Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамическая модель развития кредитно - инвестиционных ресурсов промышленного предприятия, адаптированная к условиям турбулентного рынка 13
1.1. Особенности кредитно-инвестиционной деятельности промышленных предприятий 13
1.2. Математическое моделирование как метод анализа экономических процессов . 22
1.3. Модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки 29
Глава 2. Комплекс комплементарных дифференциальных динамических моделей развития кредитно-инвестиционных ресурсов промышленного предприятия 44
2.1. Модель динамики промышленного предприятия с нелинейными производственными функциями 44
2.2. Модель предприятия, привлекающего единовременный кредитный ресурс при условии равномерного погашения долга 54
2.3. Обобщенная динамическая модель анализа стратегий развития предприятия с использованием финансовых инструментов и комбинированных схем финансирования 59
Глава 3. Методика оценки адекватности комплементарных дифференциальных динамических моделей развития кредитно- инвестиционных ресурсов промышленного предприятия 87
3.1. Влияние возмущений на решение дифференциальной динамической модели развития кредитно-инвестиционных ресурсов промышленного предприятия 87
3.2. Оценка адекватности численного решения комплементарной дифференциальной динамической модели развития кредитно- инвестиционных ресурсов промышленного предприятия 94
Заключение 115
Литература 119
Приложение
- Математическое моделирование как метод анализа экономических процессов
- Модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки
- Модель предприятия, привлекающего единовременный кредитный ресурс при условии равномерного погашения долга
- Оценка адекватности численного решения комплементарной дифференциальной динамической модели развития кредитно- инвестиционных ресурсов промышленного предприятия
Введение к работе
Актуальность темы. В условиях рыночной экономики осуществление деятельности в инвестиционно-финансовой сфере требует от хозяйствующей организации, в целом, и от её менеджмента, в частности, применения адекватных методов и моделей, позволяющих исследовать динамику развития предприятия в зависимости от выбранной инвестиционной политики: «чистой» (использование одного инвестиционного источника) и «смешанной» (применение комбинированных схем финансирования), с учётом внешних возмущений, обусловленных влиянием турбулентной среды. Использование данных методов и моделей позволяет хозяйствующей организации минимизировать (оптимизировать) возможные потери капитала, а также повысить эффективность его использования.
Фактическое отсутствие опыта в данной области у хозяйствующих организаций вследствие существовавшей долгие годы командно-административной системы при переходе к рыночным формам хозяйствования, с присущей им нестабильностью, достаточно остро поставил перед менеджментом предприятий вопросы анализа и оценки различных моделей, описывающих основные закономерности динамики предприятий, тенденций и стратегий их развития в зависимости от изменяющихся параметров внешней среды. Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, новая система взаимосвязей переменных, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта кредитов, налоговых льгот для предприятий, влияния внешних факторов с возмущением (изменение курса валют, цен на сырьё, инфляция и т.п.). При этом объективно обозначилась потребность в формировании нового экономико-математического аппарата и использовании информационных технологий для решения задач данного вида.
В научной литературе изложены основополагающие принципы анализа данных кредитно-инвестиционных процессов, предложены основные методы её моделирования. Динамика предприятий изучается с помощью достаточно нетрадиционных и относительно редко используемых, но достаточно эффективных, математических методов - аппарата дифференциальных уравнений с возмущением.
Таким образом, основные характеристики процессов, протекающих в настоящее время в кредитно-инвестиционной сфере, требуют создания адекватного экономико-математического инструментария, а также методики, позволяющей оперативно и эффективно анализировать динамику предприятий, что приобретает особую актуальность.
В связи с этим вопросы финансирования предприятий, их инвестиционной поддержки, обоснования кредитных вложений и предоставления им различных льгот по возвращению долга продолжают оставаться значимыми. Решение отдельных аспектов этих вопросов может быть осуществлено на основе известных методик по обоснованию проектов инвестиционных вложений. Однако не менее важен и концептуальный анализ основных тенденций и закономерностей развития инвестируемых предприятий, который требует применения количественных методов и, в частности, методов экономико-математического моделирования, адаптированных к специфике изучаемого экономического объекта.
Указанные обстоятельства, а также тот факт, что соответствующий экономико-математический инструментарий применительно к предприятиям развит достаточно слабо, свидетельствуют об актуальности темы диссертационного исследования.
Состояние и изученность проблемы. Существующие отечественные теории анализа и оценки различных моделей, описывающих основные закономерности динамики, тенденций и стратегий развития предприятий, направлены, в основном, на решение проблем оптимизации развития
промышленных предприятий, функционирующих в стационарных условиях плановой экономики. В этом направлении накоплен значительный теоретический и эмпирический опыт. Вместе с тем, многие теоретические проблемы моделирования динамики предприятия, экспресс-анализа их эффективности и целесообразности их реорганизации адекватно условиям быстро изменяющейся внешней среды являются нерешёнными и нуждаются в углублённой проработке.
Экономико-математические модели и методы анализа деятельности предприятий представляют собой относительно новый инструментарий, разработка которого инициирована развитием предпринимательства и малых фирм. В связи с этим в отечественной научной литературе имеется сравнительно небольшой комплекс специализированных модельных и инструментальных средств, исследующих рассматриваемые объекты.
Одна из первых экономико-математических моделей, разработанных применительно к среднему и малому бизнесу, была рассмотрена в работах К.А. Багриновского, Н.Е. Егоровой, Е.Р. Майна и основывалась на созданной ранее модели предприятия. Данная модель рассматривала предприятие, функционирующее в экономическом симбиозе с крупной фирмой, и являлась имитационной динамической моделью с дискретным временем. В дальнейшем в работу над данной проблемой включились В.М. Афанасьев, В.З. Беленький, М.А. Маренный, СР. Хачатрян.
В настоящее время данная проблема моделирования динамики предприятия рассматривается в работах К.А. Багриновского, В.З. Беленького, Г.Б. Клейнера, Н.Е. Егоровой, Е.Р. Майна, М.А. Маренного, A.M. Смулова, СР. Хачатряна, И.Е. Хромова и других и освещает моделирование деятельности предприятий и малых фирм. В диссертации рассматривается применение анализа динамики предприятия с учётом факторов, мало поддающихся прогнозированию (изменение курса валют, цен на сырьё, инфляция). В качестве основного инструментария использованы методы
решения дифференциальных уравнений с возмущением, с обобщёнными функциями, входящими в виде слагаемых, в частности для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Несмотря на большое количество работ, посвященных данной проблематике, теоретические вопросы анализа и оценки различных моделей, описывающих основные закономерности динамики предприятий, тенденций и стратегий их развития, связанных напрямую с изменением внешней среды, развиты недостаточно.
В настоящее время назрела настоятельная необходимость в разработке математических моделей, описывающих осуществление деятельности в инвестиционно-финансовой сфере различных типов предприятий, в зависимости от выбранной инвестиционной политики: «чистой» (использование одного инвестиционного источника) и «смешанной» (применение комбинированных схем финансирования), с учётом внешних возмущений, обусловленных влиянием внешних факторов.
Данные проблемы предопределили выбор темы, цели, задач и основных направлений исследования.
Цель и задачи диссертационного исследования. Целью диссертации является разработка моделей, методов и инструментов анализа деятельности предприятий для исследования динамических характеристик изучаемых объектов и оценки темпов их развития в зависимости от объёмов и условий финансирования, а также воздействий внешней среды.
Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:
построение комплекса дифференциальных моделей предприятия, учитывающих различные условия предоставления и использования кредитно-инвестиционных ресурсов;
выявление системы показателей деятельности предприятий, отражающих особенности их кредитно-инвестиционной деятельности;
оценка адекватности построенной дифференциальной модели предприятия;
разработка информационного обеспечения реализации динамической модели предприятия с целью принятия инвестиционного управленческого решения.
Объект исследования. Объектом исследования являются предприятия производственного сектора, осуществляющие своё развитие за счёт кредитно-инвестиционных ресурсов. Для экспериментальных расчётов выбраны две фирмы, функционирующие в сфере строительного бизнеса (г. Тамбов).
Предметом исследования являются микроэкономические дифференциальные динамические модели динамики развития предприятий, обусловленные кредитно-инвестиционными факторами роста (кредитование банков, государственная поддержка, реинвестирование прибыли) и осуществляемые во внешней экономической среде (система налогообложения, спросовые ограничения и т.д.).
Теоретическая и методологическая основа исследования. Теоретической и методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных учёных "по теории фирмы, развитию малого предпринимательства, экономико-математическому моделированию объектов микроэкономики.
Методологической основой диссертационного исследования являются диалектический, гипотезотворческий, графоаналитический методы, методы системного анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, экономико-математическое и имитационное моделирование, элементы теории и инструментальные средства проектирования экономических информационных систем с использованием современного аппаратного и программного обеспечения.
Теоретическую базу предложенной области исследования составляют, прежде всего, такие научные дисциплины, как теория организации, теория
систем, теория дифференциальных уравнений, численные методы, теория обобщённых функций, кибернетика.
В процессе выполнения диссертационного исследования были использованы следующие основные источники информации: фундаментальные и прикладные исследования зарубежных и отечественных учёных в области теории информации, теории принятия решений, справочно-информационные и энциклопедические материалы; нормативные документы; материалы научно-практических конференций.
Содержание работы соответствует положениям п. 1.6 и 2.3 паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики:
1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчётов».
2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях».
Научная новизна исследования. Научная новизна работы состоит в развитии методического и алгоритмического обеспечения, поддерживающего реализацию различных вариантов инвестиционных вложений, и формировании экономико-математической модели финансирования предприятий, учитывающей различные изменениям внешней среды.
Элементы научной новизны содержат следующие результаты исследования:
1. Предложена динамическая модель развития кредитно-инвестици-онных ресурсов промышленного предприятия, адаптированная к условиям турбулентного рынка и имеющая управляемый набор финансово-кредит-ных источников развития в сфере бизнеса. Данная модель отнесена к классу
дифференциальных динамических моделей с повышенной степенью адекватности.
2. Рассмотрен комплекс комплементарных дифференциальных динамических моделей предприятия, предполагающий изменение курса валют, цен на сырьё, инфляции и позволяющий выявить динамику развития кредитно-инвестиционных ресурсов промышленного предприятия в условиях турбулентного рынка.
3. Разработана структура оценки состояния функционирования комплекса комплементарных дифференциальных динамических моделей предприятия на базе информационных технологий имитационного моделирования, включающего в себя пакет прикладных математических программ Mathcad.
4. Разработан математический аппарат, адаптированный к заданным
дифференциальным динамическим моделям развития промышленного
предприятия, использующим стандартные варианты инвестиционных
вложений и их комбинаций (самофинансирование, государственные
инвестиции, кредиты), с учётом влияния факторов, не поддающихся
прогнозированию (изменение курса валют, цен на сырьё, инфляция) и
возникающих в условиях турбулентного рынка.
5. Предложена методика оценки адекватности комплементарных
дифференциальных динамических моделей предприятия по критерию
устойчивости ядра модели, функцию которого выполняет стоимость
основных производственных фондов.
Практическая значимость исследования. Основные положения и выводы исследования могут быть применены в сфере стратегического планирования и анализа деятельности предприятий, а также для обоснования форм и методов поддержки предпринимательства. Предложенные модели и методы их анализа могут быть использованы таюке в учебной деятельности в
преподавании курса «Математические методы в экономике» для студентов экономических и математических специальностей.
Самостоятельное практическое значение имеют следующие разработки диссертационного исследования:
Схема, характеризующая промышленное предприятие как открытую экономическую систему с наличием положительной обратной связи. Входами системы являются различные виды производственных ресурсов, выходами - производимые товары и услуги, на деятельность системы оказывает влияние турбулентная среда.
Структура данной схемы, соответствующая концептуальной схеме функционирования предприятия как экономической системы, которая применяется к предприятиям любого масштаба, а темпы развития промышленного предприятия непосредственно зависят от его внутренних ресурсов, т.е. от капитала, формируемого в результате осуществляемой производственно-хозяйственной деятельности.
3. Алгоритм оценки состояния функционирования комплекса
комплементарных дифференциальных динамических моделей предприятия
на базе информационных технологий имитационного моделирования,
включающий в себя пакет прикладных математических программ Mathcad.
Практическое применение предлагаемого инструментария
моделирования и анализа динамики предприятия позволяет повысить научную обоснованность и качество принимаемых инвестиционных решений при работе на финансовом рынке различных организаций, эффективно использовать имеющийся капитал, минимизировать (оптимизировать) его возможные потери.
Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования ориентированы на широкий круг специалистов, занимающихся проблемой принятия инвестиционно-финансовых решений, и, в частности, могут быть использованы частными инвесторами, инвестиционными банками, фондами, финансовыми компаниями, иными кредитными и
хозяйствующими организациями, осуществляющими инвестиционно-финансовую деятельность (ИФД).
Отдельные теоретические и практические разработки диссертации могут быть использованы при построении систем поддержки принятия решений в других областях экономики, а также для обучения студентов экономических специальностей в высших учебных заведениях.
Апробации и внедрение результатов исследования. Исследование выполнено в рамках НИР института «Экономика и управление производствами» Тамбовского государственного технического университета, проводимых в соответствии с Единым заказ-нарядом на тему «Качество объектов микро-, мезо- и макроэкономики, бухгалтерского учёта, экономического анализа, аудита и финансово-кредитной деятельности».
Отдельные положения диссертации использованы в рамках консультационного проекта, ориентированного на разработку инвестиционной стратегии предприятия ООО «Монолитжилстрой» и ООО «ЖСК» г. Тамбова для принятия инвестиционно-финансовых решений, в частности, для прогнозирования инвестиций в строительство, политики в области закупки материалов, что подтверждено соответствующими справками.
Основные положения диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на всероссийских и международных научно-практических конференциях и семинарах, в том числе на: Международной конференции «Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики (ОПУ-2003)» (г. Тамбов, 2003 г.), в материалах Воронежской Зимней Математической Школы-2007 «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2007 г.), на III Международной научно-практической конференции «Глобальный научный потенциал» (г. Тамбов, 2007 г.), 3-й Международной конференции «Наука и устойчивое развитие общества. Наследие В.И.
Вернадского» (г. Тамбов, 2008 г.), 1-й Международной заочной научно-практической конференции «Наука и бизнес: Пути развития», 5-й Международной заочной научно-практической конференции «Качество науки - качество жизни», 2-й Международной заочной научно-практической конференции «Современные проблемы науки», а также ежегодных научных конференциях института «Экономика и управление производствами» Тамбовского государственного технического университета (г. Тамбов, 2006 — 2009 гг.).
Результаты исследования использованы в учебном процессе института «Экономика и управление производствами» Тамбовского государственного технического университета для подготовки экономистов по специальностям: 080105 «Финансы и кредит», 080502 «Экономика и управление», 080507 «Менеджмент организации», 080111 «Маркетинг», 080109 «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит», 080801 «Прикладная информатика в экономике», что подтверждено соответствующими справками.
Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в девяти научных работах общим объёмом 2,2 печ. л. Список публикаций приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Структура работы определена поставленной целью и отражает логику, порядок исследования и решения поставленных задач. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений.
Математическое моделирование как метод анализа экономических процессов
Развитие приложений математических методов в общественных науках привело за последние годы к усилению значения математики в гуманитарном образовании и, в частности, в экономическом. При этом одновременно с математизацией курсов, традиционно изучавшихся в экономических вузах, в учебные планы за сравнительно короткий срок было включено много новых дисциплин, в которых широко используются математические модели.
В последние столетия математические методы все настойчивее проникают в гуманитарные науки и, в частности, в экономику. Однако недооценка применения математических методов в гуманитарных науках была характерной, по-видимому, для большей части XX века. Так, например, выдающийся английский экономист А. Маршалл не видел особых преимуществ в использовании математики в экономических исследованиях. Рассуждая о значении математики для экономической науки, он в своем фундаментальном труде, написанном около ста лет тому назад, отмечал, что: "...подготовка в области математики полезна тем, что она позволяет овладеть максимально сжатым и точным языком для ясного выражения некоторых общих отношений и некоторых коротких процессов экономических рассуждений, которые действительно могут быть выражены обычным языком, но без равноценной четкости схемы".
А.А. Самарский, основатель и первый директор Института математического моделирования РАН, отмечает, что математическое (компьютерное) моделирование представляет собой развитие и обобщение естественнонаучных методов исследования, соединенных с современной информационной технологией.
В случае использования метода математического моделирования процесс познания и управления выражается с помощью следующей схемы: объект -модель - алгоритм - программа - ЭВМ - управление объектом. А поскольку модель - главное звено этой схемы, то разработка адекватной математической модели и последующее экспериментирование с нею на ЭВМ может обеспечить органичное сочетание сильных - сторон теоретических методов и натурных экспериментов [113].
В полной мере сказанное относится к применению математического моделирования в области анализа социально-экономических процессов, где значение вычислительных экспериментов (многовариантных расчетов) еще более возрастает. Последнее обусловлено тем, что в этих областях науки проведение натурных экспериментов либо сильно ограничено, либо невозможно из-за необратимости изучаемых процессов, а использование интуиции и плохо обоснованных прогнозных оценок нередко приводит к результатам, которые характеризуются известным современным афоризмом "хотели как лучше, а получилось как всегда". Основные этапы математического моделирования.
Процесс математического моделирования можно условно подразделить на четыре этапа [113].
Первый этап заключается в формулировке законов, связывающих основные элементы модели, где под законами подразумеваются определенные количественные связи между элементами модели.
Уровень детализации модели зависит от конкретной цели исследования. Будем считать, что цель поставлена. Это значит, что в результате исследования того или иного объекта (процесса) на основе моделирования требуется найти ответ на конкретные вопросы, касающиеся его функционирования, перспектив развития и т. д.
Задача построения адекватной модели решается как компромисс между сложностью описания изучаемого объекта (детализацией), которая в большой степени зависит также и от цели исследования, и минимизацией ресурсов (усилий) для получения ответов на вопросы, которые стоят перед разработчиками модели.
Вопрос о степени адекватности разрабатываемой модели является центральным при применении метода моделирования. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию, анализ статистической и иной информации, отражающей функционирование объекта исследования. Поэтому на первом этапе особенно важно сотрудничество специалистов различных направлений науки.
Необходимость такого сотрудничества обусловлена тем, что степень адекватности разрабатываемой модели зависит, прежде всего, от этого этапа: именно здесь происходит структуризация модели, здесь устанавливаются взаимосвязи между ее элементами, здесь закладываются основы математической задачи. В результате сотрудничества специалистов различных направлений, в той или иной мере относящихся к области изучаемого объекта, строится его концептуальная модель. Понятно, что уровень адекватности математической модели в большой степени определяется допущениями, используемыми при построении соответствующей концептуальной модели.
Второй этап заключается в формализации сформулированных гипотез, что выражается записью в математических терминах качественных представлений о связях между объектами (подсистемами) концептуальной модели. Подчеркнем, что эти взаимосвязи устанавливаются на основе тех или иных гипотез, вследствие чего один и тот же процесс в зависимости от используемых гипотез может описываться различными математическими моделями.
На третьем этапе выполняется анализ математических задач, к которым приводят используемые математические модели. В качестве таких задач могут быть разнообразные задачи исследования операций, в которых решаются проблемы выбора наилучшего в некотором смысле варианта из некоторого набора альтернатив; теории вероятностей и теории массового обслуживания, где исследуются процессы с учетом стохастичности и неопределенности некоторых переменных и др. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, которая заключается в получении в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемого процесса.
Выходные данные прямой задачи являются теоретическими следствиями входных данных и тех гипотез, которые были заложены в концептуальную и математическую модели. Из сказанного следует, что на этом этапе центр тяжести исследований переносится на решение математических проблем с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Применение ЭВМ приобретает принципиальное значение особенно при постановке сложных математических задач, исследование которых осуществляется с помощью различных численных методов и выполнением вычислительных экспериментов.
Анализ разработанной математической модели включает сравнение результатов исследования математической модели с практикой. На этом этапе происходит выяснение того, удовлетворяет ли принятая модель критерию практики, т.е. выясняется вопрос о том, в какой степени согласуются результаты наблюдений, представления разработчиков модели о изучаемом процессе с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если отклонения теоретических следствий от наблюдений выходят за пределы точности наблюдений, то делается вывод о неадекватности используемой модели изучаемому процессу, вследствие чего модель отклоняется.
Модель динамики промышленного предприятия с участием внешних инвестиций как формы государственной поддержки
Основы дифференциального анализа деятельности предприятий как хозрасчетных единиц заложены в работах, вышедших еще в 1980 г. [12, 15, 46]. Предложенные методы позволяли исследовать динамику развития предприятия (т.е. проследить достаточно долговременные последствия принятых решений) с помощью дифференциальных уравнений, содержащих набор наиболее существенных переменных, которые отражают влияние как внешних факторов (например, динамики инвестиций), так и внутренних характеристик предприятия (себестоимость, фондоотдача и т.д.). Предприятие представлялось очень упрощенно, с использованием сильно агрегированных показателей, принимались гипотезы о монопродуктовости предприятия, неизменности и единственности применяемой технологии и т.д., что требует в ряде случаев специального обоснования достоверности и применимости получаемых результатов.
Одна из первых экономико-математических моделей, разработанных применительно к малому промышленному предприятию, была описана в 1997 г. [37] и основывалась на созданной ранее модели предприятия [15]. Данная модель рассматривала промышленное предприятие, функционирующее в экономическом симбиозе с крупной фирмой, и являлась имитационной динамической моделью с дискретным временем.
Данная модель позволяла рассчитать динамику развития промышленного предприятия, осуществляющего диверсификационную стратегию, в состав которой входила деятельность по промышленному производству, коммерции и инновационным разработкам. Функционирование предприятия существенно определялось деятельностью крупного партнера (фирмы), со стороны которого определялись заявки на производственную, коммерческую и инновационную деятельность малой структуры. Оба предприятия формировали общие фонды, предназначенные для целевого развития предприятий, при этом часть средств этих фондов формировалась за счет доходов, полученных в результате взаимовыгодного взаимодействия. Полученный результат интерпретировался как «попадание» предприятия в зону одинакового благоприятствования для обоих рассмотренных видов деятельности. Таким образом, данная экономико-математическая модель позволяла рассматривать ее как инструмент, позволяющий сформировать необходимые внешние условия функционирования малой фирмы, в частности, стимулировать развитие ее производственной деятельности (что важно для развития и рациональной ориентации малого бизнеса на потребности реального сектора). Таким образом, парадокс истории в том, что концептуальные основы такого анализа оказались малоприменимыми для нового класса объектов - промышленных предприятий, которых еще не было в период разработки моделей плановой экономики.
С современной точки зрения на данный инструментарий, принципы и гипотезы моделирования, используемые в литературе, в большей степени применимы для малых, нежели крупных предприятий. Малые промышленные предприятия, как правило, узкоспециализированные и монопродуктовые, используют одну технологию, не меняя ее в процессе своего функционирования и т.д. Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность предприятий, принципиально иная налоговая система и т.д. требуют нового этапа исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учета новых переменных и взаимосвязей между ними.
Приведем пример. В условиях административно-командной системы управления народным хозяйством предприятие должно было не только произвести продукцию, реализовать ее и получить прибыль, но и «заслужить право» оставить часть прибыли в собственном распоряжении в виде фондов экономического стимулирования: фонда развития, фонда поощрения, фонда социально-культурных мероприятий. Размер этих фондов определялся по особой методике и зависел от темпов роста реализации и рентабельности предприятия. Остальная часть прибыли из процесса воспроизводства изымалась (различные обязательные отчисления, платежи в бюджет и т.д.).
В настоящее время подобная система формирования фондов развития отсутствует, из прибыли предприятие должно отчислять лишь налоги. Таким образом модели, отражающие динамику воспроизводственного процесса на предприятии в дореформенное и послереформенное время, существенно различны, хотя и предполагают использование общих методических принципов.
Рассмотрим экономико-математические модели, основанные на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих различные способы инвестирования в бизнесе (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование) [11, 23, 26]. Модели позволяют исследовать динамику развития различных предприятий в зависимости от выбранных инвестиционных стратегий: «чистых» (использование одного инвестиционного источника) и «смешанных» (применение комбинированных схем финансирования), а также выявить условия доступности кредитов.
Немалую роль в формировании ресурсного потенциала любого предприятия играет внешний кредитно-инвестиционный фактор. Его действие проявляется через потоки финансовых средств из различных источников в виде
Модель предприятия, привлекающего единовременный кредитный ресурс при условии равномерного погашения долга
Исследуем динамику предприятия, функционирующего в условиях, описанных гипотезами адаптированной модели Ml, но без государственной поддержки: I(t) = 0. Рассмотрим ситуацию единовременного кредитования предприятия, осуществляющего равномерное погашение долга с учетом начисления процентов, что сказывается на его показателях прибыли (возмещение основного долга) и себестоимости (затраты, связанные с выплатой процента). Предполагается, что предоставление кредита осуществляется единожды в начальный момент времени, что влечет за собой увеличение стоимости начального размера основных фондов предприятия. По кредиту начисляются сложные проценты, а его погашение (с учетом процентов) производится равными суммами и завершается к концу рассматриваемого периода. При этом необходимость возврата долга уменьшает прибыль предприятия (за счет возмещения основного долга) и обусловливает рост удельной себестоимости продукции (за счет начисления процентных издержек). Использование заемных средств предприятием хотя и является нагрузкой на прибыль предприятия, но одновременно оказывает известный положительный эффект, обусловленный уменьшением величины налогооблагаемой прибыли, за счет выплаты процентов. Считаем, что предоставление единовременного кредита в момент времени t = 0 в размере К о отражается в модели путем увеличения стоимости начальных основных производственных фондов AQ на сумму кредита KQ. По кредиту начисляются сложные проценты, непрерывным аналогом кото рых является функция е . Таким образом, размер долгового обязательства D(t), погашаемого к моменту t, составляет величину: При условии равномерного погашения долга, выданного на период Т, величина выплачиваемой в каждый момент t суммы долговых обязательств Z(t) является постоянной и рассчитывается следующим образом: Величина Z(t) представляется в виде суммы двух слагаемых: S -части основного долга в момент t, s - процентов, выплачиваемых в этом же периоде: Константа S уменьшает прибыль предприятия M(t) для каждого t, а константа s - обусловливает рост удельной себестоимости следующим образом: с - новая удельная себестоимость. Следовательно, величина общей прибыли М (t) изменяется таким образом, что С учетом сделанных предположений система соотношений динамической модели предприятия может быть записана следующим образом:
Сопоставим полученную систему уравнений (2.27) - (2.32) с системой (1.1) - (1.5) для модели Ml. Видно, что их математическая структура иден тична (с точностью до констант и начальных условий) и при условии IQ = Ъ, S и AQ = А.0 -Ко система (1.1) - (1.5) трансформируется в систему (2.27) (2.32). Поэтому решение системы (2.27) - (2.32) представляет собой следующее соотношение: Действительно, при IQ= S и AO=AQ-KO система (1.1) - (1.5) трансформируется в систему (2.27) - (2.32), поэтому ее решение является аналогом решения (1.12): Анализ соотношения (2.33) свидетельствует, что темп роста системы в значительной степени определяется показателем экспоненты а, зависящим главным образом от внутреннего экономического механизма промышленного предприятия, тем не менее соотношение констант, определяющих условия кредитования и формирующих сомножитель экспоненты, может существенно повлиять на динамику его основных производственных фондов. Исследуем схему равномерного погашения кредитной задолженности с начислением процентов в дискретном времени.
Тогда процентные платежи рассчитываются следующим образом: Платеж в дискретный момент t, как и ранее, состоит из погашения основного долга и процентов: Важным вопросом является исследование условий доступности кредита для предприятия. Анализ модели МЗ свидетельствует, что для обеспечения роста предприятия должны быть выполнены два условия: 1) необходимое (размер процентов по кредиту не должен превышать общей прибыли): 2) достаточное (размер чистой прибыли должен превышать долговые обязательства): В том случае, если эти условия не выполняются, предприятию не целесообразно брать кредит - он недоступный. Для характеристики доступности кредита могут быть использованы также другие соотношения и показатели. Так, в экономических исследованиях величина доступности кредита обычно оценивается индикатором ja(t), который вычисляется как отношение долгового обязательства S(t) к величине M(t)
Оценка адекватности численного решения комплементарной дифференциальной динамической модели развития кредитно- инвестиционных ресурсов промышленного предприятия
Наиболее простым способом построения решения в точке tn+j, если оно известно в точке tn, является способ, основанный на разложении в ряд Тейлора (в предположении надлежащей дифференцируемости решения): по каждой из которых при заданном у о можно последовательно получить приближенное решение {уп}. Такие формулы не требуют вычисления дополнительных начальных условий и позволяют легко менять шаг интегрирования. К сожалению, их практическое применение ограничено лишь теми задачами, для которых легко вычисляются полные производные высшего порядка. Благодаря современным достижениям в программировании оказывается возможным автоматически получать алгебраические выражения для f, f", .... Рассмотренные методы разложения в ряд Тейлора широко используются в численных расчетах с помощью программного обеспечения в работах (Barton D., Willers I.M. и Zahar R.V. [1971]). Метод рядов Тейлора можно применять в любом случае, и он является эталоном, с которым сравнивают точность различных численных методов при решении задачи Коши. Он предназначен для получения приближений с любой степенью точности. Переформулируем теорему Тейлора в виде, подходящем для нахождения численного решения разработанных дифференциальных уравнений. Теорема 2. (теорема Тейлора). Предположим, что у(г)єСр+1[0 ,Т] и что функцию y(t) можно разложить в ряд Тейлора порядка N в окрестности фиксированной точки t = tk є [0,Т]: (j -1) -ю производную no t функции f (t, y(t)). Формулу для производной можно получить с помощью рекуррентной процедуры где Р — оператор дифференцирования Р = —h f (t, y(t))— . Приближенное численное решение задачи Коши y (t) - f (t, y(t)) = 0 на интервале [0,Т] получаем, используя на каждом подынтервале [t t i] формулу (3.14). Общий шаг для метода Тейлора порядка р имеет вид: где dj = y Ctk) для j = 0,1, 2,...,p на каждом шаге k = 0,1, 2,...,N-1. Окончательная общая ошибка метода Тейлора порядка р имеет порядок 0(hp+ ) следовательно, р можно выбирать настолько большим, насколько это необходимо, чтобы сделать ошибку такой малой, как требуется.
Сейчас, с применением программного обеспечения этот порядок можно делать достаточно большим. Если порядок р фиксирован, то возможно предварительно определить такую длину шага h, что окончательная общая ошибка будет настолько малой, насколько требуется. Тем не менее обычно на практике вычисляют две совокупности приближении используя длины шага, равные h и h / 2, и сравнивают результаты. Теорема 3. (точность метода Тейлора порядка р). Предположим, что y(t) - решение задачи Коши. Если y(t)eCp+ [0,Т]и {(t , у (t))}k=0 -последовательность приближений, сгенерированная методом Тейлора порядка р, то: В частности, окончательная общая ошибка в конце интервала будет удовлетворять равенству: Если приближения вычислять с шагом, равным h и h / 2, когда р = 4 то для большего шага можно получить Е(у(Т), h) « Ch и для меньшего шага Таким образом, идеей теоремы 3. является то, что если длину шага в методе Тейлора порядка р = 4 уменьшить в 2 раза, то полная окончательная общая ошибка сократится приблизительно в 16 раз.
Другим методом, наиболее распространенным при решении дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутта. Ранее рассматривался метод Тейлора, который обладает хорошим свойством — окончательная общая ошибка имеет порядок 0(h ) и можно выбрать настолько большое N, что ошибка станет малой. Однако недостатком методов Тейлора является необходимость предварительного задания N и вычисления производных высоких порядков, которое может быть очень сложным. Метод Рунге-Кутта выведен из соответствующего метода Тейлора таким способом, чтобы окончательная общая ошибка имела порядок 0(h ). Метод получен, чтобы а каждом шаге можно было вычислить несколько функций и исключить необходимость вычислять производные высоких порядков. Методы можно построить для любого порядка N. Наиболее популярен метод Рунге-Кутта порядка N = 4. В большинстве случаев это хороший выбор, так как он вполне точен, стабилен и прост для программирования. Наиболее авторитетные специалисты утверждают, то нет необходимости переходить к методу высшего порядка, поскольку увеличение точности не компенсирует дополнительную сложность вычислений. Если требуется большая точность, то можно использовать меньший шаг или модифицированный метод.
