Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена теории приближения в банаховых пространствах. Теория приближения в банаховых пространствах берет свое начало в в работе П.Л.Чебышева, в которой доказана чебышевость множества алгебраических многочленов степени не выше п и множества рациональных функций со степенью числителя не выше т и степенью знаменателя не выше п в пространстве С[а, Ь]. В дальнейшем геометрические вопросы теории приближения в конкретных банаховых пространствах изучались А.Хааром, А.Н.Колмогоровым, Е.Я.Ремезом. Окончательно теория приближения в банаховых пространствах оформилась в самостоятельную ветвь теории приближения в 60-е годы благодаря работам Н.В.Ефимова и С.Б.Стечкина, В.Кли, А.Л.Гаркави, Л.П.Власова, С.Я.Хавинсона, Д.Вулберта, Б.Крипке, Дж.Линденштрауса, П.Морриса, Р.Фелпса, Р.Холмса, Э.Чини и др. Дальнейшее развитие эта тематика получила в очень большом количестве работ разных авторов. Укажем только некоторых авторов чьи работы тесно связаны с тематикой диссертации: С.В.Конягин, И.Г.Царьков, Л.П.Власов, В.И.Бердышев, В.А.Кощеев, А.Л.Браун, Л.Веселы, Л.Заийчек и др. В диссертации рассматриваются различные взаимосвязи между аппроксимативно-геометрическими свойствами множеств в банаховых пространствах. Стержневым в этой проблематике представляется вопрос о свойствах чебышевских множеств. Наиболее популярна нерешенная проблема: выпукло ли всякое чебышевское множество в гильбертовом пространстве ?
Изучение проблематики чебышевских множеств' в нашей стране началось по инициативе Сергея Борисовича Стечкина. Исследования в области теории приближения функций привели его к вопросу: является ли множество jR, рациональных дробей чебышевским в Lp (р > 1)? (Само название "чебышёвские множества" дано СБ. Стеч-киным в честь основателя теории наилучших приближения П. Л. Че-
бышёва). Поскольку множество ДЦ, невыпукло, ответ виделся отрицательным, по крайней мере в г- Так возникла ныне широко известная проблема выпуклости чебышёвского множества в гильбертовом. пространстве.
. Пусть X - банахово пространство, М - непустое замкнутое подмножество X, d(x,M) = inf{j|x — 2/j) : у Є М} - расстояние от элемента х Є X до множества М С X, Рм{х) — {у Є М : ||х — у\\ = d(x,M)} - метрическая проекция элемента х на множество М. Е{М) = \Х\М : Рм(х) ф 0} - множество точек существования элемента наилучшего приближения; М называется прокси-миналъкым или множеством существования, если Х\М = Е(М); U(M) = {х Є Х\М: |Рм(а;)| < 1} - множество точек единственности; М называется множеством единственности, если Х\М = U(M); Т{М) = {х Є Х\АГ : \Рц(х)\ = 1} = (М) (Ytf(Af); М называется чебишёвским множеством, если Х\М = Т(М); Т^ = {х Є Х\АГ : diamB(x,d(x, М) + 6) П М) -* 0 при б -* +0}; rAC(Af')1 - множество точек аппроксимативной г-компактно-, сти, т.е. тех х Є Х\М, для которых всякая минимизирующая последовательность уп, [т.е. ' у„ Є М, ху„ —* хМ] содержит подпоследовательность, т-сходяшуюся к элементу из М [зависящему от подпоследовательности]; М называется 'аппроксимативно компактным, если Х\ = АС(М); Gu - множество тех х Є Х\М, где сім имеет производную Гато dM(z) = / Є X*, так что Vh X
f(h) = ltedM{x + th)-dM{x); ' . (*)'
Fm - множествотех xG, где предел (*) равномерен по h S [в этом' случае / назьтается производной Фреше,'а им дифференцируемой по Фреше в точке х]; G'M = {х Є G : )1 (х)|| = 1}; У = F{X) -семейство непустых замкнутых множеств; Усе{Х) - семейство всех тех М Є У(Х), для которых Х\М выпукло; 1С(Х) - множество выпуклых тел М Є ?{Х), 0 int М.
В связи с упомянутой проблемой выпуклости чебышёвского множества была доказана следующая теорема.
Теорема Ефимова-Стечкина [23]. Пусть М - чебышевское
хт - обозначает нормированную, слабую или секвенциально слабую топологию банахова пространства.
множество в гладком равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Следующие условия эквивалентны:
а) М выпукло;
б) М секвенциально слабо замкнуто;
в) М аппроксимативно компактно.
С.Б.Стечкиным доказана следующая теорема.
Теорема Стечкина [23]. Пусть М - непустое замкнутое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве X. Тогда каждое из множеств Т(М), Т'м является дополнением множества I категории [в частности, всюду плотное].
В дальнейшем Л.П.Власовым, С.В.Конягиным и К.-С.Лау получены их усиленные аналоги:
Теорема Власова [23]. Следующие условия на банахово пространство X эквивалентны:
а) XE(D)n(S)2;
б) класс аппроксимативно компактных чебышевских множеств
совпадает с классом выпуклых замкнутых множеств;
в) чебышевских множеств множеств с непрерывной метри
ческой проекцией совпадает с классом выпуклых замкнутых мно
жеств.
Теорема Ефимова-Стечкина показала важную роль множества точек аппроксимативной компактности 3 [АС(М)] для выпуклости множества М Є ?(Х), выпуклость чебышевских множеств в бесконечномерных банаховых пространствах доказывалась только при условиях на М по существу эквивалентных условию Х\Т'М = 0. Поэтому представляется естественной следующая задача:
Каким условиям должны удовлетворять множество
Х\Т'М и банахово пространство X
чтобы замкнутое множество М было выпуклым?
Теоремы Стечкина и Конятина - Лау дают некоторое представление о структуре множества Х\Т'М в банаховом пространстве типа
2(5) - класс гладких пространств [в каждой точке сферы существует единственная опорная гиперплоскость]; (D) - класс пространств, в которых из хп Є S, / S*f f{xn) —* 1 следует сходимость хп\ [сильно выпуклые пространства, термин СБ. Стечкина], или ^-пространства [в теории некорректных задач [6],[5]]; впервые рассматривались В.Л. Шмульяном.
3Понятие аппроксимативной компактности введено С.Б.Стечкиным [С]
1 *
(LUR) и (D). Топологические свойства множеств Tj^,AC(M),X\T'M изучали также К.Паук, Л.Заийчек, И.Г.Царьков и др. И.Г.Царьковым [3], в частности, доказано, что для того, чтобы в банаховом про-, странстве X для любого М Є F[X) множество АС(М) было связным, необходимо и достаточно, чтобы X Є {CD). Поэтому мы будем рассматривать следующую задачу:
[ Какую топологическую структуру
*- ' \ имеет множество Х\Г'М1
С.Фитцпатриком [9] показана тесная связь дифференцируемости функции расстояния до множества и аппроксимативной компактности, поэтому мы тоже будем рассматривать дифференцируемость функции расстояния.
Непустое замкнутое подмножество А ф X банахова пространства X называется антипроксиминальным, если для любой точки х Є Х\А в множестве А нет ближайшей точки [Рм{х) = 0]. Анти-проксиминальные множества стали рассматривать с начала 70-ых годов. Их исследовали М.Еделыитейн, Р.Фелпс, А.Томпсон, С.Кобзаш, В.П.Фонф и др. Основной считается следующая задача:
(III)
В каких банаховых пространствах существует
ограниченное выпуклое замкнутое
антипроксиминалъное множество?
Цель работы: решение задач I, II, III при наиболее общих условиях.
Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории приближения, геометрии выпуклых множеств, топологии.
Научная новизна и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получены следующие результаты:
-
Для произвольного непустого замкнутого множества М в гильбертовом пространстве X описана топологическая структура множества Х\Т'М.
-
В банаховых пространствах X Є (D) П (S) и X Є (CLUR) П
(5) 4 доказано, что если для непустого замкнутого чебышевского множества М множество точек разрыва метрической проекции имеет мощность меньше континуума, то множество М выпукло.
-
В банаховых пространствах X Є (-D) Л (S) и X Є (CLUR) Л (S) доказано, что если для непустого замкнутого множества единственности М замыкание множества Х\Т'М имеет мощность меньше мощности пространства X, то множество М выпукло.
-
Получен аналог теоремы Конягина - Лау для множеств с выпуклым дополнением.
-
В произвольном бесконечномерном пространстве L\{S, Е, fi) построено непустое антипроксиминальное замкнутое множество, дополнение которого - ограниченное выпуклое тело.
-
В бесконечномерном банаховом пространстве X с условием Банаха по ограниченному замкнутому гладкому телу построено непустое замкнутое множество М с ограниченным выпуклым дополнением такое, что во всех точках дополнения функция расстояния до множества М дифференцируема по Гато.
-
В произвольном бесконечномерном пространстве C(Q), где Q - топологическое пространство, построено непустое замкнутое ограниченное выпуклое антипроксиминальное тело.
-
В пространстве со построено непустое замкнутое ограниченное выпуклое антипроксиминальное тело с функцией расстояния дифференцируемой по Фрепіе в каждой точке дополнения до множества.
Все результаты являются новыми и принадлежат автору.
Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии банаховых пространств.
Аппробация работы. Результаты докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН под руководством проф. Ю.Н.Субботина и Н.И.Черных, на Международных школах-семинарах по теории приближения функций под руководством С.Б.Стечкина 1993-1995 годах, на школах памяти С.Б.Стечкина 1996-1998 годах,
4(CLUR) - класс пространств, в которых соотношения х Є S, у„ Є S, \\х + у„|| — 2 влекут существование сходящейся подпоследовательности упы.
на Воронежской зимней школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" 1997 года, на конференции "Математическое программирование и приложения" в Екатеринбурге в 1997 году, на Казанской школе-конференции, посвященной 100-летю со дня рождения Б.М.Гагаева "Алгебра и анализ" 1997 года, на 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" 1998 года, на Всеросийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач", посвященной памяти В.К.Иванова в Екатеринбурге в 1998 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из справочного материала, введения, трех глав и списка литературы из 113 наименований. Общий объем диссертации - 235 страниц.
