Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.
К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.
В 2008 г. В.Х. Салихов1 получил новую оценку меры иррациональности числа 7г:
L Р >. -,-7,61...
тг > а
I
Этот результат на данный момент является лучшим для константы тт.
М. Хата2 получил лучшую на сегодняшний день оценку для меры
иррациональности числа
V3'
> -4,6015...
7Г р
М. Хата3, применяя полиномы Лежандра , получил оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу ж. Так, были получены результаты:
li (-y=±y/31og (2+V3J) < б, 1382..., (1)
(^±l0g3)
Для получения оценок мер иррациональности значений функций log х и arctana; М. Хата4, М. Хуттнер5, А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К. Ваана-нен 6 и другие авторы рассматривали эти функции как значения гипергес-метрической функции Гаусса.
'Салихов D. X. О мере иррациональности числа л // Успехи математических наук, 2008.— Т. 63, Х*6. 3. — С. 163-164.
aHata М. Rational approximations to п and some other numbers // Acta Arith., 1993. — LXIII, Vol. 4. — p. 335-349.
3IIata M. Irrationality measures of the values оГ hypergeometrlc functions // Acta Arith., 1992.-Vol. LX- —P. 335-347.
4IIata M. Legcndre type polinomlals and irrationality measures // J. Reine Angew. Math., 1990, — No. 4C7.—P.99-125.
6fluttner M. Probleme de Riemann et irrationalite d'un quotient de deux functions hypergeometriquefl de Gauss // СП..
Acad. Sri., Paris Ser. I 302. 1986. - P. 603-606. V
"Heimoncri A., Matala-Aho Т., VaSnanen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // BullT*^-
Austral. Math. Soc.,1994.-Vol. 50, no. 2.-P. 225-243. \
В 1987 г. М. Хуттнер7 доказал общую теорему об оценках мер иррациональности значений гинергсометрической функции Гаусса вида
где є = ±1, & > 2, 0 < а; < 1, г* Є Q . М. Хуттнером получены сцепки снизу мер иррациональности различных значений функций arctan я и logs;. В 1993 г. А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К, Ваананен8 используя аппроксимации Паде для гипергеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В этой же работе приведен достаточно большой список конкретных результатов, например: р, I Jog '-) < 9, 7551..., ц I log2 -f arctan - J <
3,3317... и другие.
На данный момент известны оценки совместных приближений значений некоторых элементарных функций. Например,
ц (п log 2 + г2п) < 8,0161..., ц (n log 2 + т-2log3) < 5,125...,
где т*1, г2 Є Q, (т*і, г2) ф (0,0), полученные соответственно М. Хата9 и
и.л. \_/аЛйхОвьЩ .
В.Х. Салихов использовал для доказательства меры иррациональности log3 симметризованный вещественный интеграл, что позволило ему улучшить результаты Дж. Рина п.
В данной диссертации ряд существующих результатов удалось улучшить, используя различные модификации симмегризованного интеграла, введенного в 2007-2008 гг. В.Х. Салиховым. Также были получены новые оценки мер иррациональности некоторых значений функций log я и arctan х.
Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является нахождение оценок мер иррациональности значений функции log а:
7Huttner М. Irrationality de certaines integrals hypergeometriques // J. Number Theory, 1987. —Vol. 26. —P. 166-178.
8TIeImonen A., Matala-Aho Т., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math., 199.1, — Vol. 81, no 1/2.-P. 183-202.
sHata M. Rational approximations to tr and some other numbers // Acta Arith., 1993. — LXIII, Vol. 4.-P. 335-349.
10Салихов В. X. О мере иррациональности log3 //Доклады РАН, 2007.—Т. 417, XMS. —С. 753-755.
''Ithin G. Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalite // Progr. in Math. Birfchauser, 1987. —Vol. 71. —P. 155-164.
и arctan а: с применением комплексных симметризованных интегралов. В связи с этим решаются следующие задачи:
P1V/5 + P2
, ГДері, Р2, РЗ, Р4 Є
7Г — :
рзу/3+рі
получить оценку снизу для,
(Рз,Р4)^(0,0);
получить оценку меры иррациональности числа logo + —;
получить оценки для совместных приближений чисел вида
а I а—Ъ ,
ш - и —т= arctan ——, где а, о Є N;
~ б Vab 2Vab
найти такое иррациональное число G, линейно независимое над'полем
Q с числом log 2, чтобы оценка меры иррациональности \х (ri log 2 + г^Щ
была как можно ближе к оценке Е.А. Рухадзе12 ^(log2) < 3,891...;
получить оценки мер иррациональности чисел вида arctan -, где к е N,k > 2.
Научная новизна и значимость полученных результатов. В
диссертации получены следующие результаты:
доказана теорема о диофантовых приближениях числа 7г числами из поля Q(\/5);
получены оценки снизу для рациональных приближений чисел
log5 + - и arctan-;
3) улучшены оценки мер иррациональности чисел log-, arctan-,
О О
arctan -, и др.;
4) получена оценка меры иррациональности линейной комбинации
чисел log2 и arctan-.
Основные методы проведенного исследования. В работе используются методы теории функций комплексного переменного и теории трансцендентных чисел.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут использо-
13Рухадае Е. Л. Оценка енкэу приближения ]п2 рациональными числами // Вестник МГУ, 1987. —Серия 1* Математика, механика, jWS,— С. 25-29.
ваться при изучении теории диофантовых приближений, а также при чтении спецкурсов по теории чисел, преподаваемых в госуниверситетах для студентов математических специальностей.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на Международной конференции "Ди-офантовы и аналитические проблемы теории чисел", посвященной 100-летию А.О. Гельфонда (г. Москва, январь 2007 г., МГУ им. М.В. Ломс-
..„ "\ .._ \я ~ ,„_„» „..„.. — „„ . ...
Пилипа!, па тиилииилилл nay чіш-иич~/ісДиоаісло^і\им ^civinnajjc пи icujjnn -in-
сел (г. Москва, декабрь 2007 г., МГУ им. М.В. Ломоносова), на заседаниях кафедры "Высшая математика" Брянского государственного технического университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из четырех глав (одна из которых является введением) и библиографии (39 наименований). Объем диссертации —99 страниц.
