Содержание к диссертации
Введение
1. Об анормальных числах и субэкспоненциальных последовательностях 15
1.1.О лакунарных и сублакунарных последовательностях 15
1.2. О метрических результатах 16
1.3. Новые результаты об анормальных числах и лакунарных последовательностях 18
1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных последовательностях 19
1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных последовательностях 21
1.6. О хаусдорфовой размерности 24
1.7. О выигрышных множествах 24
1.8. О вложении непересекающихся арифметических прогрессий в натуральный ряд 30
1.9. Доказательство теорем 1.1 и 1.2 31
1.10. Доказательство теорем 1.3 и 1.4 33
1.11. Доказательство утверждений из параграфа 1.5 36
2. О плохо приближаемых числах 42
2.1. О результатах Дж. Касселса, Г. Давенпорта и В. Шмидта 42
2.2. Формулировки новых результатов 42
2.3. Вспомогательные результаты 44
2.4. Доказательство теоремы 2.1 47
3. О векторах заданного диофантова типа .50
3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации 50
3.2. Формулировки и результаты 51
3.3. Лучи и цилиндры 53
3.4. Вспомогательные утверждения 54
3.5. Специальная последовательность цилиндров 55
3.6. Доказательство теоремы 3.1 65
Список литературы 67
- О метрических результатах
- О выигрышных множествах
- Формулировки новых результатов
- Вспомогательные утверждения
Введение к работе
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории диофантовых приближений.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию классических объектов, возникающих в теории диофантовых приближений: множеств плохо приближаемых чисел и векторов, векторов заданного диофантового типа и множеств связанных с нормальными числами.
Постановки задач связанных с этими объектами восходят к Л. Дирихле, Л. Кронекеру, Э. Борелю, Г. Минковскому и другим классикам. Ими занимались такие известные математики как А.Я. Хинчин, В. Яр-ник, Дж. Касселс, Г. Давенпорт, П. Эрдеш, В. Шмидт, Н.М. Коробов.
Исследованию свойств плохо приближаемых чисел, нормальных чисел, а также чисел, не являющихся нормальными, посвящено много работ как в России так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также с приложениями уделено внимание в монографиях Дж. Касселса [6], В. Шмидта [14], Л. Кейперса и Д. Нидеррейтера [7], Р. Тихого и М. Дрмоты [21] и других.
С одной стороны, для исследования многомерных задач, связанных с линейными диофантовыми приближениями, в подобного рода вопросах естественно использовать восходящие к Г. Минковскому и Г.Ф. Вороному методы геометрии чисел (см. монографию [28]). С другой стороны, в 1966 году В. Шмидтом [36], [37] был разработан новый метод исследования плохо приближаемых и анормальных чисел связанный с
использованием метрической модификации игры Банаха-Мазура, который позволил получить ряд фундаментальных результатов.
В настоящей диссертации мы продолжаем исследование плохо приближаемых чисел и множеств анормальных чисел с использованием указанных выше геометрического метода и метода выигрышных множеств В. Шмидта. Отметим, что результаты В. Шмидта, связанные с выигрышностью множеств анормальных и плохо приближаемых чисел, носили, в основном, качественный характер. В настоящей диссертации мы разрабатываем количественный вариант метода В. Шмидта, а также получаем оценки для хаусдорфовой размерности возникающих у нас множеств. Помимо этого, мы устанавливаем ряд новых результатов, связанных с существованием наборов вещественных чисел, обладающих совместными диофантовыми приближениями специального вида. Отметим, что вопросам метрической теории диофантовых приближений, связанных с рассматриваемыми нами задачами, посвящена книга В.Г. Спринджука [10], а вопросам, связанным с размерностью Хаусдор-фа — книга В.И. Берника и В.Ю. Мельничука [5]. Также отметим, что в последнее время к подобного рода вопросам вновь проявился интерес в связи с теорией динамических систем (см. монографию А.Н. Старкова [11] и серию работ Д. Клейнбока [30], [31], [32]).
Результаты настоящей диссертации также связаны с исследованиями распределения лакунарных и сублакунарных последовательностей, проводившимися в работах П. Эрдеша [24], А.Д. Поллингтона [34] и Д. де Матана [33], и с некоторыми эргодическими теоремами Г. Фюрсте-берга [27] и М. Бошерницана [15], [16]. Особо отметим, что совсем недавно задачи, связанные с исследованием лакунарных последовательно-
стей, изучающиеся в диссертации, оказались полезными при исследовании хроматических чисел некоторых множеств. В связи с этим мы упомянем И. Ружи и др. [35]. Цель работы.
Построение чисел, не являющихся нормальными ни по какому основанию, и получение количественных оценок, построение множеств действительных чисел полной хаусдорфовой размерности, плохо приближаемых рациональными числами со знаменателями вида 2n3m, и получение общих количественных результатов методом выигрышных множеств В. Шмидта.
Получение результатов о наборах действительных чисел, которые являются плохо приближаемыми одновременно со всеми своими подна-борами (теоремы существования и оценки хаусдорфовой размерности).
Доказательство теорем существования векторов заданного дио-фантового типа.
Методика исследования. Основными инструментами при исследовании рассматриваемых задач являются метод выигрышных множеств В. Шмидта, конструкции де Матана-Поллингтона и их обобщения. В многомерных задачах активно используется соображения геометрии чисел, точнее, геометрической теории диофантовых приближений, некоторые из которых развивались Н.Г. Мощевитиным.
Научная новизна. Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Количественная теорема о числах, не являющихся нормальными ни по какому основанию.
Результат о существовании множества действительных чисел а таких, что ||2n3ma|| отделено от нуля медленно убывающей функцией.
Теорема о существовании и хаусдорфовой размерности множества плохо приближаемых векторов, все проекции которых также плохо приближаемы.
Доказательство существования 5-мерных векторов, допускающих бесконечно много
Достоверность результатов. Решения всех задач получены с помощью строго обоснованных математических методов и снабжены доказательствами и необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность полученных результатов с результатами других авторов. Достоверность результатов также основывается на строгости и подробности приведенных в диссертации доказательств.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании кан-торовых множеств, возникающих в теории диофантовых приближений и оценках хаусдорфовой размерности. Они могут быть полезными при исследовании распределения по модулю 1 дробных долей быстро растущих последовательностей. Также результаты могут иметь приложения в некоторых вопросах приближенного анализа, теории динамических систем, теории функций, и в вопросах, связанных с хроматическими числами дистанционных графов.
Апробация работы. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:
Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина, А.Б. Шидловского,
"Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова,
"Арифметика и геометрия" под руководством Н.Г. Мощевитина, A.M. Райгородского,
4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством
С.С. Рышкова.
Также автор выступал с докладом на международном семинаре по дискретной математике, проводившемся в январе 2004 года на механико-математическом факультете МГУ, и участвовал в работе VIII Международной конференции, "Образование, экология, экономика, информатика", проводившейся в городе Астрахань в сентябре 2003 года.
Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы включающего 37 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц.
О метрических результатах
Прежде, чем переходить к формулировке доказанных нами теорем, сделаем несколько замечаний о метрических результатах касающихся того случая, когда tn являются целыми числами. Общеизвестно (см. [17]), что если ряд 2 ф(п) сходится, то для по- чти всех (в смысле меры Лебега) действительных чисел а существует положительная константа К(а) такая, что при всех п будет выполняться неравенство С другой стороны, в случае расходимости ряда 2 Ф(п) типичной является ситуация, когда неравенство (1) для почти всех а имеет бесконечно много решений в натуральных п. Процитируем, например, соответствующий результат Дж. Касселса из работы [17]. Напомним, что возрастающая последовательность {tny =l целых чисел называется Е-последовательностью, если имеет место соотношение где \in обозначает количество дробей вида /-,0 j tn не представимых в виде т" с натуральным і Теорема Дж. Касселса [17] утверждает, что если (in) l1 является Е-последовательностью, то в случае расходимости ряда Ф(п) нераді венство (1) имеет для почти всех а бесконечно много решений в натуральных п. Отметим, что, как показали Р. Дуффин и А. Шеффер [22], в случае расходимости ряда Y1 Фір) не Для всякой целочисленной последова- тельности (tn)n=l неравенство (1) имеет для почти всех а бесконечно много решений в натуральных п. Примеры последовательностей, не являющихся Е-последовательностями, были построены Дж. Касселсом в той же работе [17]. Теорема 1.1. Пусть (VJ)=1 — последовательность ПОЛОЖитеЛЬ-ных действительных чисел, таких что vJl=A и C HQ= In (21832). Тогда существует такое мнооюество Рх вещественных чисел х, что для любого целого q 2, для любого хЄР„, и для любого nENo выполнена оценка и Теорема 1.2. Пусть {vj) Ll — последовательность ПОЛОЖитеЛЬ-ных действительных чисел, таких что ]Г vJl—A и х хо=1п (21832). Тогда существует такое мнооюество Рн вещественных чисел х, что для любого JEN, для любого хЄР , и для любого nGNo выполнена оценка Следствие 1. Пусть 0, х х0=1п (21832) и А= V \ 1+е. Тогда существует множество Рн вещественных чисел х такое, что для любого целого # 2, для любого хЄРх, для любого nGNo выполнена оценка Замечание. Аналогичный результат, но с более слабыми оценками, был получен автором в статье [1]. Следствие 2. Пусть є 0, x x0=ln (21832) и Л= V 1+.. Тогда существует такое множество Р„ вещественных чисел т, что для любого jeN, для любого хЄРх, и для любого nGNo выполнена оценка Доказательство теорем 1.1 и 1.2 проводится в параграфе 1.9. На самом деле, теоремы 1.1 и 1.2 являются следствием общей теоремы, которая будет сформулирована и доказана в параграфе 1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных последовательностях.
Рассмотрим последовательность (kr) LQ натуральных чисел, такую, что &о=1, и для нее определим последовательность (nr) L0, положив пг=ко+...+кг, rGNo- Теорема 1.3. Пусть задана строго монотонно возрастающая последовательность положительных вещественных чисел (tn)=\, последовательность натуральных чисел (&г)10 и положительнознач-ная функция i (n) такие, что Тогда существует несчетное множество действительных чисел Лф такое, что для любого а&Лф, и для любого пєМ выполняется неравенство Замечание. Вместо условия (4) удобно использовать соотношения t At из которых условие (4) очевидно следует. Теорема 1.4. Пусть 0 so l. Пусть задана строго монотонно возрастающая последовательность положительных вещественных чисел (n) Li последовательность натуральных чисел (fcr)L0 и положительнозначная функция ф{гі) такие, что сходится при 0 S SQ. Тогда существует несчетное множество действительных чисел Лф такое, что для любого аЄЛф, и для любого nEN выполняется неравенство \\іпа\\ ф{п) VnGN, причем т{Лф) з0. Замечание. Вместо условия (8) удобно использовать соотношения (7) и неравенство из которых условие (8) очевидно следует. Доказательства теорем 1.3 и 1.4 проведены в параграфе 1.10. 1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных последовательностях. Если (надлежащим образом выбрав параметры) применить наши теоремы 1.3 и 1.4 к лакунарной последовательности (tn) =v то получится в точности результат де Матана-Поллингтона. Основной интерес представляет применение наших теорем к последовательностям субэкспоненциального роста. Отметим, что если целочисленная последовательность {tn)=l растет медленнее, чем ехр(п ), /? 1/2, то применение теорем 1.3 и 1.4 дает тривиальный результат — при оптимальном выбо- ре параметров ряд ]Р ф{п) будет сходится и, согласно упомянутой во введении метрической теореме, неравенство (5) будет асимптотически выполняться для почти всех а. Приведем несколько примеров, когда наши теоремы дают нетривиальные следствия.
Пример 1. Последовательность {2n3mo:}. Рассмотрим множество натуральных чисел вида 2n3m и пусть последовательность представляет собой это множество, упорядоченное в порядке возрастания чисел. Г. Фюрстенберг [27] (см. также [15]) доказал, что для иррационального а множество дробных долей {2n3ma} всюду плотно на отрезке [0,1] и, стало быть, Отметим, что в настоящее время удовлетворительных результатов нет о характере стремления величины sna к нулю. Из процитированного во введении результата следует, что если ряд Y2 (п) сходится для почти всех а, то с некоторой положительной константой с(а) и для любого натурального п выполнено неравенство Из нашей теоремы 1.3 вытекает следующее Утверждение 1. Существует несчетное множество Л чисел а, таких что при любом натуральном п выполнено неравенство (Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение п — тах{п, 3}.) Из теоремы 1.4 следует Утверждение 2. Пусть 7 7о= іб-іо4. Тогда существует множество Л хаусдорфовой размерности чисел а, таких что при любом натуральном п выполнено неравенство Замечание. Отметим, что последовательность (sn) li является Е-последовательностью (действительно, в данном случае дп 5п/б и неравенство (3) выполнено) и, поскольку ряд ]Р -= расходится, то при любом положительном 7 для почти всех а неравенство имеет бесконечно много решений в натуральных п. Таким образом, множества, существование которых обеспечивается утверждениями 1 и 2, имеют меру нуль. Пример 2. Последовательность tn х ехр(?7П ), где 1/2 /3 1. Утверждение 3. Существует множество Л действительных чисел хаусдорфовой размерности HD (Л) =1 такое, что для каждого а Є Ас некоторой положительной постоянной 7=7(а) ПРИ любом натуральном п выполнено неравенство Пример 3. Последовательность tn х exp(rjn/\nn). Аналогично утверждениям 2 и 3 доказывается следующий результат. Утверждение 4. Существует множество Л действительных чисел хаусдорфовой размерности HD (Л) =1 такое, что для каждого а Є Лс некоторой положительной постоянной 7=7(0 ПРИ любом натуральном п выполнено неравенство Сформулированные в настоящем параграфе утверждения являются следствиями теорем 1.3 и 1.4. Мы докажем их в параграфе 1.11. 1.6. О хаусдорфовой размерности. Для оценки снизу хаусдорфовой размерности будет использована следующая теорема. тервал длины (Ак(г))=6к (&GN). И пусть каждый интервал Ajfc(i) содержит в точности Nk+i l дизъюнктных интервалов (длины 5k+i) из множества Ak+i (при этом Rk+\=Rk Nk+i ). Предположим, что 0 5Q 1 и что при любом S SQ сходится ряд Тогда множество А= Р Ак имеет хаусдорфову размерность HD(A) s0. 1.7. О выигрышных множествах. В этом параграфе мы переформулируем нужным нам образом некоторые результаты В. Шмидта из работ [36], [14]. Пусть 0 а 1, 0 /? 1 и р 0. Пусть на вещественной оси отмечено некоторое множество точек SCR. Рассматривается игра, в которую играют черные и белые. Сначала черные выбирают на действительной оси замкнутый отрезок В\ длины (В{)=2р. Затем белые выбирают замкнутый отрезок W\C.B\ длины (Wi)=a(Bi).
О выигрышных множествах
В этом параграфе мы переформулируем нужным нам образом некоторые результаты В. Шмидта из работ [36], [14]. Пусть 0 а 1, 0 /? 1 и р 0. Пусть на вещественной оси отмечено некоторое множество точек SCR. Рассматривается игра, в которую играют черные и белые. Сначала черные выбирают на действительной оси замкнутый отрезок В\ длины (В{)=2р. Затем белые выбирают замкнутый отрезок W\C.B\ длины (Wi)=a(Bi). Потом черные выбирают замкнутый отрезок B2CW1 длины (B2)=(3(Wi), и т. д. Таким способом порождается последовательность вложенных замкнутых отрезков BIDWIDB2DW2D--- С длинами (Д)=2(а ) _1р и (Wi)=2a(a/?)i 1 р (г=1,2,...) Очевидно, что множество Г\ 1ВІ= 0 W% состоит из од- ной единственной точки. Если (У ІВІЄБ, то говорят, что белые выиграли игру, иначе игру выиграли черные. Далее, множество S называется (а, (3, р)-выигрышным, если белые могут выиграть игру независимо от того, как играют черные. Множество S называется (а, (3,р)-вполне выигрышным, если Ур р это множество является (а, /?, -выигрышным. Замечание 1. Если множество S (а, /?, р)-выигрышно, тогда множество aS+b является (а, /?, ар)-выигрышным. Замечание 2. Из (а, (3, /э)-выигрышности не следует (а,(3,р)-вполне выигрышность. Так как, например, множество S= (J [2n, 2n+l) является (, , у J-выигрышным, если к — нечетное натуральное, и не является ( , , у J-выигрышным, если к — четное натуральное. Лемма 1.1. Пусть 0 а 1, 0 /3 1, "у=1-\-аР—2а 0, р 0, и пусть tEN такое, что {а(3)1 /2. Пусть отрезок Bk длины 2pk и с центром в точке bk получается в. (а,(3,р) игре. Тогда белые могут играть так, что при любой игре черных отрезок Bk+t лежит в полупрямой x bk+Pkl/2. Замечание 3. Выполнено неравенство 7 1- Доказательство леммы 1.1. Пусть белые придерживаются такой стратегии — ходят как можно правее. Тогда Отсюда видна монотонность последовательности bk, в частности, из нее следует неравенство Поскольку pk+t=pk{ctPy Рк1/2, то VxGBk+t, выполнено неравенство Лемма 1.1 доказана. Лемма 1.2. Пусть 0 а 1, 0 /? 1/2, р 0 и множество S является (а, (3, р) -выигрышным. Тогда множество S имеет хаусдорфову размерность Доказательство. Положим N= \\ . Предположим, что белые используют выигрышную стратегию и что В\ и W\ уже заданы. Разобьем отрезок W\ на N равных частей. Черные могут играть таким образом, что отрезок В% будет лежать в одной из N частей отрезка W\. Обозначим ?2 через В , іЄ{1,..., N}. Разобьем отрезок W2 на N равных частей. За следующий шаг черные могут сыграть так, что отрезок В$ будет лежать в одной из N частей отрезка И . Таким образом, существуют N2 возможностей выбора отрезка В%, которые обозначим через В 12, гі, ггЄ{1,..., N}, и т. д.
Для всякой последовательности {ik)kL\ иЄ{1, -, N} мы получаем последовательность отрезков Вг2\ВІіг2, Вг %2гз,..., пересечение которых принадлежит множеству S. Теперь положим Этот ряд сходится при s Wofl Применив теорему Эглестона, полу- чим, что Лемма 1.2 доказана. Обозначим Na,b(g)= {хєШ VnGN 11 ( +6)11 -1} и положим N(g)=N1,0(g). Лемма 1.3. Пусть 0 а 1, 0 /? 1, 7=1+а/?-2а 0, р , S r Тогда множество N(g) является (а, (3,р)-вполне выигрышным. Доказательство. Так как р , то найдутся такие натуральные числа щ (г=0,1,...), что Определенная таким образом последовательность натуральных чисел оказывается строго возрастающей, и, более того, Покажем, что белые могут играть так, что при любой игре черных VtGNVaeBnJI -1 !! -1. Пусть дан отрезок -ВПі_і длины 2{а(3)щ 1 хр с центром в точке 6ni_j. Числа х, для которых выполнено неравенство 7г-1я #_1, содержатся в отрезках длины 2д г, расстояние между которыми равно Это означает, что отрезок Вщ_х пересекается не более чем с одним таким "плохим" отрезком I. Не ограничивая общности, можно считать, что центр отрезка / лежит не правее центра отрезка Вщ_х. Тогда весь отрезок / содержится в полупрямой Определив и=щ-щ 1, получим { Р)и= 0унг_1 2-Теперь из леммы 1.1 следует, что \/x&Bni=Bni_1+ti выполнено неравенство Итак, лемма 1.3 доказана. Следствие. Пусть 0 а 1, 0 /? 1, 7=1+« -2а 0, р , # , а 1. Тогда множество Na,b(g) является (а,/3,р)-выигрышным. Доказательство. В силу леммы 1.3 множество N(g) (a,/?, р)-вполне выигрышно. Тогда, в силу замечания 1, множество Na,b(g) (a,/3, )-вполне выигрышно. А так как a l, то множество Naib{g) (a,/?,р)-выигрышно. Следствие доказано. Пусть натуральный ряд N содержит дизъюнктного объединение Ц Pj арифметических прогрессий Pj с первым членом rrij и разностью dj. Пусть а и Р удовлетворяют условиям Определим последовательно для всех JGN следующие величины: Лемма 1.4. Пусть множества Nj — (otj, (3j,Pj)-выигрышны. To- гда П Nj — (а, (3,1)-выигрышно. Доказательство. Белые играют следующим образом. Для ходов с номерами rrij+kdj(zPj (&єМо) они используют (а,/?(а/?) " ,(a(3)mj l\-выигрышную стратегию для множества Nj. Следовательно, f] B Nj. Таким образом, белые могут сыграть так, чтобы f] Bk П Nj. Тем самым лемма 1.4 доказана. 1.8. О вложении непересекающихся арифметических прогрессий в натуральный ряд. Следующее утверждение немного уточняет соответствующую лемму из работы [1]. Лемма 1.5. Пусть () — последовательность положительных действительных чисел, таких что 1 1/2. Тогда существует по-следователъность непересекающихся арифметических прогрессий (где rrij и dj — некоторые натуральные числа), таких что Vj/2 dj Vj. Замечание. Для любого jGN выполнены неравенства Vj 2 и rrij dj. Доказательство леммы 1.5. Не ограничивая общности, можно считать, что последовательность () монотонно возрастает. Определим последовательность натуральных чисел (TIJ)JII ИЗ следующих соотношений Далее, положим dj=2Uj. Заметим, что при этом dj l и последова-тельность (nj)jli монотонно возрастает. Мы ПОСТРОИМ ПО ИНДУКЦИИ ПОСЛедОВатеЛЬНОСТЬ Pi, Р2, . . . , Pfc, ... непересекающихся арифметических прогрессий с разностями соответственно di,d2,...,dk,... В качестве арифметической последовательности Pi возьмем любую арифметическую прогрессию с разностью d\. Пусть уже построены непересекающиеся прогрессии Pi, Р2,..., Pfc. Так
Формулировки новых результатов
Напомним, что вектор а= (c i, с ,..., осп) ИП называется плохо приближаемым n-мерным вектором, если существует положительная константа С—С (а) такая что при любом натуральном п выполнено неравенство Дж. Касселс в работе [18] доказал, что существует континуальное множество плохо приближаемых n-мерных векторов, при С (а) Сп 0 (здесь Сп — константа, зависящая только от размерности п). Г. Давенпорт в работе [20] обобщил и уточнил процитированный выше результат Дж. Касселса. Он привел простое доказательство теоремы Дж. Касселса, где в качестве констант Сп можно взять Cn=2 5(n!)-1/n. Дальнейшее обобщение и усиление подобного рода результатов связано с техникой (а, /5)-выигрышных множеств развитой В. Шмидтом (см. [14], [36]). В частности, В. Шмидт доказал, что множество плохо приближаемых n-мерных векторов имеет хаусдорфову размерность п. 2.2. Формулировки новых результатов. Пусть /={1,2,... ,s} и дан набор A={ j}JC/ij 0 из 2s—1 положительных констант. В пространстве Rs рассмотрим множество Нас будет интересовать вопрос: при каких условиях на Д множество Рд не пусто и какова его хаусдорфова размерность. Отметим, что из теоремы В. Шмидта об а-выигрышности пересечения конечного числа а-выигрышных множеств (см. [36]) следует, что существует набор А такой, что множество РА — континуально. Более того, множество П=[]РА имеет хаусдорфову размерность HD(fi) =s. А Однако метод (а?,/?)-выигрышных множеств не позволяет получать хороших оценок для величин 5j (отвечающих за порядок приближения), и хороших оценок снизу для хаусдорфовой размерности 1Ш(Рд). В настоящей работе мы докажем результаты о множестве Рд, которые будут лучше следствий из метода В. Шмидта. Положим hn= max det Ца Г и Cn=(hn+i) п (n=l,2,... ,s). 3a-ау є [-1,1] метим, что в силу неравенства Адамара имеем Сп (vn+1) n . Кроме того, равенство сп= (у/п-\-\) п достигается при бесконечно многих п (см. [13]). Далее, положим F(A)= Yl jiV T (здесь Теорема 2.1. Пусть t — натуральное число, такое что выполняется неравенство t M и пусть F (А) - j, тог а мносисество РА не пусто, и имеет хаусдорфову размерность Замечание 1. Для любого набора А и є 0 определим набор eA={e6j}. Тогда HD(PA)-»s при є- Замечание 2. Рассмотрим отдельно случай, когда 5=2. Заметим, что сі=С2=2. По теореме 2.1 множество Рд не пусто, если выполнено неравенство #{1)+(5(2)+25(1,2} . Замечание 3.
Пусть набор А в условии теоремы 2.1 такой что 5j=5{n), где n= J\. И пусть аЄРд, тогда для любого натурального числа q найдется перестановка i\, г 2,..., is чисел 1,2,..., 5, такая что Следующее утверждение фактически принадлежит Г. Давенпор-ту [20] и В. Шмидту [14]. Лемма 2.1. Пусть пєМ, В — n-мерный куб с ребром длины г, с центром в точке b=(b\, 62, , Ьп). И пусть для некоторых положительных чисел Q, R и 5 выполнено неравенство Тогда множество Доказательство. Пусть дан набор из п+1 точек PJJJEG, где (.7=0,1,...,71), и пусть им соответствуют точки x =lxi\x2,...,Xnj. Для доказательства леммы 2.1 достаточно показать, что точки = (jfo-, jjfo,..., у), где (j=0,1,..., п) лежат в одной гиперплоскости. Эти точки лежат в одной гиперплоскости тогда и только тогда, когда А так как det N — целое число, то отсюда следует, что det N=0. Лемма 2.1 доказана. Пусть 7rCRn — гиперплоскость. Тогда множество будем называть є-окрестностью гиперплоскости 7г. Лемма 2.2. Пусть 7Г — гиперплоскость, є 0, GN и n-мерный куб В с ребром длины г(В) представлен в виде объединения tn маленьких кубиков с ребром длины Г ( 7 = ) Тогда -окрестность гиперплоскости 7Г пересекает не более dn{e)tn l маленьких кубиков, где Доказательство. Заметим, что (г+у)-окрестность гиперплоскости 7Г содержит все маленькие кубики, которые пересекаются с у-окрестностью гиперплоскости 7Г. Их количество не превосходит объема слоя Н, образованного пересечением (г+у)-окрестности гиперплоскости 7Г с кубом В, деленного на объем одного маленького кубика. Объем слоя Я, в свою очередь, не превосходит объема слоя, образованного пересечением (г+у)-окрестности гиперплоскости 7г с описанной около куба В сферой радиуса - -у/п. Теперь опишем вокруг сферы куб с ребром длины г(В)\/п, так чтобы одна из его граней была параллельна гиперплоскости 7г. Итак, объем слоя Н оценивается сверху величиной 2 (г+у) у/п(г(В)\/п)п . Отсюда получаем dn{e)=2 (l+) (\/rc)n. Лемма 2.2 доказана. Для оценки снизу хаусдорфовой размерности будет использована следующая теорема.
Теорема (Eggleston [23]). Пусть Ak= \J в% іи""ік, где при любом d SQ сходится ряд Тогда множество А имеет хаусдорфову размерность HD (A) SQ- 2.4. Доказательство теоремы 2.1. Символом В будем обозначать 5-мерный куб со сторонами параллельными базисным гиперплоскостям, длину его ребра обозначим через г(В). Пусть го=77, iVo=l и Rn=t:f ri (п=1,2,..., s). Мы построим последова-тельность вложенных множеств AQ, А\,..., Ak, . , описанную в условии теоремы Эглестона, такую что г&= () го, .ЛГ&= [ j 8-1] (здесь [] — обозначает ближайшее целое сверху) и Проведем индукцию по к. 1) Базис индукции: к=0. Пусть BQ — произвольный куб с ребром длины г(Во)=го. Для него неравенство (23) очевидно выполняется. 2) Предположение индукции: пусть уже построены кубы 3) Индуктивный шаг: Построим Nk кубов j? -» -1» таких чт0 выпол няются условия теоремы Эглестона. Для простоты будем писать Bk-i вместо В і " fc_1. При фиксированном множестве индексов JQI имеет смысл рассматривать только Я-1 # #{;, где п=\ J\. Далее, гиперплоскость вида xGRs ajXj=const , где ]Г) а1Ф бу- дем называть J-гиперплоскостью. Пусть XCRS и JC.I ( J=n), тогда определим множество Рассмотрим множество гдега=«Л- Согласно лемме 2.1 (для применения которой нужно взять n=J, B=(Bk-i)j, Q=R 1, R=Rn, 5=5j, r=r(Bk-i)) множество (G(J))j содержится в некоторой гиперплоскости пространства (Rs) . Пусть ее уравнение J2 CLiXi=const, где ]Р af O, тогда и множество G( J) содер- жится в одной гиперплоскости пространства Ш3 с тем же уравнением, Применяя лемму 2.2 с n=J, 7Г=7Г , 6=— - и B=(Bk-i) , получаем, что jT т к -окрестность J-гиперплоскости iTj пересекает не бо-лее чем ап ( -f- 1 ts маленьких кубиков. А все - - ——окрестности «/-гиперплоскостей -ЇЇj пересекают не более чем
Вспомогательные утверждения
Пусть (р(у) — некоторая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Напомним, что натуральное число р называется совместным (/ -приближением к вектору Q=(ai,..., Q;S)EM.S, если В работе [18] Дж. Касселсом доказано, что существует константа CS) зависящая только от размерности s такая, что найдется континуальное семейство векторов аєМ3, не допускающих ни одного совместного /?-приближения с функцией p{y)=Csy lls. В дальнейшем этот результат обобщался и усиливался в работах Г. Давенпорта и В. Шмидта (см. книгу [14]). С другой стороны, в работах [25], [26] В. Ярником установлен следующий результат. Пусть (f{y)y1 s убывает при у— оо, а А(у)—»0 при у— оо. Тогда найдется континуальное семейство векторов о:ЄМ5 допускающих бесконечно много совместных ( -приближений, но не допускающих более чем конечного числа А-приближений. В статье [9] было доказано, что если ip(y)=0(y l/s), у—»оо, то найдется континуальное семейство векторов aGMs, допускающих бесконечно много совместных (/ -приближений, но не допускающих ни одного совместного сг5 /?-приближения с некоторой очень маленькой положительной константой crs l. Отметим, что значение константы as из процитированной теоремы работы [9] можно сделать существенно лучше, используя соображения Давенпорта-Шмидта из [20], [14], однако идеи из этих работ не позволяют полностью устранить имеющийся зазор в константу о 3 1. В настоящей главе мы в случае ір(у)=о(у 1 3), у— оо доказываем существование векторов аЄК5, допускающих для любого 0 бесконечно много совместных ,р(1+є)-приближений, но не допускающих ни одного совместного (/ -приближения, и, тем самым, в случае (2/)=0(2/-1 ) устраняем зазор в константу. Особо отметим, что наши методы не устраняют зазор в константу в случае (p{y)=0(y 1 s). 3.2. Формулировки и результаты. Пусть F(y) : Rs— Ж — лучевая функция некоторого замкнутого, симметричного относительно 0, выпуклого ограниченного тела UcRs, U={y eRs I F(y) l}. Тело V=aU и все его параллельные переносы мы будем называть шарами с радиусом о. Положим = (1+3 ШГ\ c=C(s) (1+ (i) 6), где C(e)= ±$, a V(s) - объ-ем s-мерного шара единичного радиуса. Далее, определим А= Q) -с, В=\с (для величин А и В выполнено Л Q)s д/ff, В \ л/ff) и R(U)=max\y\. Заметим, что yeU Теорема 3.1. Пусть ф(р) : N— Ж — монотонная невозрастающая положительная функция иф(1) -щщ. Тогда найдется континуальное семейство векторов а=(а\,..., as)GlRs, таких что В дальнейшем нам понадобится ряд вспомогательных утверждений, которые мы сформулируем в виде лемм. Сделаем одно замечание.
Если мы рассматриваем 5-мерное множество М в пространстве M.s+1, то его внутренностью int М мы будем называть множество его внутренних точек как s-мерного множества. Границей М мы будем называть множество дМ=М\ (int М). Лемма 3.1. Пусть (=(p,ai,... ,os)GNxZs, НОД(р, ai,... ,as)=l и max (р, ai,..., \as\) =p. Тогда существует вполне рациональная гиперплоскость 7Г размерности s, такая, что О, Є7Г и решетка r=Zs+1fl7r имеет определитель detr C(s)p1/s. Следствие. Решетка Zs+1 содержится в объединении гиперплоскостей параллельных гиперплоскости 7г, причем евклидово расстояние detT межДУ соседними параллельными гиперплоскостями удовлетворяет неравенству fr C(spl/,. Доказательство леммы 3.1. Рассмотрим s-мерную решетку целых чисел Л= {у=Ы,2/1, — , Vs)eZs+1 уор+уіах-h +ysas=0} . Определитель этой решетки равен det Л=С- В силу теоремы Минков-ского о выпуклом теле, существует целочисленный вектор Ї/ЄЛ, такой что 0 \у\ 2 l/s\Q1 s C(s)p1 s. Не ограничивая общности, можно (V(s)) считать, что все yi (O i s) — взаимнопросты в совокупности. Рассмотрим вполне рациональную гиперплоскость Очевидно, что О, Сб7Г, и решетка Г имеет определитель detr=\y\ C(s)p1/s. Лемма 3.2. Пусть имеется s-мерный шар ЕсЖ3 с радиусом а и гиперплоскость 7Г, проходящая через точку — центр шара Е. Тогда найдутся два различных s-мерных шара Е+,Е СШ8 с радиусом о /2, обладающие следующими свойствами: 3) Е+ и Е лежат по разные стороны от гиперплоскости ТГ; 4) едЕ+;СедЕ . 3.5. Специальная последовательность цилиндров. В этом пункте мы построим последовательность цилиндров V специального вида, которая позволит нам установить существование векторов а=(а\,... , as)6Rs, удовлетворяющих условию теоремы 3.1. Положим Лемма 3.3 (Основная).
Пусть ф(р) : N— М — монотонная невозрастающая положительная функция и ф{1) (\)s Jm. Тогда найдется последовательность цилиндров состоящая из цилиндров 11,,=11(2,, ,,,0 ), обладающих следующими свойствами: Г. Грань {х=ри} цилиндра Ии содерснсит ровно одну целую точку С,и= (j v, cii,i/, ,&s,v) GZS+1, которая является ее центром, и max (р„, \altV\,..., ав„) =р„. При этом „=i \j) и Яри этол F (ри-іа—аи-\) = тіп F {ри-іа—а). Е. 7сли П,, - при и 1, то П -і . УК. Если выполнены неравенства Доказательство. Возьмем в качестве цилиндра Пі цилиндр Пі=П(і, 1,2 (1)), где луч 1\ имеет направляющий вектор (1,0,... , 0)6KS+1. Легко проверить, что цилиндр Пі обладает указанными в основной лемме свойствами (А-Ж). Мы построим последовательность цилиндров, с началом в цилиндре Пі индуктивным образом. Итак, пусть уже имеется последовательность цилиндров V : Пі, П2,..., П , обладающая указанными в основной лемме свойствами (А-Ж). Построим цилиндр П +і также обладающий свойствами (А-Ж). В силу следствия леммы 3.1, существует вполне рациональная гиперплоскость 7iv размерности s, такая, что О, С„Є7Г„ и евклидово расстояние hv между соседними гиперплоскостями удовлетворяет неравенству Согласно лемме 3.2 найдется s-мерный шар Е+ с радиусом Jv/2, содержащийся в грани {х=р1/} цилиндра U.v, причем иєдЕ . Докажем, что выполнено неравенство Действительно, если и=1, то это неравенство очевидно выполняется. Если же v l, то из условия основной леммы 3.3 и предположения индукции имеем Построим еще один 5-мерный шар RvcE+ с радиусом %г т- ч- C,udRu. Это можно сделать, так как выполнено неравенство (27). Обозначим через tv=t (av) луч, исходящий из начала координат О в центр шара Ru, и положим Заметим, что при этом выполнено равенство Гранью {x=Pv} цилиндра П , является этот самый шар Ru. Поскольку ПіуСПг/, а внутри цилиндра П целых точек нет, то (int П,,) nZ5+1=0. Нет целых точек и строго внутри s-мерной грани Rv цилиндра Пі,. Определим теперь число ри+\ как наименьшее натуральное число большее ри, такое что цилиндр П ( , , Щ/г) содержит целую точку строго внутри своей грани Через v+1 обозначим целую точку, фигурирующую в определении числа Ри+\- Положим П„=П Обозначим через Cv+i= ( 1 J луч, исходящий из начала координат Итак, построение цилиндра П +і завершено. Докажем теперь, что так построенный цилиндр П +i удовлетворяет всем условиям индуктивного предположения. Условие А индуктивного предположения выполнено по построению. Докажем, что выполнено условие В индуктивного предположения Рассмотрим цилиндр П1/=С +1—П ,, получающийся из цилиндра Пі, симметрией относительно начала координат 0 и последующим переносом на вектор С +і- Ясно, что (int П ) П Zs+1=0. Обозначим Т„=П„иП„. Теперь получаем (int Tv) flZs+1=0, так как int Т„= (int П„) U Ant П ).
