Содержание к диссертации
Введение
1. Основы электрокардиографии. модель экг-сигнала 12
1.1. Дипольная концепция распространения возбуждения в миокарде 12
1.2. Нормальная электрокардиограмма 15
1.2.1. Стандартные электрокардиографические отведения 15
1.2.2. Генез нормальной электрокардиограммы 17
1.3. Линейно-квадратичная аппроксимация с различными интерполяционными методами 24
1.3.1. Общая математическая модель ЭКГ-сигнала 24
1.3.2. Линейно-квадратичная аппроксимация ЭКГ-сигнала 25
1.3.3. Интерполяция смоделированных ЭКГ-сигналов 27
1.3.4. Шумовые составляющие модели 32
1.3.5. Точность моделирования 36
1.4. Выводы 39
2. Принципы программного определения QRS-комплексов 41
2.1. Значимость точности определения QRS-комплекса в задаче анализа ЭКГ-сигналов 41
2.2. Подходы к определению QRS-комплекса 42
2.2.1. Несинтаксический подход 43
2.2.2. Синтаксический подход 50
2.2.3. Трансформативные методы 52
2.3. Выводы 62
3. Применение вейвлетов к решению задачи обнаружения QRS-комплексов 64
3.1. Кратномасштабное представление сигналов 64
3.2. Алгоритм быстрого вейвлет-преобразования (алгоритм Малла) 65
3.2. Практика применения вейвлетов в обнаружении QRS-комплексов 71
3.3. Характеристика вейвлетов семейства Добеши 80
3.4. Выводы 83
4. Алгоритм обнаружения qrs-комплексов экг-сигналов на основе вейвлет-преобразования 84
4.1. Повышение точности обнаружения QRS-комплексов с применением вейвлет-трешхолдинга сигналов 84
4.1.1. Понятие вейвлет-трешхолдинга 84
4.1.2. Жесткий и мягкий вейвлет-трешхолдинг 86
4.1.3. Способы трешхолдинга 87
4.2. Применение различных способов расчета пороговых значений вейвлет-коэффициентов при вейвлет-анализе ЭКГ-сигналов 89
4.2.1. Sqrt-log метод 90
4.2.2. Методы несмещенной оценки риска Штейна 92
4.2.3. Штрафной метод Берга-Массара 96
4.3 Описание алгоритма обнаружения QRS-комплексов на основе применения вейвлет-преобразования и штрафного метода трешхолдинга Берга-Массара 101
4.4 Выводы 104
5. Описание программных комплексов
5.1. Международные стандарты хранения биомедицинской информации 105
5.1.1. Стандарты хранения ЭКГ-сигналов 105
5.1.2. База данных биосигналов MIT-BIH 106
5.2. Структуры программных комплексов и основные алгоритмы 111
5.2.1. Выбор средств разработки программных комплексов 111
5.2.2. Программный комплекс генерации ЭКГ-сигналов 112
5.2.3. Программа «Вейвлет-анализатор ЭКГ-сигналов» 117
5.3. Выводы 124
Заключение 125
Список использованных источников
- Нормальная электрокардиограмма
- Подходы к определению QRS-комплекса
- Алгоритм быстрого вейвлет-преобразования (алгоритм Малла)
- Применение различных способов расчета пороговых значений вейвлет-коэффициентов при вейвлет-анализе ЭКГ-сигналов
Введение к работе
Рост числа заболеваний и смертельных исходов, связанных с различными функциональными изменениями в работе сердца является одной из самых актуальных проблем систем здравоохранения Российской Федерации и других стран мира.
Важность решения проблемы повышения качества жизни людей в аспекте раннего диагностирования и своевременного лечения различных кардиологических заболеваний не вызывает сомнений у исследователей. Особо актуальным при этом является процесс автоматизации задач анализа огромного массива электрокардиографической информации.
Начало восьмидесятых годов прошлого столетия ознаменовано появлением нового направления в области обработки данных - вейвлет-анализа. Его успешное применение во многих практических и теоретических приложениях косвенно свидетельствует о неисчерпаемых возможностях вейвлет-методов и постоянно стимулирует поиск новых задач.
Не отвергая значимость анализа Фурье, применяемого в настоящее время в большинстве случаев для анализа электрокардиографических сигналов (ЭКГ-сигналов), вейвлет-методы успешно дополняют, а иногда способны и полностью заменить обработку данных традиционными методами. В отличие от преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и, что самое главное, большей точностью.
Вейвлет-преобразование привносит в обработку данных дополнительную степень свободы. Так, например, Фурье-анализ способен показать поведение сигнала в частотной области, оставляя открытым вопрос о локализации во времени различных компонент сигнала. Локализационные свойства вейвлет-анализа заложены в самой его структуре.
В настоящее время в электрокардиографии большое значение уделяется анализу желудочковой активности сердца. В частности - наиболее значимым с
точки зрения диагностики является так называемый QRS-комплекс ЭКГ-сигнала, отражающий процессы сокращения правого и левого желудочков. Именно он содержит информацию об инфаркте миокарда, ишемических изменениях, синдроме Вольфа-Паркинсона-Уайта, тахикардии, желудочковой фибрилляции и других заболеваниях.
Для точной постановки диагноза пациенту порой не достаточно 1-5-
минутной процедуры снятия ЭКГ на стандартных регистраторах, т.к. различные заболевания могут проявлять себя непериодично, кратковременно в течение суток и более. Поэтому в таких случаях прибегают к длительному холтеровскому мониторированию электрической активности сердца. А это приводит к неизбежному накоплению огромного количества информации, требующей детального анализа.
Существующие методы и стандарты анализа ЭКГ-сигналов, базирующиеся Фурье-преобразовании и частотном анализе, оказываются не вполне подходящими для точного обнаружения QRS-комплексов, т.к. не учитывают нестационарной и негармонической природа кардиосигналов.
Вейвлет-преобразование при соответствующей дополнительной обработке позволяет не только с высокой степенью точности локализовать требуемые участки сигнала, но и быть полезным в идентификации возможных функциональных изменений в работе миокарда.
Сравнение возможностей, которые представляет использование вейвлетов для исследования различных сигналов, широко освещено в литературе. Прежде всего, следует выделить работы И.Добеши [1, 2, 3, 4], К.Чуи [5], В.Свелденса [6, 7, 8], где наиболее объемно охвачены вопросы, связанные с вейвлет-анализом.
Основная цель диссертационной работы состоит в разработке алгоритма обнаружения QRS-комплексов ЭКГ-сигналов, обладающего более высокой точностью детектирования по сравнению с существующими методиками и как следствие - более высокой прогностической значимостью.
Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие задачи:
Системный анализ предметной области.
Создание моделей электрокардиографических сигналов с учетом различных вариантов искажений.
Анализ моделей и реальных ЭКГ-сигналов с применением стандартных вейвлетов. Выбор наиболее подходящих вейвлет-функций для достижения поставленной цели.
Применение различных алгоритмов шумоподавления. Выбор наилучшего метода с точки зрения наивысшей возможной точности классификации QRS-комплексов.
Создание программного обеспечения, осуществляющего выделение QRS-комплексов из анализируемого сигнала и сохранение результатов в общедоступном формате файлов.
Методы исследования. В диссертационной работе используется аппарат цифровой обработки сигналов, математической статистики, методы теории принятия решений, экспериментальные исследования на реальных объектах.
Научная новизна работы:
Предложена линейно-квадратичная модель ЭКГ-сигналов с применением интерполяционных полиномов Эрмита и учетом миографической интерференции, наводки питающей сети и дрейфа изолинии сигнала.
Найдена вейвлет-функция, обеспечивающая наибольшую точность определения QRS-комплексов.
Обоснован выбор типа вейвлет-носителя для применения в реализации дискретного вейвлет-преобразования, осуществляющего анализ ЭКГ-сигналов.
Впервые в практике анализа ЭКГ-сигналов применяется штрафной алгоритм шумоподавления Берга-Массара для повышения точности определения QRS-комплексов.
На базе теории вейвлетов разработана методика и предложен алгоритм обнаружения QRS-комплексов.
Практическая значимость результатов исследований.
Разработанный алгоритм обнаружения QRS-комплексов с применением теории вейвлет-преобразования может быть применен не только для обнаружения процессов желудочковой активности, но и для последующей идентификации и классификации возможных функциональных изменений и патологий в работе сердца.
Предложенные алгоритмы могут быть реализованы аппаратно для осуществления непрерывного контроля сердечной активности в режиме реального времени в системах холтеровского (суточного) и прикроватного мониторинга.
Проведенное сравнительное экспериментальное исследование существующих типов вейвлет-функций позволило выбрать наиболее эффективную из них для обнаружения QRS-комплексов, что существенно расширяет платформу для дальнейших исследований по цифровой обработке электрокардиографических сигналов.
Предложенные в работе модели и алгоритмы могут быть использованы при разработке коммерческих медицинских диагностических систем, решающих задачи обработки и анализа ЭКГ-сигналов.
Разработаны программные комплексы, осуществляющие создание моделей ЭКГ-сигналов с учетом различных параметров и обнаружение QRS-комплексов.
Достоверность представленных в диссертации результатов подтверждается корректностью выбранного математического аппарата,
результатами моделирования на компьютере, а также практическими данными, полученными при проведении функциональной, что подтверждается соответствующим актом.
Материалы результатов диссертационной работы используются в курсе «Цифровая обработка сигналов и данных» для студентов специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.
Представляется к защите.
Линейно-квадратичная модель ЭКГ-сигналов с применением интерполяционных полиномов Эрмита и учетом различных шумовых компонент.
Обоснование выбора типа вейвлет-носителя для применения в реализации дискретного вейвлет-преобразования, осуществляющего дискретный анализ электрокардиологических сигналов.
Обоснование выбора метода трешхолдинга вейвлет-коэффициентов для повышения точности обнаружения QRS-комплексов ЭКГ-сигналов.
Алгоритм обнаружения QRS-комплексов, основанный на использовании дискретного вейвлет-преобразования и штрафного метода Берга-Массара.
Апробация результатов работы.
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2004 г.);
межвузовской конференции «XXXIV Огаревские чтения» (г. Саранск, 2006 г.);
V Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, 2006 г.);
V Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 2007 г.)
научных семинарах Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2006г., 2007г.).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 1 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 3 - свидетельства об официальной регистрации программ ЭВМ. В соавторстве опубликованы 2 работы.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 104 наименования. Основная часть работы изложена на 135 страницах машинописного текста. Работа содержит 67 рисунков и 29 таблиц, а также 2 приложения на 8 листах.
Первая глава освещает вопросы, связанные с генезом электрокардиографических сигналов. Также в ней представлена линейно-квадратичная модель ЭКГ-сигналов с применением интерполяционных полиномов Эрмита и учетом различных шумовых составляющих.
Во второй главе представлены обзор существующих в мировой практике подходов к обнаружению QRS-комплексов на основе использования несинтаксических (цифровой фильтрации, математической морфологии), синтаксических и трансформативных методов (преобразования Гильберта, Фурье, вейвлет).
Третья глава посвящена применению вейвлет-анализа для обработки ЭКГ- сигналов. Рассмотрено применение стандартных вейвлет-базисов в решении задачи обнаружения QRS-комплексов. Исходя из сформулированных ограничений, предъявляемых к вейвлет-функциям и полученных эмпирически
зависимостей точностей обнаружения от выбранного уровня декомпозиции сигналов, показано, что наилучшей в указанных смыслах является функция DB-2 (вейвлет Добеши-2).
В четвертой главе описаны различные методы шумоподавления, основанные на алгоритмах мягкого и жесткого трешхолдинга вейвлет-коэффициентов, и результаты их применения. Рассмотрены основные особенности и преимущества применения штрафного метода трешхолдинга Берга-Массара. Получены эмпирические доказательства преимущества его применения для обнаружения QRS-комплексов. Найдена эмпирическая зависимость уровня штрафного порога и точности определения QRS-комплексов для вейвлета DB-2. В данной главе описан разработанный алгоритм обнаружения QRS-комплексов на основе полученных в работе результатов
Пятая глава посвящена рассмотрению созданных программных комплексов для генерации тестовых моделей ЭКГ-сигналов и средства для обнаружения QRS-комплексов с применением различных вейвлетов и методов шумоподавления. Также в ней описан предлагаемый формат хранение данных о местоположении QRS-комплексов на основе языка XML.
В заключении кратко повторно перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.
Нормальная электрокардиограмма
Изменения разности потенциалов на поверхности тела, возникающие во время работы сердца, записываются с помощью различных систем отведений ЭКГ. Каждое отведение регистрирует разность потенциалов, существующую между двумя определенными точками электрического поля сердца, в которых установлены электроды. Таким образом, различные электрокардиографические отведения отличаются между собой прежде всего участками тела, от которых отводятся потенциалы. [11, с. 21]
Электроды, установленные в каждой из выбранных точек на поверхности тела, подключают к гальванометру электрокардиографа. Один из электродов присоединяют к положительному полюсу гальванометра (это положительный, или активный, электрод отведения), второй электрод (рис. 1.4) - к его отрицательному полюсу {отрицательный электрод отведения).
В настоящее время в клинической практике наиболее широко используют 12 отведении ЭКГ, запись которых является обязательной при каждом электрокардиографическом обследовании больного: 3 стандартных отведения, усиленных однополюсных отведения от конечностей и 6 грудных отведений. [12, с. 30]
Стандартные двухполюсные отведения, предложенные в 1913 г. Эйнтховеном, фиксируют разность потенциалов между точками электрического поля, удаленными от сердца отслеженными во фронтальной плоскости тела -на конечностях. Для записи этих отведений электроды накладывают на правой руке, на левой руке и на левой ноге. Эти электроды попарно подключают к электрокардиографу для регистрации каждого из трех стандартных отведений. Четвертый электрод устанавливают на правую ногу для подключения заземляющего провода. [13, с. 11]
Как видно из рис. 1.10, три стандартных отведения образуют равносторонний треугольник (треугольник Эйнтховена), вершинами которого являются правая рука, левая рука и левая нога с установленными там электродами. В центре равностороннего треугольника Эйнтховена расположен электрический центр сердца, или точечный единый сердечный диполь, одинаково удаленный от всех трех стандартных отведений.
Если ЭДС сердца в какой-либо момент сердечного цикла проецируется на положительную часть оси отведения, на ЭКГ записывается положительное отклонение (положительные зубцы R, Т, Р). Если ЭДС сердца проецируется на отрицательную часть оси отведения, на ЭКГ регистрируются отрицательные отклонения (зубцы Q, S, иногда отрицательные зубцы ТИЛИР). [13, с. 12-13]
Любая ЭКГ состоит из нескольких зубцов, сегментов и интервалов, отражающих сложный процесс распространения волны возбуждения по сердцу (рис. 1.5).
Форма электрокардиографических комплексов и величина зубцов Р, Q, R, S и Г различны в разных электрокардиографических отведениях и определяются величиной и направлением проекции моментных векторов ЭДС сердца на ось того или иного отведения. Зубец Р Зубец Р отражает процесс деполяризации правого и левого предсердий. В норме во фронтальной плоскости средний результирующий вектор деполяризации предсердии (вектор Р) расположен почти параллельно оси II стандартного отведения и проецируется на положительные части осей отведений I, II и III (рис. 1.6, а). Поэтому в этих отведениях обычно регистрируется положительный зубец Р, имеющий максимальную амплитуду в I и II отведениях. [11, с. 25]
При более вертикальном расположении сердца в грудной клетке (например, у лиц с астеническим телосложением), вектор Р оказывается параллельным оси отведения (рис 1.6, б), амплитуда зубца Р увеличивается в отведении III и уменьшается в отведении I. Наоборот, при более горизонтальном положении сердца грудной клетке (например, у гиперстеников) вектор Р параллелен оси I стандартного отведения (рис 1.6, в). При этом амплитуда зубца Р увеличивается в отведении I . В этих случаях проекция вектора Р на ось III стандартного отведения равна нулю или даже имеет отрицательное значение. Поэтому зубец Рш может быть двухфазным или отрицательным (чаще при гипертрофии левого предсердия).
Таким образом, у здорового человека в отведениях I и II зубец Р всегда положительный, в отведении III он может быть положительным, двухфазным или (редко) отрицательным. [11, с. 25; 14, с. 31]
Интервал P-Q(R)
Интервал P-Q(R) измеряется от начала зубца Р до начала желудочкового комплекса QRS (зубца Q или R). Он отражает продолжительность атриовентрикулярного проведения, т. е. время распространения возбуждения по предсердиям, АВ-узлу, пучку Гиса и его разветвлениям.
Длительность интервала Р - Q(R) колеблется от 0,12 до 0,20 с. У здорового человека она зависит в основном от частоты сердечных сокращений: чем выше частота сокращений сердца, тем короче интервал Р - Q(R). [13, с. 17] Желудочковый комплекс QRST Желудочковый комплекс QRST отражает сложный процесс распространения (комплекс QRS) и угасания (сегмент RS и зубец Т) возбуждения по миокарду желудочков (рис. 1.7).
Подходы к определению QRS-комплекса
Обычно частотные компоненты QRS-комплекса лежат в полосе 10-25 Гц. Потому практически все алгоритмы подобного класса используют на предварительном этапе фильтрацию для уменьшения влияния артефактов и других компонент сигнала, таких как Р- и Т- волн, дрейфа изолинии, наложенного шума и т.д. Для уменьшения значений частотных составляющих других элементов сигнала смещенной изолинии требуется высокочастотная фильтрация, а для подавления аддитивного шума обычно используются низкочастотные фильтры.
Во многих алгоритмах низко- и высоко частотные фильтрации используются по раздельности. Некоторые такие алгоритмы [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] используют только высокочастотный фильтр. Отфильтрованный сигнал затем используется для создания специфического сигнала, в котором QRS-комплекс находится путем сравнения такого набора полученных значений с некоторым шаблоном. Большинство из этих алгоритмов используют дополнительные правила для уменьшения числа неправильных классификаций.
Высокочастотный фильтр часто, особенно в старых алгоритмах, реализован как дифференциатор. Это указывает на использование характеристики крутизны участков QRS-комплекса для его обнаружения. Разностные уравнения возможных подобных фильтров имеют вид [22, 23, 24, 25,26,27,28]:
Также для нахождения QRS-комплекса используются линейные комбинации первой и второй производных исходного сигнала [24, 25, 27]: z(«) = 1.3 (/i) + l.l 2(/i) (2-4) или линейная комбинация второй производной и «сглаженной» первой [22]: г(") = Уі(п) + \У2(п)\ (2 5) где й(«Н0.25,0.5,0.25} ;ф) (2-6) и операция ( ) означает свертку.
Определение QRS-комплекса осуществляется путем сравнения получившихся результатов с некоторыми определяемыми разработчиками пороговыми величинами. Обычно они находятся в зависимости от исследуемого сигнала, тем самым как бы «адаптируясь» под него. Согласно [24, 25, 27] пороговые значения определяются следующим образом: 0 = 0.3...0.4 -max[x] (2-7) где величина max[x] находится непосредственно из участка исследуемого сигнала. Большинство детекторов QRS-комплексов используют рассмотренную выше или похожую величину пороговых значений.
Методика, основанная на нахождении пика сигнала, часто дополняется некоторым набором правил для исключения неверных случаев классификации. Такие правила, например, могут содержать требования к знаку отсчетов или использовать новый набор пороговых значений функции для исключения участков сигнала, не принадлежащих QRS-комплексу. [22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30]
Алгоритмы, основанные на более сложных цифровых фильтрах, были опубликованы в следующем ряде работ: [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45]. В [40] кардиосигнал фильтруется параллельно двумя разными низкочастотными фильтрами с разными частотами среза. Это равносильно фильтрации сигнала при помощи следующего фильтра: и2 уг(п) = ух{п) I (»+ ) ,к=-т (2-8)
Такая нелинейная фильтрация приводит к относительному подавлению малых по величине коэффициентов и незначительному сглаживанию пиков сигнала.
В [43] и [44] авторами был представлен алгоритм MOBD («умножение обратных разностей») обнаружения QRS-комплексов. По существу он представляет собой AND-комбинацию соседних значений производных. MOBD-алгоритм порядка N определен как: N-\ z(n) = Y\\x{n-k)-x(n-k-\)\ (2-9) к=0 Кроме этого используется следующее дополнительное знаковое ограничение: z(n) = 0 if sign[x(n - к)] Ф sign[x(n - к -1)], где = 0,1,..., -2.
На практике рекомендуется использовать порядок данного алгоритма N = 4 [44]. Алгоритмы, описанные в [35] и [41] используют, в качестве препроцессинговой обработки полосовую фильтрацию и последующую дифференциацию. Характеристический сигнал z(n) вычисляется путем возведения в квадрат и усреднения значений выходных данных после дифференциатора. Полосовой фильтр и дифференциатор заданы при помощи таких коэффициентов, которые бы обеспечивали наибольшую скорость работы алгоритма на целочисленных процессорах с «короткими» регистрами. Для обнаружения пика QRS-комплекса задается переменная V, равная наиболее ожидаемому значению максимума (пика). Положение R-зубца (пика QRS-комплекса) определяют путем сравнения v со значениями характеристической у функции z{ri)\ пик фиксируется при z(n) — , затем принимают v = z(ri).
Алгоритм быстрого вейвлет-преобразования (алгоритм Малла)
При анализе сигналы представляются в виде совокупности последовательных приближений на базе теории функциональных пространств.
Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2(R) через иерархические вложенные подпространства Vm, которые не пересекаются и объединение которых дает в пределе L2(R): ...с сК.с с с с:..., П ={ь1К 2да (3_1) meZ meZ
Пространства обладают следующим свойством: для любой функции f(x) є Vm ее сжатая версия будет принадлежать пространству Vm.i, f(x) eVm f(2x) є Vm , (3-2)
Главным свойством кратномасштабного анализа является то, что существует такая функция ф(х) є V0, что ее сдвиги фо,п(х) = ф(х — n), п є Z образуют ортонормированный базис пространства V0.
Так как функции фоіП(х) образуют ортонормированный базис пространства Vo, то функции
Фпип{х) т11ФРтх-п), (3-3) образуют ортонормированный базис пространства Vm. Эти базисные функции называются масштабирующими, так как они создают масштабированные версии функций в L2(R). Из кратномасштабного анализа, определенного выше, следует, что функция f(x) в L2(R) может быть представлена множеством последовательных ее приближений fm(x) в Vm.
Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m велико, то функция в Vm есть грубая аппроксимация/(х,), и детали отсутствуют. При малых значениях m имеет место точная аппроксимация. Из определения кратно-масштабного анализа следует, что все функции в Vm могут быть представлены как линейная комбинация масштабирующих функций. В действительности, fm(x) есть ортогональная проекция/(х) на Vm, fm W = Z( « W»/W) . W LCm,n9m,n W- (3-4) n n
На этой основе формулируется масштабирующее уравнение - одна из основ вейвлет-анализа: где /г„ - некоторая последовательность. [82, с. 103-110]
Использование вейвлет анализа по прямым формулам, часто представляет собой нетривиальную математическую трудоемкую задачу, а порой и не всегда осуществимо. Поэтому на практике часто применяют методы быстрого вейвлет-преобразования или пирамидальный алгоритм Малла, который основывается на частотном представлении вейвлет- и скейлинг-функций.
Существует прямая связь между временным и частотным представлением вейвлетов. Так, малые значения параметра а, характеризующие быстрые процессы в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) — низким частотам.
На практике для цифровой обработки и автоматизированного анализа электрокардиографических сигналов используются их дискретизированные версии. Для этого широко используются элементы теории цифровой фильтрации. Практическая реализация вейвлет-преобразования дискретных сигналов также основывается на применении цифровых фильтров.
Схема вейвлет-анализа-синтеза по алгоритму Малла представлена на рис. 3.1. Сдвиги фильтров осуществляются путем умножения на комплексную экспоненту. Входной сигнал S делится на две части путем фильтрации НЧ фильтром Н, который производит смещение сигнала на р отсчетов, и ВЧ фильтром G, который сдвигает сигнал на q отсчетов. Секция синтеза выполняет интерполяцию сигналов и фильтрацию смещенными фильтрами F и Е. После умножения на 2 для сохранения величины амплитуды, оба сигнала складываются. В результате чего получается исходный сигнал, если фильтры обладают свойством полного восстановления.
Обозначив р = (LH -2)/2 и q = (LG -2)/2 для четных фильтров и р = (LH —1)/2, # = (LG -3)/2 для нечетных, где L# и LG - длины фильтров Н и G, получим условия для системы с полным восстановлением: Т(а ) = [Н(со)Н{-о)) - Н(о) + п)Н(-со + n)ein{l"-x)\ei(u{p -ln\ Н(й))Н(-со) + (-\)L" Н(й) + к)Н{-со + яг) = 1. (3-8)
Прямое дискретное вейвлет-преобразование обладает всеми свойствами непрерывного преобразования, но отличается гораздо меньшей избыточностью и, как следствие, меньшей вычислительной «стоимостью». Это, и тот факт, что в анализе используются дискретные наборы кардиоданных, являются главными факторами в выборе дискретного вейвлет-преобразования как метода вейвлет-декомпозиции ЭКГ-сигналов.
Быстрое дискретное вейвлет-преобразование также осуществляется с использованием пирамидального алгоритма Малла с помощью пары фильтров (см. рис. 3.2) - высокочастотного (h или Н) и низкочастотного (/ или L), подобранных таким образом, чтобы при декомпозиции частотный спектр исходного сигнала был поделен на две равные половины. Пример октавополосного разбиения частотного спектра исследуемого сигнала в результате трехуровневой вейвлет-декомпозиции изображен на рис. 3.3. В качестве фильтров для разложения/восстановления сигналов используются квадратурно-зеркальные фильтры (КЗФ), которые позволяют избежать проблемы наложения спектральных составляющих сигнала, возникающего в результате децимации при его дискретном преобразовании
Если не выполняется этот критерий, субполосы содержат разное количество энергии сигнала. Следовательно, ошибки квантования в одной субполосе будут более значимыми, чем в другой.
Вычисление коэффициентов вейвлет-преобразования осуществляется путем свертки исследуемой временной последовательности с вейвлет-функцией. Результатом вейвлет-преобразования сигнала является двухмерный набор коэффициентов W(a,b). Значения этих коэффициентов в плоскости масштаб-время представляют с помощью спектрограмм (рис. 3.4).
Внизу вейвлет-спектрограммы расположены коэффициенты с малыми номерами масштаба, дающие детальную картину сигнала, а сверху - с большими номерами, дающие огрубленную картину сигнала. Их значения определяют цвет соответствующей области спектрограммы. Вейвлет-спектрограммы являются важнейшим продуктом вейвлет-анализа сигналов, так как порой выделяют такие особенности, которые просто незаметны на графиках
сигналов.
Разрешение сигнала, являющееся мерой количества детальной информации в сигнале, изменяется за счет фильтрации сигнала, а масштаб изменяется за счет децимации и интерполяции. Децимация соответствует снижению частоты дискретизации, или удалению некоторых отсчетов из сигнала. Интерполяция соответствует увеличению частоты дискретизации и осуществляется добавлением новых отсчетов между существующими.
Дискретное вейвлет-преобразование вычисляется следующим образом: оно анализирует сигнал в различных частотных полосах с различным разрешением путем декомпозиции его на грубую аппроксимацию и детали. В ДВП работают два множества функций - масштабирующие функции и вейвлеты, соответствующие НЧ и ВЧ фильтрам с импульсными характеристиками 1[п] и h [п]. Фильтрация сигнала соответствует математической операции свертки сигнала х[п] и импульсной характеристики фильтра. Операция свертки для дискретного времени определяется как:
Применение различных способов расчета пороговых значений вейвлет-коэффициентов при вейвлет-анализе ЭКГ-сигналов
В предыдущей главе была показана эффективность использования вейвлета DB-2 при анализе ЭКГ-сигналов и обнаружении в них QRS-комплексов, поэтому все дальнейшие исследования будем проводить с результатами, полученными в результате его применения к тестовому набору данных.
Для полноты исследований при трешхолдинге вейвлет коэффициентов будем использовать глобальный (one), локальный общий (sin) и локальный многоуровневый (mlri) его модификации.
Вычисленные вейвлет-коэффициенты представляют собой по сути временные ряды на определенном уровне декомпозиции сигналов. Их исследование различными способами может позволить отфильтровать имеющиеся шумовые составляющие. Однако проблема заключается в классификации этих компонент. В работах Персиваля и Вальдена [89], Донохо и Джонстона [86, 91] было показано, что для решения проблемы возможно применение следующего алгоритма:
1. необходимо рассчитать вейвлет-коэффициенты и упорядочить их по возрастанию частоты. Величина шума уже может быть оценена по коэффициентам с наибольшей частотой.
2. Рассчитать абсолютное отклонение медианы отас1 по формуле: __те ап{\С(\,...,\с\,...\с где ct - вейвлет-коэффициенты; N - количество вейвлет-коэффициентов. Знаменатель 0,6745, как показано в [89], является подходящей оценкой для среднеквадратичного отклонения при наличии в сигнале белого Гауссового шума.
3. Пороговое значение (коэффициент трешхолдинга) вейвлет коэффициентов определить по формуле: ТтМ=ЫаМЮ (4-И) Персиваль и Вальден показали [89], что для трешхолдинга сложных сигналов лучше подходит процедура «жесткого» трешхолдинга, т.е. значения вейвлет-коэффициентов должны по модулю превышать значения пороговой величины Tmiwrsal universal х,при\х\ Говоря о функциях пороговой обработки, не стоит забывать о том, что качество шумоподавления сигнала в огромной степени зависит от значения порога трешхолдинга. Поиск его оптимального значения означает отыскание такого порога, который при наименьшем смещении восстановленного сигнала обеспечивает наибольшее из возможных значение отношения сигнал/шум (PSNR): [93] PSNR = \0-log ю тах(х2) х-х VV и (4-13) N где операция (и) = — J ип, я=1 N- длина исходного сигнала х.
Максимизация величины PSNR напрямую зависима от минимизации величины среднеквадратичного отклонения (MSE) величины сигнала и его оценки: J N I 2\ MSE = Y-±lxj-xJ ) (4-14) Для решения задачи водится функция в(у) такая, что: MSE = (\e(y)-x\2) = (e(y)2)-2{x6(y)) + (x2) (4-15) Величина (х2) не влияет на процесс минимизации MSE, и вся проблематика сводится к операциям с функцией (хв{у)). Штейном в [92] было найдено решение данной проблемы. В качестве функции в(у) была предложена функция «мягкого трешхолдинга Штейна», определяемая как: 0(y) = sign(y)-max(\y\m), (4-16) где Тт - величина порога (коэффициент трешхолдинга). В работах [91, 92] было показано, что эта функция приводит к минимизации MSE сигнала при выборе Тт = argmm[SURE{T;y)] (4-17) где SURE(T;y) = a2 -Ціа2 Цп:\уп\ Т}- тт{\уп\,Т)2 N V к=\ где о2 - дисперсия шума; (4-18) #5 - мощность множества S. Формулы (4-17) и (4-18) могут быть распространены не только на оценки отсчетов сигналов, но и на оценки вейвлет-коэффициентов на требуемых уровнях анализа: [93]
Анализируя полученные эмпирическим путем данные в результате применения метода Штейна, можно сделать вывод о том, что он дает ложные классификации QRS-комплексов в случае наличия в исследуемом сигнале высокочастотных шумов, которые частот выглядят как изломы малой амплитуды. При вейвлет анализе такого рода данных значения вейвлет-коэффициентов шумовых компонент в сигнале часто превышают рассчитанный уровень трешхолдинга.
Наиболее эффективным при применении метода Штейна оказался локальный многоуровневый трешхолдинг.
Результаты относительных точностей восстановления сигналов из вейвлет коэффициентов, подвергнутых трешхолдингу методом Штейна приведены в табл. 4.6.
Похожие диссертации на Алгоритм обнаружения QRS-комплексов ЭКГ-сигналов на основе вейвлет-преобразования
