Введение к работе
Актуальность темы. Создание интеллектуальных систем, способных адаптироваться к изменениям внешних условий, инновационные разработки в области проектирования турбин, реактивных и ракетных двигателей, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы, платформы и т.д.), невозможны без знания методов вычисления и контролирования напряжённо-деформированного состояния (НДС) этих систем. Особенно важными для научно-технического прогресса являются задачи управления НДС.
В современной научной литературе одним из основных направлений в области решения задач управления НДС является исследование систем с наведёнными неупругими деформациями, которые необходимым образом корректируют НДС. При этом неупругими считаются температурные деформации (Т. Tauchert), пьезоэлектрические (Н. Irschik, Н. Tzou), деформации фазовых переходов в материалах с эффектом памяти формы (A. Baz), ростовые деформации и др. В рамках краевой задачи теории упругости такие деформации объединяются под общим термином собственные деформации (Н. Reissner, Т. Мига).
В работах венских и пермских ученых (Н. Irschik, F. Ziegler, Ю.И. Няшин, В.А. Лохов) предложены новые классы задач управления: 1) независимое управление напряжениями и 2) независимое управление полными деформациями. Первая задача подразумевает создание в теле заданного поля напряжений за счет собственной деформации, сохраняя деформацию системы, а вторая задача - создание заданных полных деформаций системы, не меняя напряжений. В частности, такие задачи актуальны в медицине, когда в роли собственных деформаций выступают ростовые деформации. Последнее особенно важно для молодых пациентов, где процессы роста проходят с большей интенсивностью. Целенаправленное управление ростовыми процессами у детей позволит исправлять патологии развития, такие как сколиоз, расщелина твердого нёба, сращивание переломов и т.д. В этих задачах особенно важно, чтобы ростовые деформации не вызывали напряжений.
Для изучения предложенных классов задач этими учёными был использован один из подходов к решению вопросов управления остаточными напряжениями при термоупругопластичности (А.А. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов), основанный на применении метода ортогонального разложения гильбертовых пространств в задачах механики (P. Rafalski, С.Г. Михлин, В.В. Стружанов). Исследования в данном направлении приводят к новому фундаментальному результату - доказательству теоремы о декомпозиции собственной деформации (F. Ziegler, Ю.И. Няшин, В.А. Лохов). Данная теорема утверждает, что любую собственную деформацию, существующую в теле, можно разложить на две составляющие: свободную от напряжений (т.е. не вызывающую напряжений в этом теле) и свободную от полных деформаций (не вызывающую полных деформаций в теле). Таким образом, теорема о декомпозиции является основным инструментом при решении задач независимого управления напряжениями и деформациями.
Однако для решения прикладных проблем, с использованием теоремы о декомпозиции необходима разработка численных алгоритмов решения задач независимого управления и их реализаций в виде комплексов проблемно-ориентированных программ. Необходимо также развитие методов
исследования ограничений, налагаемых природой собственной деформации или
технологическими особенностями изготовления рассматриваемых
конструкций. Поэтому выполнение описанных работ является актуальным и позволит эффективно применять теорему о декомпозиции для решения задач независимого управления НДС рассматриваемых систем.
Цель работы - разработка, обоснование и тестирование эффективных численных алгоритмов, позволяющих решать задачи независимого управления НДС в системах с собственными деформациями.
Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:
исследование общих свойств систем с собственными деформациями в сплошных телах и дискретизированных системах;
разработка процедур поиска базисных элементов в подпространствах собственных деформаций;
формулировка математических соотношений для учёта ограничений, налагаемых на распределение собственных деформаций в системе;
разработка эффективных численных алгоритмов для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью базисов различных подпространств собственных деформаций;
тестирование разработанных вычислительных методов на ряде задач механики;
реализация разработанных эффективных численных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению напряжениями и деформациями.
Научная новизна представленной работы заключается в следующем:
даны постановки и разработаны численные алгоритмы для решения задач независимого управления напряжениями и полными деформациями с помощью собственных деформаций, в рамках которых применительно к дискретизированным системам предложены новые способы нахождения базисных элементов функциональных пространств собственных деформаций, а также сформулировано математическое соотношение, учитывающее ограничения, связанные с закономерностями распределения собственных деформаций;
доказана теорема существования ненулевого решения задач независимого управления напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций в дискретизированных системах;
предложенные численные алгоритмы реализованы с помощью разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по независимому управлению НДС, применённый для решения задачи о вращающемся диске.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения построенных алгоритмов при решении инженерных и биомеханических задач, в которых необходимо
проводить управление деформированным состоянием исследуемой
системы без изменения её поля напряжений (обеспечение
размеростабильности зеркал космических телескопов, исправление
некоторых патологий развития у детей и т.д.);
контролировать напряженное состояние без влияния на полные
деформации системы (увеличение жёсткости стержневых конструкций
путём наведения дополнительных собственных напряжений и т.д.).
Достоверность результатов подтверждается согласованностью
результатов, полученных при тестировании разработанных алгоритмов и
комплекса программ, с известными теоретическими и расчётными данными
других авторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Студенческой научно-технической конференции «Компьютерная механика материалов и конструкций 2005» (Пермь, 2005); II Международной конференции «Современные проблемы механики и математики» (Львов, 2008); Международной научной конференции по механике «Пятые Поляховские чтения» (Санкт-Петербург, 2009); XVI и XVII Зимних школах-конференциях по механике сплошных сред (Пермь, 2009, 2011); IX Международном конгрессе по температурным напряжениям «Int. Congress on Thermal Stresses 2011» (Budapest, 2011).
Результаты диссертации в целом обсуждалась на научном семинаре в Институте механики МГУ (рук. д.ф-м.н., профессор Р.А. Васин), а также на научных семинарах кафедр «Теоретическая механика» ПГТУ (рук. д.т.н., профессор Ю.И. Няшин), «Математическое моделирование систем и процессов» ПГТУ (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов).
Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах [1-12], из них три ([4, 8, 12]) в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615824.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 106 страниц, 27 рисунков. Библиографический список включает 74 источника.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность доценту кафедры «Теоретическая механика» Пермского национального исследовательского политехнического университета Валерию Александровичу Лохову за полезные обсуждения работы.
