Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Финансовые операции и их характеристики 11
1.1. Детерминированные финансовые операции 13
1.2. Случайные финансовые операции 14
1.2.1. Финансовые операции в условиях неопределенности 14
1.2.2. Финансовые операции со случайными результатами 15
1.3. Расчетные схемы по кредитам КО 17
1.3.1. . Теоретические расчетные схемы по кредитам 17
1.3.2. Практические применяемые КО схемы по кредитам 19
Выводы к главе 1 21
ГЛАВА 2. Классические методы моделирования (математические основы) 22
2.1. Финансовый аналог бассейна с трубами 22
2.2. Сумма случайного числа случайных величин 25
2.3. Процентная ставка по кредиту как главный индикатор кредитного риска 26
2.4. ТМО как основа моделирования работы кредитного отдела банка 31
2.5. Сотрудничество и конкуренция фирм на рынке одного товара 35
Выводы к главе 2 41
ГЛАВА 3. Моделирование финансовых операций 42
3.1. Применение финансового аналога бассейна с трубами к моделированию финансовых операций 42
3.1.1. Корпоративное управление с минимизацией риска 42
3.1.2. Модель брокера 49
3.1.3. Межбанковские кредиты 54
3.1.4. Централизованный клиринг 61
3.1.5. Пример практического расчета 64
3.2. Моделирование работы кредитного отдела банка как СМО 69
3.2.1. Непрофильная КО как одноканальная СМО 74
3.2.2. Моделирование КО как СМО 75
3.3. Взаимодействие кредитных организаций на рынке кредитов 77
Выводы к главе 3 85
ГЛАВА 4. Синергия в финансах 86
4.1. Основные понятия, связанные с синергией 86
4.2. Синергия в финансах: проявление и поддержание 93
4.3. Автосинергизм в теории фирмы 97
4.4. Синергетические эффекты в торговле 102
Выводы к главе 4 110
Заключение 111
Библиография
- Финансовые операции в условиях неопределенности
- Процентная ставка по кредиту как главный индикатор кредитного риска
- Корпоративное управление с минимизацией риска
- Синергия в финансах: проявление и поддержание
Введение к работе
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Предлагаемое диссертационное исследование посвящено применению разработанных и ставших уже классическими методов и моделей к моделированию финансовых операций кредитной организации (КО) с целью поиска и обнаружения новых подходов, которые могут быть полезными в финансовой науке, и получения новых результатов в моделировании деятельности КО.
Постановка проблемы. Проанализировать классические методы и модели с целью их применения в финансовой науке для поиска и обнаружения новых подходов, которые могут быть полезными в ней, и получения новых результатов по работе КО.
Актуальность темы. Кредитные организации являются одними из основных распределителей денежных потоков общества, страны, а т.к. сфера услуг, оказываемых ими населению и предприятиям, в настоящее время активно развивается, то и деятельность КО становится все более разнообразной. В последние годы в России наблюдается быстрый рост потребительского кредитования, в том числе автокредитования, ипотечного кредитования и других кредитных продуктов. Улучшение работы банков и других КО станет гарантией и фундаментом дальнейшего успешного развития экономики нашей страны и роста благосостояния его граждан. В этой связи задача повышения эффективности функционирования российских банков и других кредитных организаций посредством принятия управленческих решений на основе грамотного экономико-математического моделирования их деятельности, в том числе тех финансовых операций, которыми они занимаются, является одной из ключевых для всех отраслей экономики России.
Степень разработанности выбранной темы. Тема достаточно глубоко разработана. Математическое моделирование финансовых операций КО
4 привлекает внимание многих экономистов-математиков со всего мира. К настоящему моменту накоплен значительный опыт зарубежных и отечественных исследований. Однако, несмотря на большое количество публикаций с результатами проведенных исследований, этого не достаточно для выработки общей теории моделирования деятельности КО. Основной причиной этого обстоятельства является сложность КО как системы, а именно, сложность создания такой модели, которая адекватно учитывала хотя бы основополагающие факторы деятельности КО (не говоря уже об учете всех влияющих факторах).
Цель и задачи диссертационного исследования. Цель диссертационного исследования состоит в анализе давно известных классических экономико-математических методов и моделей с целью их использования в финансовой науке в теории и на практике применительно к функционированию КО.
Предмет исследования - известные классические методы и модели, анализируемые с целью интерпретации и использования их в финансовой науке для обнаружения новых подходов, которые могут быть полезными в ней, и получения новых результатов применительно к работе КО.
Методологической основой исследования является методы и приемы теории вероятностей, теории массового обслуживания (ТМО) и теории игр.
Теоретической базой исследования явились труды отечественных и зарубежных ученых, публикации Интернета, находящиеся в открытом доступе, и периодической печати, посвященные функционированию КО и проблеме моделирования их деятельности, а также законодательство Российской Федерации, регулирующее деятельность КО.
Эта проблематика рассматривается: в трудах таких авторов как Роуз Питер С, Синки Дж. Ф., Усоскин В.М., Морозов А.Ю., Колчанов А.П., Ковалев В.В., Конюховский П.В., Ефимова О.В., Бланк И.А., Ермасова Н.Б и т.д.; в диссертациях, защищенных в последние годы, а именно:
Задача управления финансовыми ресурсами коммерческого банка: математическое моделирование, исследование и вычислительный эксперимент - Колчанов А.П., 2003. В работе автор решает сформулированную (в названии) задачу путем создания динамической оптимизационной модели (с непрерывным временем и постоянным запаздыванием) управления финансовыми ресурсами коммерческого банка и разработки конструктивных методов решения поставленной задачи. Также в работе сделан хороший обзор основных исследований по данной'проблематике.
Моделирование оптимальной процентной ставки кредитного контракта- — , Журавлев* Д.С., 2004*. Целью работы является определение оптимальной процентной ставки кредитного контракта. Достижение этой цели автор добивается путем разработки статической и динамической моделей определения оптимальной ссудной ставки в условиях, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются случайными функциями (при этом делается интересное допущение о том, что рыночная ставка коррелирует со стоимостью обеспечения).
Моделирование и совершенствование кредитной деятельности банка -Парфенов ДА., 2006. В работе решается задача разработки методики формирования ссудного портфеля КО, базирующейся на использовании предложенной экономико-математической модели.
Банковская конкуренция: содержание, особенности и совершенствование -Мизгулин Д.А., 2004. В работе раскрыта специфика банковской конкуренции и дана характеристика конкурентным отношениям, а также сформулированы предложения совершенствованию государственной политики в области банковской конкуренции.
Математическое моделирование процесса принятия решений о выдаче кредитов в условиях риска - Трутнев Д.Н., 2004. Целью работы является разработка методики для поддержки принятия решений по условиям выдачи
кредитов юридическим лицам на основе комплексного учета кредитного риска заемщика, риска ликвидности банка и динамики изменения других влияющих факторов и последствий принимаемых решений.
Массовость этих и многих других научных трудов, различных инструкций, создаваемых кредитными организациями, вызвано многообразием кредитных продуктов, разрабатываемых и рекламируемых банками в последние годы.
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 118 машинописных страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, и библиографии, включающей 73 источника.
Научная новизна диссертационного исследования. В ходе работы над диссертацией были получены следующие научные результаты:
проведен анализ классических методов моделирования и моделей (известных и разработанных в других областях экономической науки) под углом их использования в финансовой науке, применительно к функционированию кредитных организаций и банков;
выведены новые формулы, которые могут быть полезными в финансовой науке для обнаружения новых подходов к моделированию в ней и получения научных результатов, в частности, в анализе случайных процессов, связанных с потоками заявок на кредиты (особенно для определения характеристик этих случайных процессов);
проанализировано и подтверждено использование ТМО для применимости. этой теории к анализу работы КО как системы массового обслуживания (СМО);
проанализировано и подтверждено использование идей и методов классической экономико-математической модели сотрудничества и конкуренции фирм на рынке одного товара для анализа подобного взаимодействия КО на рынке кредитов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическое значение работы состоит в использовании известных классических экономико-
7 математических моделей для анализа функционирования кредитных организаций. Практическая значимость диссертационной работы состоит в применении полученных формул и выводов теоретического исследования для анализа работы кредитных организаций. Предложенные модели и конструкции экономико-математического моделирования могут быть использованы кредитными организациями при доработке (с учетом индивидуальных особенностей ' их функционирования) существующей методологии моделирования и анализа своей деятельности, а также применения в дальнейшем для данных целей классических проверенных временем экономико-математических методов и приемов моделирования.
Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в научных журналах и других периодических изданиях, докладывались на научных конференциях и семинарах ГУУ в 2004-2007гг.: на 20' и 21 Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Реформы в России и проблемы управления» (2005, 2006гг.) и на 12-ом Всероссийском студенческом семинаре «Проблемы управления» (2004г.). По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, общим объемом 1,4 п.л.
2.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.
Во введении дана общая характеристика работы: приведено обоснование актуальности рассматриваемой проблемы, определены цель и задачи исследования, раскрыта методологическая основа и теоретическая база исследования, определена научная новизна и практическая значимость работы.
В главе 1 дан обзор финансовых операций и их характеристик. Также в этой главе описаны схемы расчетов по выдаваемым КО кредитам и проведен их сравнительный анализ.
В главе 2 представлены:
модель «Финансовый аналог бассейна с трубами», полученная путем интерпретации известной задачи о бассейне у которого по одной трубе вода втекает, а по другой - вытекает..., к функционированию КО. В результате использования теоретико-вероятностного аппарата выведена формула расчета вероятности «опустошения бассейна», которая может быть применены и для анализа работы КО.
теорема «О сумме случайного числа случайных величин», в которой вычисляются характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины, являющейся суммой случайного числа случайных величин, эта теорема в дальнейшем используется для вычисления характеристик случайного потока заявок на кредиты, направляемых в КО. Выведенные при доказательстве этой теоремы формулы основных характеристик были доказана ранее В. Феллером, а формула математического ожидания известна в теории вероятностей как тождество Вальда. В диссертационной работе также приведено доказательство этой теоремы, однако нами формулы математического ожидания и дисперсии выведены в более общих предположениях.
модель, подробно описанная в дипломной работы диссертанта 2004 года, в ходе которой происходит моделирование процентной ставки по кредиту, дано экономическое обоснование постулата, что процентную ставку по кредиту стоит рассматривать как один из главных индикаторов кредитного риска, и найдены возможные значения оптимальной (с точки зрения привлекательности кредитору) структуры капитала предприятия - потенциального заемщика;
также в этой главе даны математические основы из ТМО и теории игр, используемые в дальнейшем содержании диссертации.
Финансовые операции в условиях неопределенности
Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Неопределенность -более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет.
Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.
Подсчет доходности вероятностных операций в условиях неопределенности. В детерминированном анализе доходность d финансовой операции определяется из уравнения К = H(l+d), где Н, К - денежные оценки соответственно начала операции (затраты, инвестиции) и конца операции (доход, наращенный капитал). Вообще говоря, эти величины также могут быть неопределенны. Однако начальная оценка чаще все же точно известна. Неопределенность конечной оценки может быть двоякой [50]: не полностью известна ее величина, но момент окончания операции известен точно; или же известна полностью ее величина, но окончиться операция может в случайный момент. Подсчет доходности операции в процентах годовых в этих двух случаях производится по-разному. В первом случае вместо конечной оценки используется ее математическое ожидание. В случае же, когда начальная оценка операции не может быть точно определена, доходность операции, например, может быть рассчитана как математическое ожидание доходностей вариантов операции с учетом их вероятностей.
Не будем подробно рассматривать эти понятия, а также ситуации, возникаемые в условиях разной степени неопределенности, т.к. они хорошо изложены в книгах [50], [31].
Финансовые операции со случайными результатами Риск отдельной операции. Для того чтобы количественно оценить рискованность операции (а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции), припишем ее исходам вероятности р} и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе, как q,. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции. Согласно теории вероятностей случайная величина будет характеризоваться следующими величинами [11]: математическим ожиданием св. Q (средним ожидаемым доходом), - дисперсией св. Q и среднее квадратическим отклонением с.в: Q, (т.е. риском операции).
Показатели риска в виде отношений. Если средства ЛПР равны С, то при превышении убытков Y над С возникает реальный риск разорения. Для предотвращения этого отношение К] = Y/C, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом ,. Операции, для которых этот коэффициент превышает , считают особо рискованными (эти и другие общеизвестные сведения см. в [50], [31]). Часто учитывают также вероятность/? убытков Y и тогда рассматривают коэффициент риска К2 = pY/C, который ограничивают другим числом , (ясно, что ). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения C/Y и C/(pY), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами 1/и1/&. Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению: Собственные средства Активы, взвешенные с учетом риска
Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности - риски потери соответствующего актива. Подобные коэффициенты применяются, например, в маржинальной торговли и в финансовом анализе деятельности банков, нормативні (см. разделы 3.1.2. и 3.1.3.).
Кредитный и депозитный риски. Кредитный риск представляет собой вероятность невозврата в срок взятого займа (кредита) (подробнее см. описание в разделе 3.1.1.) Депозитным же риском называется вероятность досрочного отзыва депозита. Очевидно, что депозитный риск нарушает нормальную работу банка, заставляя его перегруппировать свои активы по-другому, что всегда чревато потерями. Массовый отток депозитов вполне может привести к банкротству банка.
В общем случае депозитный риск зависит от длины анализируемого периода, динамики изъятия вкладов и многих других обстоятельств.
Пример. [50] Пусть в банке много мелких клиентов (как в Сбербанке), и вероятность отзыва депозита для каждого из них примерно одна и та ж. Тогда по формуле Муавра-Лапласа Р(к1 к к2)яф[(к2-пр)/ф д]-Ф[(к1-пр)/л1гщ], где п - число клиентов; р - вероятность отзыва; q = 1-р; кх, к2 - границы числа отзываемых вкладов; Ф - функция Лапласа. Таким образом, при большом числе независимых примерно одинаковых клиентов отток депозитов можно более или менее уверенно прогнозировать.
Процентная ставка по кредиту как главный индикатор кредитного риска
Далее предложена модель оценки потенциального заемщика и ограничения кредитного риска КО путем установления для предприятия - заемщика кредитной ставки на определенном уровне (более подробно изложенная в [16]).
Моделирование кредитной ставки. Банк перед тем, как выдать кредит проводит анализ «финансового» положения потенциального ссудополучателя и его гипотетического кредитного проекта. Это обуславливается необходимостью знать, какой кредитный риск (в случае выдачи ссуды) возьмет на себя банк.
Основные же параметры кредитного договора обычно согласуются с ссудополучателем на последней стадии рассмотрения вопроса о предоставлении займа. Имеются в виду такие показатели, как ставка и срок кредитования.
Процентную ставку по кредиту можно назвать своего рода индикатором уровня кредитного риска. Срок же будем рассматривать в качестве одного из факторов, влияющих на кредитный риск в целом по проекту.
Поэтому остановимся подробнее на процентной ставке по кредиту и попробуем предложить объективный вариант формирования кредитной ставки.
Рассмотрим такую ситуацию: банк осознал (предварительно проанализировав ссудополучателя), что можно данному претенденту-ссудополучателю выдать кредит. Остается назначить кредитную ставку, в которой непременно надо учесть кредитный риск проекта. Посмотрим, какие исходы (для банка) получаются, если выдать кредит.
Опуская промежуточные исходы, остановимся на двух исходах-экстремумах: о ссудополучатель полностью расплачивается и по основному долгу и по процентам; о ссудополучатель не расплачивается ни по основному долгу, ни по процентам и банк не возвращает кредит. Делаем вывод, что процентная ставка зависит от структуры капитала предприятия.
Экономическое обоснование модели. Этот вывод удалось сделать благодаря нашему предположению, что риск пропорционален коэффициенту заемного финансирования. То, что существует четкая связь между этими понятиями неоспоримо, т.к. видно исходя из формулы коэффициента заемного финансирования, что с увеличением СК риск уменьшается и, наоборот, с уменьшением СК риск возрастает. Проследим за влиянием ЗК на риск: с увеличением ЗК риск тоже увеличивается, но не столь линейно, как в случае с его зависимостью от СК (и наоборот с уменьшением ЗК риск уменьшается). Какие еще доводы в поддержку нашего предположения можно представить?
Первым аргументом в пользу правильности нашего предположения служит «Модель брокера» (из Раздела 3.1.2.) и использование в ней в качестве основного показателя риска уровня маржи (формула которого аналогична коэффициенту заемного финансирования).
Вторым аргументом является применение модели «Финансового бассейна с трубами» в Разделе 3.1.3. к межбанковским кредитам (МБК) и выводы, сделанные на основе анализа основных нормативов ЦБ (о взаимосвязи этих нормативов с коэффициентом заемного финансирования).
Уместно вспомнить и о других значимых показателях (см. пункт «Оценка кредитного риска» Раздела З.1.1.), которые стоит учитывать при оценке кредитного риска, таких как: ? достаточности (относительно предполагаемого займа) и ликвидности обеспечения; ? стабильности финансовых потоков; - т.к. нам это может помочь с пониманием экономического смысла коэффициента «влияния» кредитного риска к.
Общий показатель, характеризующий обеспечение (достаточность и ликвидность) возьмем за основу при расчете этого коэффициента «влияния» к.
Так при низком уровне риска, т.е. при достаточном (для покрытия займа) размере высоко ликвидного обеспечения, коэффициент «влияния» к значительно отразится на риске невозврата займа Р, сведя влияние коэффициента заемного финансирования, а, следовательно, и сам кредитный риск к минимуму.
Но даже при высоком рейтинге обеспечения риск остается, т.к. принятие решения о выдаче кредита всегда должно базироваться на достоинствах самого финансового проекта (прибыльности), а не на привлекательности обеспечения. Если сама основа кредитной сделки связана с повышенным риском, было бы большой ошибкой выдать кредит под хорошее обеспечение, использовав его как источник погашения долга.
К тому же на равных долях в коэффициенте «влияния» (по влиянию на риск невозврата займа) может учитываться последний из неохваченных показателей по нашей концепции, уровень стабильности финансовых потоков заемщика.
Если рейтинг обеспечения может быть определен с высокой степенью объективно, то с определением алгоритма расчета показателя стабильности финансовых потоков заемщика могут возникнуть трудности, т.к. он достаточно субъективен и неоднозначен. Поэтому для получения этого показателя придется воспользоваться либо экспертными оценками, либо анализировать эти финансовые потоки (например, устанавливая связи между расходами и доходами и сталкиваясь с проблемой оценки вероятностей ретроспективных финансовых потоков).
Помимо основных показателей (учтенных выше), воздействующих на кредитный риск, в коэффициенте «влияния» должны участвовать и другие значимые факторы. Оптимальная структура капитала заемщика. Запишем эффект финансового рычага (без учета налогообложения) для предприятия, которое несет расходы по обслуживанию долга по одной кредитной ставке (полный вывод со всеми выкладками приведен в [17]):
Корпоративное управление с минимизацией риска
Фирма может брать займы у других фирм, банков, в том числе сама формировать заемный капитал путем выпуска собственных облигаций. Фирма (корпорация) называется левериджной, если она прибегает к увеличению заемного капитала для повышения своей рентабельности, т.е. использует финансовый леверидж (рычаг). Это понятие ввели два нобелевских лауреата Ф. Модильяни и М. Миллер в своих знаменитых работах по управлению структурой капитала фирмы (см. [56]). Разумеется, увеличение доли заемного капитала не проходит бесследно: это ведет к увеличению риска банкротства фирмы. Непосредственно ниже мы анализируем процедуру корпоративного управления с минимизацией риска банкротства фирмы (корпорации).
Оценка кредитного риска. Кредитный риск (риск контрагента) представляет собой риск нарушения должником условий договора или иного способа невыполнения обязательств. Такой риск возникает в тех областях деятельности, где успех зависит от результатов работы заемщика, контрагента или эмитента. Соответственно, управление кредитным риском основывается на выявлении причин невозможности или нежелания выполнять обязательства и определении методов снижения рисков.
Структура кредитного риска-неоднородна. Например, в [67] выделяются 3 основных вида кредитных рисков (их состав приведен в таблице З.1.).
В одной операции может быть несколько объектов и видов кредитного риска.
Для КО наиболее важным и актуальным представляется кредитный риск (в. силу основного направления деятельности КО), возникающий в отношении ссудозаемщика, поэтому рассмотрим его.
Задача ЛПР - разложить этот риск на составляющие, т.е. на те самые факторы, которые создают невозможность или нежелание заемщика расплатиться по кредиту. Как правило, все проблемы с кредитами возникают в случае крупных финансовых потерь заемщика. К ним относятся (согласно [67]): 1. Риски контрагентов (кредиторов и дебиторов), когда ссудополучатель несет потери по вине поставщиков, либо покупателей его продукции; 2. Ценовые риски, когда финансовые потери возникают в результате понижения цены на продукцию, либо повышения цены на сырье; 3. Производственные риски. Риски сбоя в самом производственном процессе могут потребовать значительных дополнительных затрат, привести к невыполнению договорных обязательств; 4. Курсовой риск. Если предприятие работает в рублях, но берет валютный кредит, то при росте курса возможны финансовые проблемы.
Однако значительная часть кредитного риска выявляется при оценке самого кредитного проекта. Например: 5. Риски ликвидности обеспечения. При возникновении необходимости продать обеспечение, существует риск, что залог окажется неликвидным, либо продажа его затянется, либо цена продажи окажется ниже; 6. Риски недостаточности обеспечения для покрытия суммы долга, процентов, пени и судебных издержек; 7. Риски неправильного оформления залога , 8. Увеличение риска при увеличении срока ссуды. Означенные выше риски помогают понять одни из основных причин возникновения составляющих частей кредитного риска, но перечень факторов их возникновения может быть продолжен.
Далее на этапе оценки рисков составляются кредитные рейтинги (более подробно см. [67]).
Большинство российских банков рассматривают показатели обеспеченности собственными средствами, ликвидности и рентабельности. Различие состоит в количестве индикаторов, соответствующих одному показателю, и удельном весе показателей при формировании общей оценки. В ряде банков большое внимание уделяется параметрам клиентского бизнеса: оборачиваемости различных видов активов. В одних банках составляется общий кредитный рейтинг, в других отдельно рейтингуется заемщик, отдельно -обеспечение. Количество показателей достаточно большое - от 10 и более.
Синергия в финансах: проявление и поддержание
Сумма финансовых операций. Напомним, что операция (о) называется финансовой (ф), если ее начало и конец имеют денежную оценку и цель. Ф.о. почти всегда проводятся в условиях неопределенности: даже если начало имеет определенную оценку, конец операции такой определенной оценки почти никогда не имеет (например, из-за неопределенности оценки инфляции). Поэтому с абстрактной точки зрения ф.о. можно отождествить со случайной (с) величиной (в) (например, со св. приносимого ею дохода). Для нас самыми важными характеристиками ф.о., например св. X, являются средний ожидаемый доход или математическое ожидание М[Х] и риск или среднее квадратическое отклонение j[X] = aY. Другие обозначения и терминология общеприняты. Изучим сначала, каковы доход и риск суммы двух операций. Предложение 1. Всегда М[Х + Г] = М[Х] + M[Y]; если св. X,Y не связаны прямой пропорциональной зависимостью, то о\Х + У] сг[Х] + т[7].
Доказательство. Первая формула хорошо известна, относительно второй заметим, что D[X + Y] = D[X] + 2ст[Х] a[Y] kxl + D[Y], т.е. a2[X+Y] = cr2[X]+2 j[X]- j[Y]-kX} + a2[Y] и если X,Y не связаны прямой, пропорциональной зависимостью, то „ 1 и тогда cr2[X + Y] cr2[X] + 2 7[X] Cr[Y] + j2[Y], а отсюда уже следует, что о\Х + Y] ст[Х] + сг[у], что и требовалось доказать.
Напомним, что наиболее адекватным отражением системы предпочтений индивида к доходу и риску операций является взвешивающая формула (p(Q) = cp{Q,r), которая приписывает операции Q число p(Q). В роли аргументов функции обычно выступают средний ожидаемый доход Q, который для краткости будем обозначать q, и риск г операции. При этом, исходя из того, что средний ожидаемый доход приветствуется, а риск нормальный индивид недолюбливает, имеем следующие свойства взвешивающей формулы: Х)ср непрерывна; 2) 0Д 0. dq дг
Предположим, что затраты на проведение 1-й операции равны Мх, 2-й операции - М2, на проведение обеих операций - М = Мх + М2. Если на / -ю операцию выделить xMt, то операция Q: пройдет с интенсивностью х и результат тоже умножится на х. Попробуем подобрать х (попросту говоря, распределим средства, выделяемые на проведение обеих операций) так чтобы взвешивающая формула ср на сумме операций Qx = xQ} +(1- x)Q2 приняла бы максимальное значение, тем самым будем решать задачу (p{q,r)— - max q = a + Q2,r = cr[Qx} Так как q постоянно, а ср по г убывает, то надо найти такое х, при котором G[QX] минимально, т.е. решить задачу D[Qx]— min.
Однако D[Qx] = x2D[Qx] + 2KxU+(\-x)2D[Q2] = х2Ц+2КхП+(1-x)2D2, где DX,D2 - дисперсии св. QX,Q2, а КхП есть корреляционный момент св. xQx, (1 - x)Q2. Этот корреляционный момент легко вычислить Кх12 = х(1 - х)Кп, где Ки - корреляционный момент ев Qv Q2.
Итак, имеем D[Qx] = x2Dx +2x(l-х)Ки+(1-x)2D2, где D[QX],D[Q2],KX2 -константы, не зависящие от х. Для нахождения минимума найдем производную по х и приравняем ее к нулю: dD\Qx] dx
Объединение двух поставщиков товара. Рассмотрим работу идеального склада. Такой склад отпускает своим клиентам запасенный товар (сырье, полуфабрикаты т.п.) равномерно, с постоянной скоростью М ед. товара за ед. времени. Издержки хранения ед. запасов в течение ед. времени обозначим h. Склад работает циклами. В начале цикла на склад привозят запасы объемом Q.
При этом склад несет так называемые накладные расходы К, не зависящие от объема Q (эти расходы состоят из почтово-телеграфных расходов, командировочных, затрат на аренду транспортного средства и оплату труда транспортных работников и т.п.). По мере уменьшения запасов, в нужный момент, начинается организация новой поставки запасов на склад. Очередная партия запасов прибывает в момент полного исчерпания запасов. Но считается, что разгрузка этой партии происходит практически мгновенно.
Задача состоит в минимизации средних расходов склада за ед. времени. При объеме партии поставки Q длительность цикла равна QIM, значит средние за ед. времени накладные расходы равны KM/Q. Учтем, что средняя величина запаса на складе равна Q/2, следовательно, средние издержки хранения за ед. времени равны hQ/2. Таким образом, суммарные средние издержки склада за ед. времени равны G = KMIQ + hQI2. Для нахождения минимума найдем производную и приравняем ее нулю: G = KM/Q2 +h/2 = 0. Получим Q = 2KM/h. При этом значении 2-я производная G" = 2KM/Q О, так что это действительно минимум. Формула Q = 42KMIh называется формулой Уилсона (см., например, [47]). Минимальные издержки средние издержки за ед. времени равны G=42KMh.
