Содержание к диссертации
Введение
1 Редукция уравнений Эйнштейна для сферически-симметричного гравитирующего скалярного поля 14
1.1 Действие и тензор энергии-импульса 14
1.2 Уравнения Эйнштейна в ортонормированном базисе . 16
1.3 Редукция уравнений 22
2 Решение обратной задачи 26
2.1 Анализ характеристической функции /(С) 26
2.2 Формальное общее решение обратной задачи 29
2.3 Асимптотически плоские сферически-симметричные скалярно-полевые конфигурации 32
2.4 Калибровочные условия 35
3 Общие свойства и классификация скалярно-полевых конфигураций 42
3.1 Решения центрального типа 42
3.1.1 Критическое значение массы 43
3.1.2 Чёрные дыры 45
3.1.3 Голые сингулярности 47
3.1.4 Регулярные решения 48
3.1.5 Полная классификация решений 50
3.2 Статические кротовые норы 51
3.2.1 Условия существования 53
3.2.2 Типы решений 59
3.3 Топологические геоны 63
3.3.1 Сферически-симметричный топологический геон 65
3.3.2 Теорема взаимности 67
3.3.3 Вакуумный геон 70
3.3.4 Скалярные топологические геоны 75
4 Аналитическое и численное исследование конкретных скалярно-полевых конфигураций 81
4.1 Двухпараметрическое семейство точных решений центрального типа 81
4.2 Аналитические модели статических кротовых нор 87
4.2.1 Симметричная относительно горловины кротовая нора с нечётной функцией поля 89
4.2.2 Симметричная относительно горловины кротовая нора с чётной функцией поля 91
4.2.3 Кротовые норы, не симметричные относительно горловины 93
4.3 Численное моделирование скалярного топологического геона без горизонта событий 96
Заключение 102
Литература 105
- Уравнения Эйнштейна в ортонормированном базисе
- Асимптотически плоские сферически-симметричные скалярно-полевые конфигурации
- Сферически-симметричный топологический геон
- Симметричная относительно горловины кротовая нора с нечётной функцией поля
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности. Такие конфигурации описываются полной системой уравнений Эйнштейна, включающей динамическое уравнение поля [1, 2, 3, 4]. Мы будем рассматривать сферически-симметричное статическое вещественное скалярное поле с минимальной связью при условии, что пространственно-временное многообразие является асимптотически плоским. Особое внимание уделено построению частицеподобных конфигураций.
Интерес к исследованию самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций обусловлен непосредственной связью с физикой элементарных частиц и космологией, а в более общем плане - с фундаментальным вопросом о роли гравитации в микромире. В работе [56] М.А. Марков сформулировал этот вопрос так: "Может ли общая теория относительности, имеющая целью описание свойств пространства-времени, оказаться верной не только в большом, но и в малом?" Вещественное скалярное поле допускает классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки источника гравитации в микромире не возникает в данном случае, а геометрическая интерпретация поля, вместе с предположением о минимальности взаимодействия, приводит к естественной и однозначной математической постановке задач. Таким образом, исследование самогравитирующих частицеподобных конфигураций позволит лучше
понять роль гравитации в микромире, оставаясь в рамках общей теории относительности.
Основные трудности построения самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций связаны с решением системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля при фиксированном потенциале самодействия У(ф). На сегодняшний день эта (прямая) задача полностью решена только для безмассового (У(ф) = 0) скалярного поля [15, 48, 57, 58]. Отметим, что решения в этом случае представляют собой при положительном кинетическом члене голые сингулярности, а при отрицательном кинетическом члене семейства не симметричных относительно горловины кротовых нор с одной или двумя асимптотически плоскими областями и единственную, с точностью до перемасштабирования, симметричную относительно горловины кротовую нору.
Актуальность исследования самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций связана с тем, что гравитирующие скалярные поля в настоящее время рассматриваются как основа для описания новой формы материи небарионного типа - темной материи [28, 29, 50], на существование которой указывают данные астрономических наблюдений последних двадцати лет. Ограничения сверху на интенсивность взаимодействия массивных частиц темной материи с известными частицами, полученные из наблюдений и прямых экспериментов по измерению ее годовой модуляции, показывают, что темная материя, по-видимому, наиболее адекватно моделируется нейтральным (вещественным) скалярным полем, которое участвует только в гравитационном взаимодействии.
К частицеподобным решениям уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля можно в равной степени отнести как регулярные решения с тривиальной (R4 ) топологией пространства-времени, представленные, в частности, в работах [32, 34], так и
скалярные топологические геоны. Термин геон был введён в 1955 году Дж.А. Уилером [59, 60] для обозначения классических гра-витирующих конфигураций, связанных с электромагнетизмом или безмассовыми полями. Эти конфигурации представляли собой массивные долгоживущие относительно внешнего наблюдателя объекты и не являлись чёрными дырами [61, 62, 63, 64, 65]. Такие геоны были асимптотически плоскими, обладали тривиальной топологией пространства (М3) и не были устойчивыми. Их эволюция приводила либо к рассеянию полей на пространственную бесконечность, либо к образованию чёрной дыры в результате гравитационного коллапса.
Понятие топологического геона впервые появилось в работе Р.Д. Соркина [17]. Топологический геон представляет собой гравитирующую конфигурацию с нетривиальной топологией (Ж х Е \ {point} или, эквивалентно, Ш х IR^E , где Е - компактное трёхмерное многообразие) асимптотически плоского пространства-времени. Примером такого геона является известное вакуумное решение [18, 66], полученное путём факторизации многообразия Крускала по группе Ъх. Топологический геон является чрезвычайно привлекательной моделью элементарной частицы, поскольку её масса, заряд и спин, могут быть, в принципе, определены в рамках соответствующей модели как топологические характеристики пространственно-временного многообразия. В работах [67, 68, 69] анализируются термодинамические характеристики ШР3 геона. Изучению топологических геонов с зарядом и горизонтом событий посвящена работа [70].
В настоящем исследовании мы рассматриваем скалярные топологические геоны двух типов: без горизонта событий (такие решения существуют только для фантомного поля) и чёрные дыры, содержащие под горизонтом топологическую особенность.
Скалярные чёрные дыры также представляют большой интерес для изучения. Согласно знаменитому утверждению Дж.А. У ил ера "чёрная дыра не имеет волос". Его смысл заключается в том, что статическая чёрная дыра полностью характеризуется тремя параметрами: массой, электрическим зарядом и моментом вращения, которые могут быть измерены на пространственной бесконечности. Это так называемая теорема об отсутствии волос у чёрной дыры, справедливая, в частности, в вакуумном случае и для теории Эйнштейна-Максвелла [71, 72, 73, 74, 75]. Предполагалось, что все гравитирующие поля, допускающие решения с горизонтом событий, удовлетворяют этой теореме. Однако, в последние годы, появилось достаточно много работ, посвященных исследованию нелинейных гравитирующих полей. Результаты, отраженные в работах [52, 76, 77, 78], показывают, что нелинейность поля в корне меняет ситуацию: сюда можно отнести и сам факт существования решений с горизонтом для этих полей, и нарушение, вообще говоря, теоремы об "отсутствии волос". Кроме того, новые, необычные свойства имеют топологические чёрные дыры [79, 80, 81, 82, 83].
Для гравитирующего скалярного поля интерес также представляет исследование степени влияния поля на геометрию чёрной дыры, возможности существования решений с двумя и более горизонтами, и чёрных дыр для фантомного поля, а также связи между радиусом горизонта событий и гравитационной массой. Настоящее диссертационное исследование посвящено, в частности, решению и этих задач.
Помимо топологических геонов, среди известных классов пространственно-временных многообразий с нетривиальной топологией определенный интерес, помимо чисто математического, представляют активно исследуемые в последние годы кротовые норы (червоточины, wormholes). Такие решения впервые рассмотрены
в работах [21, 62] качественно - как модель элементарной частицы и основа для введения пенообразной структуры пространства-времени. М.С. Моррис и К.С. Тори в работе [24] впервые построили математические модели проходимых (без горизонта) кротовых нор в рамках общей теории относительности и полуклассической теории квантовой гравитации. Вместе с тем, они получили, что для проходимой сферически-симметричной кротовой норы существует область вблизи горловины (при фиксированном времени двумерной гиперповерхности минимальной площади), где нарушается изотропное энергетическое условие, т. е. условие Tij иг uj > 0 для тензорного поля энергии-импульса и произвольного изотропного или вре-мениподобного вектора и. Позднее в работе [18] при некоторых ограничениях было показано, что пространство-время, содержащее проходимую кротовую нору, должно иметь изотропные геодезические, нарушающие изотропное энергетическое условие. Последний факт зачастую объяснялся [84, 85, 86] наличием вблизи горловины так называемой "экзотической материи". Невозможность существования проходимых кротовых нор для самогравитирующего скалярного поля с положительным кинетическим членом доказана в работах [33, 87]. Вообще говоря, нарушение энергетических условий является неотъемлемым свойством кротовых нор. Все известные на сегодняшний день попытки избежать этого нарушения или минимизировать его связаны с использованием альтернативных теорий гравитации (теории Бранса-Дикке [88, 89, 90], дилатонной гравитации [91] и пр.). В работе [44] исследуется связь кротовых нор с чёрными дырами и рассматриваются непроходимые (с горизонтом событий) кротовые норы. Объектами данного исследования будут являться скалярные кротовые норы как с горизонтом событий, так и без, а именно, условия их существования, свойства и связь с топологическими геонами.
В силу сложности интегрирования связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля большую роль играют численные методы построения гравитирующих скалярно-полевых конфигураций. Так, в работе [92] получены статические регулярные с тривиальной топологией пространственно-временного многообразия численные решения для фантомного скалярного поля с потенциалом, называемым "мексиканской шляпой", и доказана их неустойчивость. Обсуждаются численные модели скалярных чёрных дыр с анти-де-Ситтеровской асимптотикой и вопросы их устойчивости [93]. В ряде работ предложены численные математические модели коллапса самогравитирующих конфигураций скалярного поля [94, 95, 96].
Целью данной диссертационной работы построение и исследование самогравитирующих статических асимптотически плоских сферически-симметричных скалярно-полевых конфигураций, их классификация по геометрическим и топологическим типам, получение модельных аналитических и численных решений, а также развитие новых методов построения скалярно-полевых конфигураций.
Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.
В первой главе проведена специальная редукция уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля с минимальной связью.
В первом разделе записано действие для связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля. Приведён явный вид общей системы уравнений, а также выражение для тензорного поля энергии-импульса. Введены основные обозначения и система единиц.
Во втором разделе для метрики сферически-симметричного пространства-времени в ортонормированном базисе с помощью структурных уравнений Картана получены выражения для компонент тензорного поля кривизны, составлена система уравнений Эйнштейна и уравнения поля, из которой выделена независимая подсистема.
Третий раздел посвящен непосредственно редукции этой системы, позволившей в статическом случае выделить два уравнения, полностью определяющие поведение решения. Эти уравнения инвариантны относительно выбора калибровочных (координатных) условий. Тем самым получение решения разделено на два этапа: решение двух инвариантных уравнений и, после выбора конкретных координатных условий, двух оставшихся.
Вторая глава содержит формальное решение обратной задачи, позволяющей восстанавливать метрику и потенциал самодействия по функции поля.
В первом разделе проведён анализ поведения характеристической функции (наличріе нулей и асимптотики в центре и на пространственной бесконечности), позволяющего однозначно отнести решение к определённому типу: чёрная дыра, голая сингулярность, регулярное решение или кротовая нора. В качестве иллюстраций приведены известные решения Шварцшильда, Рейснера-Нордстрема [8, 97, 98] и симметричная относительно горловины кротовая нора [14, 15].
Во втором разделе мы сосредоточимся на аналитическом решении обратной задачи. Обратной будем считать такую постановку задачи, когда заданным считается не потенциал, а поле или метрические функции. Решение обратной задачи даёт возможность получать результаты и формулировать теоремы, относящиеся, в некотором смысле, сразу ко всем возможным потенциалам. Конкретно,
в этом разделе получено общее решение системы двух инвариантных уравнений в виде интегральных формул для нахождения характеристической функции и потенциала по заданной функции поля.
Третий раздел посвящен анализу асимптотически плоских решений. Получены соответствующие ограничения на асимптотику функции поля ф и потенциала самодействия V(
Четвёртый раздел содержит формулы для восстановления метрики для наиболее часто встречающихся калибровочных условий: статической калибровки и координат типа Крускала. Доказано, что простой нуль характеристической функции соответствует горизонту событий. Для статической калибровки представлен альтернативный способ решения обратной задачи: получены формулы для восстановления поля, потенциала и метрики по одной заданной метрической функции.
Третья глава посвящена исследованию общих свойств и классификации скалярно-полевых конфигураций.
В первом разделе рассмотрен класс решений, названный решениями центрального типа, характеризующийся отсутствием минимума у функции радиуса С. Заданной монотонной функции ф(С) соответствует однопараметрическое семейство решений, где роль параметра играет шварцшильдова масса. Введено понятие критической массы, совпадающей по знаку с кинетическим членом, получены формулы для её нахождения. На основе сравнения шварцшильдовой массы с критической проведена полная классификация, разделяющая конфигурации на чёрные дыры, регулярные (частицеподобные) решения и голые сингулярности. Доказано, что в центре чёрной дыры находится сингулярность, её горизонт единственный, а масса, в
случае положительного кинетического члена, положительна. Для регулярных решений получены условия их существования, показано, что знак потенциала в центре противоположен знаку кинетического члена.
Второй раздел посвящен статическим скалярным кротовым норам. Получены условия их существования и формулы для нахождения шварцшильдовых масс в двух асимптотических областях (они могут быть разными) по заданной на одной из половин норы функции ф(С), доказана проходимость нор. Решения разделены на два типа: симметричные и не симметричные относительно горловины. Для первых в удобной калибровке получены формулы для восстановления решения по заданной функции радиуса С(г) (ещё один вариант обратной задачи), а для вторых показано, что данная калибровка, вообще говоря, не применима вблизи горловины.
В третьем разделе подробно исследованы скалярные топологические геоны, как с горизонтом событий, так и без горизонта. Тривиальным примером геона с горизонтом является вакуумный геон, метрика которого будет получена в специальных координатах вблизи топологической особенности. Это поможет лучше понять геометрию скалярных топологических геонов. Сформулирована теорема взаимности, согласно которой каждой симметричной относительно горловины кротовой норе соответствует топологический геон, и наоборот. Для скалярных геонов с горизонтом событий получена формула для нахождения их собственного времени жизни, показано, что для решений с положительным кинетическим членом оно конечно.
Заключительная четвёртая глава содержит конкретные аналитические и численные модели скалярно-полевых конфигураций.
В первом разделе получено новое двухпараметрическое семейство асимптотически плоских решений, включающее в себя чёрные дыры, регулярные решения и голые сингулярности.
Во втором разделе построены точные решения, описывающие симметричные кротовые норы и семейство не симметричных относительно горловины кротовых нор, шварцшильдовы массы которых в разных асимптотических областях отличаются друг от друга знаком.
В третьем разделе с помощью численного моделирования построено решение прямой задачи с физически выделенным потенциалом и заданной топологией пространства-времени.
Для решений, полученных в четвёртой главе, построены графики потенциалов, функций поля и метрических коэффициентов.
В работе используются апробированные математические методы исследования: метод структурных уравнений Картана, аналитические методы вывода, преобразования и решения систем дифференциальных уравнений, асимптотические и интегральные оценки решений. Для численного решения спектральной краевой задачи для системы ОДУ пятого порядка используется метод стрельбы из граничных точек с последующей сшивкой решений в промежуточной точке посредством минимизации целевой функции.
Все полученные в данном диссертационном исследовании результаты являются новыми и основаны на разработанном автором методе редукции уравнений Эйнштейна, который может быть применён для широкого класса самогравитирующих физических полей. Теоретическая значимость полученных результатов состоит в том, что построенные благодаря решению обратной задачи конфигурации, в частности, частицеподобные, являются вкладом в теорию гравитирующего скалярного поля, моделирующего новый, мало изученный тип материи - тёмную материю.
Практическая значимость полученных результатов заключается в возможности использования полученных свойств самогравитирующих конфигураций скалярного поля при сравнении с данными
астрофизических и космологических наблюдений. Решение обратной задачи по восстановлению потенциала и функции поля, а также метрики по заданной метрической функции в статической калибровке также может быть использовано в реальных экспериментах, поскольку именно эта величина поддаётся измерению. Такая постановка задачи может помочь в дальнейшем выделить типы потенциалов гравитирующих скалярных полей, так как изначально никаких предположений о виде потенциала мы не имеем. Наконец, в диссертации разработаны конструктивные методы построения решений с заданными свойствами для связанной системы уравнений Эйнштейна.
Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах [7, 14, 20, 35, 36, 57, 58, 99].
Апробация результатов диссертации
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре математического факультета Тверского государственного университета "Нелинейные математические модели в естествознании", на международных научных конференциях "Идеи синергетики в естественных науках", 2006, 2007 гг. (ТвГУ, Тверь), на XLIII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 2007 г. (РУДН, Москва), на 13-й Российской гравитационной конференции, 2008 г. (РУДН, Москва).
Уравнения Эйнштейна в ортонормированном базисе
Построение самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций заключается в построении решений, численном или аналитическом, связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения для скалярного поля [1, 2, 3, 4]. При этом учитываются тип симметрии, позволяющий определить общий вид метрики, а также асимптотические и топологические условия. Мы рассматриваем скалярное поле с минимальной связью. Полное действие для такой системы можно записать в виде где используется геометрическая система единиц (С?=1,с=1), скобки ( ,) обозначают скалярное произведение относительно метрики д, S - скалярная кривизна, У(ф) - потенциал самодействия. Параметр є = ±1 унифицирует действие для решений с положительным и отрицательным кинетическим членом. Мы будем пользоваться стандартной терминологией, называя скалярное поле безмассовым, если У(ф) = 0, массивным, если У{ф) = тф2/2, и нелинейным во всех остальных случаях. Кроме того, независимо от знака потенциала поля, мы будем называть скалярное поле фантомным, если є = — 1. В соответствии с принципом наименьшего действия компоненты тензорного поля энергии-импульса определяются соотношениями
В координатном базисе эти компоненты имеют вид В инвариантной записи Уравнения Эйнштейна имеют вид где 1Z - тензорное поле Риччи. Поскольку тензор Эйнштейна G = 7Z — S д/2, составляющий левую часть уравнения (1.3), удовлетворяет тождествам Бианки із\кЯ к — 0 мы имеем закон сохранения где точка с запятой обозначает ковариантную производную по направлению соответствующего базисного векторного поля. Динамическое уравнение для поля ф имеет вид или, в координатной форме, где Пространственно-временное многообразие принято называть сферически-симметричным, если его группа изометрий содержит подгруппу SO (3, Ж) , орбиты действия которой гомеоморф-ны двумерной сфере S2. Метрику сферически-симметричного пространства-времени можно записать в виде где Л, В и С зависят только от координат t я г. Мы будем использовать, следуя работам [5, 6], ортонормированный базис векторных полей и дуальный базис 1-форм
Для обозначения производной по направлению соответствующего базисного поля будем использовать индекс в круглых скобках, например, С(о) = е0С = (l/A)dtC, ф{\) = віф = (1/В)дгф. В пространстве 2-форм введем ортогональный базис где - оператор Ходжа, определенный на 2-формах формулой форма объема, а точка обозначает полную свёртку по метрике. Далее всюду, если не оговорено противное, мы будем использовать данные базисы, т. е. компоненты всех тензорных полей будут относиться к указанным базисам. Мы получим уравнения Эйнштейна для метрики (1.7) в рассматриваемом ортонормированном базисе, используя метод структурных уравнений Картана. Для связности Леви-Чевиты матричнозначная форма связности CJ = (cjj) в ортонормированном базисе определяется соотношениями Vx&j
Асимптотически плоские сферически-симметричные скалярно-полевые конфигурации
Топологический геон является, грубо говоря, частицей, образованной из нетривиальной топологии пространства-времени и, может быть, некоторого физического поля. Топологическая особенность в такой пространственно-временной конфигурации сосредоточена, в отличие от кротовой норы, в ограниченной области пространства. Класс топологических геонов предложен в работе [17] и к настоящему времени представлен единственным точным вакуумным решением [18]. Мы будем называть топологическим геоном вещественно-аналитическое решение уравнений Эйнштейна, вакуумных или связанных с гравитирующим физическим полем, если пространственно-временное многообразие М асимптотически плоское, имеет отличную от нуля кривизну и гомеоморфно Ш. х М3#Е, где ф обозначает связную сумму многообразий, а Е - связное компактное трехмерное многообразие, топологически отличное от S3 и, следовательно, неодносвязное. Пространственно-временное многообразие М может иметь горизонт событий и не быть геодезически полным. Данное определение имеет чисто априорный статус, однако его формулировка учитывает накопленный опыт исследованрія и интерпретации решений уравнений Эйнштейна. В топологической части оно эквивалентно определению геона 1хЕ\ {point} из работы [17], но более явно учитывает связь топологии с геометрией многообразия, в частности, с плоской асимптотикой метрики.
Отметим также, что вполне плоские решения, в которых Е принадлежит одному из десяти топологически различных классов компактных трехмерных многообразий, допускающих плоскую метрику [19], исключаются как нефизические. Целью данного раздела является исследование общих свойств и условий существования сферически симметричных топологических геонов, а также их связи с кротовыми норами. Мы будем рассматривать сферически-симметричные скалярные топологические геоны двух типов. Геоны первого типа возникают при факторизации по группе Z2 максимальных аналитических продолжений (например, в координатах типа Крускала) решений центрального типа с горизонтом событий, рассмотренных в разделе 3.1. Предельным случаем таких решений является вакуумный геон, полученный в работах [18, 20]. Геоны второго типа также возникают при факторизации по группе 2 из статических проходимых кротовых нор, симметричных относительно горловины, которые рассмотрены в разделе 3.2. Мы получим решение для вакуумного геона в специальных координатах в окрестности топологической особенности и найдем функции перехода к координатам Шварцшильда и Крускала; это способствует более глубокому пониманию геометрии вакуумного и скалярного геонов. Мы представим общий метод, позволяющий получать скалярные топологические геоны из решений центрального типа с горизонтом событий. Будет получена формула для нахождения собственного времени жизни соответствующих геонов и показано, что оно конечно для решений с положительным кинетическим членом. Единственным трёхмерным связным компактным многообразием с группой изометрий 50(3), отличным от 3, является проективное пространство ЖР3, поэтому сферически симметричный геон гомеоморфен многообразию М ж Ш х IR3#1RP3. Пространственно-подобное сечение геона М гомеоморфно M3#]RP3 и может быть получено из R3 вырезанием открытого шара Вг и отождествлением противоположных точек граничной сферы. Другими словами, это фактормногообразие (R3\-B3)/Z2 с тривиальным действием группы 2 всюду, кроме точек граничной сферы. Очевидно, что на М существует естественный атлас, составленный не менее чем из трех карт со сферическими координатами (, г, в, tp), в которых угловые координаты ограничены значениями 0, (р Є (0,7г) на трех парах противоположных стандартных полусфер граничной сферы нефакто-ризованного многообразия Е3 \ В3. Ниже будет видно, что трех карт достаточно для вакуумного и скалярного геонов при подходящем выборе координат, например, координат типа Крускала, соответствующих калибровочному условию А = В. В общем случае тремя картами всегда можно покрыть такую окрестность топологической особенности, которая гомеоморфна всему многообразию М. Пока не сделан выбор конкретных калибровочных условий, уравнения Эйнштейна (1.15) - (1.18) и динамическое уравнение для гра-витирующего скалярного поля имеют одинаковый вид в любой карте естественного атласа. Не теряя общности, мы можем выбрать радиальную координату г равной нулю для каждой пары отождествленных точек граничной сферы и потребовать, чтобы калибровка не нарушала инвариантности уравнений относительно преобразования г і- —г. При этом остаются инвариантными и метрические функции, которые, вследствие этой инвариантности и невырожденности метрики, должны быть чётными по г и удовлетворять условиям (штрих означает производную по г) где п 1, 2 п - порядок первой отличной от нуля производной. Рассмотрим сумму уравнений (1.15) и (1.16) в точках гиперповерхности, гомеоморфной Ж х 1RP2 и заданной уравнением г = 0 в каждой координатной карте естественного атласа. В силу (3.42) мы имеем В статическом случае функция С(г) имеет минимум в точках гиперповерхности г = 0 только, если (Too + Ті і) 0 в некоторой
Сферически-симметричный топологический геон
Сферически-симметричная кротовая нора - это глобальное, космологическое решение, в силу своей геометрической структуры, с топологией Ж х Ж3 #И3 & Ж2 х 2 . Попытки построить из кротовой норы со сферической симметрией частицеподобное решение посредством изометрических топологических операций, например, посредством отождествления областей, симметричных относительно горловины, приводят к нехаусдорфовой топологии. С другой стороны, общий анализ [21, 22, 23] влияния топологии на геометрию показывает, что кротовые норы во многом аналогичны топологическим ча-стицеподобным решениям. В частности, необходимые условия существования кротовой норы [24, 25, 26] могут быть приведены к виду условий (3.42) для топологического геона, хотя метрика в окрестности горловины кротовой норы (двумерной сферы с радиальной координатой г = 0) не является, вообще говоря, инвариантной относительно преобразования г i- —г .
Для общности формулировок мы будем в этом разделе рассматривать максимальные аналитические продолжения решений центрального типа с горизонтом событий как непроходимые кротовые норы. Если максимальное аналитическое продолжение использует
координаты типа Крускала, то преобразование г \-л —г является изометрией и горловиной мы будем считать трёхмерную гиперповерхность, определённую уравнением г = О . Эту гиперповерхность можно представить как слоение двумерных сфер, параметризованных временной координатой. Радиус сферы вначале увеличивается от нулевого значения (на сингулярности в прошлом) до максимального значения, равного радиусу горизонта событий, а затем снова убывает до нуля (на сингулярности в будущем). Процедура получения геона сводится к отождествлению противоположных точек двумерных сфер, образующих это слоение, в каждый момент времени. Это равносильно факторизации многообразия относительно изометрии г ь- — г .
Мы можем сформулировать следующую теорему взаимности: если сферически-симметричная кротовая нора обладает зеркальной симметрией относительно горловины, то разрез по горловине и отождествление противоположных точек граничной сферы одной из двух частей кротовой норы дает сферически-симметричный топологический геон; обратно, из сферически-симметричного топологического геона можно получить симметричную относительно горловины кротовую пору.
Детали топологических перестроек, с помощью которых получаются взаимные многообразия, вполне очевидны из приведённых выше рассуждений.
Важность теоремы взаимности заключается в том, что класс кротовых нор, симметричных относительно горловины, интенсивно изучается на протяжении последних двадцати лет. С помощью теоремы взаимности любое решение в виде симметричной относительно горловины статической кротовой норы с фантомным скалярным полем (класс таких решений изучен нами в разделе 3.2), может быть преобразовано в топологический геон без горизонта, и наоборот. Рис. 3.5: Нерв покрытия многообразия М, согласованный с естественным атласом расслоения Ф. Отметим, что векторные расслоения над М, в которых принимают значения гравитирующие поля, могут быть нетривиальны, поскольку нетривиальна топология базы. Поэтому, в отличие от метрических функций, произвольная полевая функция ф может быть, вообще говоря, как четной, так и нечетной относительно радиальной переменной, т. е. ф t-»- ±ф при г t- -г.В простейшем случае нечетные полевые функции являются сечениями одномерного вещественного векторного расслоения Ф = (М, М, Z2) со структурной группой 2. Так, для геонов, полученных из симметричных относительно горловины статических кротовых нор, полевая функция ф(г) может быть чётной {п - чётное) и являться функцией на М, а может быть нечётной (п - нечётное) и принимать значения в расслоении Ф = (М, Е, Z2).
Нерв покрытия, рассмотренный в [14] для частного случая, является универсальным для сферически-симметричного геона. Выбирая на М естественный атлас из шести карт со сферическими координатами, в которых угловые координаты ограничены на шесть стандартных полусфер граничной сферы нефакторизованного многообразия R3 \В3, можно построить локальную тривиализацию расслоения Ф, согласованную с данным атласом. Нерв покрытия М и набор функций перехода в расслоении Ф изображаются одним и тем же графом (см. Рис. 3.5) в котором элементы +1 и —1 группы 2,2 сопоставляются сплошным и штриховым ребрам соответственно. Каждая пара вершин графа связана ребром. Они определяют знаки в функциях перехода ф — ±ф \ г — ±г \ а также знак якобиана отображения (# ),(/ 1)) — (#(2\ t/?(2)) на пересечении любой пары карт.
Симметричная относительно горловины кротовая нора с нечётной функцией поля
Точные асимптотически плоские решения уравнений Эйнштейна для самогравитирующего нелинейного скалярного поля очень важны как с точки зрения полного анализа возможностей конфигураций данного типа, так и с чисто математической точки зрения. Недавно были найдены несколько семейств статических решений, представляющих как чёрные дыры, так и частицеподобные регулярные решения. В работах [30, 31, 32] рассматривалось фантомное скалярное поле, а в работах [33, 34] представлены все, известные на сегодняшний день, сферически-симметричные решения с положительным кинетическим членом. Стоит отметить, что все они обладают всюду отрицательным и неограниченным потенциалом. В этом разделе мы получим двухпараметрическое семейство точных решений [35, 36] центрального типа, изученного нами в разделе 3.1, связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения поля (1.15) - (1.19) с положительным кинетическим членом (є = 1). Это семейство будет получено методом обратной задачи, суть которого изложена в разделе 2.2, и будет включать в себя, помимо голых сингулярностей, регулярные (частицеподобные) решения и чёрные дыры.
Для всех решений данного семейства потенциал самодействия ограничен и положителен на пространственной бесконечности. Однако, согласно известным теоремам [37, 38, 39, 40] для скалярных полей с положительным кинетическим членом и неотрицательным потенциалом, запрещающим существование чёрных дыр и регулярных частицеподобных решений с положительной массой, потенциал самодействия обязательно будет принимать отрицательные значения в некоторой ограниченной области вблизи центра. Запишем метрику (2.31) сферически-симметричного пространства-времени в статической калибровке Положим, что функция eF(C), соответствующая решениям центрального типа, имеет вид С4 + 4 Восстанавливая с помощью формулы (2.16) поле ф(С), получим Здесь F(z,k) обозначает неполный эллиптический интеграл первого рода в форме Лежандра, где z - амплитуда, а к - модуль [41]. С помощью квадратурной формулы (2.21) получим явное аналитическое выражение для функции /(С) х[ах(Лал(С+1)-ахйап(а-1)]-тГ2 - + с,2У ) }, (4.4) где Далее, из (2.10) мы находим потенциал поля как функцию от С Рис. 4.1: График потенциала У(ф, т, а) для а — 0.93. Значения массы т даны в единицах массы /і = 247г/6 0.3918 регулярного решения (чёрная сплошная линия). Вставка показывает детали для малых значений ф вблизи пространственной бесконечности. Таким образом, решения данного семейства характеризуются двумя параметрами: шварцшильдовои массой т и полевым параметром а. Понять поведение решений помогут разложения в нуле: ф = а2Р(1,а2) 7га Поле 0(C) и потенциал V(C) всюду регулярны для любых значений параметров 0 а 1 и массы m Є К., но поведение характеристической функции /(С) существенно зависит от значений этих параметров. Как следует из (4.8), существуют три типа решений.
