Содержание к диссертации
Введение
1 Структурный анализ экономических временных рядов 23
1.1 Детерминированное описание случайного процесса 23
1.2 Временные классы процессов экономического, финансового, маркетингового поведения 32
1.3 Особенности экономической динамики 49
1.4 Тренд, модели тренда 53
1.5 Циклические компоненты экономических процессов 55
1.6 Сплайн-аппарат обнаружения циклов и определения их количественных характеристик 57
2 «Прогнозируемостъ» 68
2.1 «Прогнозируемостъ» экономических процессов. Экспериментальные наблюдения 68
2.2 Количественные характеристики прогнозов. «Прогнозный прямоугольник» 76
2.3 Обзор современных методов прогнозирования, требующих точной структуры процесса 80
2.4 Фрактальный R/S-анализ Хёрста в экономике 88
2.05«Цвет шума»и «прогнозируемостъ» 93
3 Количественные оценки «прогнозируемости» (классический статистический подход) 96
3.1 Классический статистический анализ экономических процессов с поиском и выделением событийной составляющей динамики 96
3.2 Динамика цен на бензин и их связь со статистическими характеристиками структурных экономических скачков .98
3.3 Собираемость налоговых поступлений (налог на доходы физических лиц) в бюджет Ставропольского края и её статистические характеристики 116
3.4 Алгоритм нахождения текущих прогнозов и длины горизонта будущего разными степенными многочленами .117
3.5 Длина горизонта будущего («прогнозируемость») в зависимости от статистических свойств процесса 125
3. Об Определение релевантности классов экономических процессов и моделей по критерию максимизации длины горизонта будущего 136
Основные итоги, положения, предложения, результаты, рекомендации и выводы
Диссертационного исследования. 139
Библиографический список использованных
- Временные классы процессов экономического, финансового, маркетингового поведения
- Циклические компоненты экономических процессов
- Количественные характеристики прогнозов. «Прогнозный прямоугольник»
- Динамика цен на бензин и их связь со статистическими характеристиками структурных экономических скачков
Введение к работе
Во всех видах деятельности необходимо предвидение перспектив развития, будущих последствий проводимых мероприятий, а также явлений, которые могут возникнуть в будущем и независимо от этих целенаправленных мер. Научное прогнозирование предполагает научно-обоснованное суждение о возможных состояниях экономической системы в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления, оно должно предполагать получение количественных оценок этих состояний при помощи математических и инструментальных средств реализации. Прогнозирование особенно необходимо в условиях рынка, насыщенного конкурирующими участниками с медленными (товарными), среднего темпа (финансовыми) и быстрыми (информационными) потоками и процессами на нём. Прогнозирование экономического поведения в условиях стохастического рынка всегда было актуальным, особенно важно оно в неустойчивой российской экономике при частой смене законодательства (налогового, таможенного и др.), влияющего на экономическое развитие.
С ростом объёмов экономического программирования и индикативного планирования качества и затрат, прогнозирование с вероятностным характером своих переменных становится всё более важным этапом любого менеджерского проекта. Методологии прогнозов присущи общие черты, все они в той или иной мере используют экстраполяцию прошлых тенденций в отношении как общенациональных, так и частичных показателей производства, народонаселения, технического прогресса. Глобальная задача прогнозирования как науки - стремление на ос-
5 нове отдельных, частичных экономических показателей составить полную картину будущего экономического роста.
Усложнение, глобализация и ускорение экономического развития, исчерпание адекватных этим тенденциям классических методов моделирования, анализа, визуализации и прогнозирования процессов, вторжение в науку и экономику математических методов нелинейной динамики привели нас на рубеже ХХ-ХХІ веков к новой «нелинейной парадигме» с фрактальной геометрией и теорией хаоса, с необходимостью обработки социальных и экономических временных рядов новыми интеллектуальными экономико-математическими технологиями.
Среди методов прогнозирования (таковых насчитывается около 150) выделяются две группы - стохастические и детерминированные (трендовые), приносящие в результате в длину горизонта будущего либо прогнозы статистических характеристик изучаемого процесса, либо прогнозы самого изучаемого экономического показателя. Вторая группа методов более важна, конструктивна и востребована. В связи с этим тема диссертационной работы «погружена» в детерминированные методы прогнозирования, она посвящена поиску, обнаружению, исследованию длины горизонта будущего, такого инвариантного свойства временного ряда, при котором ошибка прогноза не выходит за пределы наперёд заданной величины. В исследовании эта величина названа «прогнозируемостью». В отличие от качественных подходов к «прогнозируемости» с оценками типа «хорошо прогнозируется» или «плохо прогнозируется», эта величина получила размерность и количественные значения.
Классическая («линейная») парадигма считает, что в большей части поведение показателей наблюдаемых эволюцио-
нирующих природных, социальных и экономических процессов и систем подчиняется «нормальному» закону, необходимо предполагая, что наблюдения, составляющие временной ряд, являются независимыми и следуют принципу - малое возмущение в малой степени отражается на характере поведения системы. Однако для экономических, социальных, финансовых, маркетинговых, производственных, сельскохозяйственных временных рядов это является скорее исключением, чем правилом.
Суть термина «нелинейная парадигма» можно выразить так - для многих реальных эволюционных процессов и систем малое изменение или возмущение так называемого «параметра порядка» может кардинальным и даже катастрофическим образом изменить характер поведения всей системы. Ещё одно принципиальное отличие «нелинейной» и «линейной» парадигм состоит в том, что в экономике реальные временные ряды показателей обладают «долговременной памятью», часто называемой «экономической памятью», что также означает отсутствие независимости наблюдений и неподчинение таких временных рядов «нормальному закону». «Долговременная память» встречается повсюду в экономике, включая временные ряды цен. В характере поведения рядов проявляется хаотичность, в статистических распределениях при отсутствии сезонной компоненты и долговременного тренда мы видим «толстые» или «тяжёлые» хвосты.
Поэтому в последнее время в прогностике мы начинаем замечать движение интереса не столько к самим способам и алгоритмам прогнозирования, которые на отдельных участках одного и того же временного ряда показывают хорошие результаты, а на других - совершенно неудовлетворительные, сколько к изучению «прогнозируемости» или трендоустойчивости, т.е. та-
7 кого инвариантного свойства экономического процесса, ему соответствующего временного ряда и его частей (спектральный состав, хаотичность, «долговременная память», цвет «шума», дисперсия), которое в дальнейшем будет определять длительность, надёжность и валидацию прогноза.
Предполагаемое объективно существующим свойство «прогнозируемости» того или иного процесса означает, что в зависимости от своих статистических и спектральных свойств на протяжении одного и того же отчётного периода один процесс может прогнозироваться лучше, а другой - хуже. Поэтому одни методы и алгоритмы лучше работают с одними процессами или их частями, другие - с другими процессами и частями. В связи с этим возникала идея строить прогноз одновременно разными, лучше всего взаимоисключающими методами. Тогда необходимым элементом анализа и прогнозирования экономических процессов стало построение прогнозирующих систем. Какое-то время казалось перспективным для прогнозирования одного и того же экономического показателя использовать целую гамму различных способов с последующим сравнением, усреднением, уточнением и оптимальной статистической оптимизацией результатов, что должно было повысить надёжность и точность расчётов. Однако при отсутствии понимания причин плохой или хорошей «прогнозируемости» этот шаг оказывается шагом в неверном направлении.
Системное исследование показывает, что до сих пор при прогнозировании экономических процессов мало внимания обращалось на решение как бы «обратной» задачи - на получение и исследование времени прогноза, периода упреждения, периода времени упреждения, длины горизонта прогноза, глубины про-
8 гнозирования или, более строго, длины горизонта будущего. Длина горизонта будущего достигается на интервале, где риск принятия решения не превышает заданной величины.
Длина горизонта будущего становится чрезвычайно важным показателем в прогнозировании, представляя тот отрезок «будущего», в пределах которого прогноз не будет отличаться от истинного значения прогнозируемой переменной на некоторую наперёд заданную величину погрешности ± є. Конечно, более точно со статистической, вероятностной точек зрения следовало бы пользоваться интервальными понятиями, однако на начальном этапе достаточно грубая конструкция с ± є неплохо выполняет свою роль. Как правило, в исследовании при всех вычислениях по умолчанию є равняется 10%, что для анализа и прогнозирования примеров экономических процессов оказывается совсем небольшой относительной погрешностью.
В литературе по футурологии не слишком много работ по измерению или проектированию длины горизонта будущего, по определению «прогнозируемости» экономических процессов, по сравнению прогнозных оценок одного процесса, вычисленных разными способами. В условиях, когда поведение экономических систем определяется одновременно разными составными частями их временных рядов (тренды, сезонные составляющие, циклические конструкции, случайный шум, структурные изменения динамики), особую актуальность приобретают методы поиска среди альтернативных экстраполирующих моделей тех, для которых длина горизонта будущего максимальна при определении релевантного этой модели экономического процесса.
С другой стороны, окончательные решения по нахождению оценки «прогнозируемости», максимизации длины горизон-
9 та будущего должны быть конструктивными, сопровождаясь точным математическим расчётом. Математическая постановка задачи, модели, методы оценки «прогнозируемости», инструментальные и информационные средства должны иметь реализующие их алгоритмы и программы, в том числе входящие в состав профессиональных систем компьютерной математики, настраиваемых для решения конкретных задач. Эти системы должны быть реализованы на персональных компьютерах.
Среди детерминированных методов прогнозирования в настоящий момент наиболее перспективными следует считать кусочно-полиномиальные или сплайн-аппроксимационные. Сочетание точности, универсальности, внутренних оптимизационных свойств, автоматического удовлетворения многих условий на стыке отчётного периода и горизонта прогноза, облегчающего, уточняющего и удлиняющего прогноз, позволило рекомендовать этот метод в качестве рабочего для данного исследования.
Наличие сплайн-раздела в пакете символьной математики МАРЬЕ 9.5 позволяет автоматически выстроить обращение к этому мощному инструменту и использовать его для вычислений, аппроксимации, экстраполяции, графических построений, вывода и визуализации во многих формах.
Актуальность и недостаточная разработанность проблем количественной оценки «прогнозируемости», напрямую связанной с новым вычисляемым критерием качества - длиной горизонта будущего, имеющим целью получение a priori оценки долготы и качества прогноза при наперёд заданной точности, предопределили выбор темы, цель, задачи, логику диссертационного исследования. Оно посвящено получению оценок «прогнозируемости» экономических процессов, их использованию в предска-
10 заний характеристик прогноза экономического (производственного, финансового, маркетингового и пр.) процесса.
О степени разработанности проблемы. Большой вклад в развитие современной прогностики внесли зарубежные учёные: И.Бернар, Н.Винер, Д.Ж.Джонстон, Ж.-К.Колли, Э.Маленво, Б.Б.Мандельброт, Дж.Мартино, М.Осборн, Р.Отнес. М.Песаран, Э.Петере, А.И.Пригожин, Д.Пуарье, Э.Сигэл, Г.Тейл, Г.Хакен, Д.Хейс, А.Хоскинг, Э.Янч.
Отметим серьёзные и плодотворные прогностические исследования в экономике известных российских учёных, в том числе выдающиеся труды Л.В.Канторовича, В.А.Кардаша, В.С.Немчинова, В.В.Новожилова, В.А.Перепелицы, Н.П.Федорен-ко, С.С.Шаталина и др. Из отечественных исследователей-футурологов также отметим И.В.Бестужева-Ладу, В.А.Буторова, А.Б.Горчакова, В.АДолятовского, А.С.Емельянова, С.В.Жака, В.А.Житкова, П.С.Завьялова, А.Н.Ильченко, В.И.Калиниченко, В.В.Ковалёва, С.П.Курдюмова, Е.Б.Лобанову, Ю.П.Лукашина, В.И.Максименко, Г.Г.Малинецкого, Е.В.Попову, Н.Х.Токаева, Р.А.Фатхутдинова, А.А.Френкеля, Г.Н.Хубаева, Н.В.Чепырных, Е.А.Черныш, Е.М.Четыркина.
Объектом диссертационного исследования являются предприятия различных организационно-правовых форм, региональные экономические системы.
Предметом исследования являются экономические (налоговые и маркетинговые) прогнозируемые процессы в системах со сложными экзогенными и эндогенными связями.
Целью диссертационной работы является совершенствование методов оценки качества будущего прогнозирования («прогнозируемости») экономических процессов и их временных
рядов при заданной точности с вычислением и использованием имеющей размерность и количественные показатели величины «прогнозируемости» - длины горизонта будущего.
В соответствии с поставленной целью в диссертационном исследовании были решены следующие задачи:
проведён системный анализ проблем синергетической и эко-нометрической прогнозируемости в экономической области;
проведен мониторинг прогностической практики с поиском и выделением необычных примеров прогнозирования экономических переменных и их временных рядов, особенно интересных при возникновении явных ошибок прогнозирования, завышенных по длине прогноза или по его функциональной стороне;
экономические процессы исследованы с точки зрения сочетания их детерминированности и стохастичности, рассмотрены синергетичесхая и классическая статистическая парадигмы;
предложено обобщение показателей прогноза, для чего введена конструкция «прогнозного прямоугольника», она акцентирует внимание на двух характеристиках, мерах точности прогноза;
определены размерность и количественные характеристики понятия «прогнозируемость», найдены частичные показатели «прогнозируемости» (текущие прогнозы) и глобальный показатель - длина горизонта будущего;
замечено, что длина горизонта будущего опирается на классические статистические свойства экономических процессов, в частности, сильно зависит от стандарта, дисперсии и коэффициента вариации асимптотически во всём интервале, что необходимо для вычисления итоговой длины точного прогноза;
определено место предлагаемого аппарата нахождения оценок «прогнозируемости» и длины горизонта будущего в ряду па-
12 радигм, концепций, способов, методов футурологической науки;
классические статистические алгоритмы обработки приспособлены для обращения с новым критерием качества прогнозирования - длиной горизонта будущего, определяющей математическую модель, релевантную классу экономического процесса;
построен алгоритм вычисления текущих прогнозов в отчётном периоде, при котором погрешность экономического показателя не превосходит заданной величины допустимой ошибки;
для получения более точной длины горизонта будущего и увеличения надёжности прогнозирования длины текущих прогнозов обрабатываются алгоритмом оптимального статистического обобщения;
сравнение качественных оценок «прогнозируемости» в синер-гетическом подходе с предложенными и вычисленными количественными значениями «прогнозируемости» классического статистического подхода выявило как области их совпадения, так и расхождения. Модернизация вычислительной схемы алгоритма фрактального tf/S-анализа экономического поведения позволила логически и численно упростить расчёты;
известные критерии сравнения экономических временных рядов и их экономико-математических моделей дополнены критерием согласия по длине горизонта будущего; максимальная длина горизонта будущего при переборе моделирующих полиномов выделяет вид модели, релевантный классу экономического процесса, при этом улучшается «прогнозируемость» процесса; новый критерий согласия используется для верификации временных классов экономического поведения;
исследована статистика российских макроэкономических показателей, содержащих известную событийную составляющую
13 динамики («большой дефолт» 1998 г.), с целью определения влияния аномалий дисперсии временного ряда на валидацию длины горизонта будущего;
найдена связь классических статистических характеристик и трёх их производных (математического ожидания, стандарта, дисперсии, коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса) со структурными изменениями исследуемых временных рядов, наряду с «большим дефолтом» 1998 г. обнаружены событийные составляющие динамики макроэкономических показателей России («дефолты») 1996, 2001 и 2003 гг.;
в основу методов и реализующих их алгоритмов положена конструктивность, т.е. выделение важного и легко оцениваемого количественного показателя, доведение теории до реальных характеристик без дополнительных расчётов, логических и абстрактных предположений;
создана система поддержки принятия решений, реализованная на персональном компьютере со средними характеристиками, в которую вошла система компьютерной математики МАРЬЕ 9.5 с операторами генерации, преобразования сплайнов, построения унифицированных сплайн-моделей; со статистической обработкой экономических временных рядов и с их оптимальным статистическим обобщением; с алгоритмами расчёта текущих прогнозов и длины горизонта будущего;
предложенные методы практически проверены на временных рядах цен на бензин А-92 в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг. и на временных рядах налоговых поступлений в бюджет Ставропольского края (налог на доходы физических лиц) в 2000-2004 гг. Численные эксперименты проводились при вариации множества статистических индикаторов экономических процес-
14 сов, влияющих на длину горизонта будущего.
Основная идея исследования состоит в принципиальном определении a priori будущей «прогнозируемости» экономического временного ряда в зависимости от его синергетических и классических статистических характеристик (цвет «шума», пер-систентность и антиперсистентность, хаотичность, трендоустой-чивость, стандарт, дисперсия, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса, спектральный состав) с использованием нового критерия соответствия процесса и модели (длины горизонта будущего).
Теоретические и методологические основы исследования составляют базовые принципы системного, структурного и экономического анализа. К числу первостепенных принципиальных особенностей предлагаемого нового подхода можно отнести задачу создания математических, инструментальных и информационных методов получения качественных (асимптотических) свойств из количественных характеристик конечной исходной модели. Причём эти качественные показатели не выводимы прямо из свойств элементов системы или из локальных взаимодействий этих элементов, они являются статистически эффективными и асимптотически точными алгоритмами. К таким показателям принадлежит «прогнозируемость», определяющая качество и длину будущего прогноза по некоторой характеристике временного ряда (длина горизонта будущего как функции от статистических характеристик экономического процесса).
Длина горизонта будущего наряду с определением «прогнозируемости» выполняет ещё одну важную миссию. Экономические процессы характеризуются временными особенностями, не всегда известными исследователю. Перебором разноплановых
15 экономико-математических моделей, сравнением их с исследуемыми экономическими процессами с точки зрения максимизации длины горизонта будущего удаётся найти временной класс экономического процесса. Максимальная длина горизонта будущего оказывается как индикатором временного класса экономического процесса, мерой релевантности процесса и модели, так и индикатором качества его прогнозирования. В оптимизационных задачах существуют различные критерии согласия реального экономического процесса и математической модели. Известные в эконометрике критерии сравнения временных рядов (точное совпадение процесса и модели в узловых точках, метод наименьших квадратов, чебышёвское приближение и др.) в представляемой работе дополняются критерием сравнения процесса и модели по длине горизонта будущего.
Длина горизонта будущего опирается как на качественные синергетические свойства временного ряда, определяемым R/S-анализом, Н- и i^/S-траекториями и «цветом шума», так и на количественные классические статистические свойства, среди которых наибольшее внимание пока привлекают стандарт, дисперсия и коэффициент вариации. Особая роль в исследовании принадлежит анализу экономических процессов на наличие «событийных составляющих динамики» и их извлечения из временного ряда статистическими средствами. Разрабатываемые методы «экономической хроноскопии», привлечённые методы фазового анализа «экономической цикломатики» позволяют определять временные параметры процессов, их циклических составляющих, инерционность (постоянную времени) системы.
Эмпирическую базу исследования составили собранные сведения о динамике розничных цен на бензин А-92 на запра-
вочных станциях нефтяных компаний в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг.; сведения о динамике объёма налоговых поступлений в бюджет Ставропольского края, полученных за счёт налога на доходы физических лиц в 2000-2004 гг.
Работа выполнена в соответствии с п. 1.8 «Паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики»: «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности; определение трендов, циклов и тенденций развития».
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:
В прогностике главным и первичным показателем качества будущего прогноза предложено использовать такой общий, существенный, конструктивный, теоретически и практически важный параметр, как «прогнозируемость». «Прогнозируемость» определена как объективно существующая инвариантная характеристика экономического процесса - длина горизонта будущего, получившая конструктивные размерность и количественный эквивалент.
Предложено явно выделять вторую (временную) характеристику прогноза. Найдена обобщающая взаимосвязь двух параметров прогноза, для чего введена конструкция «прогнозного прямоугольника», что важно для расчёта его корректной длины и для акцентирования внимания исследователя на двух характеристиках, двух мерах точности прогноза.
Длина горизонта будущего теперь находится по классическим статистическим свойствам экономического временного ряда - стандарту, дисперсии и коэффициенту вариации, она используется для вычисления «прогнозируемости».
Длина горизонта будущего исследована и систематически использована как новый критерий согласия между поведением экономического процесса и его математической модели. Максимальная длина горизонта будущего при переборе экономико-математических полиномов верифицирует временной класс экономического процесса, одновременно выделяет модель, релевантную этому классу.
Предложен алгоритм вычисления текущих прогнозов и длины горизонта будущего. Для увеличения точности предложено уточнять длины текущих прогнозов и длину горизонта будущего в отчётном периоде алгоритмом оптимального статистического обобщения, использовать несколько моделей с выбором той, которая релевантна классу экономического процесса.
Обнаружено, что классическими статистическими методами удаётся находить событийные составляющие динамики экономического поведения. В макроэкономической динамике России наряду с «большим дефолтом» 1998 г. обнаружены «малые дефолты» 1996 и 2001 гг., и «средний дефолт» 2003 г. Методы фазового пространства на базе данных региональной статистики определили инерционность (постоянную времени) поведения макроэкономических показателей России, она составила примерно 4 месяца. Утверждается, что событийные составляющие характерны для экономического развития России и период их появления составляет около 2 лет.
Создана система поддержки принятия решений, включающая в себя систему компьютерной математики МАРЬЕ 9.5, реализующую алгоритмы интерполяции, экстраполяции, статистической обработки, оптимального статистического обобщения, модернизированные для работы с временными отрезками; pea-
18 лизующую созданные алгоритмы нахождения текущих прогнозов, «скользящего прогноза» и длин горизонта будущего; реализующую алгоритм нахождения наиболее репрезентативной модели. Система работает на персональном компьютере, она автоматизировала все расчёты по предложенным методикам.
Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем:
Выбор нового показателя «прогнозируемости» (длина горизонта будущего) оправдал себя, давая понятное, практичное орудие оценки качества будущего прогноза при заданной погрешности прогноза и удовлетворительной продолжительности.
Длина горизонта будущего, как целевая функция экономического прогноза, свела в общем многокритериальную задачу качества прогноза к однокритериальной, выбору и максимизации одного показателя. Она продемонстрировала свою универсальность при смене моделей, что обогатило методы определения класса временного поведения экономического процесса, помогает адекватно «рассортировывать» процессы по временным классам, позволяет прогнозировать их более долго и надёжно.
Разработанные методы, методики, алгоритмы оказались универсальными, они могут решать широкий круг экономических, налоговых, финансовых, маркетинговых задач, работать всюду, где найденная a priori точная «прогнозируемость» позволяет рационализировать управленческие решения и получать оптимальные результаты.
Особенностью предлагаемых методов (и реализующих их алгоритмов) является конструктивность, т.е. выделение важного и легко оцениваемого показателя (длины горизонта будущего), доведение теории до реальных прогнозных характеристик, по-
19 лучение которых доступно менеджерам в экономических отделах предприятий, аналитикам и операционистам в банках, работникам налоговых служб, торговых представительств и т.д.
Предложенные методы, методики, алгоритмы, оценки, выделяющие среди альтернативных систем функций те, которые максимизируют длину горизонта будущего, были погружены в реальные экономические процессы и оправдали себя, их корректность подтверждается расчётами на конкретных материалах прогнозирования (цена бензина А-92 в Южном федеральном округе, 1995-2005 гг.; налоговые поступления в бюджет Ставропольского края, 2000-2004 гг.).
Созданная система поддержки принятия решений может быть применена для оценки «прогнозируемости» любых временных процессов, она показала свою работоспособность на персональных компьютерах IBM среднего класса.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций диссертации подтверждается применением: системного анализа и структурного подхода; математических и инструментальных методов экономики, включая такие разделы, как синергетика, статистика, эконометрика, прогностика, численные методы, методы приближений; хорошо известных и проверенных временем алгоритмов интерполяции и экстраполяции; фазовых подходов в динамике экономического поведения; современных высоких информационных технологий, использующих профессиональные системы компьютерной математики типа МАРЬЕ 9.5; документальным характером использованных числовых данных по объектам приложений предложенных моделей и методов.
Предлагаемые и исследованные в работе предложения,
20 подходы, алгоритмы, математические модели процессов, оценки «прогнозируемости», фазовые сплайн-построения во всех случаях дают надёжные результаты, так как основываются на строгом и точном математическом аппарате.
На защиту выносятся следующие положения, результаты и выводы:
Экономические процессы и их временные ряды обладают как «грубыми» трендовыми характеристиками, так и «тонким» спектральным составом (сезонные колебания, циклические процессы, стохастический шум, событийные составляющие динамики). Обработка экономических показателей и их временных рядов методом наименьших квадратов, алгоритмами «скользящего среднего», «экспоненциального сглаживания», авторегрессии и т.п. необратимо искажает «тонкую» часть процесса, ответственную за качество и долготу прогноза.
«Прогнозируемость» оказывается асимптотическим реально существующим свойством экономических показателей и их временных рядов. Она не может быть выведена прямо из свойств элементов системы или из локальных взаимодействий этих элементов, но количественно вычисляется, оценивается и реально используется для получения прогнозов заказанного качества.
За величину «прогнозируемости» принимается длина горизонта будущего, тогда прогнозируемый процесс не выходит из коридора наперёд заданной погрешности ± б. Этот показатель теперь получил размерность и количественную характеристику.
Совпадение синергетических оценок прогнозируемости (при вычислении показателя Хёрста) и классических (по стандарту, дисперсии и коэффициенту вариации процесса) позволяет утверждать, что для некоторого цвета «шума» новые синерге-
21 тические и старые классические методы идемпотентны. 5. Обнаружено, что классическими статистическими методами удаётся находить событийные составляющие динамики экономического поведения. В макроэкономической динамике России наряду с «большим дефолтом» 1998 г. обнаружены «малые дефолты» 1996 и 2001 гг., и «средний дефолт» 2003 г. Предложенные методы фазового пространства на региональной статистике позволили определять инерционность (постоянную времени) поведения макроэкономических показателей России, она составила порядка 4 месяцев. Событийные составляющие динамики характерны для экономического развития России с периодом их появления 2 года.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку:
на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, Кисловод-ский институт экономики и права, 22 - 24 апреля 2004 г.);
на IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве НФИУБИП'2004» (г. Невинномысск, Институт управления, бизнеса и права, 21-23 мая 2004 г.);
на VII Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, Кисловод-ский институт экономики и права, 21-22 апреля 2005 г.);
на IV Всероссийской конференции «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы - ФАМ'2005», на секции 4 «Статистические системы природы и общества» (г. Красноярск, Институт вычислительного моделирования СО РАН, 25-27 февраля 2005 г.);
на Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы - 2005» (г. Воронеж, Воронежский государственный ун-т, Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов, Орловский государственный университет, 28-29 апреля 2005 г.);
на III Всероссийской научно-практической конференции «Прогнозирование и программирование социально-экономических процессов в регионе» (г. Пенза, Пензенский государственный университет, Приволжский Дом знаний, 14-17 июля 2005 ).
Результаты полученных прогнозных решений переданы администрациям заинтересованных предприятий («Ставнефть», «Астраханьгазпром», «Кондор», ЮКОС, «Рокада», ЛУКОЙЛ, Правительству Ставропольского края) для использования при планировании, программировании и перспективном прогнозировании на сроки, определяемые длинами горизонта будущего.
Основные результаты диссертационного исследования отражены в 7 опубликованных работах автора общим объёмом 2.4 п.л., в том числе авторских 2.05 п.л.
Временные классы процессов экономического, финансового, маркетингового поведения
В последнее время всё большее внимание привлекают методы предсказания поведения систем. Активно формируется новая наука - прогностика, вбирающая в себя все известные способы предсказания и разрабатывающая новые методы. Несомненно, что прогностика в экономических системах жизненно необходима из-за соей важности и востребованности.
Постараемся обозреть возможные случаи, приводящие к предсказанию поведения (экстраполяции) исходной системы гладкой функцией - моделью, строящейся на решётчатой функции исследуемого и прогнозируемого экономического процесса. Рассмотрим проблемы выбора одной из альтернативных моделей экономического процесса. Задачи интерполяции и прогнозирования (экстраполяции) [91], [151], [164], [183]
Воспользуемся основными сведениями из многочленных приближений и теории аппроксимации (интерполяции и экстраполяции). Это позволяет приступить к поиску новой автоматической адаптивной процедуры подбора экстраполирующей функции, моделирующей экономический процесс наилучшим образом, так, чтобы модель и процесс были в наибольшей степени релевантны. Естественно, при этом процесс должен быть представлен временным рядом, а модель - непрерывной, гладкой, аналитической функцией.
Как известно [91], основная задача интерполяции состо ит в том, чтобы использовать некоторые узлы функции для получения приближающего многочлена, а затем выполнить аналитическую операцию над этим многочленом. Этот процесс может быть назван «аналитической заменой», так как функция, которую невозможно обработать, заменяется другой функцией, над которой уже можно выполнить аналитические операции.
Не останавливаясь на всех аспектах многочленных приближений, заметим лишь, что поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами. После того, как выбраны узлы решётчатой функции и класс моделирующей функции, надо выбрать некоторую меру их приближения или «согласия».
Сначала мы используем требование совпадения приближающей функции с заданными значениями в узловых точках. Однако известно [91], что применение такой точной интерполяции не всегда оправдано. В случае эмпирических функций может оказаться желательным сглаживание колебаний Y(Xm), вызванных случайными ошибками, например, посредством аппроксимации по методу наименьших квадратов. Современные же методы аппроксимации тяготеют к чебышёвскому критерию. Меры согласия в классических приближениях [183], [191]
Приведём упомянутые выше классические меры согласия реальных процессов и их моделей. Покажем, что модель, дающая наилучшее приближение, наилучшим же образом удовлетворяет сути исследуемого экономического процесса.
Математически напомним, что до сих пор мы пользовались известными критериями согласия: точное совпадение в узловых точках Ym-Y(Xm)=0, т = 1,М ; наименьшие квадраты с минимумом средней квадратич ной погрешности — У (Ym - Y(Xm )) - min,; М т=1 чебышёвское (минимаксное) приближение max(Ym - Y(Xm )) - min, т-1,М .
Сущность метода наименьших квадратов состоит в описании параметров модели, минимизирующих её отклонения от точек исходного временного ряда, т.е. в минимизации суммы квадратов отклонений между наблюдаемыми значениями процесса и модельными величинами. Если делается N измерений и измеренные значения Yi = Y+ЄІ (i = l,N) где Y - «истинное значение»; ЄІ -ошибки («шум») измерений, то метод наименьших квадратов утверждает, что наилучшее приближенное значение есть такое число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от Y 1=1 1\ i=i Этот метод эквивалентен предположению, что наилучшим 1 N приближением является среднее арифметическое YA = — Yj. N ы! Теорема Гаусса-Маркова утверждает, что если среднее по всем ЄІ и корреляция по всем ЄІ, / равны нулю, то эта оценка имеет наименьшую дисперсию из всех линейных оценок.
Этими критериями хорошо было пользоваться в случае интерполяции. В случае экстраполяции значения Y при X XN просто не существуют и известные критерии согласия не работают. Поэтому в исследовании было предложено получить и использовать новую меру согласия для экстраполяционного прогнозирования.
Циклические компоненты экономических процессов
С точки зрения последующей надёжности прогнозирования наиболее сложной оказывается проблема построения прогнозной модели для циклической компоненты. По самому определению циклы этой компоненты имеют разную продолжительность. К тому же трудно рассчитывать, что они будут повторяться в точности так же в дальнейшем, как это имеет место в случае сезонных колебаний. Среди различных методов прогнозирования цикличности наиболее эффективным, по-видимому, является подход на основе ARIMA-процесса Бокса-Дженкинса [131]. Этот подход представляет собой семейство линейных статистических моделей, основанных на нормальном распределении, которые позволяют имитировать поведение множества различных реальных временных рядов путем комбинирования процессов авторегрессии, процессов интегрирования и процессов «скользящего среднего» (ARIMA - сокращение от AutoRegressive Integrated Moving-Average).
Перечислим основные принципиальные особенности прогнозного ARZM/1-процесса. Базовой компонентой при этом является процесс авторегрессии скользящего среднего, который состоит из линейной функции от предыдущих наблюдений Yt-1, Yt-2. Прогнозируемые приращения вычисляются по формуле At= Yt - Yt-i =S+ p-( Yt-i - Yt-2) + st+ e-et-i где 8 - const, (p - коэффициент авторегрессии, t - случайный «шум», в - некоторая доля предыдущего случайного «шума» st-i. Пользователю прогнозного Лі?/МА-процесса полезно учитывать следующие его особенности:
1. Компонента авторегрессии в комбинации со «скользящей средней» обладает «памятью» о своём прошлом. Однако, эта «память» ограничена лишь двумя предшествующими наблюдениями Yt-i и Yt-2.
2. Компонента чистого интегрированного процесса состоит из компоненты 5, определяющей состояние дрейфа, плюс случайный шум st, подчиняющийся нормальному распределению.
Таким образом, прогнозная AJRZMA-МОДЄЛЬ является полезной в тех ситуациях, в которых нет тенденции возврата к долгосрочному среднему значению (это, например, индекс потребительских цен) или, наоборот, в случаях, в которых ряд стремится оставаться вблизи долгосрочного среднего значения (например, уровень безработицы или процентные ставки). При этом в первом из указанных случаев нестационарности долгосрочные прогнозы проявляют тенденции к бесконечному нарастанию или, наоборот, к монотонному снижению.
Предложенная в [88] классификация методов прогнозирования наиболее известные из этих методов разбивает на следующие 5 групп: 1. Методы, основанные на построении многофакторных корреляционно-регрессионных моделей; 2. Методы авторегрессии, учитывающие взаимосвязь членов временного ряда; 3. Методы, основанные на разложении временного ряда на компоненты: тренд, сезонные колебания, циклическая компонента, остаточная случайная составляющая и событийные составляющие динамики (структурные скачки); 4. Методы, позволяющие учесть неравнозначность исходных данных; 5. Методы прямой интерполяции, использующие трендовые модели.
К настоящему времени наибольшее распространение и применение в реальных расчётах получили методы третьей группы из перечисленных выше.
Сплайн-анализ на фазовых портретах
Аналитические возможности новых способов экономического анализа демонстрируются визуализацией циклической динамики рынка на фазовых сплайн-портретах. Фазовые портреты играют важную роль в математическом анализе. Фазовым портретом называется построенная на плоскости кривая, представляющая собой зависимость первой производной Y (t) от самой экономической переменной Y(t), время t играет роль параметра.
Отрезок прямой на фазовом портрете, находящийся над осью абсцисс и параллельный ей, на временном графике {(t, Y)} соответствует линейному росту переменной Y(t), так как первая производная положительна и постоянна, а переменная Y(t) линейно растёт вдоль оси абсцисс слева направо.
Количественные характеристики прогнозов. «Прогнозный прямоугольник»
Теперь следует системно рассмотреть критерии точности прогнозов. У точности и надёжности прогноза следует различать две взаимосвязанные характеристики - допустимую длину прогноза (длину горизонта будущего) и допустимую ошибку самого прогноза на этой длине. Назовём их комбинацию «прогнозным прямоугольником», выход прогнозной кривой за границы которого будет означать неудовлетворительность полученного прогноза и самого алгоритма прогнозирования.
Во введённом понятии «прогнозного прямоугольника» рассмотрим методы определения его границ. Определим одну сторону такого прямоугольника как временную сторону, на которой располагается длина горизонта будущего (период упреждения, горизонт прогноза, время прогноза), с гарантией, что прогноз внутри этого временного интервала не выходит за пределы коридора заданной погрешности. Вторую сторона прямоугольника назовём функциональной или модельной. Сначала о тех интересных фундаментальных результатах, которые были получены по одной стороне «прогнозного прямоугольника» - допустимой длине горизонта будущего, лежащей на временной оси. Время, в течение которого меняется объект разработки прогноза, ограничено. Многие авторы считают вообще неразумным задавать временные границы для прогнозов экономических процессов. Часто указывается, что для этого необходима информация об устойчивости тенденций протекания экономических процессов. В литературе рассматривается широкий спектр предложений волюнтаристского толка о соотношении времён опорного (отчётного) периода и горизонта прогноза.
Так, утверждается, что методы экстраполяции требуют наличия отчётной информации о прогнозируемом параметре объекта за время, в 2 и более раз превышающее длину прогнозируемого периода. Если ввести параметр
3 = длина отчётного периода/длина горизонта прогноза, и назвать одну единицу этого показателя «одним винтом», то это предложение состоит в том, что 3 2 «винтов». Существуют дру гие предложения, что длина отчётного периода в 2-3 раза должна превышать длину прогнозного периода, т.е. 3 = от 2-3 «винтов» и более.
Можно найти фразы о том, что методы экстраполяции, основанные на продлении тенденций прошлого и настоящего на будущий период, могут использоваться в прогнозировании лишь при длине горизонта будущего, не большем 1/3 опорного периода, что даёт значение параметра 3 3 «винта». Увеличение времени упреждения прогноза или длины горизонта будущего влечёт за собой увеличение степени неопределённости процессов перспективного развития. В то же время признаётся, что методы прогнозирования разделяются в зависимости от их возможностей получения результатов на разную глубину упреждения, иногда вводится понятие «мощности» конкретного метода и его «прогностической силы».
Недавно в одной из монографий [53] было показано, что длина горизонта будущего не может задаваться a priori, она зависит от статистических характеристик процесса У, в частности, его дисперсии D(Y). Этот логический результат можно было бы коротко описать следующими конструкциями. Если значение прогнозируемой переменной в отчётном периоде стабильно, дисперсия её равна нулю, то прогноз получается простым продолжением этого постоянного значения в горизонт прогноза и длина горизонта будущего будет равна длине отчётного периода: D(Y) = О; Tn = Xz-XN= Тотч = XN-Xi; 3=1 «винту».
При этом прогноз Y (X) не уклоняется от истинного значения Y(X) на величину, большую ±є. Хотя, естественно, и здесь некое уклонение будет иметь место из-за существующей имманентной неустойчивости процессов экономического роста.
Чем больше разброс значений экономического показателя относительного среднего значения, чем больше дисперсия, тем короче становится длина горизонта будущего тп (рис. 2.4). Ограничение времени прогнозирования вытекает из растущего влияния неполноты знаний, нелинейного роста неопределённости по мере продвижения в будущее, несоизмеримости длительности жизненных циклов экономических процессов, влияющих на поведение отдельного прогнозируемого экономического показателя.
Из всего этого следует интересный вывод: если исходный показатель Y(X) был тем или иным образом преобразован, например, алгоритмами усреднения, экспоненциального сглаживания, заменой регрессионной моделью, проведённой методом наименьших квадратов, и т.п. - Y (X), то это резко уменьшило его дисперсию D(Y ) « D(Y).
Динамика цен на бензин и их связь со статистическими характеристиками структурных экономических скачков
Для того, чтобы значительно изменились статистические свойства процесса, изменилась стационарность статистического описания, он должен содержать в себе событийные составляющие динамики. Инерционность динамики экономического поведения хорошо просматривается после структурных скачков или структурных изменений по затуханию начальных возмущений. Легко просчитать это затухание, особенно по изменению статистических моментов (математического ожидания, дисперсии, стандарта, коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса) и их производных, и определить ту характеристику, которая в синергетической парадигме называется «долговременной памя тыо». Сам структурный скачок выполняет роль входного еди ничного импульса, исследующего систему, представляемую «чёрным ящиком». Немало полезного содержат в себе первые производные этих моментов, подчёркивающие особенности и времена глобальных изменений статистического поведения.
Чтобы не загружать диссертационное исследование таблицами, занимающими много места, требующими специальных способов изготовления, громоздкими, не защищенными от ошибок, не отвечающими требованиям наглядности, используем богатые графические возможности современных информационных технологий и визуализационные возможности профессиональных систем компьютерной математики типа МАРЬЕ 9.5.
Аналогично на рис. 3.2 будет изображена суммарная динамика среднемесячного временного распределения налога на доходы физических лиц, поступающего в бюджет Ставропольского края в 2000-2004 гг. (вторая модельная временная серия).
На рис. 3.3-3.12 изобразим зависимость статистических параметров (М, D, V, А, Е) первой серии модельных временных рядов (цены на бензин в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг.) с им соответствующими фазовыми портретами. На рис. 3.13-3.22 покажем зависимость статистических параметров второй серии модельных временных рядов (распределение среднемесячной собираемости налогов на доходы физических лиц в бюджет Ставропольского края в 2000-2004 гг.) с соответствую С самого начала работы над темой мы предполагали, что цена на бензин в значительной мере характеризует сиюминутное или чуть запаздывающее состояние экономики, а собираемость налоговых поступлений характеризует её a posteriori, через значительный промежуток времени. В этой связи сравнение сиюминутного показателя и показателя, запаздывающего на некоторую постоянную времени, большую одного года, могло бы дать нам новые и интересные результаты.
При нахождении «прогнозируемости» налоговых поступлений в бюджеты всех уровней оригинальными рядами являются последовательности наблюдений за поступлениями средств от налога на доходы физических лиц за 2000-2004 гг., так что период наблюдения составляет 5 лет - с 01.01.2000 по 31.12.2004. Интервал между наблюдениями был взят равномерно распределённым и равным одному месяцу. К сожалению, налоговая реформа прошла после 1998 г., что не позволяет обнаружить статистические аномалии «большого дефолта» 1998 года и сравнить их с аномалиями обнаруженных ранее «малых дефолтов» 1996, 2001 и «среднего дефолта» 2003 гг.
Все данные о налоговых поступлениях в бюджет Ставропольского края (налог на доходы физических лиц) были получены от Правительства Ставропольского края, Министерства экономического развития и торговли Ставропольского края, его отдела «Макроэкономического анализа и финансовых балансов».
Там же при помощи пакета Forecast Expert стандартными подходами было проведено прогнозирование объёма налоговых поступлений в бюджет Ставропольского края на 2005 год, прогнозный объём составил 586.7 млн. руб.
Опишем аппарат и алгоритм нахождения текущих прогнозов как основы для получения длины горизонта будущего -показателя «прогнозируемости», который, в свою очередь, будет являться критерием при поиске наилучшего аппроксимирующего полинома для экстраполяции.
Текущим прогнозом будем называть период между Xs и Xt, на котором модельная зависимость Y(Xm) (Xs Хт Xt) не выходит из пределов зоны [-є+Ут; Ут+є], m-l,M, где Ут - значения прогнозируемого экономического процесса, задаваемые множеством точек (кортежей) (Хт, Ут), т = 1,М. Будем обозначать этот период через Тк, где к - номер текущего прогноза. Текущий прогноз с номером 1 (к = 1) отсчитывается от начальной точки временного ряда (Х\, У г).
