Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности 10
1.1. Экономическая безопасность: определения, системы индикаторов, анализ динамики 10
1.2. Анализ существующих математических методов и моделей анализа и прогнозирования экономической динамики 37
Глава 2. Разработка методических основ анализа и прогнозирования по ведения индикаторов экономической безопасности 57
2.1. Класс математических методов для анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности 57
2.2. Методика приведения индикаторов экономической безопасности к безразмерному виду для различных моделей анализа их поведения .. 72
2.3. Разработка метода моделирования динамики индикаторов экономической безопасности 78
2.4. Алгоритм идентификации параметров системы дифференциальных уравнений динамики индексов экономической безопасности 94
2.5. Использование алгоритмов адаптивной фильтрации и фрактального анализа для краткосрочного прогнозирования индикаторов экономической безопасности 102
Глава 3. Апробация разработанного инструментария в задачах анализа и прогнозирования индикаторов экономической безопасности 113
3.1. Применение разработанных методов для анализа и прогнозирования обобщенных тенденций поведения индикаторов экономической безопасности России и Нижегородской области 113
3.2 Применение алгоритмов адаптивной фильтрации и фрактального анализа для прогнозирования индикаторов экономической безопасности России и Нижегородского региона 126
Заключение 138
Список использованных источников 140
- Анализ существующих математических методов и моделей анализа и прогнозирования экономической динамики
- Методика приведения индикаторов экономической безопасности к безразмерному виду для различных моделей анализа их поведения
- Алгоритм идентификации параметров системы дифференциальных уравнений динамики индексов экономической безопасности
- Применение алгоритмов адаптивной фильтрации и фрактального анализа для прогнозирования индикаторов экономической безопасности России и Нижегородского региона
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В настоящее время, наряду с позитивными тенденциями в социально-экономическом развитии, страна постоянно сталкивается с проблемами и угрозами, вероятность которых в последние годы возрастает. К ним относятся высокая зависимость от мировых цен на энергоносители, значительный импорт продовольствия, высокий износ основных фондов, низкая инновационная активность предприятий и др.
Экономическая безопасность в настоящее время является одним из наиболее динамично развивающихся разделов экономики. Экономика, как наиболее сложная система, имеет много показателей, характеризующих ее состояние. В официальных таблицах прогноза социально-экономического развития России содержится более 300 показателей. Институтом экономики РАН разработана система 32 индикаторов экономической безопасности России и обоснованы их пороговые значения. Анализ динамики этих индикаторов позволяет делать выводы о состоянии и основных тенденциях социально-экономического развития страны. Важным свойством индикаторов является их взаимодействие, которое становится особенно ощутимым при определенных условиях нарастания опасности.
В получении аналитической информации и прогнозов поведения индикаторов экономической безопасности заинтересованы органы власти различных уровней, государственные институты, предприятия и организации, поскольку эта информация является ключевой при принятии решений в условиях нарастания угроз. Сложность прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности обусловлена тем, что со временем меняются не только количественные параметры взаимодействий между основными индикаторами, но и сам характер этих взаимодействий. Это обусловливает целесообразность разработки и развития математических методов анализа и прогнозирования поведения основных индикаторов экономической безопасности и определяет актуальность данного исследования.
Степень разработанности проблемы. В последнее время в научной литературе наблюдается рост числа исследований, посвященных экономической безопасности социально-экономических систем. Среди них можно выделить работы Л. Абалкина, И. Богданова, С. Волкова, С. Глазьева, И. Долматова, Н. Дюженковой, Н. Красникова, А. Куклина, С. Курдюмова, Г. Мекуша, Б. Мильнера, Е. Олейникова, В. Павлова, В. Сальникова, В. Сенчагова, О. Тарана, А. Татаркина, О. Филеткина, Ю. Яковца, С. Яшина и др.
Большое число научных исследований посвящено проблемам экономического прогнозирования. Среди них можно выделить работы А. Аганбегяна, И. Бесстужева-Лады, А. Викторова, В. Глушкова, А. Гранберга, К. Доугорти, А. Дубровой, Ю. Ефимычева, В. Ивантера, М. Кендалла, Н. Комкова, Д. Корнилова, Д. Львова, У.К. Паррамоу, А. Плехановой, Н. Полякова, И. Ромашовой,
В. Селина, Г. Серебрякова, А. Стьюарта, Дж. Терри, Р. Томаса, Ю. Трифонова, М. Узякова, Ф. Юрлова и др.
Значительное количество научных работ посвящено математическому моделированию и прогнозированию поведения социально-экономических систем. Среди авторов этих моделей можно выделить С. Айвазяна, А. Акаева, И. Анто-хоновой, В. Арнольда, Дж. Бокса, В. Вайдлиха, А. Варшавского, Г. Дженкинса, Л. Канторовича, М. Красса, В. Леонтьева, Ю. Лукашина, В. Макарова, Б. Ман-дельброта, Д. Медоуза, Н. Моисеева, В. Мхитаряна, Э. Петерса, А. Прасолова, В. Садовничева, Э. Тихонова, Дж. Форрестера и др. Эти модели рассматривают эволюционные процессы, волновую динамику, структурную динамику, акцентируют внимание на проблематике жизненных циклов различных объектов, теории катастроф, хаоса, принятия решений и т.д. Существующие математические модели анализа поведения параметров социально-экономических систем во многих случаях используют аппарат корреляционно-регрессионного анализа. Кроме того, используются многомерные матричные методы, основанные на анализе межотраслевых связей.
Признавая вклад упомянутых ученых, следует отметить, что в данных исследованиях не достаточно представлены математические методы и модели, адаптированные к системе экономической безопасности. Существующие методы не всегда дают адекватные результаты в условиях неопределенности и не позволяют быстро реагировать на изменения взаимодействия между параметрами системы, что затрудняет их использование при анализе и прогнозировании поведения индикаторов экономической безопасности. Это обусловило выбор темы исследования, формулировку его цели и задач.
Область исследования соответствует требованиям паспорта специальностей ВАК 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики: п. 1.5 «Разработка и развитие математических методов и моделей глобальной экономики, межотраслевого, межрегионального и межстранового социально-экономического анализа, построение интегральных социально-экономических индикаторов», п. 1.8 «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития».
Целью диссертационной работы является разработка и верификация математических методов анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности.
В соответствии с обозначенной целью поставлены следующие задачи диссертационного исследования:
обобщить существующие математические методы и модели анализа и прогнозирования экономической динамики и выделить класс методов, предназначенных для анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности;
разработать концептуальные основы и практический инструментарий оперативного и стратегического анализа и прогнозирования индикаторов экономической безопасности, включая математические методы, модели, методики и алгоритмы;
провести апробацию разработанного инструментария на конкретных системах индикаторов экономической безопасности.
Объектом исследования является система индикаторов экономической безопасности страны и региона.
Предметом исследования являются математические методы анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности.
Методологической основой работы служат труды отечественных и зарубежных авторов в области математического моделирования, анализа и прогнозирования поведения социально-экономических систем.
Информационную базу исследования составили данные периодической печати, Росстата, аналитические, обзорные и справочные материалы.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
Выделен класс математических методов, предназначенных для анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности, в которых, в отличие от существующих методов, требующих анализа многочисленных взаимосвязей между параметрами системы, основной задачей является анализ тенденций поведения индикаторов экономической безопасности и своевременное выявление угроз. Указанные методы систематизированы по ряду критериев: размеру объекта, учету фактора времени, горизонту анализа и прогнозирования, степени агрегирования, наличию пороговых значений индикаторов, используемым разделам математики, наличию временного лага, уровню неопределенности, степени взаимодействия между параметрами системы, наличию внешних воздействий.
Предложена методика приведения индикаторов экономической безопасности к безразмерному виду для различных моделей анализа их поведения. Первая модель использует информацию базового и текущего периодов для определения тенденций поведения индикаторов и степени саморазвития исследуемого объекта. Вторая модель основывается на сравнительном анализе индикаторов экономической безопасности различных социально-экономических систем. Третья модель позволяет определить степень удаления соответствующего индикатора от его порогового уровня. Методика предполагает применение нелинейных нормирующих функций различного вида и используется при построении интегральных индикаторов экономической безопасности.
Разработан метод моделирования динамики индикаторов экономической безопасности. Алгоритм метода включает: определение цели и задач исследования; выбор системы индикаторов; сбор данных и анализ натуральных показателей; их нормировку в соответствии с выбранной моделью мониторинга; агрегирование их в интегральные индексы, позволяющие проводить анализ тенден-
ций изменения различных составляющих системы экономической безопасности; прогнозирование поведения индексов экономической безопасности в среднесрочном периоде. Метод позволяет решать задачи анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности различной степени агрегирования: натуральных индикаторов, интегральных индексов по отдельным составляющим системы экономической безопасности, обобщенным индексам.
Разработан адаптивный алгоритм идентификации параметров системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику интегральных индексов системы экономической безопасности и позволяющих анализировать их совместную динамику. Использование методов аппроксимации и Фурье-анализа позволяет выявлять взаимосвязи между параметрами системы, обеспечивая при этом допустимое расхождение экспериментальных и модельных значений индексов. Использование механизма адаптации позволяет прогнозировать поведение интегральных индексов системы с допустимой ошибкой прогноза.
Обоснована целесообразность применения методов адаптивной фильтрации и фрактального анализа для оценки параметров макроэкономической динамики, что позволяет использовать соответствующие алгоритмы в задачах краткосрочного анализа и прогнозирования поведения системы индикаторов экономической безопасности. Получены аппроксимирующие функции для прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности (на примере Нижегородского региона). Проведен фрактальный анализ краткосрочных индикаторов экономической безопасности, в результате которого для большинства показателей выявлен персистентный характер ряда.
Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в разработке и развитии математических методов количественного анализа и прогнозирования экономической безопасности.
Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке конкретных рекомендаций по использованию предложенных методик в задачах федерального и регионального анализа и прогнозирования индикаторов экономической безопасности. Полученные в ходе исследования результаты могут быть востребованы в органах федерального и регионального управления, а также могут быть использованы в вузах при разработке соответствующих учебных курсов.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на:
Международной научно-практической конференции «Современные аспекты экономики, менеджмента и инноваций». НГТУ, Н.Новгород, 2008;
VII Международной научно-практической конференции «Государственное регулирование экономики. Региональный аспект». ННГУ, Н.Новгород, 2009;
Всероссийской научно-практической конференции «Инновации в экономике, менеджменте и подготовке кадров». НГТУ, Н.Новгород, 2009;
Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные аспекты экономики, менеджмента и инноваций». НГТУ, Н.Новгород, 2010;
XXI Международной научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам КОГРАФ. НГТУ, Н.Новгород, 2011;
XVI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки), Н.Новгород, 2011;
I Межрегиональной научно-практической конференции «Проблемы роста экономики России в условиях модернизации и глобализации». Н.Новгород. -Нижегородский филиал ИБП, 2011;
II Международной научно-практической конференции «Проблемы социально-экономической устойчивости региона». МНИЦ, Пенза, 2012.
Основные положения диссертации отражены в 20 научных публикациях, в том числе в 4 работах в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Общий объем -15,51 печ.л., в.т.ч. автору принадлежит 7,41 печ.л.
Структура и объем работы. Объем диссертации 150 машинописных листов. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников, состоящего из 108 наименований. В работе содержатся 54 формулы, 2 таблицы и 78 рисунков.
Анализ существующих математических методов и моделей анализа и прогнозирования экономической динамики
Наблюдается отрицательная динамика (удаление от порогового уровня) в поведении индикаторов «Доля производства машин и оборудования, энергооборудования, оптического оборудования и транспортных средств и оборудования в общем объеме отгруженной продукции , %», «Соотношение численности людей пенсионного и трудоспособного возраста», «Коэффициент фондов (соотношение доходов 10% высокодоходного и 10% населения с низкими доходами), раз».
Отметим, что из-за большого объема информации совместный детальный анализ индикаторов весьма затруднен.
Для определения системы индикаторов экономической безопасности региона требуется несколько другой подход. Это связано с тем, что на федеральном уровне можно обеспечить защиту лишь от наиболее важных глобальных угроз. Регионы же сталкиваются с большим спектром угроз, многие из которых носят локальный характер. в научной литературе представлены различные подходы к формированию системы индикаторов экономической безопасности регионов и обоснованию их пороговых значений. Так, И. Долматов предлагает в качестве индикаторов состояния экономической безопасности региона использовать социальные индикаторы, которые включают индикаторы демографической безопасности, безопасности сферы жизни и рынка труда [11]. Н. Дюженкова приводит различные варианты рейтинговой оценки состояния экономической безопасности, в которых предусматривается выведение интегрального показателя из системы блоков показателей, характеризующих производственную, научно-техническую, финансовую, социально-демографическую, общественную, продовольственную, экологическую сферы [12]. Ученые Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева разработали метод оценки экономической безопасности республики с помощью многомерных статистических методов. В результате было получено четыре интегральных показателя: взаимозависимость уровня развития сельского хозяйства региона и загрязнения воздушного бассейна; степень влияния инвестиций в основной капитал на результативность экономики региона; общий уровень жизни и благосостояния населения; взаимосвязь уровня оплаты труда и безработицы [13]. Э. Уткин и А. Денисова предлагают для оценки экономической безопасности региона использовать не пороговые значения, а функциональный анализ безопасности территории, основанный на оценке вероятности наступления отдельных негативных событий и вероятной величине ущерба [14]. С. Волков разработал методику балльной оценки выбранных им десяти показателей для анализа уровня безопасности регионов [15]. В. Сальников предлагает анализ экономической безопасности региона осуществлять с применением таких индикаторов, как средняя заработная плата работников, величина прожиточного минимума, численность зарегистрированных безработных, потребность в работниках (вакансии), кредиторская задолженность, дебиторская задолженность, число выявленных экономических преступлений [16]. Авторы [8] для мониторинга экономической безопасности регионов разработали систему из 48 показателей, объединенных в 11 групп: макроэкономика, инвестиции, производство, научно-техническое развитие, внешнеэкономическая деятельность, финансы, жизнеобеспечение населения, рынок труда, демография, продовольствие, энергетика. И. Новикова и Н. Красников предложили построение региональной системы индикаторов экономической безопасности по различным сферам экономики региона (продовольственной, производственной, инфраструктурной, финансовой, социальной, информационно-технической и инновационной) [17]. О. Таран и О. Киселева разработали систему индикаторов экономической безопасности региона, включающую два блока: социальные (9 индикаторов) и экономические (12 индикаторов) [18]. В [19] разработана система индикаторов экономической безопасности региона и обоснованы их пороговые значения. В данной версии все индикаторы были разбиты на две группы. Первая группа содержит девять экономических индикаторов, отражающих общие тенденции экономического развития региона. Вторая группа содержит восемь социальных индикаторов.
В [20] для анализа экономической безопасности региона была выбрана следующая система показателей, сгруппированных по четырем проекциям.
1. Проекция «Экономика»: ВРП на душу населения, тыс. руб; продукция промышленности на душу населения, тыс. руб.; продукция сельского хозяйства на душу населения, тыс. руб.; инвестиции в основной капитал, % к ВРП; уровень безработицы, %; уровень инфляции, %; объем внешнеторгового оборота на душу населения, долл. США; дефицит (профицит) бюджета, в % от ВРП.
2. Проекция «Инновации»: число лиц, занятых научными исследованиями и разработками на 100000 населения, чел; внутренние затраты на научные исследования и разработки, % к ВРП; число созданных передовых производственных технологий на 100000 населения, ед; удельный вес организаций, осуществляющих технологические инновации, %; затраты на технологиче ские инновации, % к ВРП; объем отгруженной инновационной продукции, % кВРП.
3. Проекция «Экология»: сброс загрязненных сточных вод на душу населения, тыс. куб. м; выбросы загрязняющих веществ в атмосферный воздух от стационарных источников на душу населения, т; лесовостановление на душу населения, кв. м; инвестиции в основной капитал, направленные на охрану окружающей среды, % к ВРП.
4. Проекция «Социальная сфера»: суммарный коэффициент рождаемости (число детей на одну женщину), чел; ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет; коэффициент фондов (коэффициент дифференциации доходов), в разах; соотношение среднедушевых доходов с величиной прожиточного минимума, раз; площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя (на конец года), кв. м.; расходы на социальные программы, % к ВРП; число зарегистрированных преступлений на 100000 населения, ед.
Разработанная сбалансированная система показателей была апробирована в ходе анализа экономической безопасности Нижегородского региона. Нижегородская область - одна из ключевых для европейской России. Она обладает большим экономическим потенциалом, выгодно расположена на пересечении крупных торговых и транспортных магистралей. Область является одним из экономически развитых регионов РФ. На ее долю приходится около 2% суммарного валового регионального продукта регионов РФ.
На рис. 1.36-1.39 представлены зависимости приведенных выше показателей от времени. Временной интервал анализа составил 10 лет (2000-2009 гг.). Показатели по Нижегородской области приведены в сравнении со средними показателями по России.
Методика приведения индикаторов экономической безопасности к безразмерному виду для различных моделей анализа их поведения
Сектор, ограниченный линией у 0,25, соответствует зоне «катастрофического риска»; сектор, ограниченный линиями у = 0,25 и = 0, 5 - зоне «критического риска»; сектор, ограниченный линиями у = 0, 5 и у = 0,75 -зоне «значительного риска»; сектор, ограниченный линиями у = 0,75 иу=\ - зоне «умеренного риска». Зона «стабильности» - вне сектора, ограниченного линией у = 1. В этой зоне любое значение индикаторов является позитивным. Из рисунка видно, что большинство из индикаторов экономической безопасности пока не достигли порогового значения. Наибольшее опасение вызывают значения расходов на науку, доли инновационной продукции, уставного капитала банков, колебания индексов фондового рынка, которые находятся или приближаются к зоне «критического риска».
Использование различных моделей функций и способов отображения информации расширяет возможности для анализа и прогнозирования поведения индикаторов экономической безопасности.
Процесс анализа и прогнозирования начинается с определения объекта, целей и задач исследования. Например, при анализе экономической безопасности объектом исследования является экономика России. Целью исследования является прогнозирование динамики поведения основных индикаторов и возникновениям угроз экономической безопасности. Задачами исследования являются адекватный сбор и анализ информации, выбор метода прогнозиро вания и подготовка предложений для принятия решений по возможной корректировке экономической политики.
На втором этапе производится формирование системы показателей, которые имеют различные размерности (рис. 2.10). Под системой показателей, характеризующей определенный экономический субъект или явление, понимается «совокупность взаимосвязанных величин, всесторонне отображающих состояние и развитие данного субъекта или явления» [75]. По мнению В. Адамова, «сколько бы частных показателей любого экономического явления или процесса мы ни определяли, они останутся набором, а не системой показателей до тех пор, пока не будут установлены содержательные и формальные взаимосвязи между ними» [76].
При построении систем показателей необходимо руководствоваться рядом принципов [66]:
1. Принцип древовидной струстуры предполагает наличие в чиетеме логически взаимосвязанных натуральных и обобщенных показателей различной степени интеграции. Совокупность натуральных показателей путем некоторых математических операций интегрируется в один или несколько обобщенных показателей. Это особенно важно в тех случаях, когда система включает большой набор показателей и позволяет давать обобщенную характеристику исследуемого процесса. При этом интегральные показатели не должны рассматриваться изолированно, а только в совокупности с натуральными показателями.
2. Принцип обозримости предполагает наличие некоторого набора по казателей, оптимального для данной социально-экономической системы и отражающего наиболее существенные стороны ее развития. При этом пока затели системы должны быть существенными, не дублировать друг друга и слабо коррелировать между собой.
3. Принцип достоверности, который обеспечивается адекватностью аналитической информации существующему состоянию социально экономической системы. Этого можно достичь преимущественным включе нием в систему показателей, отраженных в публикациях органов государст венной статистики. При этом показатели системы должны быть однозначно исчисляемы. Существующие в настоящее время методологии системного анализа и моделирования определяют основные принципы формирования и группировки показателей. Например, согласно известной методологии SADT (Structured Analysis and Design Technique) [77] каждая группа должна содержать от 3 до 6 исходных показателей. В соответствии с методологией BSC (Balansed ScoreCard) [66] Нортона и Каплана общее количество показателей системы не должно превышать 30-35, а число показателей в одном блоке (проекции) должно быть в пределах 4-8 (соответственно, число проекций - 4-6). Они должны освещать свойства исследуемого объекта с различных сторон.
Алгоритм идентификации параметров системы дифференциальных уравнений динамики индексов экономической безопасности
В общем случае, когда описание тренда может быть задано с помощью вектора состояний и системы стохастических разностных уравнений, то оптимальные линейные фильтры называются фильтрами Калмана. Для построения данных фильтров достаточно знать первые два момента соответствующего случайного процесса. Поскольку априорные вероятностные характеристики исходного временного ряда зачастую неизвестны, то оценки ковариационных функций по конечной реализации производится с неопределённой погрешностью и достоверностью. Именно поэтому адаптивный алгоритм настройки, используя текущее расхождение между наблюдениями и оценками, осуществляет постоянную корректировку структурных параметров. При этом фильтр приспосабливается к статистическим характеристикам именно тех эмпирических данных, которые поступают в него.
Как показывает опыт, адаптивные модели временных рядов могут давать более надежные результаты, чем сложные эконометрические системы уравнений. Так, при достаточно резком изменении некоторой экономической системы (например, под влиянием научно-технического прогресса, изменений социально-политических условий и т.п.) эконометрическая модель с постоянными параметрами будет экстраполировать существенно устаревшие зависимости. Адаптивная модель в таких же условиях перманентно приспосабливается и учитывает эти изменения.
В качестве примера можно привести эксперимент Ч. Нельсона [68], в котором сравнивалась точность прогнозов, полученных на основе экономет-рической модели, состоящей из нескольких уравнений, и достаточно простых адаптивных моделей, применявшихся для прогнозирования нескольких временных рядов. Оказалось, что для периода, использованного при оценивании параметров эконометрической модели, последняя показала лучшее приближение к данным наблюдения, чем адаптивные модели. Однако за пределом периода наблюдения с помощью эконометрической модели (с экзогенными реальными данными) полученные результаты оказались хуже, чем с помощью адаптивных моделей.
Таким образом, методы адаптивной фильтрации в настоящее время являются наиболее перспективными при анализе и прогнозировании. Однако до настоящего времени их использование в задачах анализа и прогнозирования индикаторов экономической безопасности не до конца изучено. Вместе с тем, модели адаптивной фильтрации могут эффективно использоваться в задачах мониторинга экономической безопасности страны и региона, что подтверждается их успешной апробацией в Нижегородском регионе (разд. 3.2).
В заключение рассмотрим еще одну область моделирования, весьма близкую к описанной выше - фрактальный анализ.
Само понятие фрактал введено Бенуа Мандельбротом в семидесятые годы XX века. Термин разделять на части. Сначала Мандельброт определил фрактал следующим образом: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности». Это понятие требует определений таких терминов, как размерность Хаусдорфа-Безиковича ( ) и топологическая размерность (Z r). «Размерность Хаусдорфа-Безиковича D множества ф есть критическая раз 106 мерностьпроисходит от латинского fractus, прилагательного от YJiwomfrawgere ломать, , при которой мера величины этого множества Md изменяет свое значение с нуля на бесконечность» [69].
Топологическая размерность Dr всегда есть целое число. Топологическая размерность связана с топологическими свойствами фигур, то есть к свойствам, не изменяющимся при любых деформациях, производимых без склеиваний и разрывов (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, квадрат имеют одинаковую топологическую размерность DT=1 и одни и те же свойства топологии, то есть эти линии могут быть деформированы одна в другую заданным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность в евклидовом пространстве DT=2; пространство, а также любое ограниченное подпространство - имеют топологическую размерность DT=3 (трехмерный образ, геометрическое тело).
Затем Мандельброт сузил свое определение и предложил заменить его следующим [100]: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».
Строгого определения фрактала не существует. Дело в том, что первое определение при всей своей точности слишком ограничительно. Оно элиминирует многие фракталы, встречающиеся в различных областях знания. Второе определение содержит важный отличительный признак, наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Располагая только внешним видом и не используя никакой дополняющей информации, оценка затруднена, а в большинстве случаев невозможна.
Классическим примером природного фрактального объекта служит береговая линия. С трудностями при измерении длины береговой линии Британии столкнулся в начале нашего века английский гидромеханик Ричардсон при попытке заменить линию ломаной. Оказалось, что при уменьшении масштаба измерения, длина ломаной резко возрастает.
Мандельброт предложил аппроксимировать степень увеличения длины береговой линии в зависимости от масштаба степенным законом.
Фракталы часто рассматривают как множества точек, вложенные в пространство. Например, точки, образующие линию в обычном евклидовом пространстве, имеют топологическую размерность DT = 1 и размерность Хаус-дорфа-Безиковича D = 1. Евклидова размерность пространства равна Е = 3. Так как для линии D = DT линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что доказывает разумность дефиниции. Подобным образом, множество точек, образующих поверхность в Е=Ъ, имеет топологическую размерность DT = 2 и D = 2. Очевидно, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, сфера имеет D = 3 и DT = 3. Эти примеры позволяют определить основные из анализируемых типов множеств.
Главную роль в определении размерности Хаусдорфа-Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D играет понятие расстояния между точками в пространстве. Таким образом, необходимо измерить «величину» множества ф точек в пространстве. Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром 5, как показано на рис. 2.19. Вместо кубов можно взять сферы диаметром 5. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии г (1/2)6, окажутся покрытыми этой сферой. Посчитав количество сфер, необходимых для покрытия интересующего множества точек, получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определив число JV(8) - прямолинейных отрезков длины 5, необходимых для того, чтобы покрыть ее.
Применение алгоритмов адаптивной фильтрации и фрактального анализа для прогнозирования индикаторов экономической безопасности России и Нижегородского региона
Прямые на рисунках соответствуют различным значениям показателям Херста. Как видно из рисунков, процесс с долговременной памятью в первых четырех случаях наблюдается приблизительно в продолжение шести-семи лет (на рисунках это значение по оси абсцисс составляет приблизительно 1.5, пунктирная линия). После этой точки график в первых четырех случаях начинает следовать случайным блужданиям (штрих-пунктирная линия) при Я = 0.5 . Это отчетливо видно, так как график начинает резко отклоняться от первоначально установившейся траектории.
Подобный вычислительный эксперимент был произведен для всех показателей информационного пространства. По результатам анализа можно сделать следующие выводы [106,107].
1. Краткосрочные показатели экономической безопасности РоссиР имеют среднюю длину цикла обновления значений шесть-семь лет, то есть в течение данного срока система имеет связь с начальными данными -присутствует долгосрочная память. Примечательно, что примерно одинаковая длина цикла была установлена при анализе нескольких показателей экономики России. Это свидетельствует об однородности длины цикла. Таким образом, дело не в том, какое количество наблюдений имеется. а в том, сколько периодов захватывают эти данные. Это значительно отличается от стандартного статистического анализа, где более важно количество наблюдений, нежели длина исследуемого временного ряда. Показатель Херста для первых четырех групп показателей в основном значительно превышает 0.5. Это говорит о том, что с наибольшей вероятностью тенденции будут сохраняться и можно делать краткосрочные прогнозы.
2. Столь высокая оценка Н для различных краткосрочных показателей экономической безопасности, говорит о том, что российская экономика является фракталом, а не следует случайным блужданиям, и показатели имеют фрактальное распределение вероятности. Экономические показатели подвержены смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной (в среднем Н = 0.75, фрактальная размерность D = 1.25). Так как значение оценки показателя Херста для большинства быстрых показателей российской экономики принадлежит промежутку 0.5 Я 1, то имеем персистентный ряд. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то, скорее всего, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем.
3. Пятая группа показателей заметно отличается от остальных групп, так как во всех трех случаях показатель Херста Н 0.5, что говорит об антиперсистентности тренда и указывает на то, что в будущем тенденции с наибольшей вероятностью будут меняться.
Далее рассмотрим модель, которая основана на механизме адаптивной фильтрации временных рядов с помощью «фрактальной адаптивной скользящей средней FRAMA» [108].
После определения показателя Херста и фрактальной размерности можно построить FRAMA. Сначала вычисляются показатель Херста и фрактальная размерность. Затем необходимо рассчитать показатель сглаживания
Когда D = 1, экспонента равна нулю, что означает а = 1. Когда альфа -единица, значение экспоненциального скользящего среднего равно входному значению показателя. Это означает наивысшую скорость усреднения ряда, вернее, полное отсутствие какого-либо усреднения. С другой стороны, когда D = 2, то а = 0.01. Это означает очень сильное замедление скользящей средней, аналогичное примерно 200-периодной простой скользящей средней.
Таким образом, FRAMA приспосабливается к движению ряда, меняя свое сглаживание от максимально быстрого, когда D = l, до самого медленного, когда D = 2. Эта адаптивная структура быстро следует за сильными трендовыми движениями. В итоге вычисляем FRAMA: FRAMAi =yra+(l-a)- FRAMAt_x, (3.4) где yi - текущее значение показателя.
Появление теории фракталов позволило проводить статистические исследования сложных объектов. При этом информация о наличии фрактальных свойств может играть существенную роль в моделировании и прогнозировании поведения объекта. В данном исследовании он был применен для прогнозирования и анализа динамики показателей экономической безопасности Нижегородского региона. В качестве примера приведена оценка фрактальных показателей для индикатора «денежные доходы в среднем на душу населения в месяц» (рис. 3.19). В данном случае N= 139; Н= 0.651818; D = 1.348182; а= 0.201566. Так как 0.5 Ж 1.0, то имеем персистентный ряд. Это значит, что вероятней всего тенденция возрастания сохраниться какое-то время в будущем.
