количество твердых частиц. Это пыль, копоть и сажа. Большую опасность таит загрязнение природной среды тяжелыми металлами. Особенно остро стоит проблема загрязнения воздуха свинцом. Глобальное загрязнение атмосферного воздуха сказывается на состоянии природных экосистем, особенно на зеленом покрове нашей планеты. Одним из самых наглядных показателей состояния биосферы служат леса. Только на территории нашей страны общая площадь лесов, пораженных промышленными выбросами, достигла 1 млн. га.
Очистные сооружения намного улучшают картину, но не являются окончательным решением проблемы. Дело в том, что невозможно достичь стопроцентной очистки. Для отдельных соединений проблема очистки носит принципиальный характер. Для примера можно взять диоксид серы, В нашей стране преобладают малосерпистые угли, в то время как угольные месторождения США содержат серы в два-три раза больше. Из-за этого энергетики США издавна вынуждены были заниматься сероулавливающими установками, накопили большой опыт. Сооружения
очень дорогие. Их стоимость достигает половины стоимости всей станции, где сжигаются высокосернистые угли.
Наиболее распространённым способом улавливания серы является пропускание дымовых газов через известковый раствор. У этого способа есть два существенных недостатка. Первое ~ очень медленное течение процесса, что ведёт к увеличению размеров, а следовательно, и стоимости очистных сооружений. Второе - необходимость утилизировать сульфиты и сульфаты кальция, появляющихся в процессе очистки. Уже в 1980 г. на станциях США ежегодно скапливалось 200 миллионов тонн шламов, утилизация которых представляет отдельную проблему.
Для представления о масштабах явления антропогенного загрязнения атмосферы на примере Хабаровского края можно судить по следующим данным. В 1999 г. промышленными предприятиями края выброшено в атмосферный воздух 158.2 тыс. т загрязняющих-веществ (на 8.5% больше,.чем в 1998 г,). Показатель улова загрязняющих веществ выше среднего по России (соответственно 84,6 и 76.7%). Основными источниками загрязнения атмосферы являются предприятия энергетики, целлюлозно-бумажной промышленности, машиностроения, топливной, строительной промышленности и металлургии, а.также автомобильный и железнодорожный транспорт. Среди предприятий (по вкладу в валовые выбросы) выделяются ТЭЦ-1, г. Хабаровск (23%), Амурская ТЭЦ-1 (10%).
ТЭЦ являются "необходимым злом", т.е.. несмотря на вред, причиняемый ими, они необходимы для жизни человека. Однако данный вред можно уменьшить, особено для новых ТЭЦ, если учитывать экологические проблемы при их проектировании. Следует отметить, что исследования в этой области проводятся давно. Основным средством, которое использовалось в этих исследованиях было экспериментальное моделирование в аэродинамической трубе. Учитывая, что возможности вычис-
лительной техники до 90-тых годов прошлого столетия были ограниченными, подобное моделирование являлось единственным средством для проведения исследований б данной области. Вкратце метод заключается в следующем. В аэродинамической трубе размещается источник выброса. Выброс представлял из себя смесь радиоактивных изотопов соединение присутствующих в реальном выбросе. Установка работает в стационарном режиме некоторое время. После этого измеряется уровень радиации, который служил своеобразным индикатором уровня загрязнений в заданной точке пространства. На основании статистики по результатом, эксперимента был получен целый ряд полуэмпирических формул, которые использовались при проектировании новых технических сооружений, являющихся источниками выброса вредных соединений, так и при оценке уровня загрязнения от существующих источников. Последнее весьма актуально при разрешении спорных э ко лого-правовых проблем, таких как выяснение вклада конкретного предприятия в данной точке пространства. Дело в том, что в конкретной точке пространства может происходит суммирование выбросов нескольких производств. Измерение концентрации ничего не даёт, так как измеряется итоговое значение, а измерить вклад конкретного предприятия не представляется возможным.
Данная методика давала хорошие для своего времени результаты. Однако следует отметить и её недостатки. Во первых, трудно учесть влияние климатических и погодных условий, В упомянутых выше формулах эта проблема решалась введением поправочных коэффициентов. Данный подход усложняет методику расчётов и является причиной больших отклонений от реальных значений. Во вторых, сложно учесть для каждого случая влияние ландшафта на распространение проектов сгорания. В третьих, реальная атмосфера представляет из себя открытую систему в отличие от аэродинамической трубы, что означает
более сложный характер турбулентности. Следствием этого является то, что в реальности выброс распространяется несколько иначе чем при моделировании.
Поэтому необходимо использовать более совершенные модели. В связи с резким ростом эффективности вычислительной техники в последнее десятилетие стало возможным численное моделирование процесса распространения продуктов сгорания ТЭЦ. Чтобы построить адекватную математическую модель, необходимо описать большое количество процессов, происходящих в реальных условиях, таких как влияние осадков, смены направления ветра и т.д. на процесс распространения дымовых газов.
Математическое моделирование распространения примесей из одиночного источника сводится к расчёту движения затопленной струи. Проблема моделирования движения затопленной-струи исследуется давно. Существует целый ряд работ, посвященных данной проблеме [11, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90]. В работе [11] детально рассматривается поведение затопленной струи в сонаправленном потоке. Здесь описаны основные методики измерения газодинамических характеристик потока, методика и результаты численных расчётов. Физическая постановка задачи о моделировании затопленной струи, истекающей в направлении основного потока, сводится к двумерной. В работах [83, 84] рассматривается актуальная задача о распространении вертикальной струи в стратифицированной атмосфере. Здесь детально рассмотрены вопросы плавучести и их влияние на турбулентность потока. Эта работа также сводит физическую постановку задачи к двумерному случаю. Можно заметить, что работы [11] и [83, 84] рассматривают два крайних случая распространения затопленной струи, первоначально направленной перпендикулярно основному потоку. В первом случае скорость основного потока велика по сравнению с первоначальной скоростью затоплен-
ной струи. Во втором случае скорость основного потока равна нулю. 3 большинстве случаев, наблюдается промежуточный вариант, когда наблюдается как подъём затопленной струи, так и её снос основным потоком. Данная задача может быть решена в двумерной постановке, только для узкого класса задач. Поведение затопленной струи в атмосфере является полностью трёхмерной.
Работы [85, 86] можно рассматривать как продолжение работы [11] о проблемах смешения сонаправленных турбулентных струй, Осесим-метричность струй предполагает, что задача может быть сведена к двумерной. Много работ, подобных [87], рассматривают движение сверхзвуковых затопленных струй. Имеется ряд работ ([88]), посвященных поведению плоских плавучих струй. Некоторые работы [89] посвящены поведению струи в многофазных средах..Учитывая, что дымовые газы ТЭЦ содержат твёрдые частицы в незначительных концентрациях, поэтому продукты сгорания ТЭЦ можно считать однофазными (газообразными). Работа [90] наиболее близка к цели настоящей диссертации, несмотря на ряд упрощений, сделанных при постановке задачи,
В настоящей диссертации сформулирована физико-математическая модель взаимодействия струи, истекающей из трубы ТЭЦ в атмосферу, учитывающая закономерности приземного пограничного слоя, климатический фактор, сложный турбулентный трёхмерный механизм "размывания" струи продуктов сгорания в атмосфере воздуха. Задача решается численно в трёхмерной постановке. Присутствие и динамика возможных твёрдых частиц продуктов сгорания рассчитывается с учетом сил Стокса и гравитационных сил, что позволяет определить зону оседания твёрдых частиц на поверхности земного ландшафта. В качестве численного метода решения трёхмерной задачи аэродинамики используется метод контрольного объёма (МКО) [1].
Актуальность темы диссертации. Процесс распространения продук-
тов сгорания в приземном слое атмосфере хорошо изучен с инженерной точки зрения. Существует целый ряд формул, которые позволяют рассчитывать максимальные концентрации газообразных и твердых продуктов сгорания и их положения. Эти формулы широко используются в расчётах, связанных с решением экологических проблем. Исходными данными расчётов являются скорость ветра; природа вещества, выбрасываемого в атмосферу; температура окружающей среды и продуктов сгорания; массовая и тепловая мощность источника выброса продуктов сгорания и его высота; время года.
Однако, несмотря на широкую известность явления, математическое моделирование его развито относительно слабо. Формулы носят эмпирический характер. Как было сказано выше, формулы для расчёта характеристик загрязнения продуктами сгорания окружающей среды были получены для модельной задачи. Необходимость применения этих формул для широкого класса задач, привела к появлению ряда поправочных коэффициентов и усложнению вычислений. Поправочные коэффициенты были также получены в модельных условиях, что снижает их ценность при решении практических задач. Ещё одним недостатком методики является очень грубое "моделирование некоторых физических процессов, к примеру наличие температурной стратификации в реальной атмосфере. Задача о моделировании распространения продуктов сгорания в приземном слое атмосферы является трехмерной. Для численного решения уравнений движения таких задач необходимо использовать большие вычислительные ресурсы, что требует применения мощных компьютеров с большим объёмами памяти- Поэтому, с точки зрения экономической целесообразности, проще было использовать упомянутые эмпирические формулы. Естественно, они не позволяют полностью описать и рассчитать процесс распространения продуктов сгорания в приземном слое атмосферы, поскольку были получены для ограниченной
модели. Разработка практически применимой математической модели и надёжных алгоритмов численного моделирования и определяет актуальность темы диссертационного исследования.
Цель работы состоит в разработке математической модели распространения газообразных и твёрдых продуктов сгорания в приземном слое атмосферы. Эта цель реализована посредством математического описания турбулентного движения газа, тепло-массоперноса в турбулентной среде, переноса твёрдых продуктов сгорания; разработки на основе математической модели устойчивых и корректных численных алгоритмов и расчетов конкретных физических задач. При этом не ставилась задача полного моделирования рассмотренных процессов. Поэтому многие факторы, - такие, например, как взаимодействие твёрдых частиц с газом и между собой; влияние температурной стратификации в атмосфере на турбулентное движение не учитывались.
Научная новизна работы:
Разработана математическая модель распространения газообразных и твёрдых продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмосферы в трёхмерной постановке;
Разработан и апробирован алгоритм нахождения поля течения, обладающий высокой скоростью сходимости и небольшими ограничениями на начальные приближения.
Разработаны устойчивые методы решения уравнений модели турбулентности.
Получены закономерности распространения газообразных и твёрдых примесей, содержащихся в продуктах сгорания, и зависимости от параметров окружающей среды, параметров трубы и продуктов сгорания.
Определены оптимальные параметры "гибридного" алгоритма расчёта поля течения;
Разработана методика определения параметров уравнения оседания твёрдых частиц, содержащихся в продуктах сгорания, учитывающая известные физические и геометрические параметры твёрдой фазы продуктов сгорания.
Достоверность представленных результатов обеспечивается применением широко известных и успешно применяемых численных схем, параметрическими исследованиями полученной модели и сравнением результатов расчёта с экспериментальными данными.
Практическая ценность работы. Математическое моделирование распространения продуктов сгорания ТЭЦ в приземных слоях атмосферы может широко применяться в решении целого спектра эклологических задач, В настоящей работе проведено численное исследование зависимости процесса распространения продуктов сгорания в зависимости от таких параметров, как температура и плотность окружающей среды, скорость ветра, физических и геометрических параметров твёрдой фазы продуктов сгорания. Результаты вычислений могут быть использованы при проектировании промышленных и жилых'объектов с целью уменьшения вреда для человека и окружающей среды; проведении экологической экспертизы с целью определения доли ущерба для экологии, приходящегося на отдельные источники выброса вредных соединений; прогнозирование загрязнения при лесных пожарах и техногенных катастрофах.
На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:
1. Математическая модель распространения продуктов сгорания ТЭЦ в приземных слоях атмосферы в трёхмерной постановке;
Алгоритмы и результаты расчёта задач, связанных с ламинарным и турбулентным течением газа;
Программный комплекс для расчётов распространения продуктов сгорания ТЭЦ в приземных слоях атмосферы в трёхмерной постановке.
Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции "Автомобильный транспорт Дальнего Востока 2000й (Хабаровск, ХГТУ, 2000), Школе-семинаре "Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова11 (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2002,2003), Международной конференции "Прикладные вопросы механики" (Хабаровск, ХГТУ, 2003) .
Основные положения диссертации опубликованы в пяти работах (в трех статьях, в двух тезисах докладов).
Диссертация состоит из трёх глав.
Первая глава содержит физико-математическую постановку задачи. Глава состоит из двух параграфов. Первый параграф содержит физическую постановку задачи. Здесь описаны основные процессы, протекающие при распространении примесей в приземном слое атмосферы. Второй параграф этой главы содержит основные дифференциальные уравнения, описывающие процессы, определяющие распространение продуктов сгорания. Здесь же параграфе рассмотрены граничные условия задачи.
Вторая глава посвящена методике расчёта. В ней рассматриваются вопросы решения как отдельных уравнений, так и всей математической модели. Глава состоит из четырёх параграфов. Первый параграф посвящен МКО. Здесь рассматриваются вопросы получения дискретных аналогов дифференциальных уравнение которые составляют математическую постановку задачи. Уравнения, составляющие математические модели, являющиеся уравнениями переноса, сведены к некоторому обобщённому виду. Для обобщённого уравнения показан ход получения диск-
ретного аналога разностной схемы, который в дальнейшем использован при решении задачи. Второй параграф посвящен методике расчёта течений. В этом параграфе описаны основные алгоритмы SIMPLE и SIMPLER, используемые на практике. Рассматриваются их достоинства и недостатки, из анализа которых предложен некоторый мгибридныйтг алгоритм, использующий преимущества обоих методов. Третий параграф посвящен решению систем линейных алгебраических уравнений, которые получаются при дискретизации задачи. Рассматриваются вопросы обеспечения точности решения, преимущества использования итерационных методов. Рассмотрено применение специальных вычислительных приёмов и алгоритмов, существенно повышающих точность и скорость вычислений. Четвёртый параграф посвящен решению системы уравнений, полученных при дискретизации дифференциальных уравнений, описывающих к-е модель турбулентности. Показана необходимость решения их с большой точностью- Рассмотрены два способа их решения и приведены соответствующие алгоритмы.
Третья глава посвящена результатам численного моделирования. Глава состоит из двух параграфов, В первом параграфе проводится анализ решений тестовых задач. Параграф состоит из трёх подпунктов. В первом подпункте рассмотрено моделирование и анализ решения, полученных для ламинарного пограничного слоя на пластине. Во втором подпункте рассмотрено моделирование и анализ решений, полученных для турбулептного пограничного слоя па пластине. Последний подпункт посвящен моделированию и анализу решений, полученных для ламинарного течения в прямоугольной каверне. Во втором параграфе третьей главы рассмотрено моделирование распространения продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмсоферы и анализ полученных результатов.
Математическая постановка задачи
Из рисунка видно, что моделирование происходит в прямоугольной, области. Здесь же показан набегающий поток эпюры скорости и источник выброса 5е - труба. Обозначения L L L% - размеры области по осям #1, я , з соответственно. При постановке задачи учитываются следующие процессы и факторы. Первое - это ветер. Его скорость меняется от нуля на поверхности земли, до некоторого значения иа высоте L$ Из метеорологических наблюдений можно определить порядок этой величины. Как правило скорость движения атмосферы в приземном слое есть величина порядка 5-20 м/с [2]. Температуру окружающей среды будем рассматривать в диапазоне 230-310 К. Так как основным веществом, находящимся внутри расчётной области, является воздух, то плотность рассматриваемой среды совпадает с плотностью воздуха и приблизительно равна 1.2 кг/м3. Второй процесс - это истечение продуктов сгорания ТЭЦ. Продукты сгорания в выходном сечении трубы направлены вдоль оси хз- Взаимодействие набегающего потока и трубы не учитывается по двум причинам. Первая причина - характерный размер трубы значительно меньше размеров расчётной области. Вторая - ограниченность вычислительных возможностей, доступных автору приводит к тому, что минимальное расстояние между двумя узлами расчётной сетки, намного больше характерного размера трубы. На начальной стадии истекающая смесь продуктов сгорания движется под воздействием инерционных сил, В дальнейшем выброс сносится набегающим потоком. Продукты сгорания продолжают двигаться. вертикально вверх с постоянно убывающей скоростью. Помимо конвективных сил, определяющих движение воздушной смеси, истекающей из источника выброса, дальнейший характер движения смеси определяется также механизмом диффузионного переноса. Это приводит к тому, что струя постепенно расширяется. Как следствие3 вертикальная скорость выброса также падает. Движение выброса имеет характер затопленной струи. Скорость выброса может достигать 5 м/с. Температура продуктов сгорания изменяется в интервале от 310 до 400 К. Выброс представляет из себя смесь воздуха с газообразными и твердыми продуктами сгорания. Так как-концентрации газообразных и твёрдых примесей намного меньше единицы, то плотность данной смеси близка к плотности воздуха, т.е. 1.2 кг/м В данных физических условиях химические реакции не протекают, что позволяет упростить математическую постановку задачи. Третий фактор -это прилегающая поверхность, которая влияет на профиль зависимости скорости набегающего потока от высоты и на распространение примесей. Ориентация системы координат принята следующей, Направление оси х\ совпадает с направлением ветра. Ось х$ направлена перпендикулярно поверхности земли- Ось Х2 перпендикулярна двум оставшимся осям; используется правосторонняя система координат. Начало координат выбирается так, что источник расположен в точке с координатами (1 /5, г/2, Н). Здесь Н - высота трубы.
Особое внимание следует уделить выбору размеров расчётной области. Величина L\ выбирается из двух соображений, необходимых для сохранения физических гипотез, принятых при моделировании задачи. Во первых, она должна быть достаточно большой, так чтобы на границе х\ — L\ течение имело установившийся "параболизированный11 характер, т.е. при xi Li7 координата х\ становится маршевой. Это означает, что сам вид течения при увеличении горизонтального размера меняется незначительно. Второе требование вытекает из того, что в продуктах сгорания имеются твёрдые частицы и область их оседания должна находиться внутри плоскости L\ х 1/2- Величина Li выбирается достаточно большой, так что влияние выброса не сказывается на параметры атмосферы в плоскостях L\ х L3. Размер области Li пропорционален размеру Li Чем больше Li, тем больше L%. Величина L% выбирается из двух соображений- Первое - это верхняя граница пограничного слоя. Выбор з 100 м. позволяет не учитывать влияние процессов взаимодействия воздушного потока и твёрдой поверхности на верхнюю плоскость области интегрирования. Второе условие на величину L% - это необходимость исключить попадание продуктов сгорания на данную грань. Это требование позволяет упростить постановку граничных условий на этой грани. Из физических соображений ясно, что верхняя граница, определяемая из второго требования должна быть значительно ізьіше трубы, желательно в два и более раз. Если учесть, что средняя высота труб колеблется в пределах 30-60 м, а верхняя граница пограничного слоя в среднем достигает высоты около 100 м. [2], то очевидно, что второе требование на величину 3 является определяющим.
Дадим пояснение о принятом авторе подходе к моделированию истечения продуктов сгорания из трубы в атмосферу. Строго говоря, выходное сечение трубы образует мвнутреннее" дополнительное граничное условие в области Li X Z-2 х 3, описывающее "локальный" вдув продуктов сгорания. Так как задача решается численно МКО, на неравномерной сетке, контрольный объём (КО) минимальных размеров, находящийся в окрестности выходного сечения трубы, в силу доступных автору компьютеров, имеет площадь грани (?&) 60 м2, а характерная площадь выходного сечения трубы (5се) 0.78 м2, то есть Зь !Э се, поэтому при моделировании истечения продуктов сгорания принят интегральный подход. А именно, в контрольный объём (например см. рисунок 2) через нижнюю грань Sb (см. таблицу 2.1) поступают такие же величины массы, количества движения, массы реагентов продуктов сгорания, энергии, что и через сечение трубы 5С.
При моделировании распространения примесей требуется найти: поле скоростей в расчётной области; распределение температуры; распределение концентраций газообразных и твёрдых примесей, содержащихся в выбросе, а при известном распределении концентраций твёрдых веществ, определить также зону их оседания и влияние высоты трубы на размеры и расположение зоны оседания.
Решение системы алгебраических линейных уравнений
Решение СЛАУ является наиболее значимым моментом при решений уравнений, составляющих математическую постановку задачи. Трёхмерность задачи усложняет нахождение решения СЛАУ, так как порядок матрицы растёт пропорционально кубу от числа узлов по одной размерности. Система является нессимметричной из-за присутствия в исходных дифференциальных уравнениях конвективной составляющейг значительно превосходящей градиентную составляющую. При расчёта поля течения "узким11 местом является решение уравнения для поправки даления Р\ так как ошибка при его решении всего в несколько процентов, может привести к расхождению итерационных алгоритмов SIMPLE и SIMPLER или быть причиной низкой скорости сходимости. Для оценки точности, с которой можно решить систему вида (2Л9) используется число обусловленности. ccmd(A$) = \\Лф\\\\Аф1\\. Чем больше число обусловленности, тем сильнее сказывается на решении линейной системы ошибка в исходных даннных. Грубо говоря, если cond(A$)=О (10р) [19] и исходные данные имеют погрешность в 1-й знаке после запятой, то независимо от способов решения СЛАУ (2.19) в результате можно гарантировать не более l-р знаков после запятой.
На настоящий момент существует два класса методов решения СЛАУ: прямые и итерационные. При использовании прямых методов решение получается за конечное, строго определённое, относительно небольшое,, число шагов. Итерационные методы позволяют найти решение за неизвестное заранее число шагов.
Прямые методы включают в себя следующие методы: метод Гаусса, метод вращений, прогонки. Точность решения, полученного при использовании прямых методов, зависит от числа обусловленности. Метод Гаусса, к примеру, порождает относительную ошибку решения порядка О (2г1 cond(A$)) [19]. В случае больших матриц возникает проблема обеспечения точности решения. Для прямых методов существует способ повышения точности, заключающийся в вычислении невязки я использовании её в качестве столбца свободных членов.. Этот способ не лишен недостатков. Во первых, он требует в два раза больше памяти ЭВМ. Во вторых, нет гарантий действительного повышения точности решения- Потеря точности при решении СЛАУ большого порядка является не единственным недостатком прямых методов. Другим существенным недостатком является большой объём памяти ЭВМ, требуемой для реализации метода. В прямых методах идёт преобразование исходной матрицы Аф при котором на месте нулевых элементов появляются ненулевые. В методе Гаусса, к примеру, ненулевые элементы могут появится в любом элементе матрицы, удалённой от главной диагонали на некоторое расстояние, называемое шириной ленты. В большинстве случаев ширина ленты приблизительно равна одной четвёртой от порядка матрицы. Допустим, задача решается на дискретной сетке 20x20x20. Следовательно, для конкретной физической величины (давление, компонента скорости и т.д.) число узлов составит 8000- Ширина ленты составит приблизительно 2000. Учитывая, что ширина ленты определяет максимальное расстояние от элемента до главной диагонали, максимальное расстояние между ненулевыми элементами в одной строке будет на единицу больше удвоенной ширины ленты. Следовательно, для нашего примера имеем 4001 х 8000 32 млн. ненулевых значений. Допустим, что для хранения ненулевого элемента требуется 4 байта машинной памяти. Таким образом, объём памяти, который требуется для решения СЛАУ для одной физической величины, равен 128 млн. байт. При расчёте турбулентного течения в трёхмерной постановке с использованием модели турбулентности tz-є необходимо решить СЛАУ для 6 физических величин. Объём используемой памяти в этом случае, составит 768 млн. байт машинной памяти. Как видно? объём затраченной памяти ЭВМ довольно значителен, даже на сегодняшний день, В случае использования более частой сетки, к примеру 30x30x30 объём занимаемой памяти вырастет приблизительно в 9 раз. Именно из-за столь нерационального использования памяти, а также повышение сложности решаемых при математическим моделировании задач, предпочтение отдаётся итерационным методам.
Итерационные методы, в отличии от прямых методов, позволяют получить решение за неопределённое число шагов. В итерационных методах используется критерий окончания итерационного процесса. Наиболее часто используются отпосительные отклонения ет решений, полученных на п + 1-й итерации от решения на п-й итерации: В качестве примера итерационных методов можно привести метод Якоби; его модификацию - метод Зейделя; проекционные методы, такие как метод сопряжённых градиентов и метод обобщенных минимальных невязок GMRES. Главной причиной выбора в пользу итерацинных методов является более экономное использование памяти ЭВМ. Возьмём предыдущий пример. В отличии от прямых методов, в итерационных методах исходная матрица не изменяется. Поэтому новых ненулевых элементов при использовании в ходе решения СЛАУ не появляется. Число ненулевых элементов в строке зависит от используемых методов построения конечно-разностного аналога, размерности моделируемой задачи, но не от порядка исходной матрицы. Это означает, что общее число ненулевых элементов пропрционально порядку матрицы А$. Для МКО в трёхмерном случае число ненулевых элементов равно 7. Это видно из дискретного аналога (2.14). Таким образом, объём памяти, необходимой для решения СЛАУ итерационным методом для одной физической величины на сетке с 8000 узлами и объёхмом памяти, необходимой для хранения ненулевого значения, равной 4 байтам, будет составлять 7 х 3000 х 4 = 224000 байт машинной памяти. При исользовании сетки 30 х 30 х 30 этот объём увеличится приблизительно в 3.4 раза. Как видно из примера, при использовании итерационных методов, память ЭВМ используется более экономно, что позволяет использовать при решении исходной задачи сетки с большим число узлом.
В диссертации, для решения СЛАУ, полученных при дискретизации дифференциальных уравнений (1.26), (1.29), (1-30), (1-18), (1.19), использовался метод Зейделя с регуляризацией. Для решения дискретных аналогов дифференциальных уравнений (1.13) и (1-9) использовался более совершенный метод GMRES с ЬЩ предобуславливанием. Выбор более совершенного метода для решения этих ураннений не случаен, а вызван тем, что результаты решений этих СЛАУ принимают участие в другом итерационном алгоритме - расчёт течения. Поэтому неточности при решении дискретных аналогов дифференциальных уравнений (1.13) и (1.9) могут замедлить сходимость алгоритма расчёта течения или привести к его расхождению.
К остальным уравнениям предъявляются менее "жёсткие" требования к точности их решения, что позволяет использовать более простые методы. Для дискретных аналогов (1,18) и (1.19) выбор обусловлен ос-собенностями их решения, о чём будет сказано в следующей главе. Метод Зейделя является модификацией метода Якоби и записывается в виде:
Решение системы уравнений для характеристик турбулентности
Характеристики турбулентности /с, є, fa находятся в результате решения системы нелинейных уравнений (1.18), (1.19), (1.20). Следует отметить, что решение уравнений (1.18), (1.19), (1.20) с небольшой погрешностью необходимо по двум причинам. Первая причина заключается в том, что коэффициент турбулентной динамической вязкости fa присутствует практически во всех исходных дифференциальных уравнениях. Некоторые из них взаимосвязаны, поэтому неточности при определении могут сильно замедлить процесс сходимости и даже привести к потере сходимости. Второй причиной является ограничение на знак всех характеристик турбулентности. Значения к, є и fit не должны быть отрицательными в любом узле расчётной области. Это требование вытекает непосредственно из формул (1.11), (1.14) и (1.20), а также из физического смысла данных величин. По этой причине был сделан отказ от метода Ньютона при решении системы уравнений для характеристик турбулентности, так как в. методе не предусмотрено ограничений на неизвестные. Предпочтение было отдано алгоритмам, являющихся модификацией метода простых итераций для решения систем нелинейных уравнений, так как они обеспечивают более высокую надежность, несмотря на низкую скорость сходимости.
Основным приёмом, применяемой при расчете турбулентного течения, является расщепление исходной нелинейной задачи на несколько линейных или более простых нелинейных подзадач. При расчёте турбулентного течения целесообразно расщепить задачу на решение течения при фиксированных характеристиках турбулентности и нахождение чоследних на основе имеющегося поля скоростей. Данный алгоритм решения задачи имеет следующий вид: 1. Найти поле течения. 2. Найти характеристики турбулентности. 3. Пересчитать коэффициенты в уравнениях переноса импульса. 4. Если выполнено условие сходимости - закончить; иначе - повторить. Приведённый выше алгоритм позволяет разделить исходную задачу на две относительно независимые задачи. При нахождении характеристик турбулентности используется поле скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности (1-9), что делает данный алгоритм консервативным. При решении уравнений для я, Є И Щ можно использовать две вычислительные схемы. При нахождении к, є и щ из уравнений (1-18), (1.19) и соотношения (1-20) производится расщепление задачи. Схемы имеют следующий вид: 1. Решить систему уравнений для к, w г. 2. На основе известных кие вычислить /л(. 3. Пересчитать коэффициенты в уравнениях переноса для к и є. 4. (а) Для первой схемы: если выполнено условие сходимости - закон чить; иначе - повторить. (Ъ) Для второй: закончить.. Алгоритмы отличаются друг от друга способом окончания расчета. В первом варианте алгоритм выполняется до тех пор, пока не будет получено условия сходимости по }j,t. Второй вариант сразу завершает свою работу после перерасчёта щ Так как вторая схема содержит на один уровень вложенности итерационных циклов меньше, то в ряде случаев она может ускорить вычислительный алгоритм- Но в целом методы примерно одинаковы с точки зрения скорости сходимости, так как характеристики турбулентности определяются точнее во второй схеме, что положительно сказывается на сходимости алгоритма расчёта турбулентного течения в целом.
Устойчивость данной схемы повышается при использования нижней релаксации при перерасчёте fit: где ftl промежуточное значение fitl полученное на очередном шаге итерационного алгоритма; 0 - коэффициент релаксации. В приведённых выше схемах, как один из шагов, присутствует решение системы уравнений для к и е. Данная система уравнений не расщеплялась отдельно на к и t так как для данного случая не удаётся разработать устойчивый итерационный алгоритм.
При решении системы уравнений (1.18) и (1.19) значение коэффициента турбулентной динамической вязкости считается фиксированным. Дифференциальные уравнения являются уравнениями переноса (транспортными). Поэтому к ним можно применить, описанный выше метод контрольного объёма. Источник считается постоянным по всему контрольному объёму, В результате получаем следующие конечно-разностные аналоги: где Вл и BE - источниковые члены в уравнениях (1.18) и (1-19) соответственно. В ходе разработки итерационного алгоритма для решения системы уравнений (2.65) и (2.66) была обнаружена сильная неустойчивость алгоритма. Причина этого - первое слагаемое в источни-ковой части уравнения (1,19). Как видно из данного уравнения оно содержит отношение -. При к ; 1 коэффициенг при є в источнике становится больше коэффициента Ар. Это приводит к. тому что, дискретный аналог теряет устойчивость, так как наблюдается усиление колебаний є в ходе выполнения итерационного алгоритма, что и приводит к неустойчивости алгоритма. Для решения данной проблемы был использован следующий вычислительный приём. Как видно из уравнения (1.19) , первое слагаемое в источниковой части содержит щ. Если обратить
Анализ осреднённых газодинамических полей задачи о распространении продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмосферы
Анализ осреднённых газодинамических полей задачи о распространении продуктов сгорания ТЭЦ в приземном слое атмосферы проводился следующим образом. В начале было получено решение базового варианта с определёнными исходными данными. Затем были получены решения ряда задач, исходные данные которых совпадали с базовыми за исключением одного параметра. На основе этих решений были получены зависмости следующих характеристик течения от исходных данных-Первая характеристика - верхняя граница теплового фронта. Верхняя граница теплового фронта определяется следующим образом. Определяется максимальная и минимальная температуры Ттах и Tmin соответственно при заданном значении х\. Затем строится изолиния для значения температуры Т = Tmin + 0.0l {Tmax — Tmin). Максимальное значение координаты хз и является верхней границей теплового фронта для сечения
Подобным образом определяется вторая исследуемая характеристика - верхняя граница концентрации газообразной примеси. Следующими характеристиками являются размеры области оседания твердых частиц (эллипса оседания), содержащихся в выбросе. Также исследуется положение максимума по координате Х\ и его величина для концентрации твёрдых веществ на поверхности земли.
Исходные данные для базового варианта. Размеры области: Li 500 м.; 2=200 м.; з—250 м. Скорость набегающего потока U—Ъ м,/с. Коэффициент динамической молекулярной вязкости /1 = 1.8 10 5 кг./(м.-с). Температура набегающего потока: TQ—293 К. Число Прандтля Рг=0.8. Плотность среды определялась по формуле, полученной из (L27):
Расчёт проводился для одного газообразного вещества и одного твёрдого вещества, содержащихся в выбросе. Концентрация данных веществ в набегающем потоке равна нулю. Число Шмидта для газообразного вещества принималось равным 5с=0.4. Скорость оседания Vr для твёрдого вещества равна 2 м./с. Источник выброса имеет следующие характеристики. Площадь выходного сечения трубы Sce—0.7853975 м2; скорость истечения газовой смеси из трубы (Те—30 м./с; плотность выброса ре—1.2 кг./м.3; концентрация газообразной примеси в выбросе Са=0.02; твёрдой примеси -CTfl-O.Ol; температура выброса Ге=373 К. Набегающий поток является турбулентным, поэтому для него необходимо определить характеристи ки турбулентности ки є: к = сш?; е = - — Здесь KQ—OA - постоянная Кармана; а - константа, определяющая степень интенсивности турбулентных процессов в набегающем потоке. Начальное поле даиления зависит от координаты хз и определяется по формуле: На графике видно, что скорость ниже трубы несколько больше чем скорость набегающего потока. Это можно объяснить тем, что выброс создаёт зону пониженного давления чуть ниже источника. Для потверж-дения этой гипотезы рассмотрим графики давления Р при значениях хз, меньших и больших высоты трубы. Эти графики показаны на рисунках 27 и 28 для значений координаты хз—30 м и х$—70 м соответственно. Учитывая, что р—1.2 кг/м3 и д=9Я м/с2м по формуле (3,10) можно вычислить давление Р при х%=30 м и хз—70 м. Вычисления дают Р—-352.8 Паи Р -823.2 Па, что потверждает правильность выдвинутой гипотезы. Из приведённых графиков можно сделать следующие выводы. Первое - изменение в температурном поле, вызванные источником, распространяются недалеко от источника. Это объясняется тем, что тепловой поток, идущий от источника намного меньше, чем поток через грань Пі, а также интенсивным градиентным переносом. Второе - при удалении от источника тепловая струя расширяется, а температура внутри неё - падает, что вызвано влиянием теплопроводности. Графики распределения твёрдых частиц, истекающих из трубы, изображены на рисунке 33, 34.
