Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические аспекты развития рынка опционов и методов Хеджирования 11
1.1 Значение рынка производных инструментов для экономики страны и история его развития 11
1.2 Исследование методов хеджирования и ценообразования финансовых опционов 34
1.3 Развитие теории хеджирования и ценообразования опционов на основе модели Блэка-Шоулса 42
Глава 2. Модели расчета рыночной стоимости и управления риском опционных позиций 49
2.1 Построение модели формирования рыночной цены опциона 49
2.2 Система оценки чувствительности цены опциона 59
2.3 Модель управления риском портфеля опционных контрактов 71
Глава 3. Реализация системы управления риском на основе модели теоретической стоимости финансового опциона 80
3.1 Методика динамического хеджирования 81
3.2 Результаты моделирования различных методик дельта хеджирования 86
3.3 Построение механической торговой системы 100
Заключение 109
Литература 110
Приложения 123
- Исследование методов хеджирования и ценообразования финансовых опционов
- Развитие теории хеджирования и ценообразования опционов на основе модели Блэка-Шоулса
- Модель управления риском портфеля опционных контрактов
- Результаты моделирования различных методик дельта хеджирования
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В системе рыночных отношений важное место по праву принадлежит ценным бумагам и финансовым деривативам, являющимся инструментом привлечения средств, объектом вложения финансовых ресурсов и методом защиты от различных финансовых рисков. В связи со структурными преобразованиями, проводимыми в стране, можно отметить значительное повышение интереса хозяйственных субъектов к срочному рынку. Фактически все участники экономических отношений, перенимая опыт зарубежных коллег, начали использовать механизмы хеджирования как средства управления риском, а некоторые из них стали применять производные финансовые инструменты для защиты своих инвестиций от возможных потерь. Также этому способствуют изменения в Российском законодательстве, позволяющие корректно рассчитывать налогооблагаемую базу, в частности учитывать финансовые результаты от операций с производными ценными бумагами. Прогресс в области интернет-технологий и конкуренция между ведущими организаторами торговли в процессе развития инфраструктуры и порядка функционирования срочного рынка способствовала возникновению эффективного механизма проведения торгов и расширению номенклатуры финансовых инструментов.
Проблема хеджирования операций с производными инструментами особенно актуально стоит перед отечественной наукой. Реальные экономические потребности требуют от организаторов и ведущих операторов срочного рынка конструирования значительного числа новых финансовых инструментов, позволяющих осуществлять хеджирование большинства операций, совершаемых на срочном рынке. В то время как российский рынок фьючерсов уже в достаточной степени сформировался, рынок финансовых опционов, дающих более гибкие возможности для управления риском, еще находится в самом начале своего развития из-за острой нехватки ликвидности и объемных научных затрат, необходимых для грамотного управления рисками. Необходимость расширения номенклатуры инструментов риск-менеджмента и развития механизмов хеджирования, основанных на строгой формализации инвестиционных решений, для эффективного функционирования профессиональных участников российского срочного рынка, определяет актуальность темы диссертационного исследования.
Степень разработанности проблемы. Классическое решение проблемы хеджирования финансовых опционов дается в рамках концепции совершенного хеджирования. Ее основы были заложены широко известными работами Блэка Ф., Кокса Д., Мертона Р., Росса С., Рубинштейна М. и Шоулза М. Концепция совершенного хеджирования нацелена на конструирование некоторого портфеля рыночных активов, который генерирует платежи, соответствующие выплатам производного финансового инструмента. В отсутствие арбитража стоимость этого портфеля определяет стоимость производного инструмента.
В настоящее время стратегии совершенного хеджирования утвердились в качестве стандартного подхода финансовой инженерии, нашедшего широкое применение в теории и практике управления риском. Их главная особенность состоит в том, что стоимость финансового опциона определяется вне зависимости от предпочтений и отношения к риску его владельца.
Методы совершенного хеджирования нашли больший интерес со стороны инвестиционных компаний, в связи с возможностью полного контроля финансового риска. Первые шаги на пути теоретического исследования методов хеджирования были сделаны лишь в 1990-е годы в работах Даффи Д. и Ричардсона Г.Р. (1991), Мельникова А.В. и Нечаева М.Л. (1998), и Феллмера Г. и Лейкерта П. (1999, 2000). Современные положения теории рисков, управления рисками с применением экономико-математических и инструментальных методов (в том числе имитационных), нашли наиболее полное отражение в работах Емельянова А.А., Лагоши Б.А., Лихтенштейна В.Е. и Росса Г.В. Однако, исследования были направлены на нахождение математического решения проблемы построения совершенного хеджа, а обоснование экономической эффективности и целесообразности его применения вообще не проводилось. Это определило потребность в теоретических разработках, опирающихся на математические модели методов совершенного хеджирования, но одновременно учитывающих их экономическое содержание, а также в эмпирических исследованиях, посвященных вопросам практического применения этих методов. Осуществление данных исследований является необходимым условием взвешенного внедрения методов научного управления риском в практику работы профессиональных участников российского рынка производных финансовых инструментов.
Вышеизложенное позволяет заключить, что методы хеджирования на современном этапе еще недостаточно изучены и требуют активного внимания. Объективная необходимость научного осмысления и комплексного анализа этих методов определили выбор темы диссертационного исследования, а также ее цель, задачи, структуру и содержание исследования.
Цель и задачи исследования. Главной целью исследования является обоснование и разработка моделей определения стоимости и управления риском опционных контрактов, учитывающих зависимость волатильности базового актива от цены исполнения опциона, позволяющих дать объективную оценку текущей стоимости опционного портфеля и ограничить риски, связанные с изменением цены базового актива.
Для достижения указанной цели были сформулированы и решены следующие частные задачи:
1) определить особенности применения методов совершенного хеджирования на российском рынке деривативов;
2) установить экономические преимущества и недостатки методов хеджирования ценовых рисков, влияющие на повышение точности моделей ценообразования производных финансовых инструментов;
3) разработать модель определения стоимости опциона, учитывающую нелинейную зависимость волатильности базового актива от цены исполнения, позволяющую более точно оценить премию опциона;
4) разработать модель управления риском портфеля опционных контрактов, с использованием показателя чувствительности премии опциона к изменению цены базового актива, которая позволяет снизить затраты на процесс динамического хеджирования;
5) разработать и провести программную реализацию пошагового алгоритма процесса моделирования различных методов динамического хеджирования для их сравнения с точки зрения экономической эффективности.
Объектом исследования является российский рынок производных финансовых инструментов. В качестве предмета исследования выступают ценовые риски, возникающие в процессе составления опционного портфеля.
Информационная база исследования включает данные Фондовой биржи РТС, Московской межбанковской валютной биржи, Банка международных расчетов (Bank for International Settlement), Центрального банка Российской Федерации, Всемирного банка, Международного валютного фонда.
В качестве методологической основы исследования были использованы: системный подход, методы обобщения и сравнения, методы статистического и вероятностного анализа.
Теоретической основой работы являются общепризнанные положения теории хеджирования и ценообразования производных инструментов, а также финансовой инженерии, теории управления риском, теории финансовых рынков в том числе рынка ценных бумаг. При решении конкретных задач использовались методы теории вероятности, в особенности, теории стохастических процессов, а также концепции компьютерного моделирования финансовых рынков, предложенные и обоснованные рядом ученых и практиков фондового рынка (трейдерами, аналитиками и компьютерными специалистами).
Особую роль в выделении проблемной области сыграли труды Ф. Блэка, В.А. Галанова, А.А. Емельянова, Д.О. Крамкова, Д. Крепса, А.В. Мельникова, Р. Мертона, Я.М. Миркина, С. Плиска, Г.В. Росса, Г. Феллмера, А.Н. Ширяева, М. Шоулза, М. Харрнсона и др.
Научная новизна исследования заключается в формировании теоретической основы моделирования и учета внешних факторов, влияющих на процесс ценообразования финансового опциона и разработке на этой основе метода управления рисками, связанными с изменением цены базового актива.
Наиболее существенные элементы приращения научного знания, полученные лично автором и выносимые на защиту, состоят в следующем:
1. На основе современной теории управлении рисками выявлены особенности рынка деривативов в России, заключающиеся в нехватке ликвидности финансовых инструментов при практическом использовании наиболее распространенных моделей совершенного хеджирования.
2. Разработаны критерии классификации методов управления рисками на рынке деривативов, что позволило проанализировать преимущества и выявить недостатки, связанные с неточностью определения ценовых рисков, существующих методов хеджирования, а также сформулировать практическую задачу повышения точности определения стоимости опциона.
3. Создана модифицированная модель расчета стоимости опциона, которая позволяет оптимизировать процесс хеджирования, за счет возможности учета зависимости волатильности базового актива от цены исполнения опциона.
4. Разработана модель управления опционными рисками, использующая показатель чувствительности премии опциона к изменению цены базового актива и метод интерполяции профиля волатильности, позволяющая снизить затраты на процесс динамического хеджирования за счет определения оптимального размера фьючерсной позиции.
5. Разработан алгоритм имитационного моделирования на основе метода Монте-Карло, позволяющий выявить экономический эффект процесса динамического хеджирования в условиях нелинейной зависимости профиля волатильности и впервые доказать устойчивость полученных результатов за счет применения данных как по реальным, так и по имитационным траекториям изменения цены.
Результаты исследования соответствуют Паспорту специальности 08.00.13 – «Математические и инструментальные методы экономики»: п. 1.4. Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений; и п. 2.2. Конструирование имитационных моделей как основы экспериментальных машинных комплексов и разработка моделей экспериментальной экономики для анализа деятельности сложных социально-экономических систем и определения эффективных направлений развития социально-экономической и финансовой сфер.
Обоснованность результатов, выносимых на защиту, обеспечена применением научной методологии, использованием классических достижений эконометрики, прикладной статистики, теории оптимизации, методологии эмпирического анализа.
Достоверность полученных результатов обеспечена использованием официальных данных органов государственной статистики и официальных статистических данных биржи ММВБ и РТС.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что предложенная концепция хеджирования, основанная на расчете интерполяционной сплайн функции, позволяет учитывать изменение волатильности цены базового актива от цены исполнения опциона. Основные положения и выводы, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при дальнейшем развитии теории хеджирования и ценообразования финансовых опционов, а также теории управления рисками, финансовой инженерии и стохастической финансовой математики.
Практическая значимость исследования состоит в том, что полученные результаты успешно внедряются ведущими российскими операторами срочного рынка для хеджирования и управления портфелем производных инструментов.
Предлагаемая модель ценообразования опциона дает возможность:
-
Определить оптимальное количество базового актива, необходимого для построения опционной позиции, нейтральной к риску.
-
Определять момент проведения торговых операций для реализации динамического хеджирования.
-
Заблаговременно сформировать фонд денежных средств, выступающий в роли гарантийного обеспечения.
-
Создать программный комплекс для анализа, сравнения и практического применения методов совершенного хеджирования.
-
Адаптировать используемые на текущий момент программы для эффективного применения на российской бирже РТС, с целью оценки и управления риском опционных контрактов.
Кроме того, результаты исследования могут быть использованы при преподавании курсов "Операции с ценными бумагами", "Финансовый инжиниринг", "Производные финансовые инструменты" и для повышения квалификации специалистов срочного рынка.
Апробация и реализация результатов исследования. Основные теоретические и методологические положения диссертационной работы были доложены и положительно отмечены на заседаниях кафедры «Финансы» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Также материал диссертации был представлен на научном семинаре в РЭА им. Г. В. Плеханова «Современные модели и методы риск-менеджмента». Результаты исследований, проведенных в диссертационной работе, рассмотрены профессиональными участниками рынка ценных бумаг, имеющими брокерскую, дилерскую и лицензию на доверительное управление, где получили положительную оценку. Разработки и рекомендации, содержащиеся в диссертации, нашли практическое применение в деятельности российских компаний, что подтверждено соответствующим актом о внедрении.
Часть результатов работы освещена в рамках телевизионной программы «Капитал» (эфир от 20 октября 2009 года на телеканале Эксперт-ТВ) и на интеренет-конференции «Эффективные математические методы управления капиталом в период кризиса», проводимой порталом www.finam.ru
Публикации. По теме диссертационного исследования автором опубликовано семь печатных работ, в том числе в двух изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений:
Исследование методов хеджирования и ценообразования финансовых опционов
Под финансовым опционом понимается достаточно широкий круг производных инструментов, который непрерывно увеличивается по мере развития срочного рынка. Финансовый опцион - это ценная бумага (контракт), выпускаемая фирмами, корпорациями, банками и финансовыми институтами и дающая покупателю право купить или продать определенную ценность (например, акцию, облигацию, валюту) в установленный период или момент времени на заранее оговоренных условиях [55. стр. 27]. В широком смысле, финансовый опцион представляет собой вид срочного договора, одна из сторон которого - покупатель - приобретает за вознаграждение право на получение денежных средств или иных выгод, величина и вид которых определяется на основании изменения иены базового актива оговоренным в момент заключения сделки способом. Другая сторона сделки - продавец - обязана исполнить договор по требованию покупателя.
В последнее время повышенное внимание, как со стороны теоретиков, так и практиков вызывают реальные опционы [113]. В отличие от финансовых опционов, которые дают их владельцу право на некоторые преимущества в зависимости от изменения цены базового актива, реальные опционы предоставляют право на изменение хода реализации проекта. Например, опцион на отсрочку позволяет владельцу отложить решение по поводу выполнения определенного этапа проекта до некоторого момента времени в будущем. Опцион на изменение масштаба проекта дает возможность увеличить или уменьшить инвестиции в проект, что позволяет гибко реагировать на изменения экономической конъюнктуры. Опцион на выход позволяет компании оставить проект при резком ухудшении рыночных условий. Реальным опционам посвящен обширный круг научных работ, всестороннее рассмотрение которых требует отдельного исследования [58, 72, 73, 78]. Методы, изучаемые в настоящей работе, могут применяться и по отношению к некоторым видам реальных опционов, но в развернутом виде эта проблематика не рассматривается. В дальнейшем изложении под термином опцион понимается финансовый опцион.
Некоторые опционы могут быть реализованы лишь в определенный момент времени. Их называют опционами Европейского типа. Если владелец опциона может реализовать его в течение всего срока исполнения, то такой опцион относится к опционам Американского типа.
Наиболее широко известны два вида опционов - колл и пут [4]. Опцион колл (пут) дает его владельцу право, но не обязательство, купить (продать) базовый актив в установленные сроки у продавца опциона по заранее оговоренной цене, называемой ценой исполнения. Они относятся к так называемым простым опционам (plain vanilla options). На эти контракты приходится значительный оборот торгов, но качественно они составляют лишь малую часть всего многообразия опционных продуктов.
Наряду с простыми опционами, на западном рынке широкое распространение получили экзотические опционы. Это еще более гибкие, чем простые опционы. Финансовые инструменты, позволяющие конструировать для каждого покупателя индивидуальный профиль выплат (customized payoffs); Первоначально, подобные структуры выплат строились синтетически с помощью линейной комбинации из выплат простых опционов. Но такие построения оказывались слишком дорогими, что привело к выделению экзотических опционов в самостоятельные инструменты срочного рынка.
К экзотическим опционам относятся траекторные опционы (path dependent options), стоимость которых зависит от динамики иены базового актива за весь срок действия опциона. К примеру, опцион лукбек (lookback) дает его владельцу право приобрести или продать базовый актив по наилучшей цене, которая была достигнута в период до исполнения опциона. У азиатского опциона (Asian option) выплаты на момент исполнения определяются разностью между ценой исполнения и усредненным значением цен базового актива на протяжении всего периода до исполнения опциона. Усреднение может проводиться посредством арифметического, геометрического или взвешенного среднего.
В отдельную группу можно выделить экзотические опционы с нетривиальными функциями выплат, но которые не зависят напрямую от динамики цены базового актива за весь срок действия опционов. К примеру, опцион чузер (chooser) дает его держателю право, в некоторый момент времени в будущем выбирать, будут ли выплаты по нему соответствовать выплатам опциона коли или выплатам опциона пут с одинаковыми сроками и ценами исполнения на оговоренный базовый актив. По бинарному опциону выплачивается фиксированная сумма, если курс базового актива на момент исполнения выше (бинарный колл) или ниже (бинарный пут) оговоренного уровня.
Рынок опционов находится в постоянном развитии, приводящем к возникновению все новых видов опционов. Их разработкой занимается самостоятельная отрасль теории производных инструментов - финансовая инженерия. В настоящей работе основное внимание уделяется простым опционам и их комбинациям. Подробный обзор экзотических опционов и способов их оценки можно найти в [93, 109, 117, 123, 124].
Первые упоминания об использовании финансовых опционов встречаются у Аристотеля в истории об античном философе Фалесе Милетском, который более 2500 лет назад заключил в современном понимании опцион колл на использование маслобоен. Правда, Аристотель не оговаривает, в каком размере Фалес уплатил задаток и каким образом он был рассчитан. Это неудивительно, так как до опубликования знаменитой формулы Блэка-Шоулса (1973) [66] отсутствовала теоретически непротиворечивая система определения стоимости опциона, пригодная к практическому использованию. Однако было бы не совсем правильно относить возникновение теории оценки опционов исключительно к фундаментальным работам Блэка и Шоулса (1973) [66] и Мертона (1973) [108]. Многочисленные ученые трудились над построением теории оценки опционов и производных инструментов в течение многих десятилетий.
Основы теории оценки опционов прослеживаются в трудах французского математика Луи Башелье [60]. Он вывел замкнутую формулу для оценки стандартных опционов колл и пут в своей, ставшей теперь знаменитой диссертации, представленной к защите в Университете Сорбонны в 1900 году. Башелье сделал революционное для своего времени предположение о том, что динамика базового актива может быть описана на основе арифметического броуновского движения. Этим он предвосхитил применение броуновского движения в физике, которое было независимо предложено Эйнштейном спустя пять лет.
Развитие теории хеджирования и ценообразования опционов на основе модели Блэка-Шоулса
Через несколько лет после открытия модели Блэка-Шоулса Коксом и Россом (1976) [74] был представлен метод риск-нейтральной оценки (risk neutral valuation). Данный метод позволил открыть путь для разработки множества подходов к оценке опционов с использованием метода биномиального дерева или метода статистических испытаний (метод Монте-Карло) для моделирования стоимости активов в будущем. Риск-нейтральный метод обходит проблему оценки "истинной" ожидаемой доходности и "истинной" ставки дисконтирования. В рамках модели он позволяет принять ожидаемую доходность всех финансовых активов и ставку дисконтирования равными безрисковой процентной ставке. В действительности отношение инвесторы к риску нельзя назвать нейтральным, но при взвешенном моделировании такое предположение приводит к обоснованной оценке стоимости опциона.
Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубенштейна основывается на упрощающем предположении о том, что за каждый достаточно короткий период времени курс базового актива может перейти из исходного состояния только в одно из двух возможных состояний. В стандартной модели используется рекомбинационное биномиальное дерево (решетка) с постоянной волатильностью и процентной ставкой. Формула для оценки стоимости опциона выводится при помощи метода обратной индукции. В предельном случае, если устремить длительность каждого периода времени к нулю, полученный результат совпадает с формулой Блэка-Шоулса.
В настоящее время методы Блэка-Шоулса и риск-нейтральной оценки нашли широкое применение для определения стоимости опционов и других производных инструментов. Они породили новую научную отрасль на стыке экономики, теории вероятностей и математики - финансовую инженерию (financial engineering), специалисты которой занимаются разработкой моделей для оценки производных инструментов.
Метод риск-нейтральной оценки широко использует положения стохастического исчисления для смены вероятностной меры и перехода из реального "физического" мира в мир "риск-нейтральный" и обратно. По этой причине его часто называют методом оценки при помощи стохастического исчисления (stochastic calculus approach). Иногда он приводит к замкнутым решениям, но обычно применяются численные методы. Риск-нейтральный метод более гибок, нежели метод Блэка-Шоулса, что в некоторых случаях позволяет оценить такие производные инструменты, стоимость которых не может быть определена по методу Блэка-Шоулса.
Следует отметить, что реализовать самофинансируемую стратегию репликации не всегда возможно. Финансовые рынки, обладающие тем свойством, что платежная функция всякого опциона воспроизводима в виде капитала некоторой самофинансируемой стратегии, называются полным [13]. Указанное свойство позволяет противопоставить опциону эквивалентный набор базовых активов, что чрезвычайно удобно на практике.
В работах Харрисона и Крепса (1979) [90] и Гаррисона и Плиска (1981 и 1983) [91, 92] было показано, что финансовый рынок является полным тогда и только тогда, когда помимо физической меры вероятности существует единственная эквивалентная ей мартингальная вероятностная мера, относительно которой дисконтированные цены активов являются локальными мартингалами. Эти работы вскрыли "мартингальную" структуру свойства рынка быть полным [21. 25].
Основная сложность работы с моделями полного рынка заключается в том, что необходимо точно знать параметры модели. Например, для применения модели Блэка-Шоулса необходимо точное знание краткосрочной процентной ставки и волатильности в каждый момент времени в будущем, что в принципе невозможно. Учет же стохастического характера этих двух переменных приводит к тому, что модель становится неполной, то есть хеджирующая стратегия уже не является самофинансируемой. В этом случае применяется стратегия сверх-хеджирования (суперрепликации), стоимость которой задается как супремум математического ожидания выплат при всех эквивалентных мартингальных вероятностных мерах [86].
Одной из первых работ, посвященных проблематике хеджирования опционов в неполных финансовых рынках, является работа Эль-Каруи и Кунез (1995) [85]. Ученые показали, что общая методика хеджирования производных инструментов на неполных финансовых рынках требует применения достаточно нетривиальных методов стохастической теории. Поскольку многочисленные эмпирические исследования выявили, что волатильность не является постоянной величиной, целый ряд научных работ направлен на ее моделирование. В некоторых работах предполагается зависимость волатильностн от цены акции. Целое направление научных исследований посвящено моделированию волатильностн как решения стохастического дифференциального уравнения. Их основу составляют работы Халла и Уайта (1987) [97] и Гофмана. Шатена и Швейцера (1992) [95]. В работах Андерсена (1994) [59] и Дуана (1995) [81] делается попытка моделирования волатильностн как авторегрессионного процесса условной неоднородности (ARCH, GARCH, HARCH.).
Однако, даже сложнейшие с математической точки зрения модели неполных рынков являются чересчур идеалистическим приближением реальности, что приводит к необходимости введения в рассмотрение рынков с ограничениями. Примерами ограничений могут служить взимание некоторой платы за открытие короткой позицию по акции, наличие разницы в процентных ставках привлечения и размещения денежных средств, ограничение на объем привлекаемых финансовых ресурсов, законодательные ограничения, транзакционные издержки и т.д.
Для моделей с непрерывными ценами активов методика хеджирования при наличии ограничений была развита в работе Цвитаника и Каратцаса(1993) [77]. Отметим также работу Корна (1995) [106], в которой рассматривалась задача хеджирования в модели с различными процентными ставками привлечения и размещения.
Еще одна возможность приблизить модели к реальности заключается в рассмотрении транзакционных издержек как в узком (комиссионные сборы), так и в широком смысле (расходы на поддержание инфраструктуры, людские ресурсы и др.). Этим вопросам посвящены работы Ширяева А.Н [55], а также Бенседа и др. [64] и Бойл и др.[69].
Отрасль финансовой математики и финансовой инженерии бурно развивается, и постоянно появляются новые научные труды по вопросам хеджирования и ценообразования производных инструментов. В рамках настоящего исследования не представляется возможным охватить весь круг существующих работ, можно выделить лишь их основные классы. Более подробный обзор с описанием тенденций развития финансовой инженерии представлен в книгах [68, 94, 100, 115].
На рисунке 1.8 приведена рабочая классификация моделей хеджирования и нахождения цены производных инструментов. Ее ядро образуют модели полного рынка, к которым, к примеру, относится знаменитая модель Блэка-Шоулза. Снятие некоторых предположений этой модели (относительно постоянной волатнльности. постоянных процентных ставок) приводит к тому, что не для всех производных инструментов может быть найдена единственная стратегия репликации, то есть рынок становится неполным. В целях дальнейшего приближения к реальности в модели могут вводиться дополнительные ограничения, что позволяет выделить их в отдельный класс. Рассмотрение в моделях транзакционных издержек еще сильнее приближает их к реальности.
Модель управления риском портфеля опционных контрактов
Стоимость опциона зависит также и от волатильности рынка базового актива. Чем больше волатильность, тем выше стоимость опциона. Это связано с тем, что с возрастанием волатильности увеличивается вероятность того, что при истечении своего срока опцион будет «в деньгах». Чувствительность стоимости опциона к изменению волатильности цены базового актива измеряется коэффициентом вега: Характер зависимости стоимости опциона от волатильности цены базового актива сходен с ранее рассмотренным характером зависимости опциона от времени до истечения контракта. Опционы «на деньгах» наиболее чувствительны, а опционы глубоко «в деньгах» и глубоко «вне денег» менее чувствительны к этим факторам.
На практике параметр вега определяется как величина изменения стоимости опциона, вызванная изменением волатильности на 1%.
Следует отметить, что при прочих равных условиях опционы с меньшим временем до своего истечения менее чувствительны к волатилоьности, то есть имеют меньшее значение коэффициента вега.
В данном пункте были подробно рассмотрены коэффициенты чувствительности при условии, что волатильность G=f(X)=const, то есть является величиной постоянной. Данный коэффициенты являются обще принятыми, и их значения можно легко рассчитать, однако они не всегда точно отражают текущую рыночную ситуацию, так как не учитывают зависимость параметра волатильности от страйка: o=f(X). Далее рассмотрим как, при заданных коэффициентах чувствительности, необходимо учитывать профиль волатильности для более точного расчета коэффициента дельта.
При ведении торговой деятельности инвестору могут понадобиться опционы с разными ценами исполнения на один актив и с одинаковой датой погашения для реализации сложных стратегий. Таким образом, биржа предоставляет опционные контракты с разными ценами исполнения (страйками). Как было показано в пункте 2.4.4, стоимость опциона зависит от значения волатильности. Зависимость волатилъности от цены страйка называется кривой волатилъности [25]. В данной работе рассматривается внутренняя волатильность[35], как инструмент подравнивания теоретической цены под рыночную. Для построения кривой волатильности зафиксируем дату экспирации опционов и страйки, по которым может вестись торговля опционами с выбранной датой экспирации, будем откладывать по горизонтальной оси. По вертикальной оси будем измерять значения опционной волатильности. Кривую волатильности получим соединенив эти точки ломаной или более гладкой линией. Когда на отдельных страйках сделки отсутствуют, то применяются методы интерполяции и экстраполяции, причем во внимание принимается весь массив имеющихся данных о сделках и заявках по всем сериям опционов со всеми месяцами исполнения.
В теории [2,15,41] полученная кривая волатильностей для одного месяца исполнения должна быть горизонтальной прямой. Каждый участник торгов составляет для себя прогноз волатильности и при наличии запаса по волатильности, который представляется ему существенным, готов покупать недооцененные и продавать переоцененные опционы. Если опционы на разных страйках имеют различную опционную волатильность, то покупатели сосредоточат спрос на наиболее дешевых в терминах опционной волатильности, а продавцы - на наиболее дорогих (для увеличения запаса по волатильности и уменьшения риска ошибки прогноза), что приведет к выравниванию цен в терминах волатильности.
Анализ реальных премий показывает, что этот вывод подтверждается лишь отчасти: как правило, опционные волатильности на соседних страйках близки, а кривая волатильности представляет собой плавную линию без резких перепадов. Однако чем сильнее страйк удаляется от цены базисного актива, тем заметнее отклонение волатильности от основного значения, в качестве которого принимается значение в центральном страйке. Это означает, что рынок принимает во внимание дополнительные факторы, которых не учитывает упрощенная модель движения цены базисного актива, положенная в основу теории. Кроме того, при смещении цены базового актива вслед за ним смещается и профиль волатильности, который часто носит название «улыбки» волатильности [12,15,23]. Такой профиль волатильности будем называть плавающим. В пункте 2.4.1 был произведен анализ чувствительности теоретической цена опциона от цены базового актива при постоянном значении волатильности. Рассмотрим теперь волатильность как функцию от цены G=O(S) и как следствие о=а(Х). При плавающем профиле волатильности о зависит от разницы между текущей ценой базового актива и значением стайка опциона, для которого рассчитывается коэффициент А. Таким образом, кривую волатильности можно выразить как функцию от страйков опциона: o(X)=f(S-X).
Выражение (2.20) позволяет найти коэффициент дельта при фиксированных значениях, волатильности а, времени до погашения т, процентной ставки г. Выражая время в долях от года (см. пункт 2.2) можно предположить, что т = const. Сделаем еще одно допущение и примем r=const. Дельта - это тангенс угла наклона касательной проведенной к графику функции цены опциона при текущей цене базового актива.
Результаты моделирования различных методик дельта хеджирования
Главной целью функционирования механической торговой системы является поддержание дельта нейтральной позиции при торговле волатильностью.
Применение МТС дает следующие преимущества: 1. Скорость выставления заявки при быстром изменении цены. Использования торговых стратегий позволяет оперативно реагировать на все изменения цены базового актива, и как следствие на все изменения показателя S. При большом количестве различных опционных портфелей применение торгового робота является единственным способом поддержания дельта нейтральной позиции. 2. Время мониторинга позиции. На текущий момент биржа срочных контрактов РТС FORTS работает с 10.30 до 23.50, и при контроле ценового риска необходимо постоянно отслеживать тенденции цены, что является утомительной работой. Торговые роботы могут работать круглосуточно, при необходимости отслеживать позиции даже на различных биржах. Следующим шагом является техническая реализация в механической торговой системе нейтрализации дельты 5 ддя. минимизации влияния отрицательной динамики базового актива на позицию. Таким образом, основным элементом алгоритма функционирования программы будет являться модуль расчета 6 по формуле (2.30 ) с использованием численного метода прогонки. На описанные выше условия накладывается следующее ограничение: динамический хедж осуществляется с применением высоколиквидных инструментов. Поскольку отечественный срочный рынок пока недостаточно развит, более ликвидными контрактами являются фьючерсы, опционы же обладают низкой ликвидностью, поэтому хеджирование по дельте осуществляется именно фьючерсами. Схематичное изображение алгоритма функционирования механической торговой стратегии представлен на рисунке 3.13. Отслеживание изменения цена бязевого. Трейдер определяет момент входа в опционную позицию и заключает соответствующую сделку. При этом опционные позиции могут быть различными с использованием покупки и продажи опционных контрактов. МТС разбивает весь опционный портфель на однородный контракты, рассчитывает показатель реальной дельты для каждой части портфеля и с учетом свойства аддитивности рассчитывает итоговой по портфелю показатель Sс. В соответствии с рассчитанным значением система открывает позицию по базовому активу. Если при открытии суммарный коэффициент дельта по опционам положителен, то следует продавать фьючерсы, если отрицателен - покупать. Процесс мониторинг расчета дельта должен вестись постоянно, так как изменение показателя реальной дельты может произойти при любом движении цены, и при каждой значительном изменении необходимо корректировать позицию по базовому активу. На следующем шаге алгоритм должен отслеживать изменения в опционном портфеле, так как торговля волтильностью может подразумевать изменения и в составе портфеля, что влечет за собой изменение показателя реальной дельты. Программный код механической торговой системы реализован на языке Qpile торговой платформы QUIK. Текст программы представлен в приложение 3. Одним из возможных путей решения проблемы не ликвидности различных фьючерсных контактов, является использование индексных фьючерсов как инструмент хеджирования. Проблема заключается в неаддитивности показателей чувствительности теоретической цены опциона к различным базовым активам. Преодолением недостатка неаддитивности греков может стать выражение дельты каждого опциона как производной по некоторому общему индексу, а не по ценам соответствующих базовых активов. Аналогично вега отдельных инструментов может быть выражена как производная по волатильности того же индекса, а не по волатильностям отдельных активов. Такие процедуры позволяют придать показателю реальной дельте и веге свойства аддитивности и делают возможным вычисление показателей риска для всего портфеля в целом. На отечественном рынке в качестве индекса следует использовать индекс РТС, так как основные торговые обороты на бирже совершаются именно по этому инструменту, что означает возможность закрытия позиции в любой момент времени без значительного изменения цены. Алгоритм вычисления индексной дельты можно представить в виде последовательности следующих процедур: 1. Рассчитывается значение цены каждого базового актива, к которому приводит изменение индекса на один пункт. Это делается классическим способом с применением беты. 2. Определяется справедливая стоимость каждого входящего в портфель опциона при условии, что цена его базового актива равна значению, полученному на этапе 1. Для этого необходимо воспользоваться моделью ценообразования, заменяя в ее формуле текущую цену базового актива соответствующим расчетным значением. 3. Вычисляется приращение цены каждого входящего в портфель опциона, произошедшее в результате изменения цены его базового актива на один пункт. Приращение равно разности расчетной стоимости, полученной на втором этапе, и текущей стоимости опциона. 4. Рассчитывается значение индексной дельты путем суммирования всех приращений, полученных при исполнении процедуры 3. Полученная таким образом индексная дельта характеризует чувствительность всего портфеля к изменениям индекса. Она может использоваться для оценки риса и управления сложно-струтурированным портфелем так же, как это делается с обычной дельтой для портфелей, состоящих из опционов на один базовый актив. В модели индексной дельты был рассмотрен портфель, состоящий из опционов на различные активы. Пусть {CX,C2,...CN} представляет множество составляющих портфель опционов, причем базисный актив опциона С,., является Si, Если при j = к активы Sj и Sk совпадают, то речь мотет идти об опционной комбинации, построенной в рамках определенной торговой стратегии (например, стрэнгл, стрэддл, календарный спрэд и т.д.). Комбинации могут состоять из неограниченного количества разных опционов, относящихся к одному базисному активу, а портфель из неограниченного количества комбинаций.
Похожие диссертации на Модели определения стоимости и управления риском опционных контрактов
