Методы оценки и управления финансовыми рисками Шитенков Роман Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Теоретические проблемы анализа рисков финансовых рынков 9

1.1. Финансовые рынки и риски рыночной деятельности 9

1.2. Характеристики и показатели финансовых рисков 28

1.3. Меры риска 54

1.4. Особенности управления финансовыми рисками 63

Глава II. Основные подходы и методы оценки показателей финансового риска 84

2.1. Эконометрические методы оценки волатильности 84

2.1.1. Модели процессов со скачками вариации 89

2.1.2. Модели процессов с зависимой вариацией 91

2.1.3. Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией 97

2.2. Имитационные методы оценки рисковой стоимости 99

2.3. Ковариационный метод расчета рисковой стоимости 106

Глава III. Оценки рисков российского финансового рынка и предложения по управлению ими 124

3.1. Оценки риска валютного рынка на основе факторных экономических моделей 124

3.2. Оценки риска рынка ценных бумаг на основе моделей временных рядов 126

3.3. Сопоставительный анализ методов оценки VaR российского рынка ценных бумаг 134

3.4. Возможности использования методов управления финансовыми рисками в РФ 148

Заключение 159

Литература 167

Приложение

• Характеристики и показатели финансовых рисков
• Особенности управления финансовыми рисками
• Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией
• Сопоставительный анализ методов оценки VaR российского рынка ценных бумаг

Введение к работе

Актуальность темы исследования.

Одним из важнейших элементов рыночной экономики является финансовый рынок, формирование и интенсивное развитие которого в России стало неотъемлемой и составной частью сложного и многогранного процесса перестройки экономических отношений. Вместе с тем, неустойчивый характер экономических процессов в стране, несовершенство системы управления финансовым рынком и его законодательной и нормативно-правовой базы, усиливающаяся его зависимость от колебаний мировой конъюнктуры и ряд других факторов предопределяют существование высоких рисков для субъектов, осуществляющих операции на российском финансовом рынке. В этих условиях объективно возрастает необходимость в повышении научной обоснованности оценок уровней финансовых рисков и подходов к управлению ими путем использования более совершенных и адаптированных к российским реалиям методов.

Практическая значимость решения проблем оценки и совершенствования управления рисками российского финансового рынка определяется возможностью повышения на этой основе финансовой устойчивости его участников и, тем самым, стабилизации этого рынка и экономики страны в целом.

Степень научной разработанности проблемы.

Вопросы оценки уровней финансовых рисков и разработки методов управления ими рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных специалистов в области финансового менеджмента и риск- анализа. Среди научных трудов по этой проблематике необходимо отметить работы Балабанова И.Т., Буренина АН., Воронцовского А.В.,

Кандинской О.А., Касимова Ю.Ф., Кузнецова М.В., Лобанова А.А, _ Пукашина Ю.П.. МиркинаЯ.М., Михайлова Д.М., ПервозванскойТ.Н.,

Первозванского A.A., Рогова М.А., Четыркина Е.М., Александера Г., Брелея

Р., БригхемаЮ., Бэйли Дж., ВанХорнаДж., ГапенскиЛ., ГалицаЛ.,

Длиориона П., Дугласа Л., Маерса С, Маршалла Дж., Мишра В., НайтаФ.,

Паррамоу К., Пенза П., Рудолфа М., Рэйа К., Смита К., Уиллота П.,

Уолтшема Дж., Фаббози Ф., Шарпа У.

Как самостоятельное научное направление в оценках финансового риска следует выделить финансовую эконометрику, модели и методы которой позволяют оценить важнейший параметр финансового риска -волатильность. Их разработке посвящены научные труды Айвазяна С, Елисеевой И., Мхитаряна В., Бачелиева Л., Грина М, Кэмпбелла Дж., Ло В., Маккиплея А., Тейлора С. и ряда других специалистов.

Однако, несмотря на целый ряд существенных теоретических результатов в этой области, полученных этими и некоторыми другими специалистами, их применимость на российском финансовом рынке не гарантирует его участников от достаточно значительных, частых и поэтому неприемлемых для них потерь. Это связано с тем, что данные результаты получены при предпосылках, не соответствующих реалиям достаточно стохастически развивающегося российского рынка. Все это выдвигает в число значимых научных проблем совершенствование и формирование подходов к оценке и управлению рисками, адекватных условиям российского финансового рынка, что и обусловливает актуальность тематики диссертационного исследования и предопределяет его цель и задачи.

Целью диссертационного исследования является совершенствование и разработка методов и моделей оценки рисков финансового рынка, адаптированных к российским условиям его развития, и обоснование предложений по формированию стратегий управления этими рисками.

В соответствии с выбранной целью исследования в работе были поставлены и решены следующие задачи:

- выявление и классификация основных видов рисков российского финансового рынка;

- классификация показателей риска и методов их оценки;

- систематизация методов управления финансовыми рисками применительно к российским условиям;

- разработка методов оценки уровня риска в условиях меняющейся волатильности показателей финансового рынка;

- сопоставительный анализ и обоснование применимости на российском рынке ценных бумаг различных (параметрических и непараметрических) методов оценки рисков, использующих методологию VaR;

- разработка эконометрических моделей (многофакторных и временных рядов) для оценки волатильности и уровней рисков российских рынков ценных бумаг и валюты;

- обоснование подходов к управлению рисками на российском финансовом рынке и разработка предложений по их практическому использованию.

Объект и предмет исследования.

Объектом исследования являются показатели финансовых рынков и характеристики рисков осуществляемой на них деятельности.

Предметом исследования являются методы оценки финансовых рисков и методы управления этими рисками.

Методологической и теоретической основой исследования явились труды отечественных и зарубежных специалистов в области финансового риск-анализа и риск-менеджмента, теории риска, теории вероятностей и эконометрики. В ходе работы над диссертацией автор использовал информацию, отражающую содержание законов, законодательных и нормативных актов, Постановлений Правительства РФ, регулирующих функционирование и развитие фондового рынка в РФ, в особенности рынка

• регламентирующие выбор методов ведения деятельности на финансовых

рынках, в том числе и в РФ, и показатели, характеризующие их состояние и

риски.

Научная новизна результатов диссертационного исследования состоит в обосновании подходов к оценке и управлению рисками российского финансового рынка и разработке методов получения достоверных оценок их уровня.

Наиболее существенные результаты исследования, полученные лично автором и выдвигаемые на защиту, состоят в следующем:

- определены основные виды рисков, характерных для российского финансового рынка на современном этапе его развития;

- обоснована целесообразность использования определенных показателей для измерения уровня этих рисков;

- на основе сопоставительного анализа результатов расчетов с # использованием реальной информации выявлены наиболее адекватные

российским условиям методы оценки финансовых рисков, основанные на методологии VaR;

- разработаны варианты эконометрических моделей для оценки постоянной и изменчивой волатильности как характеристики риска российских рынков ценных бумаг и валюты;

- оценены уровни рисков российских рынков ценных бумаг и валюты;

- предложены подходы и методы управления рисками российского финансового рынка, адаптированные к его особенностям и условиям функционирования.

Теоретическая и практическая значимость исследования определяется

целесообразностью и возможностью использования полученных в нем

• результатов, вытекающих из них выводов и рекомендаций по оценке

Финансовых рисков и выбору адекватных российским УСЛОВИЯМ ПОЛУПЛОВ К

управлению ими различными институтами (банками, фондами, инвестиционными компаниями), действующими на российском финансовом рынке.

Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы доложены, обсуждены и одобрены на заседаниях кафедры математических методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова, на международной научной конференции «XXV Плехановские чтения» в г.Москве. Основные результаты диссертационного исследования были использованы в практической деятельности коммерческого банка «Транскапиталбанк», а также при разработке программ, чтении лекций и проведении практических занятий по курсу «Финансовый риск-анализ», читаемому на экономико-математическом факультете РЭА им. Г.В. Плеханова.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано четыре печатных работы, общим объемом 1,2 п.л.

Структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, #трех глав, заключения, списка используемой литературы, а также включает в себя 4 приложения. Работа, включая приложения, изложена на 201 страницах машинописного текста, содержит 13 таблиц и 10 рисунков. Список использованной литературы включает 155 наименований, в том числе 84 источника на иностранных языках.

Характеристики и показатели финансовых рисков

Финансовый риск может быть характеризован двумя основными группами показателей. Первую из них образуют характеристики волатильности (изменчивости) индикаторов финансового рынка (индексов рынков, кривых процентных ставок и т.д.).

Во вторую группу входят показатели чувствительности результатов деятельности субъектов на финансовом рынке к последствиям изменчивости его индикаторов. На их основе можно определить варианты стратегии поведения на финансовом рынке, характеризующиеся наименьшим риском при изменении рыночной ситуации. Очевидно, что в условиях конкурентного рынка его участники практически не имеют возможности контролировать волатильность индикаторов финансового рынка; они могут только приспособить чувствительность результатов своей деятельности к этим изменениям.

Основными индикаторами финансового рынка (или его отдельных инструментов) являются цена и доходность. В свою очередь, волатильность определяется как мера разброса значений его цены или доходности вокруг ожидаемого уровня.

Заметим при этом, что понятие «доходности» может быть определено различными способами [80, 144].

Обозначим через УЧ установленную на момент t цену товара, акции, «стоимость» валюты и любого другого товара, реализуемого на бирже и предположим, что за период (t-1, t) его владелец не получит дивидендов. Темп прироста цены за интервал (t-1, t) рассчитанный как в научной литературе получил название "простого чистого дохода" (simple net return). Темп роста цены, определяемый как называется "простым валовым доходом" (simple gross return). Легко видеть, что валовый доход за к периодов от момента t-k до t, обозначенный через Ot(k)=\+R,(k), рассчитывается как произведение однопериодных доходов В свою очередь, чистый доход за к периодов определяется как валовый доход за этот интервал времени минус единица, т. е. Существует по крайней мере две причины, по которым отдается предпочтение временным рядам доходов по сравнению с рядами цен. Во-первых, есть основание предполагать, что для инвесторов финансовые рынки представляются достаточно совершенными механизмами, в том смысле, что уровень цен на них не зависит от размера инвестиций. В такой ситуации привлекательность вложений капитала не зависит от вида товара и вследствие этого определяется величиной дохода, а не уровнем его цены. Во-вторых, свойства временных рядов доходов, как правило, предпочтительнее с точки зрения статистики. Им, например, в большей мере присуща стационарность, чем рядам цен.

Однако, взаимосвязи между однопериодными доходами и доходом за объединенный период, выраженные произведением (1.3), также не очень удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за к периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение. Вместе с тем, математическая статистика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют "непрерывно составными доходами" (continuously compounded returns) или геометрическими доходностями". Обозначим логарифмический доход в момент / через 7,=ln(l+7?,)=ln Q,. Легко видеть, что между его уровнем qt и исходными ценами существует достаточно простая взаимосвязь, выражаемая следующим соотношением Y где у, = In 7,. Преимущества показателя q, перед О, становятся очевидными при рассмотрении логарифмического дохода за к периодов выражения (1.6) вытекает, что логарифмический доход за к периодов является арифметической суммой однопериодных логарифмических доходов. Для некоторых финансовых показателей использование геометрической доходности особенно удобно. Например, обменные валютные курсы могут быть выражены через каждую из двух валют для каждой пары: курс доллара в рублях или курс рубля в долларах. Распределения геометрической доходности любого этих курсов абсолютно симметричны, чего нельзя сказать о распределениях арифметической доходности. Использование геометрической доходности также удобно при конвертации. Например, если инвестор хочет измерять доходность в евро, то она может быть выведена из данных, при получении которых базовой валютой был доллар: 1п(Отношение курсов евро к рублю)=1п (Отношение курсов евро к доллару)+ 1п(Отношение курсов рубля к доллару). В этом случае геометрическая доходность, выраженная в евро, просто равна разности геометрической доходности рубля, выраженной в долларах, и геометрической доходности евро, выраженной в долларах. Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых "портфелей", представляющих собой взвешенную (в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.). Если і-я позиция такого портфеля имеет вес (долю) сох , тогда чистый доход от портфеля определяется как взвешенная сумма доходов различных активов В то же время логарифмические доходы не представляют такой возможности для расчета логарифмического дохода портфеля, поскольку логарифмирование выражения (1.7) не приводит к взвешенной сумме логарифмов.

Особенности управления финансовыми рисками

Стратегия управления рисками компании определяется исходя из приоритетов ее деятельности на финансовом рынке. Одни компании стремятся к стабильности, предпочитая относительно скромные, но надежные доходы, другие готовы взять на себя значительный риск, если это сулит хорошую прибыль. Таким образом, стратегия управления рисками связана с рассмотренной в разделе 1.2. дилеммой «риск-доходность».

В первоначальный период становления банковско-финансового сектора в России основное внимание уделялось кредитному риску, т.е. риску потерь в результате неисполнения контрагентами своих обязательств. Развитие финансовой сферы привело к смене приоритетов. На первый план вышли вопросы, связанные с управлением рыночным риском. Заметим, что на Западе все происходило по аналогичному сценарию, но с опережением на десятки лет.

Дополнительным аргументом, подтверждающим важность управления рыночным риском на российском рынке, послужили события, развернувшиеся с конца октября - начала ноября 1997 г. по август 1998 г. Сначала мировой фондовый кризис привел к скачкам доходности государственных и корпоративных ценных бумаг в размере 10-20 процентов, впоследствии объявленный российским правительством дефолт привел к девальвации национальной валюты и резкому падению стоимости акций российских компаний. В данном случае именно рыночный риск был источником значительных потерь для целого ряда организаций.

Напомним, что в разделе 1.1. мы определили рыночный риск как риск, обусловленный изменением процентных ставок, курсов валют, котировок ценных бумаг производных инструментов, цен товаров, а также других факторов, прямо или косвенно влияющих на цены конкретных инструментов. Например, корреляция между ценовыми изменениями различных инструментов хотя сама и не является прямым ценовым фактором, косвенно влияет на ценовые характеристики портфеля, содержащего эти инструменты. Точно также, волатильность некоторого инструмента, сама, не являясь ценовым показателем, тем не менее, существенно влияет на цену опциона на данный инструмент.

Основная опасность рыночного риска, как и всякого финансового риска, состоит в том, что он приводит к неустойчивости денежных потоков во времени. Все это, в конечном счете, серьезно влияет на финансовые показатели организации и, прежде всего, на ее финансовую устойчивость.

Отсутствие должного внимания к рыночному риску зачастую оправдывается тем, что в реальной жизни рыночные риски могут естественным образом нейтрализоваться. Примером может служить практика экспортера, реализующего валютную выручку многократно. Потери, обусловленные неблагоприятными изменениями цен в одних случаях, компенсируются, в среднем, дополнительной прибылью, возникающей при благоприятных изменениях цен в операциях противоположной направленности. Однако математические исследования показали, что надежды на естественную нейтрализацию рыночных рисков неоправданны, поскольку во-первых, вероятность разорения субъекта рынка в результате неблагоприятных изменений индикаторов рынка возрастает с ростом числа операций, и, во-вторых, с ростом потенциальной прибыли при прочих равных условиях его риск увеличивается.

Говоря о влиянии рыночного риска на денежные потоки, необходимо помнить следующее. Самое главное в деятельности компании - предотвратить падение денежных потоков ниже уровня, при котором прерывание бизнеса неизбежно. Непредвиденное снижение доходности финансовых инструментов, неучтенные колебания цен на активы и другие рыночные факторы могут оказаться фатальными. Грамотная оценка величины денежных потоков, уровня их колебаний важна потому, что дает возможность анализировать жизнеспособность, устойчивость организации. По этой причине накопление риска во времени и собственно размер риска - факторы, влияющие на продолжительность жизни финансовой организации.

Таким образом, с точки зрения устойчивости денежных потоков накопление риска с течением времени - это «закон природы», повлиять на который невозможно. Поэтому риском следует управлять, стабилизируя денежные потоки путем формирования стратегии, оптимальным образом сочетающей надежность и прибыльность.

Управление рисками, или рисковой менеджмент, ставит своей целью активный контроль со стороны субъектов рынка за рисками, им угрожающим. Это позволяет свести к минимуму потери от воздействия различных рисков, избежать или, по крайней мере, снизить вероятность наступления катастрофических убытков и повысить степень выживаемости компании.

Традиционно, выделяется три этапа процесса управления рисками, включая идентификацию (выявление) риска, оценку риска и разработка и внедрение мероприятий и мер по снижению риска (контроль риска).

Идентификация состоит в систематическом выявлении и изучении рисков, характерных для данного вида деятельности, включая изучение факторов, вызывающих риск и оказывающих влияние на степень его реализации.

Оценка риска сводится к определению степени его вероятности и размеров потенциального ущерба. Основные показатели, используемые для оценки риска, рассмотрены в разделах 1.2-1.3 работы.

Рассмотрим заключительную стадию управления рисками —- рисковый контроль. Он включает в себя пять основных стратегий: поглощение (принятие) риска, предупреждение риска, снижение риска, самострахование, передача риска (возмещение ущерба) [57, 88,115, 146].

Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией

Для оценки более сложных и комплексных показателей финансового риска на основе VaR, большинство специалистов рекомендуют использовать пять основных моделей: ковариационный (дельта-нормальный) метод, дельта-гамма приближение, Монте-Карло, историческое моделирование, стресс-тестинг [31, 35, 77, 95, 112]. Как будет показано ниже, отличие дельта-гамма (или дельта-гамма-тета) приближения от дельта-нормального подхода состоит лишь в использовании параметров чувствительности стоимости (доходности) опционов к изменениям значений рисковых факторов, таких как дельта, гамма, тета и др., при оценке рыночного риска опционов. Для линейных финансовых инструментов дельта-нормальный подход и дельта-гамма приближение базируются на абсолютно одинаковых моделях.

В данном разделе рассматриваются особенности, так называемых, непараметрических методов оценки VaR, к которым относятся методы исторического моделирования, Монте-Карло и стресс-тестинга [31, 85, 125].

Метод исторического моделирования основан на предположении о стационарности рынка в ближайшем будущем. Он не опирается на теорию вероятностей и требует относительно небольшого числа предположений относительно статистических распределений для рыночных факторов риска. Для реализации этого метода стоимости инструментов портфеля должны быть предварительно представлены как функции рыночных факторов риска.

Искомое распределение прибылей и убытков находится эмпирическим путем, в предположении, что текущий портфель подвергается воздействию реальных изменений значений рыночных факторов риска, которые наблюдались в прошлом, например, за последние п периодов. Для этого строится п множеств гипотетических значений рыночных факторов на основе их нынешних значений и процентных изменений за последние п периодов. Таким образом, полученные гипотетические значения основываются на реальных данных, но не тождественны им. На основе этих гипотетических наборов значений рыночных факторов рассчитывается п гипотетических значений стоимости портфеля. Сравнение этих значений с текущей стоимостью портфеля дает возможность найти п величин прибылей и убытков, вызванных изменением рыночных факторов. Полученные величины также являются гипотетическими, так как портфель мог иметь разный состав на протяжении последних п периодов. Последним этапом является построение эмпирического распределения вероятностей прибылей и убытков, полученных в результате изменений стоимости портфеля, и определение величины рисковой стоимости.

Для начала выбирается достаточно большой период наблюдений Т (например, 100 торговых дней) и для каждого торгового дня (в случае расчета VaR на один день) находится изменение цены каждого базового финансового инструмента, входящего в портфель.

Затем для каждого из этих изменений вычисляется, насколько изменилась бы цена сегодняшнего портфеля. Для этого генерируются 100 возможных значений цен следующего дня:

Затем рассчитываются 100 значений доходности каждого финансового инструмента (позиции), входящего в портфель. Потом находится 100 значений средневзвешенной доходности портфеля по текущим весам, и, путем умножения средневзвешенной доходности на текущую стоимость портфеля, получают распределение возможных значений стоимости портфеля через 1 день.

Далее полученные 100 чисел (сценариев) сортируются по убыванию, т.е. все значения стоимости портфеля ранжируются. Из полученных результатов строится гистограмма, по которой можно с заданной вероятностью оценить VaR. Взятое с обратным знаком число, соответствующее выбранному доверительному интервалу (например, для уровня 99% необходимо взять число с номером 99), и будет представлять собой VAR портфеля.

Очевидно, что чем больше прогнозный горизонт VaR, тем больший период исторических наблюдений требуется анализировать. Например, чтобы проанализировать 250 сценариев для расчета VaR с прогнозным горизонтом в 5 дней, необходима информация по изменениям цен за последние 250 5=1250 дней торгов, поскольку длительность каждого исторического интервала изменения цен равна прогнозному периоду.

У метода есть безусловные преимущества - он не требует серьезных упрощающих предположений и способен улавливать весьма неординарные события на рынке. У него, однако, есть и недостатки. Основные из них следующие [116]: 1. Будущие колебания рынка вовсе необязательно повторяют прошлые. 2. Необходимость как можно большего количества сценариев требует доступность и анализ большого объема исторических данных. 3. Модель не различает более ранние и более поздние исторические изменения цен, присваивая каждому из них одинаковый вес. 4. Для крупных портфелей со сложной структурой модель становится слишком громоздкой.

Метод исторического моделирования достаточно легок в использовании. Он может применяться для несложных портфелей в случае наличия достаточной базы исторических данных. Но из-за ограниченного количества сценариев, которые можно создать, используя исторические данные, историческое моделирование дает больше ошибок, чем, например, метод Монте Карло.

Сопоставительный анализ методов оценки VaR российского рынка ценных бумаг

В данном разделе проведен сравнительный анализ прогнозной точности и эффективности применения рассмотренных в разделах 2.2 моделей оценки VaR на российском валютном и фондовом рынках. Как отмечалось в главе 2, на практике широко используются три базовых метода расчета величины VaR: ковариационный метод, метод исторического моделирования и метод статистических испытаний Монте-Карло. В данной главе мы рассматриваем лишь первые два из вышеназванных методов, поскольку результаты, полученные с помощью ковариационного метода и метода Монте-Карло, оказываются весьма близкими для инструментов с линейными ценовыми характеристиками и нормальным распределением изменений рыночных факторов риска.

В настоящем исследовании анализируются шесть различных моделей расчета показателя VaR с общими временным горизонтом прогнозирования (t=l день), доверительным интервалом (1-а =99%) и различными периодами наблюдений (N). Каждый метод представлен моделями с краткосрочным (N=30 дней) и среднесрочным (N=250 дней) периодами наблюдений, а также с экспоненциальным сглаживанием стандартного отклонения - для ковариационного метода и кумулятивно увеличивающимся периодом наблюдений - для метода исторического моделирования.

Источником ценовых данных служит внебиржевой рынок российских акций в РТС, являющийся наиболее развитым с информационной и технической точки зрения финансовым рынком в России, непрерывно функционирующим с 1995 г. Интервалы времени, на которых производилось тестирование моделей, охватывает период с 1 сентября 1995 г. (момента начала торгов в РТС) по ноябрь 1999 г., что составляет в общей сложности 1000 дней торгов.

Для формирования портфелей были выбраны акции семи компаний, перечисленных в разделе 3.2.

Заметим, что именно этот сектор российского фондового рынка в наибольшей степени характеризуется нормальным распределением волатильности, являющимся, в частности, предпосылкой использования ковариационного метода.

Необходимо отметить, что выбор в качестве объекта исследования портфеля, состоящего лишь из одного инструмента (в данном случае акций только одного эмитента) значительно снизил бы ценность настоящего исследования. Это обусловлено тем, показатель VaR обычно является суб аддитивной мерой риска (т.е. сумма VaR отдельных позиций обычно меньше

VaR портфеля в целом из-за положительных корреляционных связей между ценами инструментов - см. табл. П.4.2 Приложения 4). Базовые модели расчета VaR, в частности, на основе ковариационного метода и метода Монте-Карло, предназначены в первую очередь для оценки рисков диверсифицированных портфелей, состоящих преимущественно из сложных (производных) инструментов. На практике риск единственной линейной позиции на покупку базового актива можно оценить и без применения рассматриваемых моделей расчета VaR (см. раздел 3.2).

Для расчета величины VaR по портфелю в каждом методе используются логарифмические приращения дневных цен закрытия торгов по акциям, далее называемые просто "доходностью .

На первом этапе при помощи генератора случайных чисел было сгенерировано 1000 гипотетических портфелей, каждый из которых представляет собой набор из семи случайных величин, равномерно распределенных на интервале [-1;1]. Каждая случайная величина отражает ненормированный вес соответствующей акции в портфеле, при этом знак "-" означает позицию на продажу по данной ценной бумаге, а знак "+" позицию на покупку. Структура каждого портфеля является постоянной на протяжении всего периода тестирования моделей.

Затем для каждого портфеля с использованием каждой из шести величины рисковой стоимости по всем дням из интервала тестирования за исключением первых N дней. После усреднения результатов по 1000 портфелей, для каждой модели было установлено число дней, когда фактические убытки, вызванные изменением стоимости портфеля, превышали прогнозную величину VaR, рассчитанную в предыдущий день, а также были получены средние значения этих превышений как процент от величины VaR.

Оценка сравнительной эффективности моделей в дальнейшем производилась на основе следующих критериев: минимальное среднее расхождение между фактически наблюдаемым и теоретическим доверительным интервалом модели; минимальная средняя надбавка к нормативному коэффициенту; минимальное среднее превышение фактическими убытками прогнозной величины VaR.