Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановки и матещтические модели задач оптимизации состава новых производственных мощностей и динамики их создания II
1.1. Общая постановка задачи 12
1.2. Основные элементы математической модели ..14
1.3. Математические модели.различных постановок 21
1.4. Исследование особенностей математических моделей 34
ГЛАВА II. Методы
2,1. Точные методы 45
2.2. Приближенные методы 48
2.2.1. Приближенные методы пошаговой максимизации функционалов 50
2.2.2. Приближенное решение задач дискретного программирования построением аппроксимирующих задач 55
2.3. Генерирование тестовых задач дискретного программирования с известным опти мальным решением 70
ГЛАВА III. Задача о ранце с условиями группового выбора 86
3.1. Постановка задачи 86
3.2. Преобразование некоторых задач к задаче Р 88
3.3. Одно свойство задачи Р 90
3.4. Линейная релаксация задачи Р 92
3.5. Решение задачи PL 98
3.6. Приближенное решение задачи Р ЮЗ
3.7. Априорный анализ с целью уменьшения размерности 106
3.8. Алгоритм динамического программирования для решения задачи Р 108
З.У. Сводный алгоритм решения задачи Р...109
3.10. Вычислительный эксперимент 112
ГЛАВА ІV. Решение задач оптимизации выбора мели оративных систем и динамики сооружения 115
4.1. Описание объекта 115
4.2. Минимизация суммарных капиталовложений при заданной потребности на продукцию в конце периода планирования 116
4.3. Оптимальный выбор систем с целью мак симизации ввода орошаемых.площадей на начальной стадии 119
4.4. Оптимальный выбор систем с целью мини мизации, капитальных затрат на начальной стадии 121
4.5. Максимизация площади орошаемых земель в конце периода планирования при ограниченных в каждый период располагаемых капитальных вложениях 122
4.6. Максимизация площади орошаемых земель в конце периода планирования при заданных капитальных затратах 124
4.7. Минимизация суммарных капитальных вложений при обеспечении заданного при роста площади орошаешх земель к концу периода планирования 126
4.8. Учет дисконтирования 128
Выводы... 130
Использованная литература
- Основные элементы математической модели
- Приближенные методы пошаговой максимизации функционалов
- Преобразование некоторых задач к задаче Р
- Минимизация суммарных капиталовложений при заданной потребности на продукцию в конце периода планирования
Введение к работе
Широкое применение вычислительной техники,принципов системного анализа и математических методов принятия решений является одним из основных путей дальнейшего совершенствования .управления народным хозяйством и его отраслями.
В директивах ХХУІ съезда КПСС и в постановлениях ряда последующих пленумов ЦК КПСС неоднократно подчеркнуто важное значение этой проблемы.
Одним из ооновных классов задач, возникающих при перспективном планировании развития народного хозяйства являются задачи выбора состава новых производственных мощностей и динамики их создания.
Оптимизация решения этих-задач на основе применения математических моделей является залогом наиболее эффективного распределения капитальных вложений на развитие народного хозяйства. Учитывая актуальность этой проблематики настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов разработки математических моделей и методов оптимизации в задачах выбора состава новых производственных мощностей и динамики их сооружения, а также некоторых смежных вопросов дискретной оптимизации ( целочисленного программирования).
Для перспективного планирования капитального строительства некоторой отрасли характерна, следующая общая схема. Из числа некоторого количества проектов-предложений необходимо выбрать наиболее рациональное множество и определить динамику их сооружения на протяжении горизонта планирования. Критерии оптимальности и ограничения этой задачи могут быть различными, отражая потребность в продукции исследуемой отраслями, стремление к максимально эффективному использованию капитальных вложений и др.
В первой главе систематически рассмотрены различные постановки, охватывающие широкое разнообразие условий и критериев задач оптимизации выбора проектов новых производственных мощностей и динамики их сооружения и построены их математические модели типа задач частично-целочисленного программирования с бинарными переменными и условиями группового выбора вида 2DX € I . Показано, что при анализе этих моделей важ-ной подзадачей является задача с неотрицательной матрицей ограничений и условиями группового выбора. Предложены сравнительно нетрудоемкие процедуры построения приближенных решений некоторых постановок.
Задачи частично-целочисленного программирования, которыми моделируются исследуемые постановки относятся к классу универсальных переборных, что эквивалентно тому, что при решении любой задачи произвольным точным (в отличие от приближенных) методом, не исключена возможность полного перебора всех допустимых решений. В СЕЯЗИ с этим большое значение приобретают приближенные методы. При решении задач перспективного планирования использование приближенных методов правомерно еще тем, что значительная часть информации в этих задачах получается прогнозированием и в определенной степени носит оценочный характер.
Традиционно в задачах математического программирования приближенное решение является некоторой точкой доцусгимой области.
Во Еторой главе исследован подход к приближенному решению задач математического программирования, когда понятие "приближенность" относится к описанию допустимой области. Предложено понятие аппроксимирующей задачи,которая отличается от исходной некоторыми правыми частями. Оптимальное решение аппроксимирующей задачи принимается за приближенное решение исходной. В качестве меры приближения предложена максимальная абсолютная величина разности между правыми частями исходной и аппроксимирующей задач. На основе использования множителей Лагранжа предложены правила построения аппроксимирующей задачи. Последняя получается решением задачи Лагранжа при заданных значениях множителей Лагранжа.
Таким образом, произвольной задаче математического программирования (в том числе, целочисленной) соответствует бесконечное множество аппроксимирующих задач,отличающихся как множеством ограничений, включенных в функцию Лагранжа, так и величиной множителей Лагранжа. Построение наилучшей аппроксимирующей задачи при данной функции Лагранжа сводится к определению соответствующих значений множителей Лагранжа. Необходимо отметить, что в данном подходе приближенное решение однозначно определяет и меру своей приближенности, т.е. отпадает необходимость в решении оценочных задач, например, задачи линейного программирования для определения степени близости приближенного решения к оптимальному (по функционалу).
На основе этого подхода для решения задачи целочисленного программирования с двумя ограничениями общего вида и произвольным количеством ограничений группового выбора ( или без них) разработан метод приближенного решения, В этом случае задача Лагранжа представляет собой общую задачу о ранце с ограничениями группоЕОго выбора (эта задача исследована в третьей главе) или частично-целочисленную задачу о ранце. Благодаря тому, что последние задачи решаются эффективно, метод оказался вычислительно-эффективным для задач большой размерности.
Часто вычислительный эксперимент является единственным способом исследования эффективности методов решения задач целочисленного программирования. Для проведения таких вычислительных экспериментов требуются генераторы тестовых задач. Из опыта проведения таких экспериментов вытекает, что для исключения легко решаемых "вырожденных" тестовых задач они должны быть существенно дискретными (решение их линейной релаксации должно быть нецелочисленным) и их оптимальное решение должно быть известным. На основе использования аппарата функции Лагранжа во второй главе предложена общая схема генерирования тестовых задач линеиного,частично-целочисленного и целочисленного программирования с произвольной матрицей ограничений. На основе этой схемы разработаны 4 алгоритма-генератора существенно дискретных тестовых задач, в том числе с ограничениями группового выбора. В процессе построения тестовой задачи определяются такше её оптимальное решение. Два из этих алгоритмов реализованы в виде программ для системы БЭСМ-АЛГОЛ.
Важным частным случаем задачи частично-целочисленного программирования является общая задача о ранце с условиями группового выбора, наложенными на часть бинарных переменных.
Третья глава посвящена исследованию этой задачи. Изучены свойства этой задачи, дан алгоритм решения ее линейной релаксации, метод построения приближенного решения. Предложена процедура априорного анализа задачи с целью сведения ее к эквивалентной задаче меньшей размерности. Процедура оказалась очень эффективной, благодаря этому задачи большой размерности ( в вычислительных экспериментах до 3000 бинарных неизвестных) после априорного анализа успешно решаются алгоритмом динамического программирования при объеме памяти не более 26 К машинных слов ЭВМ БЭСМ-6.
Последняя четвертая глава диссертации посвящена решению конкретных задач выбора оптимального набора мелиоративных систем и динамики их сооружения. Мелиоративные системы представляют собой крупные объекты народнохозяйственного значения, сооружение которых требует больших капиталовложений и значительного времени. При планировании сооружения таких объектов вопросы оптимизации использования капиталовложений имеют значение первостепенной важности. В качестве объекта приложения результатов диссертации была выбрана генеральная схема использования водных ресурсов в аридной зоне, разработанная Всесоюзным Государственным Ордена Трудового Красного Знамени головным проектно-изыскательским и научно-исследовательским институтом по переброске и распределению вод северных и сибирских рек имени Е.Е.Алексеевского "Союзгип-роводхоз" совместно с Вычислительным Центром АН СССР.
Генеральная схема включает около 150 мелиоративных систем, с проектными сроками сооружения 5 20 лег. Для подмножества наиболее крупных 46 проектов были математически смоделированы 7 различных постановок задач оптимального выбора мелиоративных систем и динамики их сооружения с условиями и критериями обеспечения заданной потребности в различных видах сельскохозяйственной продукции, максимизации величины орошаемых площадей в начальный период или в конце периода планирования, минимизации суммарных капиталовложений в начальный период или за все время планирования, по учету дисконтирования. Расчеты показали, что оптимизация приводит к улучшению показателей выхода продукции, площади орошаемых земель или величины капитальных затрат по сравнении со средними величинами до 10% (без учета дисконтирования). Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка использованной литературы (89 публикаций, из них 22 в иностранной печати) и приложения.
По.теме диссертации опубликовано 4 рабо ты. Различные результаты диссертации докладывались на всесоюзных конференциях, симпозиумах и научных семинарах.
Разработанная в диссертации программа РГ для решения задачи о ранце с групповым выбором внедрена в составе математического обеспечения в Институте "Союзгипроводхоз" и в/ч 73790 с целью использования при автоматизированном проектировании водохозяйственных систем, при разработке, анализе и проектировании сложных технических комплексов. Программа РГ представлена в Приложении.
Основные элементы математической модели
Неизвестные Х определяют; как состав выфанных проектов, так и динамику их реализации, кроме того они позволяют учитывать также влияние на планирование строительства некоторых внешних по отношению к модели факторов, например, если в силу некоторых условий строительство объекта L не может быть начато в годы "ti,...,"bs т0 это может быть отражено в модели тем, что неизвестным /fa v.., /. будут присвоены значения нуль.
Введение в модель неизвестных uct вызвано тем, что может оказаться так, что в определенные годы один или несколько объектов по некоторым видам продукции будут работать не на полную мощность (например, потребность или производственные мощности по переработке продукции могут оказаться недостаточными).
Замечание:» Необходимо подчеркнуть одно важное, обстоятельство. В рассматриваемой постановке для каждого проекта заданы также основные параметры, определяющие динамику строительства \L, ck-cfc » и динамику ввода мощностей К цсс По этой прими-не достаточно определить для каждого проекта L лишь время начала сооружения, что определяется неизвестным Xj_t .Такая: постановка является обычной при проектировании крупных промышленных объектов. В этой постановке динамика сооружения каждого объекта; определена в процессе его проектирования независимо от. проектов других объектов.
Однако возможна также другая постановка, при которой для каждого проекта заданы показатели проекта в целом (G Q L IjUC ), а динамика сооружения подлежит определении, В этом случае кроме времени начала строительства необходимо определить также динамику капиталовложений С \&и протяженность периода строительства rL . В этом случае динамика сооружения каждого объекта определяется не априори, а в зависимости от множества выбранных для строительства объектов. Эгал постановка соответствует более глубокой реализации еж те много подхода и обеспечивает более глубокий оптимум при принятии решения о создании системы объектов. В этом: случае можно предположить, что для каждого проекта динамика ввода, мощностей является известкой функцией капитальных вложений
Эта. функция должнш быть неубывающей нелинейной функцией каждого из своих аргументов и t? ,
В дальнейшем в работе принята постановка, в которой динамика строительства объекта, определена его проектом, т.е. величины «L "СС и PlieX заданы. Зто соответствует принятой практике проектирования:.
Затраты. По условиям постановки объектЬстроится в течение I лет, при этом капитальные вложения в строительство в год X составляют сЦ с ТЬтдєи в соответствии с (І.І) сумма капитальных вложений на строительство объектш і } приведенная к началу (первому году) его строительства составит z[=с J: 0 Y" V w. «19 Здесь и далее запись QL = 0 означает, что О обо злачено через OL . Если строительство объекта L начато в год X , то эти же затраты, приведенные к первому году горизонта плани рования составят ,__ Л к— , JZ-Z l Текущие затраты 6. осуществляются ежегодно начиная? с первого года после завершения, строительства и выхода объекта на проектную мощность. Сумма этих затрат, приведенная, к началу строительства составит
Пусть строительство объекта;. І начате в год "t Тогда, эти же затраты, приведенные к первому году горизонта планирования составят Суммируя получаем, Обозначим через О х- затраты объекта С в год С на производство единицы продукции вида К. , приведенные к началу горизонта планирования. Тогда - 20 При введенных выше неизвестных Xj и суммарные приведенные затраты на соаружение и функционирование всех выбранных объектов составляют __ Е Ш Ь &+ Е Е EL&ut
В каждый момент времени объем выпускаемой продукции некоторого вида К. не может превышать введенную мощность по производству этого вида продукции:
Исследуемая задача выбора оптимального состава новых производственных мощностей может иметь различные конкретные постановки, отличающиеся критериями оптимальности и составом; ограничений. Все эти постановки могут быть сгруппированы в две группы: I. Задачи минимизации затрат и 2. Задачи максимизации выпуска продукции,
Приближенные методы пошаговой максимизации функционалов
При решении народно-хозяйственных и экономических задач с использованием методов математического моделирования применение приближенных методов правомерно также в силу неизбежных неточностей, содержащихся в числовой информации,описывающей задачу. Это особенно относится к задачам перспективного планирования, к которым относятся также исследуемые в настоящей работе задачи оптимизации состава новых производственных мощностей и динамики их создания. В этих задачах информация о величинах потребности в продукции в предстоящие годы, о ценах на продукцию, ущерб от дефицита и др.обыч-яо получаются прогнозированием и поэтому носят, вообще говоря оценочный характер. В этих условиях получение математически строгого оптимума задачи перестает быть обязательным и достаточно получение приближенного решения, отклонение которого от оптимума не превышает допустимые пределы.
В настоящее время разработано большое количество приближенных методов решения различных задач математического программирования.
По своей природе существующие приближенные методы могут быть разбиты на две большие группы: I Приближенные методы, порожденные точными методами. П Методы, которые являются приближенными по своей идейной основе.
Методы группы І в основном построены по следующей схеме: итерационный процесс поиска оптимального решения прерывается на некоторой итерации, определяемой конкретными правилами и на основе информации, полученной к этому моменту по тем или иным правилам строится допустимое решение, которое принимается за оптимальное. Эти метода при достаточно большом увеличении числа итераций гарантируют получение оптимального решения. Такие методы могут быть построены на основе методов ветвей и границ, отсечений, последовательного анализа вариантов,последовательных расчетов и т.д.
Методы П группы основаны на различных подходах и весьма разнообразны. Сюда могут быть отнесены методы локальной оптимизации/"20У, /"84j? методы случайного поиска f3Qj / 62_7 и др. Эти приближенные методы в принципе не гарантируют получение оптимального решения. Однако среди них есть такие, которые интересны тем, что при сравнительно небольшой трудоемкости, часто позволяют получить близкое к оптимальному приближенное, иногда и оптимальное решение» Примером таких методов могут служить методы пошаговой максимизации функционала, которые частично были использованы в настоящей работе при решении задач оптимизации выбора мелиоративных систем и динамики их сооружения,. Результаты этих расчетов представлены в Главе ЗУ.
Пусть на основании некоторых эвристических правил и соображений построен показатель который характеризует исследуемую задачу следующим образом. Рассматривается пошаговый процесс приближенного решения задачи (2.6)-(2.8)7в котором на каждом шаге принимается решение о присвоении значения I или 0 одному неизвестному и пред положим, что неизвестным Лі , і = и присвоены значения Хт= А , т.е. технологические процессы КЕЦ уже выбраны для реализации. Показатель 0( должен быть построен так, чтобы для очередного выбора наиболее целесообразным с точки зрения функционала (2.6) и ограничений(2.7) был технологический процесс \ определяемый соотношением
Таким образом, показательно; строится гак, что чем выше его значение, тем целесообразнее выбор процесса \ для реализации Если построен показатель (Q\ , то задача (2,6)-(2.8) решается следующим алгоритмом.
Алгоритм по существу состоит из КЪ шагов. На каждом шаге одному неизвестному Xj , определяемому по соотношению (2.9) присваивается значение I (шаг 4) или 0 (шаг 4 пропускается, см,шаг I). Отсюда происходит и название метода. Нетрудно видеть, что этот алгоритм может быть построен и для задач минимизации. Задача максимизации здесь рассматривается лишь в целях конкретности изложения. Можно показать, что трудоемкость алгоритма, т.е. число операций, составляет 0(д) Это свидетельствует о его высоком быстродействии.
Аппарат множителей Лагранжа и функции Лагранжа в теории экстремальных задач с ограничениями занимает исключительное место, Впервые он был сформулирован Лагранжем в 1788 г. в его "Аналитической механике" /39./ для задач вариационного исчисления с ограничениями, а в 1797 г. в работе "Теория аналитических функций" /78 ] для конечномерных экстремальных задач, В настоящее время аппарат функции Лагр анжа широко используется как в теории двойственности выпуклого программирования /2I_/, /22 У, гак и в теории оптимального управления /"2/. Наряду с классической функцией Лагранжа (2.21) были введены модифицированные функции Лагранжа (см.обзорную работу /"44,стр. 54 100 J ). Теория этих функций широко развита для задач выпуклого программирования. Показано, что в ряде случаев модифицированные функции Лагранжа дают возможность установить соотношения двойственности также для векоторых невыпуклых задач.
Большой интерес представляет использование функции Лагранжа в целочисленном программировании. В этом случае область определения функций не является выпуклой и даже связной. В /73/ было показано, что несмотря на это использование классической функции Лагранжа в целочисленном программировании может дать ряд интересных результатов. Эти результаты используются в настоящей работе и будут приведены ни
Преобразование некоторых задач к задаче Р
Задача к представляет собой общую «формулировку задачи о ранце. В этой общей постановке объекты для ранца выбираются из трех различных групп: . Объекты G подчиняются ограничениям группового выбора (3.3), что означает, что группа G" разбита на Q взаимно не пересекающихся групп G-, из каждой из которых может быть выбран только один элемент .Каждый из объектов, входящих во вторую группу Г\ может быть выб ран или нет. Объекты последней группы К могут быть взяты в количествах непрерывно меняющихся между О и U-i .
Задача Р помимо своего самостоятельного значения, интересна тем, что при наличии эффективного метода решения она может быть использована как оценочная или промежуточная в составе различных методов решения задач дискретного программирования /74/ ,/62/ ь /257, в том числе методов решения многомерной задачи о ранце, к которому в Главе I были преобразованы математические модели различных задач оптимизации состава и динамики сооружения новых производственных мощностей.
Различные частные случаи этой общей постановки рассматривались в других работах. Так, при G= R= задача Р представляет собой обычную задачу о ранце с булевыми переменными, при K = R.=0 задачу о ранце с групповым внбором/вз/, /857, npnG=0 смешанную задачу о ранце fi J при задачу о ранце s частичным групповым выбором / 9_/.
В настоящей главе представлены свойства решений задачи Р .предложены метод приближенного решения, процедура априорного анализа с целью уменьшения размерности и алгоритм динамического программирования.
На основе этих рассмотрений предложен алгоритм решения общей задачи о ранце у Алгоритм по существу содержит два этапа: на I этапе данная задача анализируется с целью уменьшения ее размерности; на П этапе полученная задача небольшой или средней размерности решается алгоритмом динамического программирования. Алгоритм эффективен для задач большой размерности, содержащих тысячи неизвестных.
При этом, очевидно OL; 0 , j: Cjr и в силу условия (3.3) множество допустимых решений исходной задачи г не меняется. Преобразование (3.7) повторяется для всех групп L , содержащих отрицательные GU . Аналогично, заменой Cj-Gji- , где ( ItrugCjl (3.8) устраняются отрицательные коэффициенты Q\ . При этом множество допустимых решений исходной задачи также сохраняется, однако значение функционала (3.1) при каждом применении преобразования (3,8) увеличивается на 0 для всех допустимых решений.
В задаче И , неизвестные )(. для je. К VJ к обладают свойствами, присущими обычной задаче о ранце: Если для некоторого feKUR, , 0 HQ QPJC0 и Ct. O), то в любом оптимальном решении задачи г, Xj = UU (xJro) . J J воли с -- о iauO(apO) , то существует оптимальное решение задачи Р , в котором Xi=UUXj = 0)
Если имеется і «Є. , для которого GL U и й: 0, то для этих \ вводится замена переменных Xi = ЬЦ - У і . При этом коэффициенты CL; и й\ заменяются на -Q i 0 и С; 0 , р увеличивается на -CLUi , а в функционале появляется постоянное слагаемое -\ \ б) Условия ГРУППОВОГО выбора в виде неравенств. Если в задаче имеется ограничение вида 2__i i \ ,го \eGlJ добавлением к левой части новой перем енной 2 , это ограни чение приводится в виду (3,3). На неизвестное 2 налагаются условия (3.5) и принимается . Это неизвестное в ограничение (3.2) также входит с нулевым коэффициентом. Отметим, что в работах /"30 _/,/" 41J была рассмотрена зада ча о ранце Q ограничениями типа fo j В/"30 У предложен алгоритм типа ветвей и границ, а в /41/ предло жен подход для определения оценки оптимального значения функ ционала без решения линейной релаксации задачи как задачи линейного программирования. в) Устранение множества К . Каждое ограничение (3.4) с W\-\ добавлением нового неизвестного может быть приведено к виду (3.3), т.е. Xj+Zj = 1 При этом на Z; налагаются ограничения (3.5), в функционал и ограничения (3.2) оно входит с нулевым коэффициентом.
Минимизация суммарных капиталовложений при заданной потребности на продукцию в конце периода планирования
Разработанные в предыдущих главах математичеокие модели и методы их решения были использованы для постановки и решения ряда задач оптимизации применительно к проектируемым мелиоративным системам.
Проблемы рационального использования водных ресурсов благодаря своему большому народно-хозяйственному и экологи ческому значению привлекают все более., пристальное внимание специалистов различного профиля, В последние годы был выпол нен широкий цикл работ по исследованию различных аспектов этой проблематики методами системного анализа и исследования операций /"49 У, /"50 У, [21 ] , [2bJ, Наряду с разработкой общих аспектов проблемы были разработаны системы математичес ких моделей, которые были использованы дляя решения конкрет ных задач по проектированию и анализу водохозяйственных и ме лиоративных систем, В частности,Всесоюзный Государственный ордена Трудового Красного Знамени головной проектно-изыска тельский и научно-исследовательский институт по переброске и распределению вод Северных и Сибирских рек имени Е.Е.Алек сеевского "Союзгипроводхоз" совместно с Вычислительным Центром АН СССР ( академик Моисеев Н.Н., к.ф.м.н, Ерешко Ф.И,) разработали генеральную схему использования водных и земельных ресурсов в крупной аридной зоне. В состав этой схемы входят проекты около 150 мелиоративных систем.
В большинстве своем эти системы представляют собой крупные ирригационно-мелиоративные комплексы, с проектными сроками сооружения 5 20 лет. Создание этих систем (всех или части) позволит значительно увеличить площадь орошаемых земель, создаст условия для проведения крупных мероприятий для повышения урожайности ведущих сельскохозяйственных культур и в результате откроет путь для существенного увеличения объема сельскохозяйственного производства. В условиях крупной аридной зоны первостепенное значение имеет оптимизация использования средств, выделяемых для создания и развития различных отраслей народного хозяйства. Это полностью относится также и к созданию мелиоративных систем. Разработанные в предыдущих главах математические модели и методы решения были использованы для постановки и решения различных задач оптимизации создания комплекса мелиоративных систем в связи с вышеупомянутой генеральной схемой. Из числа 150 проектов мелиоративных систем выбраны проекты 46 крупных систем наиболее полно разработанных и обеспеченных необходимой информацией. Горизонт планирования состоит из четырех периодов, каждый длиной в пять лег. Время сооружения систем разное,от I до 4 периодов//7 =? - 4г).
Начиная с первого периода строительства каждой системы происходит ввод новых орошаемых земель. Было исследовано 7 различных постановок.
Как было отмечено в Главе I динамика сооружения каждой системы предусмотрена в ее проекте. Следовательно, после начала строительства система должна строится в соответствии с проектом. Обычно большой интерес представляет быстрейший ввод новых площадей.
В связи с этим была рассмотрена следующая постановка: определить набор проектов систем, максимизирующих ввод новых орошаемых земель в первый период при условии ограниченности располагаемых капитальных вложений в первые два периода. Введем обозначения Q - располагаемый объем капитальных вложений в период L , Си S;l- - капитальные затраты и ввод новых орошаемых площадей в период строительства Т. .
Математическая модель: Задача (4.3) представляет собой задачу (2.31)-(2.33) и решалась по предложенному в Главе П приближенному методу с включением второго ограничения в функцию Лагранжа и последующей минимизацией невязки (2.30) относительно единственного множителя Лагранжа (случай М = Ml).
Интересно отметить, что решение варианта 2 является не приближенным, а оптимальным. Это следует из того, что решение задачи Лагранжа (2,38) при {1=0 удовлетворяло второму ограничению (4.3). Решение варианта І ЯЕЛЯЄТСЯ приближенным со значением невязки во втором ограничении, равным 0,1И&-С а
Из табл.3 видно, что оптимизация выбора проектов позволяет увеличить ввод орошаемых площадей по сравнению со средним около 9%. Например, при величине затрат, соответствующих 0 0 =0,5( удается ввести 0.59 всех орошаемых земель.
