Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое и информационное обеспечение задач устойчивости экономических систем 30
1.1. Введение в экономическую теорию государственного регулирования макросистем 30
1.2. Балансовые модели анализа состояния и устойчивости макроэкономических систем 50
1.3. Проблема обращения матрицы капитальных коэффициентов 73
2. Теоретические основы анализа и управления устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем 85
2.1. Методы анализа и оптимизации динамических свойств сложных экономических систем 85
2.2. Математические методы анализа собственных динамических свойств экономических систем 116
2.3. Избирательное управление динамическими свойствами экономических систем 129
2.4. Моделирование конечного спроса при оценке устойчивости экономического развития и демпфирования бизнес-циклов макросистем 137
3. Исследования динамических свойств сложных экономических систем 158
3.1. Состояние проблемы 158
3.2. Собственные динамические свойства идеализированной трехсекторной экономической системы 169
3.3. Управление статической устойчивостью и динамическими свойствами сложных экономических систем 186
4. Динамические свойства и статическая устойчивость предприятия .. 201
4.1. Методика разработки матричной модели план предприятия для решения задач устойчивости 201
4.2. Анализ динамических свойств и статической устойчивости предприятия 219
5. Принципы построения программного комплекса СТАТУС 235
5.1. Общая характеристика вычислительного комплекса 235
5.2. Методика и алгоритм формирования математической модели экономической системы 239
5.3. Подсистема анализа собственных динамических свойств экономических систем 243
5.4. Подсистема численной оптимизации значений варьируемых параметров системы 248
5.5. Алгоритм и подсистема расчета переходных процессов 255
Выводы 263
Литература 268
- Балансовые модели анализа состояния и устойчивости макроэкономических систем
- Математические методы анализа собственных динамических свойств экономических систем
- Собственные динамические свойства идеализированной трехсекторной экономической системы
- Анализ динамических свойств и статической устойчивости предприятия
Введение к работе
В настоящее время Россия медленно выходит из пережитого глубокого системного кризиса, затронувшего все сферы экономики страны. Несмотря на негативное влияние кризиса на экономику любой страны, это явление следует рассматривать как вполне закономерное, а не аномальное, в динамике развития экономической системы.
Текущая динамика макроэкономических процессов характеризуется различного рода шоками спроса, предложения и другими, представляющими собой основные экономические механизмы, которые вызывают изменения объема совокупного выпуска и уровня безработицы. Объективные противоречия, свойственные любой саморазвивающейся системе, на определенном этапе достигают критической точки, выливаясь в циклический, структурный, финансовый, биржевой, валютный и пр. кризис экономического развития. Амплитуды и частоты деловых циклов, последствия их воздействия на экономические системы существенным образом зависят от структуры последних, в том числе от особенностей рынка рабочей силы, процентных ставок на кредитном рынке, степени мобильности инвестиционных ресурсов и других факторов.
Вероятно, одними из стержневых вопросов макроэкономической теории являются следующие:
Какие из возможных причин деловых циклов обусловливают фактическое низкочастотное самораскачивание в той или иной системе?
Как объяснить тот факт, что все основные макроэкономические показатели подвержены циклическим изменениям и когда именно во времени они проходят периоды подъема и спада?
По этому поводу существуют самые различные теории, которые по-разному объясняют циклы. При этом не существует ни одного теоретического или эмпирического исследования, в котором были бы
5 сформулированы однозначные суждения по важнейшим проблемам теории экономического цикла. Определенными преимуществами здесь обладает подход, связанный с применением алгебраических методов к динамической модели МОБ и позволяющий формализованное исследование устойчивости экономических систем и системных колебаний по корням характеристического уравнения. Он позволяет единообразно изучать экономические колебания самых различных регионов и стран, значительно отличающиеся по регулярности, длительности и причинам возникновения. Другим приемом теоретического изучения явлений цикличности на базе экономико-математических методов является гармонический анализ. Подтверждение сказанному можно найти в работе [142], являющейся первой серьезной попыткой выделения общего в экономических циклах:
"Экономические циклы - это тип колебаний в совокупной экономической активности наций, организующих свою деятельность преимущественно в форме частного предпринимательства; цикл состоит из периода подъема, наблюдаемого одновременно во многих видах экономической деятельности, который сменяется также общим для всей экономики периодом спада, сокращением производства с последующим оживлением, переходящим в фазу подъема следующего цикла; такая смена фаз цикла является повторяющейся, но не обязательно периодической; продолжительность экономических циклов колеблется от одного года до 10 -12 лет, при этом нельзя выделить из них более короткие циклы сходного типа и равной амплитуды".
Таким образом, деловые циклы представляют собой синхронные отклонения многих важных макроэкономических переменных от их тренда. Несмотря на то, что циклы в разных странах и в различные исторические периоды не похожи друг на друга по природе и движущим механизмам, постановка задачи их системного исследования и управления ими имеет реальный практический смысл в рамках дифференциальных уравнений балансовых моделей.
Экономист-исследователь должен рассматривать основные фазы цикла
(кризис, депрессия, оживление, подъем) как сигналы целенаправленного
регулирования системы, направленного на принятие конкретных
управленческих решений. Например, кризис выявляет основные
составляющие предыстории процесса, обнаруживает неэффективность функционирования отдельных звеньев хозяйственного механизма, структурные диспропорции в сфере производства, патологии взаимосвязей в сфере реализации, нарушения в функционировании денежно-кредитной и финансовой системах, колебания потребительского спроса и предложения, взаимовлияния отраслей и сфер хозяйствования. При этом возникает естественный интерес в получении численных оценок происходящих экономических и финансовых изменений. Почему, например, тарифы на электроэнергию выросли именно на такую-то величину, и что произойдет, если эту величину поменять? Что станет с выпуском продукции, развитием внешнеэкономических связей, инфляцией, если повысить заработную плату работникам бюджетной сферы? Существует ли оптимальный для российской экономики уровень учетной ставки Центрального банка, уровень налога на добавленную стоимость? Как изменения показателей денежной массы отражаются на устойчивости экономического развития? Каков оптимальный уровень показателя экономического роста для конкретной страны?
Макроэкономические системы относятся к числу наиболее сложных и
высокоразмерных из известных человечеству объектов как с точки зрения
анализа и моделирования, так и с точки зрения управления ими. Экономика
страны является сложной взаимосвязанной динамической системой.
Особенностью внутренней организации рассматриваемой системы является
ее полиструктурность, т.е. взаимопереплетение разнокачественных
(технологических, биологических и социальных; управляемых и стихийных)
подсистем. Последние образуют несколько связанных между собой
иерархических структур - производственно-технологических,
территориальных, институциональных, социальных и др. Любой элемент
7 экономической системы включает человека с его непредсказуемостью и, следовательно, содержит способность к саморазвитию, т.е. обладает внутренними, т.е. собственными динамическими свойствами. Поэтому изменяющаяся внутренняя организация элемента при заданных «входах» влияет на структуру и величины выходных показателей, а при фиксированных значениях «выходов» определяет требуемые входные характеристики. Управление народным хозяйством как сложной системой, объединяющей множество объектов и субъектов, связей и аспектов, требует разработки научного инструментария [29].
При анализе, планировании и управлении в макроэкономике, в ходе поиска оптимальных вариантов ее развития важно предвидеть реальные последствия выбранного решения и предполагаемый экономический эффект от внедрения соответствующих мероприятий. Поэтому перед осуществлением управляющего воздействия на экономическую систему целесообразно предварительно исследовать его эффективность с помощью эксперимента. Однако возможности экспериментального изучения проблем ограничены по целому ряду соображений инженерно - экономического и социального плана. Реальный экономический объект по своей сложности, объясняемой, в том числе и наличием человеческого фактора, превосходит многие объекты физической, химической или технической природы. Любая экономическая деятельность связана с людьми, на которых опасно экспериментировать, так как это в ряде случаев может повлечь необратимые либо труднообратимые нежелательные процессы и тенденции. Кроме того, в условиях эксперимента человек не обязательно поведет себя адекватно реальной действительности. Натурный экономический эксперимент также потребует больших затрат и времени, что, безусловно, сведет на нет ожидаемый эффект.
Отличается исследование объектов макроэкономической природы и более широким целевым предназначением - не только наблюдение, но также анализ и прогнозирование.
Имея в виду указанные особенности макроэкономических процессов и систем, исследователь составляет мысленные сценарии их развития, логические модели, привлекает на помощь математические расчеты, значимость которых здесь особенно велика.
Поэтому научным инструментом, позволяющим анализировать и прогнозировать поведение экономической системы, является формализованная экономико-математическая модель.
Именно метод математического моделирования и служит средством систематического изучения функционирования экономики страны или региона, своевременного выявления негативных тенденций в развитии народного хозяйства в целом либо отдельной отрасли, поиска причин их возникновения и путей устранения.
Объектом макроэкономического анализа является наблюдаемый в макросистеме экономический процесс. Если описать его поведение с помощью систем уравнений, неравенств, соотношений между параметрами, то получим экономико-математическую модель.
Экономико-математическая модель на основе заранее заданных параметров, показателей и искомых величин, связанных между собой математическими зависимостями, характеризует состояние управляемого экономического объекта (процесса). Она позволяет рассмотреть возможные качественные свойства решений возникающих задач анализа и оптимизации, предложить направления их исследования.
Понятно, что все свойства моделируемого экономического процесса невозможно воплотить в модели, так как модель - это только аналог системы, отражающий ее наиболее существенные с позиций анализа и управления свойства.
Изучение субъектом управления аналога реального объекта расширяет возможности поиска наиболее оптимальных путей экономического развития особенно в условиях компьютеризации, позволяющей производить многовариантные модельные расчеты. При этом
9 модельные эксперименты не оказывают влияния на параллельный ход функционирования экономической системы (процесса), как это имеет место при проведении натурного эксперимента.
Основными переменными, с помощью которых описывается экономическая система, являются объемы производства и потребления товаров и оказываемых услуг, цены продажи и покупки товаров и услуг, уровни дохода и занятости по отраслям и регионам, а также уровни капиталовложений (приростные фондоемкости) в новое производство или объемы экспорта и импорта. Параметры, входящие в систему уравнений, представляют собой режимно-структурные характеристики и формируют условия функционирования экономической системы. Это данные о количестве природных и трудовых ресурсов, об уровне спроса населения, об уровне государственных доходов и расходов. Параметры с течением времени могут меняться, т.к. на производство влияет технический прогресс, изменениям также подвержены предпочтения и вкусы людей, экология и т.д. Количественные взаимосвязи типа "затраты - выпуск", "запас - поток" определяются набором разнообразных технологических вариантов, изучение и анализ которых позволяет прогнозировать агрегированное поведение экономической системы.
Однако экономико-математическое моделирование также встречает ряд трудностей, связанных именно с динамичностью социально-экономических процессов, которая проявляется в вышеуказанном изменении их параметров, а иногда и структуры системы. Главным же требованием к экономико-математическим моделям является требование адекватности моделируемого процесса реальной действительности. Динамичность не всегда поддается адекватному воспроизведению в математической модели, поскольку трудно выявить наиболее существенные свойства объекта управления. Кроме того, одно и то же свойство системы может быть существенным для одного момента времени и несущественным для другого. Поведение экономической системы в значительной мере подвержено
10 влиянию субъективного фактора (правительственное решение, отсутствие единой экономической политики и т.п.), а также находится в зависимости от внешних условий (кризис на мировом финансовом рынке, падение мировых цен на нефть и т.п.). Эти связи и взаимодействия относятся к слабо моделируемым граничным условиям и переходным процессам.
Свойствами непрерывности и динамичности обладают, таким образом, как сами объекты экономико-математического моделирования, так и условия функционирования моделируемого объекта. Эти условия могут за прогнозируемый период сильно измениться, и поведение объекта будет совершенно отличаться от предсказанного моделью.
Так, например, по прогнозу базового сценария В. Леонтьева [68], предполагающего сохранение текущих (1970 г.) тенденций в экономике, "три развитых региона - Советский Союз, Восточная Европа и Северная Америка -имеют в 2000г. больше всего зерна на душу населения для прямого и косвенного пищевого потребления". Известно, что в отношении Советского Союза и стран Восточной Европы прогноз не осуществился в силу кардинально поменявшихся динамических тенденций.
Указанные недостатки не отрицают перспектив применения моделирования в экономике, а указывают на необходимость более глубокой проработки вопросов, связанных с математическим анализом переходных процессов. Приоритетное значение при этом имеет достоверность и своевременность обновления математико-статистической базы исследований, что требует большого напряжения и четкой координации работы органов государственной статистики.
Экономико-математические модели чрезвычайно разнообразны по широте охвата, степени детализации, прикладному использованию и ряду других параметров.
Различают модели отдельных географических регионов - Московская область, Восточная Европа, Северный Кавказ, город Токио, модели экономики России в целом, модели развивающихся промышленных
комплексов, отдельных предприятий. При управлении производством в частном секторе, либо отдельным технологическим процессом чаще всего используются детализированные модели с небольшим охватом. Такие модели могут содержать наличие большого количества переменных (одна переменная - для характеристики качества красного кирпича, другая переменная - для белого кирпича и т.п.) и использоваться специалистами при изучении рынка. Для характеристики объема производства строительных материалов все их виды (кирпич, дерево, цемент, трубы и пр.) могут быть объединены в высокоагрегированную модель и представлены общей переменной годового (квартального, месячного и пр.) объема реализации в стоимостном выражении. Размер модели, характеризуемый общим количеством содержащихся в ней уравнений и параметров, зависит от величины объекта (регион, производственный комплекс, отрасль) и уровня детализации его отображения.
Важным источником информации и инструментом оперативно-календарного планирования является техпроминплан предприятия, основанный на методологии межотраслевого анализа. Матричная модель техпромфинплана аналогично модели МОБ устанавливает количественную связь между выпуском продукции и затратами на этот выпуск различных производственных ресурсов. Она может составляться для предприятий, промышленных и агропромышленных комплексов, характеризующихся широким ассортиментом выпуска и сложными производственными взаимосвязями. Очевидно, что чем шире взаимозависимость производственных участков и структурных подразделений, тем большее значение имеет технико-экономическое планирование в практических условиях деятельности предприятий и их объединений. Примером тому могут служить предприятия легкой, пищевой, химической, электронной промышленности и некоторые другие.
Чем сложнее экономическая система, тем сложнее количественно -структурные взаимосвязи между ее элементами, тем подробнее они должны
12 быть описаны путем формализации.
В этой связи вполне оправдана критика В. Леонтьевым [68] агрегирующего кейнсианского подхода, согласно которому экономикой можно эффективно управлять с помощью нескольких стратегических переменных - совокупный ВНП, объем капиталовложений, объем потребления, общий уровень занятости, совокупные правительственные доходы и расходы, денежная масса, ставка процента, уровень заработной платы и цен. При этом модель, описывающая экономику страны (России, Англии, США), отличается широтой охвата, но низким уровнем детализации. Кейнс считал, что такая небольшая агрегированная модель содержит всю информацию, необходимую для управления крупной и сложной макроэкономической системой. Однако это далеко не так. Агрегирование в макроэкономике, осуществляемое посредством суммирования, группировки или другими способами обобщения, ведет к утрате информации и искажению представления о собственных динамических свойствах системы. Интегрированная модель экономики страны должна состоять из крупной детализированной системы уравнений и содержать максимум фактической статистической информации, четким образом систематизированной и стандартизированной. В поддержку высказанного тезиса сошлемся на авторитет В.В.Леонтьева [67]:
"Прямой фактический анализ и количественное описание структурных свойств экономической системы, детальные по содержанию, всесторонние по охвату и систематизированные с целью удовлетворения специфическим требованиям определенной теоретической схемы, представляются единственно плодотворным подходом на пути к пониманию эмпирических характеристик функционирования современной экономики".
В настоящее время актуальной является задача обеспечения колебательной статической устойчивости и приемлемых собственных динамических свойств сложных экономических систем различного уровня (макроуровень - страна, мезоуровень - регион, промышленный комплекс,
13 микроуровень - предприятие). Ее решение требует совершенствования существующих и разработки новых высокоэффективных методов и вычислительных процедур, доведения их до практических алгоритмов и прикладных программ, обеспечивающих возможность многовариантных расчетов статической устойчивости для высокоразмерных моделей макроэкономических систем.
Понятие устойчивости движения и динамических процессов зародилось и получило развитие в области механики задолго до появления не только современной, но и классической теории управления. Устойчивость представляет собой категорию, прежде всего относящуюся к собственным движениям системы, порождаемым как начальными условиями (возмущениями) и ее внутренними свойствами (СДС), так и внешними воздействиями. Поэтому устойчивость может рассматриваться в отношении любого процесса - управляемого или неуправляемого. Сложные экономические системы, формально представимые моделями МОБ или матричными планами предприятий (техпромфинпланами) с полным основанием могут являться объектами теории устойчивости.
В настоящее время число понятий устойчивости настолько велико, 2 то справедливо будет считать этот термин перегруженным. Однако в данной работе мы будем рассматривать идеальные условия без шумов и постоянных случайных воздействий, то есть исходить из тех же предпосылок, что и при определении управляемости, наблюдаемости и возбуждаемости в главе 2, и тогда понятия устойчивости не будут столь разнообразными. Далее условимся, что будем исследовать устойчивость в пространстве состояний и не касаться пространства сигналов, получать системы уравнений, описывающие процессы в экономических системах замкнутыми, а движения свободными.
Устойчивость определим в евклидовом пространстве состояний, что в данном случае достаточно. В целом следует констатировать, что если
14 понятия наблюдаемости, управляемости и другие являются основой для постановки и решения задач синтеза желаемых или предельно достижимых собственных динамических свойств экономических систем, то предлагаемые в настоящей работе критерии устойчивости суть, прежде всего, инструменты анализа, хотя в некоторых случаях они применяются и для синтеза качества переходных процессов.
Для замкнутой балансовой модели, приведенной к нормальной форме с матрицей А, вне зависимости от того, какое движение х0(г)этой системы
выбрано за невозмущенное и какой начальный момент времени /0заДан> имеет место либо асимптотическая равномерная устойчивость в целом, либо просто устойчивость в целом, либо неустойчивость. Все определяется собственными числами матрицы А. Поэтому в работе подчеркивается, что в рассматриваемой постановке и в рамках балансовых моделей свойство устойчивости приписывается не движению, а самой системе.
Если в соответствии с известными теоремами А. М. Ляпунова для асимптотической устойчивости линейной стационарной системы х = Ах необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения
det[A/ -А] = 0
имели отрицательные действительные части, то в отношении экономических систем следует стремиться к их апериодической неустойчивости. Именно в этом случае можно будет заключить, что экономика «устойчиво развивается» (расширяется). В свою очередь, колебательные составляющие движения, определяемые комплексно-сопряженными составляющими движения и характеризующие деловые циклы, следует демпфировать. Так в самом общем смысле формулируется основная цель управления собственными динамическими свойствами экономических систем.
В 40-х - 50-х гг. XX века в классической теории автоматического регулирования широкое применение имел метод корневого годографа. Он
15 позволял анализировать характер траекторий перемещения корней (точнее, направленность перемещений) на комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра системы. Это, прежде всего, касается коэффициентов усиления различных стабилизирующих технических систем. В экономических системах роль безынерционного регулятора качества переходных процессов и устойчивости естественным образом выполняет финансово-кредитная подсистема, а идея целенаправленного изменения распределения корней привлекает внимание и получает развитие и вполне удачное распространение в экономику в виде группового или модального управления [64, 169].
Перспективным для конкретных схемно-режимных условий экономического развития является использование таких законов управления в макроэкономике, которые позволяют наряду с достижением высоких качеств переходных процессов обеспечить автономность регулирования и необходимый размер областей колебательной устойчивости. В современной теории автоматического управления этот подход и реализуется именно на основе вышеупомянутого "модального управления", формирующего обратные связи таким образом, чтобы замкнутая по потреблению система имела заранее выбранное распределение корней характеристического уравнения, определяющих собственные динамические свойства системы. Алгоритм реализации данного подхода и анализ свойств сигнала избирательного управления макроэкономическими процессами приводится в [92, 102, 109].
Кроме того, необходимой составляющей математического моделирования экономических процессов является оценка чувствительности решения к изменению параметров модели. В этой связи представляется логичной разработка вычислительных алгоритмов и прикладных программ решения задач устойчивости в макроэкономике с автоматической настройкой на индивидуальную задачу.
При решении задач прогнозирования экономического развития, исследования апериодической и колебательной статической устойчивости и управления экономической динамикой используется балансовый метод. Он позволяет устанавливать и увязывать общие производственные потребности и ресурсы, натурально-вещественные и стоимостные пропорции, координировать смежные отрасли и производства, обеспечивать пропорциональность и сбалансированность всех элементов экономической системы любого уровня. В практике планирования и прогнозирования используются материальные, трудовые и финансовые балансы, информационно описывающие различные стороны единого процесса экономического развития. Упорядочение и взаимоувязка всей макроэкономической информации, в экономике СССР отражавшейся в балансе народного хозяйства, осуществляется в рамках Системы национальных счетов (СНС) с помощью определенных правил и процедур. Важнейшим разделом современной СНС является межотраслевой баланс производства и использования товаров и услуг (МОБ), создателем которого является наш соотечественник, впоследствии гражданин США, профессор Гарвардского университета, лауреат Нобелевской премии В.В. Леонтьев (1906-1999).
В качестве инструмента исследования, анализа и планирования структурных взаимосвязей, взаимодействий и взаимовлияний в экономике в данной работе используется межотраслевой баланс Леонтьева как наиболее универсальный. Матричные модели межотраслевого и межпродуктового баланса независимо от масштаба моделируемого объекта (страна, регион, комплекс предприятий, отдельное предприятие) имеют единый принцип построения, единство системы расчетов, подобие экономических характеристик.
Межотраслевой баланс характеризует процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в детальном отраслевом разрезе. Он органически объединяет общеэкономические и конкретные
17 межотраслевые пропорции. МОБ в стоимостном выражении характеризует такие общеэкономические пропорции, как соотношение между ВВП и национальным доходом, между фондами потребления и накопления, между материальными затратами и чистой продукцией и т.д. В то же время МОБ отражает конкретные связи между отраслями производства, между заводскими цехами. Различают статическую и динамическую модели МОБ.
Основными предпосылками экономико-математической модели статического МОБ являются:
- объемы производственного потребления прямо пропорциональны
объемам производства продукции потребляющих отраслей; коэффициентами
пропорциональности являются коэффициенты прямых затрат;
- каждый продукт производится только одной отраслью.
Отличием динамических межотраслевых балансов от статических является рассмотрение в них динамики структуры общественного производства в течение определенного периода, что достигается включением производственных капитальных вложений в состав неизвестных модели и исключением их из автономно задаваемого вектора конечного продукта, динамические балансовые модели характеризуют развитие народного хозяйства по годам прогнозного периода. Состояние экономики в году / + 1 во многом зависит от ее состояния в году / и в предшествующие годы. Общая динамика развития определяется исходным состоянием системы, характеристиками структурных параметров на каждый год прогнозного периода и заданиями по тем элементам конечного продукта, которые не имеют обратной связи с приростом производства в прогнозном периоде. В динамических моделях потребность в капиталовложениях в каждом году определяется из решения модели, а в статической модели инвестиции задаются экзогенно, в ее расширенной схеме увязка производства с капиталовложениями осуществляется только в пределах рассматриваемого года [1,60, 71, 73, 136].
Таким образом, суммируя вышеизложенное, отметим, что присущая
18 экономическим системам всех уровней цикличность развития требует разработки механизма управления статической устойчивостью экономической системы, основанного на использовании универсального инструмента исследования внутрисистемных взаимосвязей - межотраслевого баланса - и применении аппарата линейной алгебры. Последний позволяет исследовать проблему цикличности в макроэкономических системах путем анализа корней характеристического уравнения матрицы коэффициентов динамической модели МОБ, приведенной предварительно к нормальной форме Коши.
Блочная структура механизма управления статической устойчивостью экономической системы представлена ниже:
Блок информационного обеспечения - это блок, содержащий статистическую информацию о состоянии системы в целом и ее отдельных элементов, прогноз ожидаемых изменений структуры, реакции внешней среды. Это, прежде всего, таблицы «Затраты - выпуск» по России, данные об использовании основных фондов, бухгалтерская и финансовая отчетность предприятий, другая необходимая исследователю информация. Важнейшим условием эффективности информационного обеспечения является качество,
19 достоверность, доступность и своевременность получаемой информации.
Блок математического обеспечения представляет собой аппарат линейной алгебры, разрабатываемый в работе для исследования экономических процессов, взаимосвязей, построения прогнозов развития как на макроуровне, так и на уровне предприятия. Он включает: методы анализа и оптимизации динамических свойств экономических систем; математические методы анализа СДС, представляющих собой совокупность частот и затуханий отдельных составляющих движения, их наблюдаемость, управляемость, возбуждаемость, а также их количественные характеристики, включая коэффициенты чувствительности к изменению параметров системы; избирательное управление динамическими свойствами экономических систем; моделирование конечного спроса (в нашей терминологии — эквивалентных нагрузок на экономическую систему) при оценке устойчивости экономического развития.
Блок программного обеспечения - это программный комплекс СТАТУС (статическая устойчивость), представляющий собой реализацию научно-методических разработок данного исследования в виде соответствующих алгоритмов и вычислительных процедур. Программный комплекс СТАТУС предназначен для решения широкого круга задач в области анализа статической устойчивости и собственных динамических свойств макроэкономических систем и синтеза высокого качества переходных процессов.
Блок ресурсного обеспечения включает в себя материальные, финансовые и трудовые ресурсы, без которых невозможно применение анализируемого механизма на практике.
Целью данной диссертационной работы является разработка механизма управления статической устойчивостью экономических систем в рамках модели межотраслевого баланса. Объектом исследования выступает сложная экономическая система, которая может быть формализована в виде модели межотраслевого баланса или матричного техпромфинплана. Конкретно в
20 работе с позиции изложенной цели анализируется экономика России по данным Госкомстата РФ и ОАО Молочный комбинат «Ставропольский».
Предметом диссертационного исследования являются теоретические, методологические, методические и практические проблемы математического моделирования и исследования собственных динамических свойств, переходных процессов и статической устойчивости экономических систем, создания инструментальной базы для эффективного экспериментирования и управления экономической динамикой.
При достижении цели исследования была поставлена и решена следующая совокупность научно-экономических задач, образующих научную новизну:
решение задачи обращения матрицы капитальных коэффициентов за счет применения аппарата сингулярного анализа, основанного на элементарных, устойчивых ортогональных преобразованиях, что принципиально важно для приведения исходной модели к нормальной форме;
разработка эффективного алгоритма оптимизации собственных динамических свойств экономических систем на основе численного поиска совокупности варьируемых параметров с целью достижения желаемого расположения в комплексной плоскости корней характеристического уравнения;
создание математического аппарата на основе показателей наблюдаемости, чувствительности, управляемости, возбуждаемости, позволяющего классифицировать составляющие движения экономического процесса по степени локальности, определять распределение амплитуд и фаз отдельных форм колебаний в отраслевых выпусках, отрасли с наиболее значительным управляющим эффектом, дозировки управляющих воздействий;
разработка метода поиска единого вектора конечного спроса для совокупности условий и режимов функционирования экономики,
21 основанного на численной минимизации функции качества переходных процессов;
разработка эффективного метода численного поиска оптимальных значений варьируемых параметров и двух алгоритмов его реализации - с использованием градиентного метода и с использованием метода сингулярного разложения матрицы чувствительности уравнений прогноза;
формирование критериев качества для алгоритма численного поиска, позволяющих обеспечить заданные или предельно достижимые демпферные свойства системы в отношении колебательных составляющих движения;
обобщение критерия качества для определения оптимального вектора конечного спроса для совокупности режимов экономики, что позволяет учитывать неопределенность параметров модели МОБ и статистическую ошибку в исходных данных;
исследование возможности реализации избирательного управления одной составляющей движения при постоянстве остальных;
формализация относительной чувствительности корней характеристического уравнения к компонентам вектора избирательного управления в целях оценки погрешности упрощения сигнала регулирования и выбора «точки» его подключения к системе;
разработка метода аппроксимации закона избирательного управления, позволяющего сократить число измеряемых компонент в сигнале управления с сохранением свойств модальности;
исследование влияния моделирования конечного спроса как некоторой эквивалентной нагрузки на экономику на устойчивость системы и разработка динамической модели нагрузки на систему;
исследование, анализ и синтез динамических свойств 22-х отраслевой экономики на базе разработанного математического аппарата и программного комплекса;
исследование, анализ и синтез динамических свойств и статической устойчивости предприятия;
разработка программного комплекса СТАТУС, предназначенного для решения широкого круга научно-исследовательских, проектных, управленческих, прогнозных задач в области статической устойчивости сложных экономических систем, представленных динамическими моделями МОБ.
Методы исследования экономической динамики базируются на аппарате линейной алгебры, теории устойчивости движения A.M. Ляпунова, дифференциальных уравнений, модального управления, прикладного нелинейного программирования. При решении задач оптимизации использованы специальные функционалы качества и методы минимизации. Разработка перспективных законов управления СДС построена на основе теории чувствительности и модального управления.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе завершается начатое во введении исследование состояния проблемы. Рассматривается вопрос о степени активности государственного вмешательства в экономику. Этот вопрос, а именно -достижение максимально возможного экономического роста -непосредственно связан с разрабатываемым в работе механизмом управления устойчивостью системы.
Сформулированы и аргументированы конечные цели разработки методов и методик управления, охарактеризованы объекты управления, обоснованы задачи субъектов управления. Особое внимание уделено рассмотрению роли и места финансово-кредитной подсистемы как быстродействующего рычага управления устойчивостью всей экономической системы. Отмечено, что монетарный сектор как отрасль несет в межотраслевом балансе нагрузку посредничества в перераспределении доходов.
Исследуются роль, место и виды динамических моделей МОБ с точки зрения достижения поставленной цели - обеспечения колебательной (циклической) устойчивости маловозмущенного движения сложных экономических систем. Обоснована необходимость проведения многовариантных расчетов по динамическим моделям МОБ. Сформулированы основные требования к содержанию и методологии прогнозирования экономического развития.
Детально рассмотрена проблема вырожденности матрицы капитальных коэффициентов и связанные с ней вопросы получения нормальной формы балансовой модели.
Решена задача обращения матрицы капитальных коэффициентов под контролем числа обусловленности, а также ее псевдообращения с использованием аппарата сингулярного анализа.
В главе 2 излагаются теоретические основы анализа и управления устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем. Отмечено, что эффективность регулирования экономической системы, представленной как динамическая модель МОБ, решающим образом зависит от законов регулирования, структуры государственного управления, его дозировок, численно представляемых арифметическими значениями параметров в модели, мест реализации регулирования в экономической системе. Характеристики устойчивости экономической системы представлены в работе двумя показателями: степенью колебательной устойчивости, определяемой вещественной частью самого правого комплексного корня, взятого с обратным знаком, и степенью экономического роста, определяемой значением самого правого в комплексной плоскости действительного корня.
Установлено, что для анализа и оптимизации динамических свойств сложных экономических систем, формализованных в виде динамической модели МОБ, можно успешно применять метод Д - разбиения с целью определения границ и запасов по колебательной устойчивости в плоскости двух параметров. Отмечены методические недостатки указанного метода, их
24 причины, обоснована, тем не менее, его актуальность для построения областей устойчивости и переходных процессов равного качества. На основе функционала [108], обладающего необходимыми для успешной минимизации математическими свойствами непрерывности и дифференцируемости, в [109] предложена методика выбора единого вектора конечного спроса для совокупности режимов и условий функционирования экономической системы. В главе 2 это направление развивается.
Подчеркнута актуальность для оживляющейся экономики России своевременного проведения оценочных и оптимизационных расчетов для принятия обоснованных управленческих решений. Отмечается сложность переходных процессов, протекающих в экономике, что делает недостаточным расчет только собственных значений матрицы состояния для однозначных суждений о СДС при решении задач устойчивости. В этой связи обоснована необходимость использования численных показателей СДС - наблюдаемости, чувствительности, управляемости, возбуждаемости составляющих движения - для исследования сложных систем и решения ряда проблем, и обосновывается их экономический смысл. В частности, это позволяет проводить анализ темпов расширения экономики и статической колебательной устойчивости, определять структуру свободных колебаний валовых выпусков и их наблюдаемости в различных частях системы, классифицировать составляющие движения по степени локальности, определять их значимость для системы в целом, идентифицировать отрасли и сектора экономики с наиболее значительным управляющим эффектом, наблюдать отдельны» формедвижения в фиксированной отрасли, наблюдать составляющие движения в системе при фиксированной точке возмущения, анализировать эффективность управления отдельными составляющими движения со стороны тех или иных управляющих параметров.
Рассматривается проблема обеспечения желаемых динамических свойств макроэкономических систем, обеспечивающих их эффективное функционирование в условиях, когда исходные данные зашумлены. В этом
25 случае для координированных параметров конечного спроса предлагается использование уравнения Рикатти, когда шум (неопределенность) моделируется в виде приращений матрицы состояния модели. Разработан эффективный алгоритм оптимизации собственных динамических свойств экономических систем на основе численного поиска совокупности варьируемых параметров. В соответствии с функциональной схемой численного поиска рассчитывается единый вектор норм потребления для совокупности матриц состояния. Решается двуединая задача обеспечения устойчивого развития макроэкономических систем с использованием динамической модели МОБ. С одной стороны, это повышение колебательной устойчивости со смещением влево в комплексной плоскости группы доминирующих комплексно-сопряженных пар корней характеристического уравнения. С другой - это обеспечение устойчивого апериодического роста компонент вектора выпуска, выявление предельных по потреблению режимов функционирования развивающейся экономики.
Сделан вывод о том, что использование общесистемной информации позволяет перейти к качественно новым принципам управления устойчивостью развития экономических систем, которые не могут быть построены на основе локальной, дефицитной и несвоевременной информации.
Показана возможность реализации модального (избирательного) управления [92,102], воздействующего на заданную группу движений без побочного управляющего эффекта для остальных. Перспективность его использования при макроэкономическом регулировании аргументируется также и в работах [105,107]. Формализована относительная чувствительность корней характеристического уравнения к компонентам вектора избирательного управления для оценки погрешности упрощения сигнала регулирования и выбора «точки» его подключения к системе. В ходе решения модельных задач установлена достаточно высокая эффективность предложенного формализованного метода. Алгоритм его реализации
26 позволяет систематизировать переменные состояния по степени их влияния на свойства модальности.
Вектор конечного спроса определен в работе как эквивалентная нагрузка на экономическую систему. Предложена модель этой динамической нагрузки, описывающая ее изменения во времени при различных уровнях выпуска. Ранжированный по такому влиянию список нагрузок как оптимальный план системных измерений позволяет уточнить модель при минимуме усилий со стороны органов государственной статистики. Эффективность и параметры управления финансово-кредитной подсистемой зависят от модели нагрузки. Модели спроса в виде постоянства мощности и в виде статической линейной зависимости от выпуска являются средством оценки демпфирования системных колебаний.
В третьей главе обсуждается состояние проблемы исследования динамических свойств сложных экономических систем в рамках межотраслевых моделей и их модификаций и реализации управления состоянием этих систем. Управление осуществляется за счет составляющих конечного спроса и монетарного сектора. Рекомендуемая численная оптимизация регулировок вектора управления на практике достигается использованием инструментария денежно-кредитной, внешнеэкономической, бюджетной, налоговой политикой.
Проводится оптимизация и анализ СДС идеализированной трехсекторной экономической системы. Это показало необходимость координированного выбора варьируемых параметров системы, параметров минимизируемой функции и методов оптимизации.
Оценка СДС сложных экономических систем проводится на основе корней характеристического уравнения и векторов матрицы уравнений переходных процессов. Проведенный в работе анализ динамических свойств 22-х отраслевой экономики показал, что в многоотраслевой экономической системе присутствуют компоненты траекторий экономического развития с высокими показателями наблюдаемости, т.е. общесистемные. Изменить их
27 затухания возможно только при использовании большого числа одновременно варьируемых параметров. Подчеркнуто, что если рассчитанная наблюдаемость в виде относительных амплитуд свободных колебаний не зависит от места и вида возмущений в системе, то абсолютные амплитуды зависят от места возмущений.
Практическая ценность проводимых модельных экспериментов состоит в том, что можно указать те отрасли, возмущения в которых приводят к возникновению максимальных амплитуд, нарушающих устойчивость составляющих движения.
Достоверность результатов проведенных оценок наблюдаемости и возбуждаемости подтверждается на примере рассмотрения переходных процессов с использованием этой же модели системы при возмущениях в случайно выбранных отраслях, историей, школой и практикой межотраслевого анализа, заложенной В.В. Леонтьевым и развитой его учениками и последователями, достижениями классической и современной теории автоматического управления.
Выполненные в третьей главе расчеты показывают, что разработанные методики и программное обеспечение позволяют решать задачу эффективного управления качеством переходных процессов в экономических системах, представленных динамическими моделями МОБ, при едином векторе управления монетарным сектором и конечным спросом для совокупности режимов и условий работы.
В четвертой главе разрабатываемый теоретико-методологический подход впервые применен к модели матричного техпромфинплана реальной сложной экономической системы - молочного комбината «Ставропольский». Четкая и ритмичная работа планово-финансового отдела завода, ограниченность географической размерности предприятия территорией одного городского квартала делают его вполне обозримым, проверяемым и уточняемым даже силами одного исследователя. Это позволило получить своевременные и достоверные массивы исходных данных, наполняющих
28 модель, которая с полным основанием претендует на реализацию в системе поддержки принятия управленческих решений, при формировании целостной производственно-экономической политики, для проведения мониторинга состояния комбината как экономической системы.
Расчетными исследованиями идентифицированы локальные и низкочастотные системные циклы деловой активности и определены параметры финансового сектора предприятия для их сглаживания.
Пятая глава посвящена разработке программного комплекса СТАТУС
(статическая устойчивость), предназначенного для анализа статической
устойчивости и оптимизации режимов функционирования
макроэкономических систем, представленных динамическими моделями межотраслевого баланса В.В. Леонтьева, и включающего подсистемы:
формирования модели МОБ и приведения к нормальной форме Коши (блоки 2 и 3);
анализа собственных динамических свойств экономических систем (блок 6);
численной оптимизации значений варьируемых параметров системы (блок 5);
расчета переходных процессов (блок 7).
На защиту выносятся следующие основные научные положения:
Математический аппарат для анализа собственных динамических свойств экономических систем, представленных моделями межотраслевого баланса и матричными тепромфинпланами. Совокупность этих свойств представляет собой известные из теории автоматического управления линейными системами показатели наблюдаемости, управляемости, чувствительности и возбуждаемости составляющих движения, их частоты и затухания и образует базу для построения алгоритмов и процедур формализованного управления качеством переходных процессов.
Методы оптимизации произвольной совокупности варьируемых
29 параметров, к числу которых относятся компоненты сектора посреднических услуг, или монетарного сектора экономики, и вектора суммарного конечного спроса. Методы реализуются одновременно для заданного набора режимов функционирования экономики, что моделирует нестационарную задачу и снижает негативное влияние на результаты расчетов статистических ошибок в исходных данных.
3. Методика решения проблемы обращения матрицы капитальных
коэффициентов для приведения динамической модели МОБ к нормальной
форме.
4. Теоретические основы корректного эквивалентирования и
избирательного управления динамическими свойствами экономических
систем.
5. Моделирование конечного спроса - нагрузки на экономическую
систему - при оценке ее устойчивости и оптимизации динамических свойств.
Совокупность вспомогательных функционалов качества переходных процессов, обладающих необходимыми для успешной работы алгоритмов численного поиска математическими свойствами непрерывности и дифференцируемости.
Расчетные исследования динамических свойств идеализированной трехсекторной экономики.
Методика разработки матричной модели плана предприятия для решения задач устойчивости.
Результаты исследования динамических свойств и статической устойчивости ОАО «Молочный комбинат Ставропольский».
Программный комплекс СТАТУС для анализа СДС сложных экономических систем, их численной оптимизации, построения областей устойчивости и переходных процессов.
Балансовые модели анализа состояния и устойчивости макроэкономических систем
Поиск направлений развития, обеспечивающих надежный экономический рост, всегда привлекал исследователей. Исследования основных закономерностей экономического роста нашли выражение в моделях, отражающих различные концептуальные взгляды на проблему развития: 1. Неоклассические модели главное внимание уделяют формированию макроэкономической производственной функции. На этой основе анализируются факторы и результаты роста, обусловленные традиционными ценностями рыночного хозяйства: частной собственностью, конкуренцией, эффективностью использования ресурсов, умеренным вмешательством государства в хозяйственные процессы (модель Солоу, модель Кобба-Дугласа и др.) [172]. 2. Кейнсианские модели большое внимание уделяют факторам, ориентированным на определение параметров макроэкономического развития при активном государственном воздействии на рынок и его регулировании (модель Харрода, модель Домара и др.) [177]. 3. Динамические модели межотраслевого баланса имеют своей целью дать подробное описание качественного и количественного содержание множества элементов экономического роста и имеют назначением выявить наиболее «дефицитные» отрасли, требующие активного вмешательства для поддержки экономического роста [66-69]. 4. Следует отметить, что перечисленные модели складывались в результате эволюционные изменений в понимании сущности и содержания экономического развития общества.
Не умаляя достоинств и признавая свою «нишу» за каждым из перечисленных подходов и формализующих их моделей, отметим, что применение методов межотраслевого анализа в сложных экономических системах для исследования закономерностей их поведения и развития, получения новых теоретико-методологических выводов и нахождения оптимальных управленческих решений на сегодняшний день имеет довольно богатую. историю [66-69, 159, 160]. Классические схемы динамического межотраслевого баланса МОБ в сочетании с современными математическими и аппаратными возможностями их обработки при реализации комплексных прогнозных и оптимизационных расчетов представляют собой высокоэффективный инструмент исследования сложных экономических систем. Безусловно, при решении всякой задачи, связанной с экономико-математическим моделированием, одной из основных остается проблема соответствия модели и реального процесса, когда применение методов современной вычислительной математики и теории автоматического управления корректно, а результаты расчетов интерпретируемы, имеют ясное экономическое содержание и смысл.
Анализу возможных состояний макроэкономических систем, вариантов их развития, колебательной и апериодической устойчивости должно предшествовать обоснование объективной возможности достижения требуемых динамических свойств введением управления на исследуемом временном интервале. Решающее значение здесь имеет своевременное и детальное информационное обеспечение перечисленных задач в смысле уровня развития экономики в разрезе максимально возможного числа отраслей на момент начала прогнозирования, качество и полнота другой статистической информации. Такую информацию содержат таблицы межотраслевого баланса производства и распределения товаров и услуг и целый ряд их аналитических показателей [89, 90]. Следует отметить, что современная необеспеченность экономико-математических моделей необходимой информацией практически исключает их какое-либо широкое проникновение в систему государственного регулирования экономики, требующее и без того больших организационных усилий. Многие попытки использования моделей для выявления резервов, улучшения использования ресурсов, оптимизации режимов функционирования и обеспечения приемлемых динамических свойств по этой причине не приносят ожидаемого эффекта. Одновременно нерешенными остаются и задачи, связанные с исследованием реальных возможностей моделирования и условий реализации этих возможностей.
Как следует из вышесказанного, исследование процессов экономической динамики макросистем проводится на базе структурных моделей, которые, в отличие от чисто макроэкономических, содержат формализованное описание материально-вещественной структуры народного хозяйства и взаимосвязей между отдельными видами производства. Анализ структурных моделей экономической динамики составляет традиционный предмет математической экономики, использующей разнообразные теоретико-математические конструкции для исследования таких важных проблем, как определение множества технологически допустимых траекторий экономического развития, качественных свойств этих траекторий, построение методов нахождения эффективных и оптимальных траекторий. К последнему из перечисленных пункту относится задача разработки и проведения мероприятий по обеспечению статической устойчивости режимов работы сложных экономических систем, что является необходимым условием их надежного функционирования.
Теоретические модели устанавливают взаимно однозначное соответствие между математическими и экономическими понятиями. Примером тому служат собственные числа матрицы и темпы роста, собственный вектор и структура производства и другие. При этом в практике плановых и прогнозных расчетов задача экономической динамики ограничивалась зачастую анализом типов экономического развития (постоянный рост, увеличивающийся рост, уменьшающийся рост, рост с качественным изменением характеристик на протяжении рассматриваемого периода), то есть апериодической устойчивости по тому или иному критерию. Проблеме обеспечения колебательной (циклической) устойчивости маловозмущенного движения сложных экономических систем традиционно уделялось меньшее внимание.
Использование теоретических моделей экономической динамики, построенных ценой сильных упрощений реальных процессов, позволяет получать выводы, непосредственно не приложимые к практическим задачам. Атрибут «теоретические» отделяет их от класса прикладных структурных моделей народного хозяйства, подчеркивая главное назначение первых, призванных обеспечить теоретико-методологические исследования, носящие оценочный характер и решающие системные вопросы, связанные со взаимным влиянием отраслей и секторов экономики, анализом эффективности тех или иных управляющих воздействий на макроэкономику и другими. Подобные задачи, как правило, ставятся в качественном аспекте и не предполагают получения точных количественных результатов. Между тем известно, что многие результаты, получаемые посредством исследования теоретических моделей, проявляются и в прикладных моделях в ослабленном и трансформированном виде. Поэтому теоретические модели являются методологическим эталоном при разработке многоэлементных прикладных моделей экономической динамики, позволяя существенно сокращать эмпирическую работу по их построению и анализу.
Математические методы анализа собственных динамических свойств экономических систем
Исследования последних лет показали, что анализ устойчивости развития сложных и высокосвязных экономических систем, а также основные закономерности протекания переходных процессов в этих системах при тех или иных возмущениях тесно связаны с таким понятием, как собственные динамические свойства (СДС) экономических систем. Понятие СДС, введенное в работе [106], может быть представлено как совокупность таких показателей, как частоты и затухания отдельных составляющих движения, их наблюдаемость, управляемость, возбуждаемость и другие, а также их количественные характеристики, включая коэффициенты чувствительности к изменению параметров системы. Набор этих показателей исчерпывающим образом характеризует внутренние (или собственные) динамические свойства сложной экономической системы.
Изучение динамических процессов в больших экономических системах является сложной задачей, поскольку поведение режимных параметров и показателей отраслей в различных частях экономики самым тесным образом взаимосвязано и взаимообусловлено. Это определяет необходимость использования достаточно подробных и полных балансовых моделей без существенного эквивалентирования. Применение при этом традиционных методов исследований в виде расчета переходных процессов осложняется зависимостью результатов от места и вида возмущения [107]. В этих условиях численные показатели СДС являются чрезвычайно полезными для исследования сложных систем и позволяют решить следующие проблемы: - анализ темпов расширения экономики и статической колебательной устойчивости; - определение структуры свободных колебаний валовых выпусков и их наблюдаемости в различных частях системы; - классификация составляющих движения на локальные и общесистемные, определение их значимости для системы в целом; - идентификация отраслей и секторов экономики, возникновение возмущений в которых приводит к возбуждению максимальных амплитуд составляющих движения, интересующих с точки зрения устойчивости экономического развития; - возможность наблюдения отдельных форм движения в фиксированной точке системы (в отрасли); - возможность наблюдения составляющей движения в системе при фиксированной точке возмущения; - анализ эффективности управления отдельными составляющими движения со стороны тех или иных управляющих параметров. Принципиально важно, что анализ СДС полностью основывается на собственных числах и собственных векторах матрицы коэффициентах линейных и линеаризованных уравнений переходных процессов, которые задаются динамическим МОЕ. Рассмотрим численные показатели СДС экономических систем подробнее.
Математическая модель МОБ, приведенная к форме Коши имеет вид (2.10). Матрица G имеет размерность пхп. Исключительно для простоты изложения будем считать, что она имеет простую структуру, то есть количество различных собственных чисел совпадает с размерностью системы. В этом случае решение (2.10) может быть записано в виде: где Я,-, UІ, /=1,2,..., п - собственные числа и соответствующие им собственные векторы матрицы G. Коэффициенты dt определяются вектором начальных значений отраслевых выпусков Хо и собственными векторами Vt траспонированной матрицы состояния GT в соответствии со следующим выражением: Векторы Uі и Vj нормированы и ортогональны друг другу для различных собственных чисел так, что Собственные числа Я,- характеризуют затухания и частоты отдельных составляющих движения и являются общепризнанными показателями при анализе статической устойчивости линейных систем. В соответствии с (2.36) амплитуда составляющей движения в отраслевом выпуске x(k\t) определяется членомdtu\k). Отношение амплитуд этой составляющей в выпусках х(/) {і) и х{к) (t) выражается частным и определяется отношением соответствующих компонент собственного вектора Ц-. Показатель 5(-а) определяет, во сколько раз составляющая е заметнее в отрасли / по сравнению с отраслью с номером к. Существенно, что частное вида (2.39) не зависит от места и вида возмущения в системе, а определяется только ее внутренними свойствами. Их имеет смысл рассматривать только для тех переменных состояния, которые имеют одинаковую физическую природу, то есть рассматривать модели МОБ в денежном выражении.
Собственные динамические свойства идеализированной трехсекторной экономической системы
Следуя модельному примеру из [68] в данном параграфе будем рассматривать трехсекторную экономику, представленную промышленностью, сельским хозяйством и прочими отраслями. Исходные данные по коэффициентам прямых затрат (матрица А) были приняты в соответствии с вышеупомянутым модельным примером и представлены в таблице 3.1. Если в единицу времени каждой отрасли предполагается выделить капитальные вложения на сумму KJ(J), которая, как известно, ограничена величиной доли накопления в национальном доходе, то где ЛФД/) - часть конечной продукции /-той отрасли, идущая на накопление; by - удельный вес конечной продукции отрасли / в капиталовложениях отрасли у. Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать: где ДФ/у - межотраслевые потоки капитальных вложений; Ь0 - приростные (полные) фондоемкости. Будем полагать, что производственные мощности используются полностью, и прирост продукции равен приросту производственной мощности (плюс улучшение использования старых мощностей). Первоначально будем иллюстрировать возможности численного поиска оптимальных варьируемых параметров, к числу которых отнесены нормы потребления и содержащиеся в матрице А коэффициенты прямых затрат прочих отраслей, так как именно к ним относится сектор - Финансы, кредит, страхование, управление, общественные организации. Необходимо помнить, что одной из составляющих конечного спроса является экспортно-импортное сальдо и при оптимизации вектора Г(/)в целом можно иметь в виду именно это сальдо.
Собственные динамические свойства такой модельной системы характеризуются спектром собственных значений, представленных в таблице 3.3. В данной модели принята связь Y{t) = Tj3X(t), поэтому при вариации конечного спроса в действительности в качестве варьируемых параметров принимались нормы потребления /,. В приведенной начальной точке величины произведений yipi приняты равными 0,04. Из таблицы 3.3 следует, что в системе отсутствуют колебательные составляющие движения, а темпы роста экономики достаточно высоки (Л,тах =10,34). Попытка обеспечить еще более высокие темпы расширения экономики была предпринята за счет оптимизации вспомогательного функционала (2.2т). Результаты оптимизации по 3-м параметрам методами покоординатного спуска, градиентным методом Флетчера-Ривса и модифицированным градиентным методом (2.1) представлены в таблице 3.4. задавались Л0 = 20; а0 = 20. Показатели наблюдаемости каждой составляющей движения оказались равны трем, что означает отсутствие неуправляемых составляющих. Анализ результатов оптимизации свидетельствует о том, что она ни разу не завершилась в точке, которая в смысле достижения поставленной цели была бы лучше исходной. Между тем, значение минимизируемой вспомогательной функции вида (2.2}) уменьшилось более чем в 9 раз по сравнению с исходным.
Это объясняется тем, что вклад 3-го собственного значения в функционал изначально был наиболее значительным, и стратегия поиска выстраивалась с учетом изменения его расположения на комплексной плоскости. Компромисс был найден в некоторой оптимальной точке с бифуркацией корней и образованием комплексно-сопряженной пары, имеющей отрицательный декремент затухания. Это позволяет сделать следующие выводы. 1. Необоснованное установление (планирование) режимных параметров функционирования экономических систем (даже простой структуры) может провоцировать возникновение колебаний в них. 2. В целом обладающая рядом положительных характеристик функция качества (2.25) требует проявления определенной осторожности при ее использовании для оптимизации экономической динамики.
Например, в данной простой задаче было бы целесообразным не включать в функционал первый и третий корни, а поиск варьируемых параметров направить на исправление положения второго, использовав формулу (2.22) в алгоритме оптимизации. Можно для реализации этой идеи предложить также использовать методы прямого управления характеристическими корнями на базе сингулярного разложения матрицы уравнений прогноза (глава 2), хотя, следует заметить, в данном случае он оказался неуправляемым со стороны параметров конечного спроса. Принятие показателя степени функции качества v = 2,4,6,8 также оказалось инвариантно в отношении успеха минимизации. Теоретически же, выбор v оказывает некоторое влияние на процесс поиска. Обратимся к случаю смены числа слагаемых в функционале (2.28). Если к - варьируемый параметр, а Л, - корни характеристического уравнения, то при изменении к один из Лі может пересечь прямую Л0 и, таким образом, войти в функцию F или перестать участвовать в ее формировании.
Анализ динамических свойств и статической устойчивости предприятия
В данном параграфе матричная модель техпромфинплана применена для анализа экономической динамики и устойчивости развития ОАО «Молочный комбинат «Ставропольский» (МКС). Проведена оптимизация распределения финансов предприятия по спектру выпускаемой продукции на предмет сохранения и повышения темпов расширения производства и сглаживания негативного влияния на него экономических циклов. ОАО МКС по состоянию на 01.02. 2004 г. выпускает 66 наименований продукции и, принимая на «входе» в качестве сырья «сырое» молоко, реализуя различные технологические циклы и межпродуктовые взаимосвязи, на «выходе» имеет указанный ассортимент продуктов. Таким образом, МКС с полным основанием относится к тому типу предприятий, для математического моделирования которых применим матричный техпромфинплан.
Для проведения численных расчетов использовались модифицированный градиентный метод и метод прямого управления корнями, описанные в главе 2. Покоординатный спуск в условиях значительного числа варьируемых параметров, а их в данной задаче 132 только в монетарном секторе, резко утрачивает свою эффективность, требуя слишком большого числа итераций. Так, если принять во внимание, что для получения одного варианта оптимизации число вычислений собственных значений матрицы состояния системы составляет порядка (30-50) п, где п -число варьируемых параметров, то полную проблему собственных значений необходимо будет решать всего за 6-7 тысяч раз. Это ощутимые вычислительные затраты даже для достаточно современных компьютеров при условии, что из различных соображений расчеты требуется неоднократно повторять.
Градиентный метод также испытывает затруднения уже после первых итераций. Причиной тому является быстро нарастающая овражность минимизируемой функции качества. Базируясь на опыте расчетов, можно утверждать, что чем меньшей размерностью обладает модель, тем более близкие результаты дают градиентный метод и метод прямого управления корнями на базе сингулярного разложения матрицы уравнений прогноза (2.34).
Достоинством последнего метода является возможность реализации квазимодального управления, когда изменяются затухания только заданных форм движения при относительной неизменности остальных. При этом оба метода, использованные для получения результатов настоящего параграфа, реализуют итерационный процесс. Основной причиной необходимости этого процесса является нелинейная зависимость корней характеристического уравнения от варьируемых параметров. В связи со сказанным комплекс СТАТУС ограничивает их приращения на итерации. Число последних тем больше, чем выше степень нелинейности системы в указанном смысле. К тому же градиентный метод при минимизации использует вспомогательную целевую функцию, вносящую дополнительную нелинейность. Таким образом, оба метода при использовании для высокоразмерных балансовых моделей с большим числом варьируемых параметров обладают различными по эффективности характеристиками в различных расчетных ситуациях.
Эффективность методов оптимизации оценивалась на примере модели техпромфинплана МКС размерности (67x67). Нормы трудоемкости и потребления, как названо в модели и в программе, принимались по данным планово-финансового отдела МКС и считались условно постоянными. То есть в данном случае элементы вектора GAMMA (I) (см. гл.5) исключались из сигнала управления и вектора варьируемых параметров, и, следовательно, потребление (в терминологии данной работы «нагрузка») замещалась постоянством мощности.
Данный спектр полностью приводится единственный раз для того, чтобы показать отсутствие явно выделенной группы доминирующих собственных значений, кроме, естественно, 4-х пар колебательных составляющих, требующих организации их демпфирования с помощью единственно возможного в данном случае сигнала управления - финансов предприятия.
Не слишком разнящиеся по величине собственные значения обусловлены спецификой производства на МКС. Комбинат молочный, следовательно, производя весь ассортимент готовой продукции из одного сырья — молока, реализует в определенном смысле сходные технологические циклы и процессы.
Для МКС характерно наличие в спектре собственных значений кратных и близких корней. Это обстоятельство хорошо согласуется с естественным предположением о наличии ряда групповых движений в экономико-производственной системе при ее подробном моделировании и при условии, что сама она воспроизводит ряд сходных (родственных) технологических цепочек. В самом деле, из общего количества наименований (66) выделяются родственные: молоко, масла сливочные, сыры, сливки, кисломолочные продукты, сметаны, творожные продукты, мороженое. Только три продукта стоят. обособленно, так как не имеют «молочного происхождения». Это растительное масло, масло дезодорированное и томатный сладкий кетчуп.
