Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационное исследование относится к структурной теории групп Шевалле. Эта теория занимает одно из центральных мест в математике начиная со второй половины XX века. Многочисленные приложения в теории чисел, теории конечных групп, теории представлений, теории инвариантов, комбинаторике и других областях математики привлекают внимание специалистов.
Исключительные группы с самого момента открытия в конце XIX века активно изучаются математиками. Выдающиеся достижения в этой области были получены в середине XX века представителями нидерландско-бельгийской школы (Жак Тите, Ганс Фройденталь, Тони Спрингер, Фердинанд Фельдкамп). В 80-х и 90-х годах произошел новый всплеск интереса к исключительным группам: к этому периоду относятся работы Арье Коэна, Брюса Куперстейна, Майкла Ашбахера, Гари Зейтца. Однако подавляющее большинство авторов рассматривает только группы над полями, и почти каждый результат, касающийся исключительных групп над кольцами, оказывается определенным техническим достижением.
Одно из важнейших направлений в развитии теории групп Шевалле связано с изучением и описанием их надгрупп в различных представлениях. А именно, пусть Gp(A,R) — группа Шевалле над коммутативным кольцом Л, построенная по системе корней А и решетке Р. Для простоты записи мы будем опускать в обозначениях групп Шевалле упоминание решетки. Рассмотрим представление E(A,R) в другой группе Шевалле С(Ф, R):
тг : (Д,Д)->(Ф,Д).
Требуется описать подгруппы в С(Ф, Я), содержащие группу тг(Е(А, R))7 где Е(А, R) — элементарная подгруппа группы Шевалле G(A, R). Обратим внимание, что мы рассматриваем задачу описания надгрупп тг(Е(А, Л)), а не
7r(G(A, R)): в таком виде ответ, как правило, получается более естественным.
В случае, когда основное кольцо R является полем, изучению этой задачи посвящено несколько сотен работ; для алгебраически замкнутого и конечного поля получены значительные результаты. Отметим, что эта задача тесно связана с subgroup structure theorem Майкла Ашбахера и классификацией всех максимальных подгрупп алгебраической группы. В то же время, систематическое описание надгрупп групп Шевалле над произвольным коммутативным кольцом началось относительно недавно с работ Зенона Боре-вича, Николая Вавилова, Елизаветы Дыбковой, Алексея Степанова и других в 80-х годах, в которых были описаны, в частности, надгруппы клеточно-диагональных матриц в классических группах.
Для классических групп в минимальных представлениях полное описание промежуточных подгрупп над коммутативным кольцом было получено уже в этом столетии Николаем Вавиловым, Виктором Петровым и Хон Ю.
Естественно возникает вопрос о переносе этих результатов на исключительные группы. Специфика работы с исключительными группами состоит в том, что в большинстве подходов приходится разбирать каждый случай отдельно. В последние годы в работах Вавилова и его учеников были разработаны методы вычисления в исключительных группах, которые могут быть применены к этим и многим другим задачам структурной теории исключительных групп Шевалле. В настоящей работе проведен перенос некоторых результатов, относящихся к классическим группам, на исключительный случай.
Доказательства для классических случаев используют технику локализации-пополнения, введенную Энтони Баком и позднее упрощенную Рузби Хаз-ратом и Николаем Вавиловым. Различные варианты этой техники широко применялись для доказательств структурных теорем о группах Шевалле и унитарных группах, но к исключительным группам эта техника применялась
редко.
Кроме того, результаты первой главы, связанные с описанием нормализатора группы Шевалле, можно рассматривать в контексте алгебраической іС-теории как развитие результатов Андрея Суслина, Вячеслава Копейко, Джованни Таддеи и других.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование надгрупп исключительных групп в некоторых естественных представлениях над произвольным коммутативным кольцом.
Методы исследования. В диссертации используются все обычные методы теории алгебраических групп и аффинных групповых схем. Кроме того, техника явных матричных вычислений в работе опирается на методы теории представлений, комбинаторику систем корней и весовых диаграмм, компьютерные вычисления. В работе также используются локализационные методы, а именно, вариант метода локализации-пополнения Бака.
Основные результаты. В работе исследованы надгруппы исключительных групп в некоторых представлениях над коммутативным кольцом. Основные результаты заключаются в следующем:
Получено описание (в том числе и явные уравнения) нормализатора группы Шевалле типа Ее в минимальном представлении.
Построена серия промежуточных подгрупп для групп Шевалле типов Ее и Е7 в минимальных представлениях. Доказана совершенность построенных подгрупп.
Получено полное описание надгрупп элементарной группы Шевалле типа F4 в группе Шевалле типа Ее.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые в работе методы могут
быть использованы в дальнейших исследованиях исключительных групп Ше-валле, прежде всего в их минимальных представлениях.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на семинаре "Seminar K-Theory, Homotopy theory and Related topics" университета Билефельда и на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фаддеева, а также на международных конференциях SNSC 2008 и АСА 2008 (Линц, Австрия), посвященных научным вычислениям и компьютерной алгебре (секция вычислений в группах).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], перечисленных в конце автореферата. В совместной работе [1] диссертанту принадлежат доказательства теорем 2 и 5, в которых получено описание уравнениями нормализатора группы Шевалле типа Ее — это теорема А и предложение 1.9 диссертации; соавтору принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 1 о совпадении групповых схем, соответствующих расширенной группе Шевалле и стабилизатору пересечения квадрик. В совместной работе [2] диссертанту принадлежит алгоритм построения трилинейной формы, первому соавтору — постановка задачи и алгоритм вычисления структурных констант; второму соавтору — алгоритм вычисления корневых элементов. Работа [1], опубликована в журнале, входящем в действующий перечень ВАК, а работы [2] и [3] — в журнале, входившем в перечень ВАК на момент публикации (до 2007 года).
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и списка литературы, содержащего 88 наименований.
