Содержание к диссертации
Введение
Глава.I. Критические условия появления огней св. Эльма 8
I.I Физико-математическая модель огней св. Эльма 8
1.2. Электростатические неустойчивости Тонкса-Френкеля и Кельвина-Гельмгольца на заряженной границе двух сред. Общая постановка задачи 14
1.3. Дестабилизация заряженной границы раздела двух сред, подверженной действию неустойчивостей Тонкса-Френкеля и Кельвина- Гелъмгольца при наличии переменной во времени компоненты поля скоростей верхней среды 42
1.4. О зависимости критических условий реализации неустойчивости заряженной границы раздела сред от толщины верхней среды 53
Глава 2. Электромагнитное, излучение от огней св. Эльма 75
2.1. Электромагнитное излучение осциллирующей заряженной вязкой капли конечной проводимости в линейном приближении по амплитуде осцилляции 76
2.2. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли 105
2.3. Электромагнитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли 127
2.4. Об интенсивности радиопомех от огней св. Эльма 133
Глава 3. О форме и характерном линейном размере огнейсв. Эльма 135
3.1. Эффект рассеивания заряженных аэродисперсных систем. Веерная форма свечения огней св. Эльма
3.2. Расчет размеров и зарядов капелек, эмиттируемых при неустойчивости заряженной поверхности жидкости (при появлении огней св. Эльма) 149
Результаты и выводы 155
Список использованной литературы
- Электростатические неустойчивости Тонкса-Френкеля и Кельвина-Гельмгольца на заряженной границе двух сред. Общая постановка задачи
- О зависимости критических условий реализации неустойчивости заряженной границы раздела сред от толщины верхней среды
- Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли
- Расчет размеров и зарядов капелек, эмиттируемых при неустойчивости заряженной поверхности жидкости (при появлении огней св. Эльма)
Электростатические неустойчивости Тонкса-Френкеля и Кельвина-Гельмгольца на заряженной границе двух сред. Общая постановка задачи
Чтобы оценить характерный линейный размер ОСЭ выразим сечение столкновения капельки с ионом s через характеристики капельки и напряженность электрического шля Е , в котором ион распадается на электрон и нейтральный атом.
Как уже говорилось, при атмосферном давлении отрицательный ион распадается на электрон и нейтральный атом при попадании в поле напряженностью Е 70 кВ/см . Такое поле существует вокруг дочерней капельки, несущей заряд порядка предельного в смысле критерия устой-чивости, т.е. q % (16% а г //2, на расстоянии R /к 8% о г3 от ее центра, и сечение столкновения капельки с отрицательным ионом будет иметь вид: з = Е;1 /en?О Г3 (2) Теперь несложно найти расстояние, которое пройдет капелька за время «с : г = Е+{гк п /W}". (3)
При г = 20 мкм, п = 800 см , о = 70 дин/см легко получить I 20 см. Из (3) видно, что характерное расстояние 7, которое проходит капелька до столкновения с ионом, при котором появится свободный электрон, сильно зависит от радиуса капли. Уже при г = 10 мкм получим Z 60 см. из (3) видно, что характерный линейный размер свечения ОСЭ обратно пропорционален концентрации отрицательно заряженных ионов в объеме, занятом ОСЭ. Выше полученная численная оценка на максимальное значение характерного линейного размера ОСЭ Z I м справедлива лишь при п = 800 см" . Естественно ожидать, что при зажигании ОСЭ в их окрестности концентрация отрицательных ионов будет увеличиваться. В самом деле, согласно вышесказанному в окрестности объема, занятого ОСЭ, будут идти интенсивные процессы & тоионизации воздуха [50]. Образовавшиеся при этих фтоионизационных актах электроны будут прилипать к нейтральным атомам, образуя отрицательные ионы. В итоге их концентрация в объеме ОСЭ будет увеличиваться, а характерный линейный размер X будет уменьшаться " тГ1. Поэтому наиболее часто упоминаемые наблюдателями значения I соответствуют всего нескольким сантиметрам (в 62% описаний I 5 см).
Наибольшие линейные размеры и яркость ОСЭ имеют в ветренную (штормовую) погоду. Это обстоятельство позволяет предположить ,что наличие ветра создает более благоприятные условия для появления ОСЭ и что определенную роль в этом играет неустойчивость Кельвина-Гельмгольца - неустойчивость границы раздела двух несмешивающихся жидкостей, по которой проходит тангенциальный разрыв поля скоростей. В этой связи представляется целесообразным рассмотреть комбинацию задачи Тонкса- Френкеля с задачей Кельвина-Гельмгольца, например, в том виде как они изложены в [23,26,39] соответственно, но в более общей постановке, когда скорость потока воздуха над заряженной поверхностью жидкости является произвольной функцией времени, на которую наложим лишь одно ограничение: ее квадрат должен разлагаться в ряд Фурье. Имея в виду лишь исследование критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности воды, над которой имеется параллельный границе раздела поток воздуха, ограничимся рассмотрением случая невязкой жидкости.
Все вышесказанное прекрасно объясняет образование ОСЭ. Однако для образования ОСЭ необходимы очень большие напряженности электрического поля, которые в природе существовать не могут.
В связи с этим будем решать задачу об устойчивости тангенциального разрыва двух несмешивающихся идеальных жидкостей различных плотностей Pi и р , каждая из которых заполняет полубеоконечное пространство, а верхняя жидкость движется с переменной во времени скоростью U=U(t) параллельно заряженной с постоянной поверхностной плотностью заряда о границе раздела сред.
Пусть потенциалы полей скоростей движения верхней и нижней жидкостей есть (rj) и ty2(r,t) соответственно. Тогда математическая формулировка задачи об исследовании временной эволюции амплитуд капиллярных волн в декартовой системе координат, плоскость XOY которой совпадает с невозмущенной границей раздела сред, а ось 0Z направлена вниз, в направлении действия силы тяжести,имеет вид [45,491: Аф.=0; 1=1,2 (1) Аф =0 - относится к верхней жидкости. Аф2=0 - отноститься к нижней жидкости. Представим потенциал скоростей волнового движения жидкостей в виде верхней жидкости ф = ф01 + ф14 (2) нижней жидкости ф2= фо + фі2 (3)
О зависимости критических условий реализации неустойчивости заряженной границы раздела сред от толщины верхней среды
Изучение закономерностей реализации неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца и Тонкса-Френкеля представляет интерес в связи с многочисленными приложениями в геофизике, технической физике и химической технологии (см., например, [23,25,51]). Как показано в [51], в задаче об устойчивости тангенциального разрыва двух несмешивающихся идеальных жидкостей различных плотностей р и р , каждая из которых заполняет полубесконечное пространство, а верхняя жидкость движется с переменной во времени скоростью U=U(t} параллельно границе раздела сред, дифференциальные уравнения, описывающие временную эволюцию амплитуд капиллярных волн являются уравнениями с переменными во времени коэффициентами типа Матье-Хилла и имеют дискретные зоны, в которых их решения неустойчивы [25,51,61]. Примем, что граница раздела сред заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда о, и будем исследовать ее устойчивость. Очевидно, что при некоторых значениях физических параметров граница раздела сред в описываемой ситуации может быть подвержена одновременному влиянию неустойчивостей Кельвина - Гельмгольца, Тонкса-Френкеля и параметрической неустойчивости. Исследование взаимовлияния этих неустойчивостей и является предметом рассмотрения настоящей работы.
Пусть потенциалы полей скоростей движения верхней и нижней жидкостей есть \(r,Д; и p2(r,t) соответственно. Тогда математическая формулировка задачи об исследовании временной эволюции амплитуд капиллярных волн в декартовой системе координат, плоскость IOY которой совпадает с невозмущенной границей раздела сред, а ось 0Z направлена вниз, в направлении действия силы тяжести,имеет вид [45,49]: Дф = О; J = 1;2, = - со ф - x-U(t) Const = О; оз z = Ux;t): ф2 .» Const = 0; % U І- ; Й — dz дх dt az dt Pi— f p «e + -P±-\m±)z - if(t)] 1 at P1L1 J =z — аЧ афя p2 — + QzgC 4% fP.i - a — ; где i(x,t)- возмущение границы раздела, связанное с тепловым капиллярным волновым движением; однородная по координатам X и z, зависящая от времени скорость движения верхней жидкости относительно нижней. Направление вектора U определяет ориентацию оси ОХ; а- коэффициент поверхностного натяжения границы раздела; &- волновое число. Если принять, что U(t)=UofU,[-C08iDot; (UJUt), TO дифференциальное уравнение, описывающие временную эволюцию амплитуд фиксированных мод тепловых капиллярных волн принимает вид: - + с К - 2%U U,.Cos ш t + x -C032ut] = О; (1} Г 2 а 2 Р" 1 = ё(92 - Q,) + ок2 - 4% fk - fep + Ш2о = 0; Рд Р2 X s &2- a
Получившееся уравнение является уравнением Матье-Хилла, которое в зависимости от соотношения величин коэффициентов 4, 7 и частоты щ может иметь либо параметрически устойчивые, либо параметрически неустойчивые, экспоненциально нарастающие со временем решения. Кроме того, при некоторых значениях входящих, параметров (при ю 0 и U =0) из уравнения (1) следует также возможность реализации в анализируемой системе неустойчивостей Тонкса-Френкеля и Кельвина-Гельмгольца, критические условия реализации которых определяются условием р2 g(p, - о) +акг - 4ъ?Ь - feo U\ + Ы? — 0. {3) (Рг3Рх)
Несложно видеть, критическое для реализации неустойчивости гра 2 ницы раздела значение поверхностной плотности заряда о уменьшается с ростом скорости движения верхней среды как целого ио. Иначе говоря, обе возможных неустойчивости границы раздела: апериодическая неустойчивость Тонкса-Френкеля и колебательная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, имеют место одновременно, снижая критические условия реализации друг друга (более подробно этот вопрос изложен в [23]).
Перейдем в уравнении (1) к безразмерным переменным, в которых капиллярная постоянная нижней жидкости а, плотность нижней жидкости р и частота периодического внешнего воздействия на границу раздела сред озо равны единице, и, оставляя за физическими величинами прежние обозначения, перепишем (1) в виде:
Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли
Возникновение огней св. Эльма (00Э) в 93% случаев связано с явлением неустойчивости капель и пленок воды в электрическом поле [13]. На нелинейной стадии этой неустойчивости с поверхности жидкости начинается эмиссия сильно заряженных высокодисперсных капелек, в окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации коронный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. ОСЭ часто появляется на самолетах, попадающих в облака, вследствие локального увеличения напряженности внутриоблачного поля в окрестности самолета, обусловленного поляризацией самолета [36]. Кроме того, на самолете летящем в облаке за счет контактной электризации накапливается собственный электрический заряд " НО 3 + 1Q 2) Кл [36,37]. В итоге суммарная напряженность поля в окрестности концов крыльев или носовой и хвостовой частей самолета может достигать величины 1& В/см [36,37]. Столь сильные поля способны вызывать неустойчивость капель, покрывающих поверхность самолета при полете в облаках. Зажигание ОСЭ на самолете сопровождается появлением интенсивных радиопомех, затрудняющих полет. Как показывает статистический анализ данных наблюдений ОСЭ в естественных условиях появление радиопомех от ОСЭ отмечается в 13% всех описаний (точнее говоря, только в 13% в распоряжении наблюдателей ОСЭ имелись приборы, позволяющие зафиксировать радиопомехи).
Из общефизических соображений можно выделить два источника радиоизлучения ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных микропленок и капиллярных колебаний капелек, несущих значительный электрический заряд [15]. Радиоизлучение коронного разряда изучено достаточно хорошо и ниже основное внимание будет уделено оценке интенсивности радиоизлучения, связанного с колебаниями заряженных капель,
Электромагнитное излучение осциллирующей заряженной вязкой капли конечной проводимости в линейном приближении по амплитуде осцилляции.
1. Исследование электромагнитного излучения от колеблющихся заряженных облачных и дождевых капель представляет интерес как в связи с проблемами радиолокационного зондирования облаков и туманов [38,39], так и в связи с разработкой средств диагностики широкого спектра приложений явления электродиспергирования жидкостей [3,22,30,87 3. В частности, электромагнитное излучение от огней Св. Эльма, загорающихся на самолетах, летящих в грозовых облаках, приводит к весьма высокому уровню радиопомех. Появление огней св. Эльма согласно предыдущей главе в большинстве случаев связано с неустойчивостью Тонкса-Френкеля (неустойчивостью заряженной поверхности пленки воды, покрывающей предметы, возле которых наблюдается это явление), сопровождающейся эмиссией большого количества высокодисперсных сильно заряженных капелек, в окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоиониза-ции коронный разряд.
Задача расчета интенсивности электромагнитного излучения от колеблющейся заряженной капли была впервые сформулирована в [38] для невязкой идеально проводящей капли в вакууме. В связи с актуальностью проблемы представляет интерес решение более общей задачи для капли с реальными свойствами: с отличной от нуля вязкостью и конечной скоростью переноса заряда,
2.Пусть дана сферическая капля радиуса R вязкой несжимаемой жидкости плотности р, с коэффициентом кинематической вязкости v, удельной проводимостью о, диэлектрической проницаемостью єі, коэффициентом поверхностного натяжения 7» поверхность которой совершает капиллярные колебания бесконечно малой амплитуды, возникающие в следствие теплового движения молекул. Капля обладает зарядом Q и находится в вакууме. Уравнение свободной поверхности капли в сферической системе координа с началом в центре масс капли запишется в виде: г = Д f Z(Q,t;, где - возмущение равновесной сферической поверхности капли, вызванное ка пиллярным волновым движением, « R. Для упрощения записи и последующих вычислений введем безразмерны переменные, в которых R=1, 9=U 1=1- Все остальные величины (за кото рыми оставим обычные обозначения) выразятся в единицах своих характер ных значений: гш= R; tm=g" {f"r"a; иш= R- 2p iy2fy2; Р Я Т ат= д-э"2р- 2т1/2; Q = f?"2f2; . v.= t f f Система уравнений электрогидродинамики с электрическим полем, создаваемым зарядом Q, имеет вид: индекс 1 относится к жидкости, a индекс 2 - к внешней среде; s. -диэлектрическая проницаемость (ниже принимается, что s =7, є = s); t; - поле скоростей; t) - давление внутри жидкости при наличии внешнего электрического поля; с - скорость распространения элек тромагнитных волн в вакууме,
Расчет размеров и зарядов капелек, эмиттируемых при неустойчивости заряженной поверхности жидкости (при появлении огней св. Эльма)
Впервые классические методы теории возмущений (метод Линштедта Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капиллярных колебаний конечно амплитуды, совершаемых поверхностью незаряженной капли несжимаемой не вязкой жидкости, были применены в [98]. Это позволило получить поправк к форме поверхности капли, потенциалам скоростей и частотам колебаний в втором порядке малости по амплитуде начального возмущения равновесно формы капли, вызванного виртуальным увеличением амплитуды м-ой моды дл п=2,3,4. В экспериментальных исследованиях сдвига частоты при нелинейны колебаниях капли в условиях отсутствия силы тяжести, проведенных [101], получено хорошее согласие с данными работы [98].В работе [99] н основе более подходящего для исследования многочастотных колебаний мето да многих масштабов были исследованы осцилляции конечной амплитуды заря женной капли идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбуж дением первых трех мод (п=2,3,4), для случая заряда, меньшего Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что при приближении величины заряда i критическому значению найденные в [99] поправки к амплитудам гармонических колебаний становятся несправедливыми, т.к. содержат неграниченв нарастающие при Q - Qc слагаемые. Для устранения таких расходимостей i [юо] на основе асимптотического поведения решений, полученных в [99]. малый параметр масштабирования s вводится таким образом, чтобы он характеризовал соотношение между амплитудой деформации и отклонением величині заряда на капле Q от критического Q . Это позволило авторам [ЮОЗ проанализировать нелинейную динамику осесимметричных осцилляции поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского предела и получить с точностью до второго порядка малости по величине s решения, описывающие эволюцию формы капли, поля скоростей и электрического поля при начальное эзбуждении основной моды колебаний поверхности. Нелинейный анализ несимметричных колебаний капли, несущей заряд, мало отличающийся от элеевского предела, методами, использованными в [1003, предпринят в Э2], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричшх эд, описываемых сферическими функциями второго порядка. Решения выве-знных уравнений в зависимости от величины начальной деформации капли и лизости заряда к критическому значению могут проявлять стохастическое эведение.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических эрм поверхности идеально проводящей заряженной невязкой капли с зарядом близи Рэлеевского предела при начальном возбуждении основной (п=2) моды ассматривались в [юо]. В частности было показано, что Рэлеевский пре-эл соответствует точке транскритической бифуркации семейства статичес-дх сферических форм капли на семейства осе симметричных вытянутых и сп-юснутых сфероидальных форм (этот результат был подтвержден численными асчетами [81]). Вытянутые формы существуют при значениях заряда, мень-ЙХ критического, и неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмуще-ЙЯМ поверхности. Сплюснутые статические формы существуют при зарядах, эльших Рэлеевского предела, причем они оказались устойчивыми по отноше-яю к малым осесимметричным возмущениям. Кроме того выяснилось, что при качениях заряда, немного меньших критического, устойчивость исходной Прической формы капли может быть нарушена колебаниями конечной ампли-ры. Причем величина заряда, на которую снижается его критическое зна-зние, пропорциональна амплитуде начального удлиннения капли. Результаты галитических вычислений в [юо] подтверждаются численными расчетами гатических форм поверхности капли при возбуждении первых трех мод. Чис-знный анализ осесимметричных статических форм заряженной капли вблизи элеевского предела был продолжен в [94] с использованием интегральной )рмы уравнения Лапласа. В квадратичном по амплитудам мод приближении 5наружены несимметричные относительно экваториальной плоскости формы 1пель, неустойчивые в линейном приближении. В работе [92] при анализе юсесимметричных колебаний капли получено, что сплюснутые сфероидальные рмы капли, существующие согласно [юо] и численным расчетам [813 при :Qc, неустойчивы по отношению к неосесимметричным возмущениям (позднее [алогичный результат получен и в линейном анализе [28,78])- Таким обра-)м, Рэлеевский предел соответствует точке абсолютной неустойчивости фяженной капли. Начальная стадия реализации неустойчивости заряженной шли проходит через последовательность удлинняющихся вытянутых сферои-ш.
Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных колебаний заряжен-)й поверхности капли рассматривались в работах [85,99]. Основное внима-le в [99] было уделено анализу "вторичного" резонансного взаимодействия jyx высоких мод, которое проявляется в нарастании поправок второго по-1дка малости к амплитудам колебаний, когда частоты соответствующих мод клзлетворяют соотношению bfm = ftV (где k - целое, т п). Для частного 1учая т=6, п=4 получены выражения для частот и амплитуд модулированного лебания при различных начальных условиях. Исследование взаимодействия пличныХ мод капиллярных колебаний заряженной капли было продолжено в 15], где показано, что неустойчивость капли, заряженной немного меньше леевского предела, может наступать вследствие нелинейного взаимодейст-[я нерезонансных мод (т.е. когда частоты взаимодействующих мод не свя-1Ш никаким явным соотношением), В случае, когда начальное возмущение юдставляет собой возбуждение одной из высоких мод капиллярных колеба-й, но амплитуда этой моды недостаточно велика, чтобы реализовалась ее устойчивость, может претерпеть неустойчивость основная мода за счет линейного взаимодействия с устойчивой возбужденной модой.
Все аналитические исследования [85, 92, 94, 98, 99, ЮО] нелинейной намики поверхности капли проводились в рамках модели идеальной жидкос-[. Лишь в работе [90] при расчетах численными методами было учтено вли-ие вязкости жидкости на осцилляции формы капли. Получено, что даже аличие малой вязкости существенным образом сказывается на резонансном заимодействии отдельных мод колебаний.
В настоящей работе в более общей, чем в [831 постановке решается етодом многих масштабов задача о расчете спектра капиллярных колебаний взаимодействия различных мод во втором порядке малости по амплитуде ачального возмущения капли невязкой проводящей жидкости, заряженной иже Рэлеевского предела. Использование иной по сравнению с [993 методи-и удовлетворения начальным условиям позволило получить решение для сии уаций, когда начальное возмущение поверхности связано с начальным воз-уждением двух произвольных мод колебаний.
Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности капли идеаль-ой, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью р, коэффици-нтом поверхностного натяжения а. Примем, что капля находится в вакууме, е полный заряд равен Q, а объем определяется объемом сферы с радиусом . Пусть в начальный момент времени t=Q равновесная сферическая форма апли претерпела виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной мплитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью определить пектр возникающих в такой ситуации капиллярных осцилляции капли (форму апли) в последующие моменты времени t 0.
