Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основная задача и ее решение в группах с одним классом сопряженных инволюций 9
1.1. Постановка задачи и основные результаты 10
1.2. Предварительные свойства 14
1.3. Группы с одним классом сопряженных инволюций . 18
1.4. Значения параметра вложения инволюций в диэдральных и некоторых простых группах 28
Глава 2. Оценка параметра вложения инволюции и числа \Сс(т) П т\ в конечных простых группах 32
2.1. Симметрические и знакопеременные группы . 33
2.2. Группы лиева типа над конечным полем четного порядка 46
2.3. Исследование гипотез 1 и 2 для групп PSLn(q) . 50
Список литературы
- Предварительные свойства
- Значения параметра вложения инволюций в диэдральных и некоторых простых группах
- Группы лиева типа над конечным полем четного порядка
- Исследование гипотез 1 и 2 для групп PSLn(q)
Введение к работе
По известной теореме Фейта - Томпсона, конечная простая неа-белева группа всегда содержит инволюцию. Около полувека назад Р. Брауэр доказал следующую теорему:
Существует только конечное число конечных простых групп с зада7тым централизатором инволюции [1].
Эта теорема послужила в 50-е — 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп по заданному централизатору инволюции. Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе G обозначаем через rG, а централизатор т в G — через Cq{t). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Именно на этом пути возникла (см., например, [36]), исследуемая в диссертации
Гипотеза 1. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп G, имеющих инволюцию г с условием \Cq{t) C\tg\ < М.
Инволюцию г в группе G называют конечно вложенной, если пересечение дСс{т) П (tgtg) конечно при всех д Є G, и называют конечной инволюцией, если она порождает конечную подгруппу с каждой сопряженной инволюцией. Важным явилось следующее понятие.
Определение 1 [12]. Параметром вложения инволюции т в группе G, называется число
t(G,r) = max\gCG{r)n{rGTG)\.
Это понятие лежит в основе следующего обобщения теоремы Брауэра на периодические группы, которое В.П. Шунков разрабатывает с 2001-го года (анонс см. [17], [18]):
Существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.
Доказательство обобщения редуцируется к конечным группам с помощью характеризации групп с конечной и конечно вложенной инволюцией [15], [18]. Обобщение основывается на следующем предположении.
Гипотеза 2. Число конечных простых групп с заданным конечным параметром влооїсения инволюции — конечно.
Очевидно, из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и гипотезы 2, поскольку выполняется неравенство
і(С,т)>\Сс(т)Пт%
По модулю классификации конечных простых групп обе гипотезы достаточно подтвердить для бесконечных семейств знакопеременных групп и групп лиева типа.
В диссертационной работе гипотезы 1 и 2 исследуются по модулю классификации конечных простых групп. Получены следующие основные результаты:
доказана конечность числа простых конечных групп G с одним классом сопряженных инволюций с инволюцией г такой, что Ю?(г) О tg\ < М для любого наперед заданного М;
доказано аналогичное свойство для групп PSLn(q) с четным q, знакопеременных и симметрических групп.
Тем самым, в классах указанных групп подтверждаются гипотезы 1 и 2. Частичное подтверждение эти гипотезы находят для других классов групп. А именно, для наперед заданного М неравенство \Cq(t) П tg\ > М доказано
для групп G = PSLn(q) достаточно больших порядков с любой диагонализируемой инволюцией г из G и нечетным q;
для групп G лиева типа достаточно больших порядков над полем четного порядка и специальных инволюций г из G.
Диссертация состоит из введения и двух глав.
Рассмотрим содержание по главам. В 1.1 главы 1 обсуждаются основные задачи. В 1.2 приводятся предварительные свойства. К главным результатам главы относится
Теорема 1. Пусть М — натуральное число и G — простая конечная группа с одним классом сопряженных инволюций. Тогда для любой инволюции т из G при достаточно большом \G\ имеем \Сс(т)Птс\>М.
Теорема 1 опубликована в [35].
По модулю ККПГ, простые конечные группы с одним классом сопряженных инволюций, за исключением конечного числа спорадических групп и знакопеременных групп Ап (п < 7), исчерпываются группами PSLz(q) и группами лиева типа ранга 1, т.е. группами
PSL2(q), PSU3(q% 2G2(q), 2B2(q).
Доказательство теоремы 1 для пяти перечисленных семейств устанавливают леммы 1.3.3 — 1.3.7. Точные оценки выявляет
Лемма 1.3.3. Пусть т — произвольная инволюция группы G — PSL2(q), q > 3. Тогда t(G,r) = \Cg{t)\ и более того:
а) Если q четно, то выполняются равенства
t(G,r) = q, \CG(r)nrG\ = q-l]
б) Если q = l(mod 4), то
t(G,r) = q-l, \CG(T)r\TG\ = q-±±;
в) Если q = —l(mod 4), то
t(G,r) = q+l, \СС(т)ПтС\ = ЦЇ.
Доказательство этой леммы опирается на лемму 1.3.2 о диэдраль-ных подгруппах с центральной инволюцией в группах с одним классом сопряженных инволюций.
В 1.4 вычисляются значения параметров вложения инволюций во всех диэдральных группах и (с применением системы компьютерной алгебры ГАП) в некоторых спорадических группах.
Центральным результатом второй главы является
Теорема 2. Пусть М — произвольное натуральное число и G — Sn, Ап или PSLn(q) с четным q. Тогда для любой инволюции т из G при достаточно большом \G\ имеем \Cg{t) Г)тс| > М.
Теорема 2 получена как следствие теорем 2.1.1 и 2.3.1. Она опубликована в [36] в нераздельном соавторстве с В.М. Левчуком. Теоремы 1 и 2 подтверждают гипотезу 1 для указанных в них классов конечных простых групп.
Для других классов групп гипотезы исследуются в следующих теоремах частично.
Теорема 3. Пусть М — произвольное натуральное число и G — группа лиева типа над полем четного порядка. Если ее порядок достаточно большой, то в группе G существует инволюция т с условием \Сс(т) П tg\ > М.
Теорема 4. Пусть М - произвольное натуральное число и G = PSLn(q) с нечетным q. Если порядок \G\ группы G достаточно большой, то для любой диагонализируемой инволюции г из G выполняется неравенство \Cq{t) П tg\ > М.
Теоремы 3 и 4 устанавливаются в 2.2 и 2.3 (теоремы 2.2.1 и 2.3.1). Они опубликованы в [36].
В 2.1 в классе знакопеременных групп Ап находится значение параметра вложения инволюции с минимальным носителем (теорема 2.1.6, опубликованная в [34]).
В диссертации используются стандартные методы теории групп. Диссертация носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут применяться в теориях конечных и бесконечных групп.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30] — [36]. Результаты диссертации были представлены на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002, 2003 гг.), по математике и механике (Томск, 2003 г.), "Intermediate problems of Model Theory and Universal Algebra" (Новосибирск — Эрлогол, 2003 г.), на конгрессах женщин-математиков (Красноярск, 2000, 2006 гг.), на международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.) и конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН, 2002, 2003 гг.). Они неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах при Институте математики СО РАН (Новосибирск), Красноярском государственном университете и Институте вычислительного моделирования СО РАН.
Автор благодарен своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору В.М. Левчуку и д.ф.-м.н., профессору В.П. Шункову за постановку задач и внимание к работе.
Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-00432, грант № 02-01-00078, грант № 05-01-00576-а, грант № 06-01-00824.
Предварительные свойства
В этом параграфе рассматриваются применяемые далее общие свойства параметра t(G, т) вложения инволюции г произвольной группы G и его связи с числами Сс(т) и \CG(T) П т\.
Отметим, что параметры вложения сопряженных в группе инволюций равны. Это сразу же следует из определения параметра вложения инволюции. См. также [12, лемма 2].
Лемма 1.2.1. Параметр t{G,r) вложения инволюции т произвольной группы G удовлетворяет неравенствам \CG(r)\ t(G,r) \CG(r)nrG\. Доказательство. Первое неравенство следует непосредственно из определения параметра вложения. Докажем второе неравенство. Согласно определения параметра вложения инволюции, имеем ( ?,т) = тах\дСс(т) П (rGrG)\ \CG(r) П (rGrG)\. (1.3) ged
С другой стороны, для любых инволюций г], а из пересечения CG(T) C\TG выполняются включения 770" Є CG(T), цс Є TGTG, из которых вытекает неравенство \CG(r)n(rGTG)\ \CG(r)nrG\. Это завершает доказательство леммы. Лемма 1.2.2. Пусть т - инволюция группы G. Если класс сопряженных инволюций rG содержит мнооїсество CG(r) \ {е}, то ЩТ) = \С0(Т)\ = \СС(Т)ПТС\ + 1. Доказательство. Так как по условию твЭ(Са(т)\{е}), то справедливо второе равенство леммы и выполняется включение CG(T) С (TGTG). Отсюда и из (1.3) получаем неравенство t(G,r) \CG(r)\. С другой стороны, по лемме 1.2.1, \CG(T)\ .t{G,T). Следовательно, t(G,r) = \CG(r)\. Лемма доказана. Другой случай совпадения порядка централизатора и параметра вложения инволюции позволяет выявить следующая лемма.
Лемма 1.2.3 [25]. В строго вещественной группе каждый элемент является произведением двух инволюций.
Доказательство. Напомним, что группу G называют строго вещественной, если любой ее неединичный элемент строго вещественный или, другими словами, сопряжен некоторой инволюцией из G со своим обратным элементом.
Пусть G - строго вещественная группа. Тогда для любого неединичного элемента g G существует инволюция т Є G такая, что тдт = д 1. Следовательно, тдтд = д 1д = еи поэтому (тд)2 = еи тд - инволюция. Если д ф т, то д = тд 1т = ттд есть произведение двух инволюций т и тд. Обратно, если д = ат, где а, т - две различные инволюции, то г = ад. Подставляя г в исходное равенство, получим д = аад = од 1и. Поэтому элемент д сопряжен посредством инволюции а со своим обратным элементом и, следовательно, является строго вещественным, по определению строго вещественного элемента. Лемма доказана. Лемма 1.2.4. Если строго вещественная группа G порядка больше 2 имеет только один класс сопряженных инволюций, то параметр вложения инволюции г в группе G равен порядку ее централизатора t(G,r) = CG(r).
Доказательство. Пусть г — инволюция из G. Тогда все инволюции из G лежат в классе сопряженных элементов TG. По условию G — строго вещественная группа. Следовательно, G = TGTG по лемме 1.2.3. Отсюда CG(T) n (TGTG) = CG(r) П G = CG(T). Учитывая первое неравенство леммы 1.2.1, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана.
Параметры вложения инволюции в группе и ее подгруппе имеют простую взаимосвязь, как показывает (см. [12]) Лемма 1.2.5. Параметры вложения любой инволюции т в группу G и ее подгруппу Н Э т связаны неравенством t{G,T) t(H,r). Доказательство. Достаточно заметить, что max \gCG{r) П (TGTG)\ max \дСн{т) П (тятя). дев деН Связь параметров вложения инволюций в группе, ее факторгруппах и сечениях выявляется в следующих двух леммах из [12].
Значения параметра вложения инволюций в диэдральных и некоторых простых группах
В этом параграфе вычисляются значения параметров вложения инволюций во всех диэдральных группах и (с применением системы компьютерной алгебры ГАП) в некоторых спорадических группах. Справедлива
Лемма 1.4.1. Параметр влооюения нецентральной инволюции в диэдральную группу D порядка 6 равен 2, когда порядок группы является конечным и кратным 8; во всех остальных случаях параметр равен 1. Доказательство. Пусть, как и-в лемме 1.2.8, D = т, с = с X т , тст = с-1.
Когда с — элемент бесконечного порядка или конечного нечетного порядка, подгруппа а самоцентрализуема в D для любой инволюции а Є D. Так как aDaD С с , то в этих случаях t(D, а) = 1. Когда с — элемент конечного четного порядка 2т, это же верно и для всех нецентральных инволюций, если 4 { с; для центральной инволюции равенство очевидно. В оставшемся случае, когда 4 с, имеем t(D, г) = t(D, тс) = 2. Лемма доказана.
Рассмотрим параметры вложения инволюций в некоторых спорадических группах G, а именно, J\, J i и в пяти группах Матье -Mib - 12, - 22) - 23 - 24, а также в группе лиева типа (?2(3) и в знакопеременных группах Ап, 8 п 10.
В работе [25] доказано, что из спорадических групп только группы J\ и J2 строго вещественны. Группа J2 имеет два класса сопряженных инволюций. С другой стороны, в группе J\ все инволюции сопряжены. Поэтому для произвольной инволюции т Є Ji, применяя лемму 1.2.4, сразу получаем Й,г) = Сл(г) = 120. В таблице 1 приведены результаты вычислений, полученные с применением системы компьютерной алгебры ГАП. Помимо значения параметра t(G, т) (последняя колонка) вложения инволюции г группы G, в таблице указаны также порядки \G\, jrG, CG(T).
В связи с леммой 1.2.4 отметим, что в группе лиева типа (?2(3) все инволюции сопряжены и для любой инволюции г Є G2(3) выполняется равенство 1 (3)( )1 = 2(3) ) = 576. Параметры вложения инволюций всех одиннадцати групп из таблицы вычислены по следующему алгоритму. зо 0. Укажем по представителю в каждом классе сопряженных инволюций группы G. Пусть а — один из этих представителей. 1. Построим класс aG, и упорядоченное множество всех его элементов обозначим через С. 2. Находим централизатор Сс{а). Пусть U = CG{a),p=l. 3. Для каждой инволюции г из С находим такой элемент г группы G, что ar = т. Как следует из доказательства теоремы 2.5.6 [4], именно эти г задают в точности все смежные классы rU группы G по централизатору U. 4. При фиксированной инволюции т, а значит и фиксированном смежном классе rU строим для каждой инволюции j из С пересечение sl = rUnjC. А именно, проверяем для каждого элемента е множества r ljC его перестановочность с инволюцией т : ет = те. (1.6) Элементы е, для которых равенство (1.6) справедливо, записываем в список 5І. Объединение \J(rUnjC) jeC всех таких множеств si является пересечением rUr\TGrG. Пусть s = rUnrGrG, m = \s\. Если тп р, то присваиваем параметру р значение т. 5. Возвращаемся к шагу 3 алгоритма либо \TG\ — 1 раз, либо до совпадения чисел р и С з(а). 6. Число р и есть параметр t(G, а) вложения инволюции а в группе G. Для групп Матье М ъ и ./1 вычисления, ввиду их продолжительности, пришлось распараллелить. Изложенный выше алгоритм позволяет получить в некоторых случаях информацию и о структуре множества TGTG.
Алгоритм реализован в системе компьютерной алгебры GAP 4.2 [27]. В работе использовалась информация, взятая из атласа Р. Вил-сона [28]. Распараллеливание было проведено на.мультипроцессорной машине МВС-1000/16 в ИВМ СО РАН и на московском супер компьютере МВС-ЮООМ.
Группы лиева типа над конечным полем четного порядка
Теорема 2.2.1. Пусть М — произвольное натуральное число и G — группа лиева типа над полем четного порядка. Если ее порядок достаточно большой, то в группе G существует инволюция т с условием \Сс(т)Птв\ М.
Группа Шевалле Ф(К) над полем К нормального типа, ассоциированная с системой корней Ф, порождается корневыми подгруппами Xs для всевозможных s Є Ф. Графовый автоморфизм г группы Шевалле Ф(К) определен в случае системы корней Ф с нетривиальной симметрией графа Кокстера. Порядок m симметрии равен двум или — для типа D — трем. При ее естественном продолжении " на Ф имеем т(Хг) = Xf, г Є Ф. Далее полагаем р(Ф) =max{(г, r)/(s, s) г, s Є Ф} (р(Ф) = 1,2 или 3).
Композиция г и неединичного автоморфизма a : t - t поля К с условием р(Ф)сгт = 1 дает "скручивающий" автоморфизм а группы Шевалле также порядка пг. Централизатором автоморфизма а в Ф(К) является скрученная группа тФ(К). При р(Ф) 1 характеристика основноого поля здесь равна р(Ф). Когда р(Ф) = 1, подстановка на Ф однозначно продолжается до гомоморфизма решетки корней с условием: ((г) = (s) = г = s или s = г. Так, ((Ф) есть система корней типа F± или (?2, если (Ф,т) = (EQ,2) ИЛИ (4,3), соответственно (см. [21, 13.3.8], [7, лемма 7]).
Всякая корневая подгруппа Хг изоморфна аддитивной группе К+ поля К, в частности, xs(t)xs(u) = xs(t + и), t, и Є К. Максимальная унипотентная подгруппа U = 11Ф(К) порождается корневыми подгруппами Xs для всевозможных s Є Ф+; при р = char К 0 — это силовская р-подгруппа группы Ф(К). Централизатором автоморфизма а в 11Ф(К) является скрученная под группа итФ(К). Унипотентная подгруппа UG(K) скрученного типа G = тФ также порождается корневыми множествами Ха, а Є G+.
Описание центра унипотентной подгруппы указывает Лемма 2.2.2. Пусть G{K) — группа Шевалле лиева ранга 1 над полем К и Z\(U) — центр группы UG(K). Тогда: а) если s — максимальный элемент в G и либо G(K) — скру ченная группа типа ф 2А2П, либо G = Ф и р(Ф) ф charK, то Zl(U) = Xs; б) если G(K) — типа 2А2П и q — максимальный класс эквива лентности типа A i, то Z\(U) — центр подгруппы Xq; в) если G = Ф и р(Ф) = charK, a s и q — длинный и, соот ветственно, короткий корни наивысшей высоты в Ф, то Z\(U) = XsXq. Доказательство. См. [11]. Доказательство теоремы 2.2.1. Рассмотрим группу G = Ф(К) или тФ, т = 2 или 3.
Пусть Xs — корневая подгруппа группы G с максимальным элементом s. Так как 2К — 0, каждый элемент xs(t) ф 1 из корневой подгруппы Xs есть инволюция. В частности, г = xs(l) есть центральная инволюция силовской 2-подгруппы UG(K).
Все q — 1 инволюций подгруппы Xs сопряжены диагональными элементами с инволюцией г и поэтому ( \ М) С т. Допустим, что G ф 2А2п(К). Тогда по лемме 2.2.2 корневая подгруппа — центральна в унипотентной подгруппе, Xs С Z(UG(K)), и следовательно, Xs С Сд{т). Поэтому \CG(r)nrG\ \Xsn(Xs\{e})\=q-l. В случае G — 2А2п неравенство \Сд(сг) Г) aG\ q — 1 получаем как и в лемме 1.3.5. Поэтому если порядок q основного поля растет, то растет и порядок пересечения CG(T) ПТС. Итак, теорема доказана для случая, когда порядок q основного поля достаточно большой.
Поскольку порядок \G(q)\ достаточно большой, то остается рассмотреть случай, когда группа G(q) имеет достаточно большой лиев ранг. Тогда G(q) есть группа Шевалле классического типа G = Ап, Вп, Сп, Dn, Ап или Dn.
Пусть N и Н соответственно мономиальная и диагональная подгруппы группы G = G(q). Фактор-группа N/H изоморфна группе Вейля системы корней Ф, то есть N/H = W — И Ф). Хорошо известны следующие изоморфизмы (см. [2]): Ф = Ап : W Sn+h Ф = Вп: W = 5„A(Z/2Z)n, Ф = Сп: W = SnX(Z/2Z)\ Ф = A, : W Sn\{Z/2Z)n-1. Аналогично, для группы Вейля W = W(G) скрученной группы Шевалле типа G. G = 2Dn+l : W(2Dn+l) W(Bn) SnX(Z/2Z)n. G = 2A2n : W{2A2n.l) W(Cn) S Sn\{Zl2Zf. G = 2A2n : W(2A2n) = W(BCn) = Sn\(Z/2Zy.
Так как выполняются перечисленные выше изоморфизмы, то в мономиальной подгруппе N группы G найдется такая инволюция г, которую можно представить как подстановку а из симметрической группы Sn. По теореме 2.1.1 при достаточно большом порядке группы \Sn\ для произвольного натурального числа М и любой инволюции а Є Sn выполняется неравенство Тогда и для инволюции т при достаточно большом порядке группы iV будет выполняться неравенство \CN(r)nrN\ M. (См. также леммы 1.2.6 и 1.2.7.) Поскольку группа N подгруппа группы G, то по лемме 1.2.5 получаем \CG(r)nrG\ \CN(r)nrN\ M. Теорема доказана.
Исследование гипотез 1 и 2 для групп PSLn(q)
В этом параграфе доказывается Теорема 2.2.1. Пусть М — произвольное натуральное число и G — группа лиева типа над полем четного порядка. Если ее порядок достаточно большой, то в группе G существует инволюция т с условием \Сс(т)Птв\ М.
Группа Шевалле Ф(К) над полем К нормального типа, ассоциированная с системой корней Ф, порождается корневыми подгруппами Xs для всевозможных s Є Ф. Графовый автоморфизм г группы Шевалле Ф(К) определен в случае системы корней Ф с нетривиальной симметрией графа Кокстера. Порядок m симметрии равен двум или — для типа D — трем. При ее естественном продолжении " на Ф имеем т(Хг) = Xf, г Є Ф. Далее полагаем р(Ф) =max{(г, r)/(s, s) г, s Є Ф} (р(Ф) = 1,2 или 3).
Композиция г и неединичного автоморфизма a : t - t поля К с условием р(Ф)сгт = 1 дает "скручивающий" автоморфизм а группы Шевалле также порядка пг. Централизатором автоморфизма а в Ф(К) является скрученная группа тФ(К). При р(Ф) 1 характеристика основноого поля здесь равна р(Ф). Когда р(Ф) = 1, подстановка на Ф однозначно продолжается до гомоморфизма решетки корней с условием: ((г) = (s) = г = s или s = г. Так, ((Ф) есть система корней типа F± или (?2, если (Ф,т) = (EQ,2) ИЛИ (4,3), соответственно (см. [21, 13.3.8], [7, лемма 7]).
Всякая корневая подгруппа Хг изоморфна аддитивной группе К+ поля К, в частности, xs(t)xs(u) = xs(t + и), t, и Є К. Максимальная унипотентная подгруппа U = 11Ф(К) порождается корневыми подгруппами Xs для всевозможных s Є Ф+; при р = char К 0 — это силовская р-подгруппа группы Ф(К). Централизатором автоморфизма а в 11Ф(К) является скрученная под группа итФ(К). Унипотентная подгруппа UG(K) скрученного типа G = тФ также порождается корневыми множествами Ха, а Є G+.
Описание центра унипотентной подгруппы указывает Лемма 2.2.2. Пусть G{K) — группа Шевалле лиева ранга 1 над полем К и Z\(U) — центр группы UG(K). Тогда:
а) если s — максимальный элемент в G и либо G(K) — скру ченная группа типа ф 2А2П, либо G = Ф и р(Ф) ф charK, то Zl(U) = Xs;
б) если G(K) — типа 2А2П и q — максимальный класс эквива лентности типа A i, то Z\(U) — центр подгруппы Xq;
в) если G = Ф и р(Ф) = charK, a s и q — длинный и, соот ветственно, короткий корни наивысшей высоты в Ф, то Z\(U) = XsXq. Доказательство. См. [11]. Доказательство теоремы 2.2.1. Рассмотрим группу G = Ф(К) или тФ, т = 2 или 3.
Пусть Xs — корневая подгруппа группы G с максимальным элементом s. Так как 2К — 0, каждый элемент xs(t) ф 1 из корневой подгруппы Xs есть инволюция. В частности, г = xs(l) есть центральная инволюция силовской 2-подгруппы UG(K). Все q — 1 инволюций подгруппы Xs сопряжены диагональными элементами с инволюцией г и поэтому ( \ М) С т. Допустим, что G ф 2А2п(К). Тогда по лемме 2.2.2 корневая подгруппа — центральна в унипотентной подгруппе, Xs С Z(UG(K)), и следовательно, Xs С Сд{т). Поэтому \CG(r)nrG\ \Xsn(Xs\{e})\=q-l. В случае G — 2А2п неравенство \Сд(сг) Г) aG\ q — 1 получаем как и в лемме 1.3.5. Поэтому если порядок q основного поля растет, то растет и порядок пересечения CG(T) ПТС.
Итак, теорема доказана для случая, когда порядок q основного поля достаточно большой.
Поскольку порядок \G(q)\ достаточно большой, то остается рассмотреть случай, когда группа G(q) имеет достаточно большой лиев ранг. Тогда G(q) есть группа Шевалле классического типа G = Ап, Вп, Сп, Dn, Ап или Dn.
Пусть N и Н соответственно мономиальная и диагональная подгруппы группы G = G(q). Фактор-группа N/H изоморфна группе Вейля системы корней Ф, то есть N/H = W — И Ф). Хорошо известны следующие изоморфизмы (см. [2]): Ф = Ап : W Sn+h Ф = Вп: W = 5„A(Z/2Z)n, Ф = Сп: W = SnX(Z/2Z)\ Ф = A, : W Sn\{Z/2Z)n-1. Аналогично, для группы Вейля W = W(G) скрученной группы Шевалле типа G. G = 2Dn+l : W(2Dn+l) W(Bn) SnX(Z/2Z)n. G = 2A2n : W{2A2n.l) W(Cn) S Sn\{Zl2Zf. G = 2A2n : W(2A2n) = W(BCn) = Sn\(Z/2Zy.
Так как выполняются перечисленные выше изоморфизмы, то в мономиальной подгруппе N группы G найдется такая инволюция г, которую можно представить как подстановку а из симметрической группы Sn. По теореме 2.1.1 при достаточно большом порядке группы \Sn\ для произвольного натурального числа М и любой инволюции а Є Sn выполняется неравенство Тогда и для инволюции т при достаточно большом порядке группы iV будет выполняться неравенство \CN(r)nrN\ M. (См. также леммы 1.2.6 и 1.2.7.)
