Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы методов принятия финансовых решений в условиях неопределенности и риска 7
1.1. Теория предпочтений в условиях неопределенности 9
1.1.1. Функция полезности 1 1
1.1.2. Понятие несклонности к риску 12
1.1.3. Использование математического ожидания и дисперсии как критериев выбора рисковых альтернатив 18
1.2. Портфельный анализ и выбор портфеля 20
1.2.1. Графическое изображение портфелей ценных бумаг 21
1.2.2. Характеристики портфеля ценных бумаг 25
1.2.3. Методы нахождения эффективной границы 29
1.2.4. Диверсификация риска 32
Глава 2. Модели оценки финансовых активов 43
2.1. Модель САРМ (Capital Assets Pricing Model) 43
2.1.1. Анализ предпосылок САРМ 55
2.1.2. Модель САРМ в предположении об отсутствии безрискового актива 64
2.1.3. Критика модели САРМ 67
2.2. Многофакторная САРМ 68
2.3. Модель арбитражного ценообразования 69
Глава 3. Эмпирическая проверка модели оценки финансовых активов (САРМ) 74
3.1. Теоретический аспект проверки модели САРМ 75
3.2. Практический подход к определению корреляционных связей между доходностью отдельных акций и рынка в целом 93
3.3. Практическое использование модели САРМ для анализа рынка ценных бумаг на примере российского рынка акций 98
Заключение 112
Список литературы 116
Приложение 122
- Использование математического ожидания и дисперсии как критериев выбора рисковых альтернатив
- Характеристики портфеля ценных бумаг
- Модель САРМ в предположении об отсутствии безрискового актива
- Практическое использование модели САРМ для анализа рынка ценных бумаг на примере российского рынка акций
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Одну из главных ролей в экономике играют финансовые сделки, выражающиеся в одновременном создании финансового актива и финансового обязательства. Финансовые активы являются инструментом финансового рынка, на котором происходит формирование предложения и спроса на них, а в результате взаимодействия спроса и предложения достигается рыночное равновесие. Для России финансовый рынок является одним из важнейших видов рынка, поскольку он предоставляет возможности получения хозяйствующими субъектами средств для реальных инвестиций, что является крайне важным фактором развития экономики Российской Федерации. В то же время значительное недоверие инвесторов достаточно сильно сдерживает развитие финансового рынка, поэтому необходимо проводить тщательные исследования рынка и обращающихся на нем финансовых активов, учитывая то, что развитость методов этих исследований в мире (см., например, [45], [51], [52], [53], [67], [71]) позволяет использовать значительный накопленный опыт. В России в последнее время также стали появляться учебные пособия, призванные дать представление как об общих закономерностях развития финансовых рынков, так и об особенностях исследования финансовых рынков на региональном уровне (см., например, [29], [30], [31]). Описывать и прогнозировать функционирование как отдельных финансовых активов, так и их совокупностей, позволяют математические методы, поэтому необходимо всесторонне анализировать и использовать имеющиеся, а также разрабатывать новые методы и модели выявления основных тенденций и зависимостей на финансовом рынке. Это и обусловило выбор темы диссертационного исследования.
Цель и задачи исследования. Основной целью настоящей работы является математическое моделирование процесса принятия финансовых решений в условиях риска.
В соответствии с указанной целью диссертационное исследование призвано решать следующие задачи:
• исследование современной концепции анализа финансовых рисков, основных понятий и принципов, отражающих ее научное содержание;
• проведение анализа существующих моделей и методов оценки риска финансовых активов;
• определение основных понятий, ограничений и допущений для этих моделей, изложение теоретических основ и общих принципов математических методов анализа финансовых рисков;
• проверка адекватности одной из предлагаемых моделей оценки финансовых активов условиям рыночной экономики;
• эмпирическая проверка этой модели;
• адаптация модели для использования ее результатов на практике;
• проведение на основе модели практических расчетов риска финансовых активов российского рынка;
• корректировка результатов, полученных при использовании модели, для адекватного анализа основных тенденций и зависимостей на рынке.
Объектом исследования является финансовый актив или совокупность активов, обращающихся на финансовом рынке. Финансовый актив является рисковым активом, соответственно,
предметом исследования стали процессы принятия финансовых решений в условиях риска и оценка риска финансового актива.
Теоретическая и методологическая основа исследования.
Теоретической и методологической основой диссертации являются труды отечественных и зарубежных экономистов. В ходе исследования использовались общенаучные методы: математическое моделирование, теория вероятностей, методы статистической обработки данных, основы финансового менеджмента. Информационную основу составили материалы базы данных Российской торговой системы (РТС).
Научная новизна. К новым научным результатам, полученным в данном диссертационном исследовании, можно отнести следующее:
• определены характерные особенности одной из моделей оценки финансовых активов, детально проанализированы предпосылки модели и выявлены последствия ослабления этих предпосылок с целью применения модели для исследования рынка;
• проведена эмпирическая проверка модели на реальных данных российского рынка;
• показана возможность использования этой модели для выявления основных тенденций и закономерностей на финансовом рынке;
• проведена корректировка результатов, полученных при использовании модели, с целью достижения адекватности их восприятия при анализе ситуации на рынке;
• сформулированы рекомендации по применению модели для анализа риска финансовых активов.
Практическая и научная значимость. Научная значимость результатов диссертационного исследования заключается в формировании общих концепций моделей оценки финансовых активов.
Практическая значимость результатов работы заключается в исследовании и доказательстве возможности применения одной из этих моделей для анализа реальных данных российского финансового рынка, а также в проведении расчетов с использованием этой модели.
Помимо этого, результаты, полученные в рассматриваемой работе, имеют практическое значение с точки зрения совершенствования учебных курсов, читаемых на экономическом факультете СПбГУ (курс «Теория рынка капитала») и в Санкт-Петербургском филиале ГУВШЭ (курс «Математические модели финансового рынка»).
Структура работы. Цель и логика исследования предопределили структуру диссертации, которая состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Использование математического ожидания и дисперсии как критериев выбора рисковых альтернатив
Этот раздел посвящен проблеме, которая, в отличие от изложенного выше, рассматривается практически всеми авторами (как зарубежными, так и российскими), занимающимися вопросами принятия инвестиционных и финансовых решений в условиях риска (см., например, [4], [18], [20], [25] - труды российских авторов; [5], [21], [32], [38] - переводная литература; [43], [50], [56], [57], [65], [73], [76], [78] - работы зарубежных авторов). Если вероятностное распределение доходностей активов является нормальным, мы можем максимизировать ожидаемую полезность путем выбора наилучших комбинаций математического ожидания и дисперсии. Если имеются функции полезности, которые максимизируют ожидаемую полезность дохода в конце рассматриваемого периода (в предположении однопериодной модели), то соотношение между доходом и доходностью можно записать следующим образом: где Rj - доходность у -ого актива, Wj - доход на конец периода от инвестирования ву -й актив, W0 - первоначальный доход. Если считать, что мир может находиться в конечном числе состояний, и закон распределения доходности финансового актива, R, задается равенствами p(R=Ri() = /? , к — \,К, где /? - всевозможные значения, которые принимает R в различных состояниях природы, рк — вероятность получения этих значений, то математическое ожидание доходности финансового актива записывается следующим образом: Ожидаемая доходность финансового актива R = E(R). Математическим выражением разброса вокруг значения ожидаемой доходности является дисперсия: Однако дисперсия выражается в «квадратных процентах» -совершенно бессмысленной единице. Поэтому в качестве меры разброса, выраженной в тех же единицах, что и доходность, используют стандартное отклонение, а, которое равно квадратному корню из дисперсии (см., например, [28]). Если доход на конец периода от инвестирования в актив j является нормально распределенным с математическим ожиданием W и дисперсией 32w, то доходность активау будет также являться нормально распределенной с математическим ожиданием E(RJ)=[(E(WJ)/WO}-1] и дисперсией G2R = (а IWQ). Предполагая, что доходность актива является нормально распределенной с математическим ожиданием Е и дисперсией а , мы можем записать функцию полезности следующим образом: U=U(RJ;E, О) В случае использования непрерывных величин ожидаемая полезность будет равна Выразим кривую безразличия несклонного к риску инвестора как функцию математического ожидания и стандартного отклонения распределения доходностей. Кривая безразличия изображается на графике путем нанесения всех комбинаций риска (стандартное отклонение или дисперсия) и доходности, которые обеспечивают одинаковую полезность. Очевидно, что если комбинации приносят одинаковую ожидаемую полезность, инвестор будет безразличен по отношению к ним. На рис. 1.1 изображен пример кривых безразличия несклонного к риску инвестора. Можно показать (см., напр., [46, с. 98]), что кривые безразличия являются выпуклыми функциями. Этот параграф посвящен такой проблеме, как формирование портфеля ценных бумаг. В 1952 году была опубликована статья Гарри Марковица [59, с. 334], положившая начало современной теории выбора портфеля.
Помимо классической теории мы проанализируем дальнейшие исследования в этой области, которые проводились как Наилучшая комбинация ожидаемой доходности и риска зависит от функции полезности инвестора. Как уже было сказано, функция полезности графически изображается кривыми безразличия. Отдельный инвестор стремится иметь такой портфель ценных бумаг, который соответствует наивысшей кривой безразличия (см., например, [6, с. 63]). Выбирает портфели инвестор из допустимого множества портфелей. Пример допустимого множества, основанного на субъективных вероятностях, определяемых каждым инвестором, показан на рис. 1.4. Допустимое множество отражает все возможные портфели ценных бумаг, рассматриваемые инвестором. Т.е., каждая точка в закрашенной области отражает портфель, доступный инвестору. Жирная линия на верху множества - линия эффективных комбинаций или эффективная граница. Согласно теории Гарри Марковича [59], инвестор должен отыскать портфель, который лежит на эффективной границе. Портфель не является эффективным, если существует какой- либо другой портфель с большей ожидаемой доходностью и меньшим стандартным отклонением, большей ожидаемой доходностью и таким же стандартным отклонением, или такой же ожидаемой доходностью, но меньшим стандартным отклонением. Целью инвестора является выбрать наилучший портфель из тех, которые лежат на эффективной границе. Портфель, обеспечивающий максимальную полезность - это портфель, находящийся в точке касания допустимого множества и наивысшей кривой безразличия. На рис. 1.5 оптимальный портфель находится в точке А.
Характеристики портфеля ценных бумаг
Доходность портфеля ценных бумаг - это средневзвешенная доходность отдельных активов, входящих в портфель, притом, что весами являются доли средств, инвестируемых в конкретный актив. Если ХІ - доля средств, инвестируемых в /-й актив, Rt - доходность этого актива, а N - число ценных бумаг в портфеле, то доходность портфеля будет равна: Ожидаемая доходность - это также средневзвешенная ожидаемая доходность отдельных активов, входящих в портфель (см., например, [28, с. 83]): Второй характеристикой портфеля является дисперсия. Дисперсия портфеля определяется несколько сложнее, чем ожидаемая доходность. Рассмотрим сначала, как определяется дисперсия портфеля, состоящего из двух активов. Дисперсия портфеля, обозначаемая у2 равна математическому ожиданию квадратов отклонений доходности портфеля от ее среднего значения, или ap = E\R — R ) . Подставляя в это выражение формулу для доходности портфеля и ожидаемую доходность, получим ценной бумаги. Далее имеем: Применяя свойства математического ожидания, получаем: где (ji2 - ковариация между ценными бумагами 1 и 2. Подобным образом может быть записана формула для дисперсии портфеля, состоящего из трех активов: где erf - дисперсия /-ой ценной бумаги, а,у - ковариация между активами / и/, / = 1,3, j = 1,3. Эта формула может быть обобщена для любого числа активов.
Заметим, что дисперсия каждого актива умножается на квадрат доли средств, в него инвестируемых. Т.о., первая часть выражения для дисперсии портфеля равна сумме дисперсий отдельных активов, N умноженных на квадраты долей, т.е. xfo2 . Вторая часть выражения для дисперсии портфеля равна выражениям ковариации. Заметим, что в уравнение для дисперсии портфеля входит ковариация между каждой парой активов. Также заметим, что каждое выражение ковариации удваивается и умножается на произведение долей средств, 27 инвестируемых в каждый из пары активов, поэтому вторую часть уравнения мы можем получить путем двойного суммирования, т.е. . Подставляя обе части в выражение для дисперсии портфеля, получаем: ИЛИ где Ру - коэффициент корреляции между ценными бумагами / иу. Инвестор имеет набор различных комбинаций ожидаемой доходности Rp и дисперсии и2р, зависящих от его выбора портфеля X\...xN.
Согласно правилу «ожидаемая доходность-дисперсия» Марковица инвестор выбирает один из тех портфелей, которые расположены на эффективной границе, т.е. портфели с минимальной дисперсией при заданной доходности или портфели с максимальной ожидаемой доходностью при заданной дисперсии. Модель Марковица выглядит следующим образом: где последнее ограничение означает запрещение «коротких продаж». Для того чтобы осуществить «короткую продажу» ценной бумаги, инвесторы берут в долг ценную бумагу у текущего владельца и немедленно продают ее на рынке капитала по текущей цене. Затем через некоторое время инвестор возвращается на рынок капитала и выкупает эту ценную бумагу по новой цене и возвращает ее кредитору. Если цена ценной бумаги упала в течение периода «короткой продажи», инвестор получает доход; если цена ценной бумаги возросла, он терпит убыток. И в том, и в другом случае выигрыш или потеря лица, осуществляющего «короткую продажу», всегда имеет противоположный знак по отношению к выигрышу или потере владельца ценной бумаги за тот же период. На основе этой модели можно построить задачу квадратичного программирования, где целевой функцией является минимизация дисперсии, т.е.
Модель САРМ в предположении об отсутствии безрискового актива
Рассмотрим, как изменится модель, если инвесторы не имеют возможности занимать и давать в долг средства по безрисковой ставке. Другими словами, рассмотрим, как повлияет на модель факт отсутствия безрискового актива. Эта проблема была решена Ф.Блэком в 1972 году [41]. Рассмотрим рис. 2.6. Портфель т определяется инвесторами как рыночный портфель, лежащий на эффективной границе. (Заметим, что все дальнейшие рассуждения справедливы для любого эффективного портфеля, не обязательно рыночного). Теперь предположим, что мы можем определить все портфели, которые не коррелированы с рыночным портфелем. Это означает, что доходности этих портфелей имеют нулевую ковариацию с рыночным портфелем и все портфели имеют одинаковый систематический риск (т.е., их Р-коэффициент равен нулю). Поскольку эти портфели имеют одинаковый систематический риск, они должны иметь одинаковую ожидаемую доходность. Портфели А и В яг. рис. 2.6 не коррелированы с рыночным портфелем т и имеют одинаковую ожидаемую доходность, равную R,. Однако только один из них, а именно портфель В, принадлежит допустимому множеству портфелей. Этот портфель является портфелем с минимальным риском и нулевым -коэффициентом и он единственный. Портфель А также имеет нулевой Р-коэффициент, но его риск выше.
Мы можем записать выражение для наклона прямой Rzm путем формирования портфеля, содержащего а% рыночного портфеля и (1-а)% портфеля В. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение такого портфеля выглядят следующим образом: R=aRm+{l-a)R:,
Поскольку корреляция между портфелем В и рыночным портфелем равна нулю, последнее слагаемое в квадратных скобках сокращается. Наклон линии, касательной с эффективной границей в точке т, которая соответствует 100%-ному вложению средств в рыночный портфель, можно найти, взяв частные производные вышеприведенных выражений и вычислив их значения при а=\. Частные производные ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля выглядят следующим образом:
Разделив производные друг на друга и вычислив значения этих производных при а=\, мы получим наклон линии Rzm : Далее, поскольку прямая должна проходить через точку \Rm,am), пересечение касательной с вертикальной осью должно находится в точке R.. Следовательно, уравнение прямой должно выглядеть следующим образом:
Это уравнение аналогично уравнению линии рынка капитала (1.11), но вместо доходности безрискового актива здесь стоит ожидаемая доходность портфеля с нулевым Р-коэффициентом.
Имея этот результат, нетрудно доказать, что ожидаемая доходность любого рискового актива, вне зависимости от того, лежит ли он на эффективной границе или нет, должна представлять собой линейную комбинацию доходности портфеля с нулевым Р-коэффициентом и рыночного портфеля. Чтобы это показать, напомним, что в условиях равновесия наклон линии, касательной к портфелю, состоящему из рыночного портфеля и любого другого актива, в точке, соответствующей рыночному портфелю, должен быть равен следующему выражению:
Если мы приравняем два выражения наклона линии, касательной к допустимому множеству портфелей в точке т (т.е. выражения (2.13) и (2.11)), мы получим: Решая это уравнения для требуемой доходности по активу /, мы получим
Выражение (2.15) показывает, что ожидаемая доходность любого актива может быть записана как линейная комбинация ожидаемой доходности двух активов - рыночного портфеля и единственного портфеля с минимальным риском и нулевым Р-коэффициентом. Очевидно, что выражение (2.15) аналогично основному уравнению САРМ, но вместо доходности безрискового актива здесь стоит ожидаемая доходность портфеля с нулевым Р-коэффициентом:
Существует ряд трудностей, связанных с проверкой САРМ, поэтому некоторые авторы (см., например, [72]) считают ее слабой теорией. Они полагают, что модели, не имеющие значительной связи с действительностью, такие как САРМ, не могут дать хороших прогнозов.
Практическое использование модели САРМ для анализа рынка ценных бумаг на примере российского рынка акций
В расчетах использовались данные архива ежедневных котировок акций в Российской Торговой Системе (РТС) за период с 22 января 1999 года по 15 марта 2002 года (см. таблицу Ш Приложения). Для анализа были выбраны наиболее ликвидные обыкновенные акции следующих эмитентов: РАО «Единая энергетическая система России» (EESR), НК «ЛУКойл» (LKOH), РАО Мосэнерго (MSNG), «Ростелеком» (RTKM), Сибнефть (SIBN) (акции Сибнефть котируются на РТС с 1 июля 1999 года), Сургутнефтегаз (SNGS), Юкос (YUKO) (акции Юкос котируются на РТС с 16 мая 2000 года). В качестве рыночного портфеля был выбран индекс РТС 1-Интерфакс. Источником данных является база данных РТС, расположенная на Интернет-сайте www.rts.ru. Расчеты производились с использованием 111111 «Excel 7.0» и «Econometric Views 3.1». Сначала анализировались доходности акций и индекса РТС (значения доходностей см. в таблице П2 Приложения) за период с первой даты исследования по 29.12.2000, а затем наблюдения сдвигались каждый раз на 20 дней вперед вплоть до 15.03.2002, т.е. последующий период наблюдений начинался и заканчивался на 20 дней позже предыдущего, таким образом рассматривались данные за следующие периоды (табл. 3.1): Общая схема проведения расчетов:
Строится парная регрессия однодневной доходности акции на доходность индекса РТС 1-Интерфакс, оценивается значимость коэффициента при регрессоре и уравнения в целом. В случае если построенная зависимость статистически значима, проводится проверка предпосылок МНК, а затем - тест на существование в остатках ARCH-эффекта. Если тест показывает наличие ARCH-эффекта, то строится регрессионная ARCH или GARCH модель и проводится тест на ARCH-эффект в остатках модели. Если для некоторой акции построено несколько приемлемых ARCH или GARCH моделей, то, основываясь на критерии значимости коэффициентов модели, критерии значимости отсутствия ARCH-эффекта в остатках модели, критерии AIC, из них выбирается наилучшая. Производится корректировка (3-коэффициентов акций на ARCH-эффект в соответствии с полученными результатами На первом этапе расчетов были построены парные линейные регрессии доходностей акций на доходность индекса, подробные результаты построения приведены в таблицах ПЗ - П58 Приложения. Проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения регрессии и значимости уравнения в целом показывает, что все коэффициенты при регрессоре и уравнения являются статистически значимыми, следовательно, построенные уравнения хорошо описывают регрессию. Далее проводилась проверка предпосылок МНК. Результаты применения тестов Уайта и Дарбина-Уотсона на гетероскедастичность и автокорреляцию соответственно приведены в таблице 3.2. Из таблицы можно сделать вывод, что для подавляющего большинства из анализируемых ценных бумаг предпосылки МНК не выполняются. Невыполнение этих предпосылок ставит под сомнение возможность использования критерия
Стьюдента для оценки значимости коэффициентов построенных регрессионных уравнений, поскольку стандартные ошибки коэффициентов регрессий будут смещенными. Далее проводился тест на ARCH-эффект в остатках и строились регрессионные ARCH- и GARCH- модели в случае, если тест подтверждал наличие ARCH-эффекта. В таблице 3.3 приведены основные результаты теста и построенные модели (подробные результаты см. в таблицах ПЗ-П58 Приложения). Затем проводилось исследование Р-коэффициентов акций рассматриваемых компаний. В таблице 3.4 представлены значения Р-коэффициентов до построения ARCH-моделей и итоговые значения Р-козффициеі ITOB. Из таблицы 3.4 можно видеть, что на протяжении всех рассматриваемых периодов не происходило существенного изменения Р-коэффициентов, за исключением акций компании Юкос, что может быть объяснено недостаточно большой выборкой наблюдений. Значения Р-коэффициентов практически всех акций незначительно отличались от средних значений. Какой-либо строгой закономерности изменения Р-коэффициентов с течением времени не прослеживается, хотя можно наблюдать общую тенденцию к некоторому изменению [3-коэффициентов в периоды, начиная с 4-5-го по 11-12-й (1999-й - 2000-й гг.), причем для части акций эти изменения происходили в сторону увеличения, для части - в сторону уменьшения. Также можно заметить, что для большинства акций характерно близкое к единице значение Р-коэффициента, что приближает их в отношении рискованности к рыночному портфелю. Однако, акции РАО «ЕЭС России» имеют значение (3-коэффициента, большее единицы, а это означает более заметную чувствительность доходности акций к изменениям, происходящим на рынке в целом и следовательно, больший риск по сравнению с другими акциями, поэтому, к сожалению, компания «ЕЭС России» не может претендовать на высокую цену своих акций.
Похожие диссертации на Математические методы оценки риска финансовых активов
