Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов вычисления группы Галуа . 11
1.1. Классический метод абсолютной резольвенты 11
1.2. Метод относительных резольвент 14
1.3. Метод линейных резольвент 19
1.4. Метод подсчета циклических типов 21
Глава 2. Теорема плотности Чеботарева 25
2.1. Этальная фундаментальная группа 25:
2.2. Теорема плотности Чеботарева 35
2.3. Обоснование метода 42
Глава 3. Подгруппы, G-множества и линейные представления групп 45
3.1. Категория G-множеств 45
3.2. Категория G-множеств: проконечный случай 64
3.3. А-кольца 72
3.4. Кольцо характеров проконечной группы 79
3.5. Виртуальные подгруппы 97
3.6. т-операции и г-критерий 108
Глава 4. Виртуальные подгруппы симметрической группы 118
4.1. Характеры симметрической группы 118
4.2. Поиск виртуальных подгрупп в &п: методы (а) и (с) 126
4.3. Поиск виртуальных подгрупп в п: метод (Ь) 130
4.4. Свойства виртуальных подгрупп 134
Глава 5. Эффективная реализация метода 139
5.1. Нахождение разбиения А: общие замечания 139
5.2. Метод, основанный на вычислении рангов 141
5.3. Метод, основанный на вычислении следов 143
5.4. Статистический анализ результатов 145
Заключение 152
Список литературы
- Метод относительных резольвент
- Теорема плотности Чеботарева
- Категория G-множеств: проконечный случай
- Поиск виртуальных подгрупп в &п: методы (а) и (с)
Введение к работе
Задача вычисления группы Галуа конкретного многочлена с рациональными коэффициентами как подгруппы группы подстановок корней многочлена рассматривалась Жорданом еще в XIX веке. Предложенный тогда метод «абсолютной резольвенты» решал эту задачу в принципе и позволял доказывать определенные теоретические результаты о группах Галуа многочленов, однако был совершенно непригоден для практического использования. Затем в течение долгого времени эта проблема не привлекала внимания исследователей.
Ситуация изменилась в 70-х годах XX века, когда появление и широкое распространение электронных вычислительных машин сделало возможным практическую реализацию алгоритмов вычисления группы Галуа. Эти алгоритмы используются как и по отдельности (например, для изучения подполен данного простого расширения поля рациональных чисел, для вычисления зависимостей между корнями одного или нескольких неприводимых многочленов, для построения многочленов, обладающих заданной группой Галуа, что представляет собой теоретический интерес в связи с обратной задачей теории Галуа), так и в составе других алгоритмов (например, в системах компьютерной алгебры для упрощения выражений с радикалами и алгебраическими числами или функциями, а также для нахождения решений уравнений в радикалах, что исторически послужило одной из основных причин для создания теории Галуа).
Поскольку классический метод абсолютной резольвенты был совершенно непригоден для практического использования, даже на компьютерах, рядом авторов были предложены новые алгоритмы нахождения группы Галуа. Первым из этих методов был метод относительных резольвент, предложенный в 1973 году в работе [20]; практически все последующие предложенные
и реализованные алгоритмы представляют собой либо модификации метода относительных резольвент, либо сочетают его с другими методами — чаще всего с методом линейных резолъвепт, предложенным в работе [21] уже в 80-х годах. В отличие от метода относительных резольвент, метод линейных резольвент дает только частичную информацию об искомой группе Галуа; однако он более эффективен, и полученная в результате его применения информация позволяет существенно ускорить последующее применение метода относительных резольвент в той или иной его модификации.
Многие авторы отмечают возможность применения теоремы плотности Чеботарева [17] (см., напр., [21] или обзор [19]). Тем не менее обычно обсуждение не выходит за рамки упоминания о том, что теорема плотности Чеботарева обычно позволяет быстро определить, что группа Галуа данного многочлена является симметрической или знакопеременной, и что практическое применение теоремы плотности Чеботарева для получения дальнейшей информации о группе Галуа, к сожалению, крайне неэффективно.
Целью данной диссертации является построение и обоснование некоторого эффективного метода вычисления группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами, основанного на теореме плотности Чеботарева. Такой метод естественным образом носит вероятностный характер; в связи с этим будет изучено, каким образом можно добиться того, чтобы вероятность ошибки была меньше любого наперед заданного числа. Впрочем, в предположении истинности обобщенной гипотезы Римана наш метод удается сделать в определенном смысле точным (см. 5.4).
Конечно же, теорема плотности Чеботарева может дать информацию только о количестве подстановок каждого из циклических типов, входящих в искомую группу Галуа Г. Мы будем называть этот набор данных виртуальной подгруппой, соответствующей Г. Во многих случаях виртуальная подгруппа однозначно определяет соответствующую подгруппу с точностью до сопряжения: даже если это не так, большое количество информации может
быть извлечено из знания виртуальной подгруппы. Самым простым примером служит порядок искомой группы Галуа, однако мы получим хорошие необходимые условия для того, чтобы одна подгруппа содержалась в другой или чтобы подгруппа была разрешимой, в терминах соответствующих виртуальных подгрупп.
Кроме того, мы не хотим ограничиваться рассмотрением неприводимых многочленов (что соответствует рассмотрению только тех групп Галуа, которые являются транзитивными подгруппами симметрической группы п), как это делалось до сих пор: несмотря на то, что метод относительных резольвент формально годится для произвольных (сепарабельных) многочленов степени п, как это было отмечено еще в работе [20], его применение для приводимых многочленов требует предварительного знания решетки подгрупп симметрической группы <Зп и, как следствие, вычисления большого количества относительных резольвент. В связи с этим существующие реализации ограничиваются случаем неприводимого многочлена (т.е. транзитивных групп подстановок)., поскольку классификация транзитивных подгрупп симметрической группы &п хорошо известна для п < 31.
Хочется подчеркнуть, что задача нахождения группы Галуа приводимого многочлена F представляет самостоятельный интерес и вовсе не сводится, как можно было бы предположить, исключительно к изучению групп Галуа неприводимых сомножителей многочлена F.
Расммотрим следующий пример. Предположим, что F = F\F2 является произведением различных неприводимых многочленов F\ и Fi; и G\, С?2, G — группы Галуа мночленов F\) F2 и F соответственно, а К\ и К% — поля разложений многочленов F\ и F% над полем рациональных чисел Q (рассматриваемые как подполя в Q). Тогда, как несложно видеть, порядок G равен произведению порядков G] и G2 в том и только том случае, когда поля К\ и Кч линейно разделены над Q (и тогда G = G\ х G). С другой стороны, порядок G равен порядку G\ в том и только том случае, если Кч содержится
в поле К\, и знание G как группы подстановок корней позволяет определить гомоморфизм группы Галуа G\ в группу G2, определенный ограничением на подполе К\. Кроме того, отсюда видно, что К\ — К2 в том и только том случае, если порядки групп G} G\ и ( равны.
Приведенный выше пример показывает, что даже знание порядков групп Галуа приводимых многочленов дает много интересной информации о полях разложения многочленов. Отметим, что развиваемый в настоящей диссертации метод позволяет определять как минимум порядок группы Галуа многочленов степени < 11 (даже если он оказывается не в состоянии полностью определить искомую группу Галуа) и в то же время очень эффективен, и потому он пригоден для практического решения задач, подобных описанным выше.
Как уже упоминалось ранее, метод относительных резольвент требует для своего использования знания решетки транзитивных подгрупп симметрической группы 6П; это в действительности послужило одной из основных причин для многочисленных исследований классификации транзитивных подгрупп &п.
Оказывается, что для того, чтобы сделать эффективным метод, основанный иа теореме плотности Чеботарева, необходимо заранее построить список всех виртуальных подгрупп симметрической группы &п. В связи с этим существенная часть диссертации посвящена изложению и обоснованию эффективных методов перечисления виртуальных подгрупп симметрической группы. Эти методы были реализованы автором на компьютере, что в результате позволило построить списки всех виртуальных подгрупп 6П при п < 11, для чего понадобилось 55 часов работы компьютера Pentium-IV (в полученном списке оказалось 11800 виртуальных подгрупп, из них 7213 соответствуют п = 11); при этом для вычисления таблиц при п < 10 потребовалось всего лишь семь минут работы. Поскольку эти таблицы требуется вычислить лишь однажды, нам представляется, что с помощью предлагаемых методов можно вычислить
за приемлемое время эти таблицы для п < 12; для больших значений п, по всей видимости, потребуется дальнейшее развитие этих методов. Итак., предлагаемая диссертация содержит;
Описание предлагаемого метода (названного нами методом подсчета циклических типов) вычисления группы Галуа как виртуальной подгруппы симметрической группы и необходимых подробностей его реализации, из которых наиболее существенными представляются эффективные методы нахождения степеней неприводимых сомножителей многочлена над простым полем, а также методы статистической обработки результатов.
Методы эффективного построения таблиц виртуальных подгрупп симметрической подгруппы. Для этого на кольце виртуальных характеров симметрической группы в дополнение к стандартным операциям мы вводим новые «т-операции» и вводим т-критерий, обычно позволяющий быстро отсекать «несущественные» виртуальные подгруппы, т.е. наборы данных, которые не соответствуют никакой «настоящей» подгруппе.
Методы получения информации о подгруппе по соответствующей виртуальной подгруппе. Б частности, мы рассмотрим необходимые условия для того, чтобы подгруппа была разрешимой или содержалась в другой подгруппе. Здесь ключевую роль снова играет т-критерий.
Краткий обзор существующих методов вычисления группы Галуа с целью их последующего сравнения с предлагаемым методом и обсуждения целесообразности их совместного применения.
Кроме того, в приложении приведены таблицы виртуальных подгрупп для п < 6 и примеры вычисления групп Галуа.
В связи с вышеизложенным диссертация построена следующим образом.
В первой главе приводится краткий обзор других методов в той мере, в какой это необходимо в дальнейшем для сравнения, а также излагается общая идея предлагаемого метода, который мы в дальнейшем называем методом подсчета циклических типов.
Во второй главе изучаются границы применимости методов, основанных на теореме плотности Чеботарева: следует ожидать, что в действительности поле рациональных чисел можно заменить любым полем, конечно порожденным над своим простым подполем. Кроме того, в этой главе приводится нужная нам формулировка теоремы плотности Чеботарева и объясняется, как она выводится из обычной.
В третьей главе систематически изучаются кольца характеров конечных и проконечных групп и вводятся т-операции, а также т-критерий, играющий ключевую роль во всей работе. Кроме того, в начальной части этой главы излагаются на языке теории категорий нужные в дальнейшем свойства операторных множеств и представлений групп, Это позволяет существенно упростить изложение последующего материала.
Затем в четвертой главе построенная общая теория применяется к симметрическим группам и развиваются три метода, совокупное применение которых позволяет эффективно строить таблицы виртуальных подгрупп симметрической группы. Кроме того, обсуждаются методы, позволяющие получать информацию о подгруппах, исходя из соответствующих виртуальных подгрупп.
В пятой главе обсуждаются моменты, существенные для эффективной реализации предлагаемого метода вычисления группы Галуа. В первых трех разделах этой главы мы рассматриваем два метода нахождения степеней неприводимых сомножителей многочлена над конечным полем. Интересным представляется тот факт, что предлагаемые методы не требуют нахождения самих неприводимых сомножителей и потому работают быстрее, чем обычные алгоритмы разложения многочленов на множители. В последнем разделе обсуждается метод статистического анализа результатов, основанный на, сравнении пашей задачи с похожей статистической задачей, и даются практические рекомендации. Кроме того, при этом обсуждается, каким образом можно сделать наш метод точным в предположении истинности обобщенной
гипотезы Римана.
В заключении производится сравнение нашего метода с другими методами и даются рекомендации об их возможном совместном применении.
Приложение содержит примеры вычисления группы Галуа, а также таблицы виртуальных подгрупп „, при п < 6, вычисленные методами, изложенными в основном тексте.
Новыми в предлагаемой диссертации представляются т-критерий и все основанные на нем критерии и методы, включая методы перечисления виртуальных подгрупп симметрической группы, а также применение предложенного статистического анализа к данной задаче. Сами г-операции, определенные нами на любом А-кольце, также представляются новыми. Кроме того, автору не удалось обнаружить в литературе в явном виде изложенные методы определения степеней неприводимых сомножителей многочлена над простым полем, не требующие нахождения самого разложения на множители, хотя они, безусловно, являются вариациями на тему хорошо известного алгоритма Бер-лекэмпа разложения на множители многочленов над конечным полем.
Основные результаты, излагаемые в настоящей диссертации, опубликованы автором в работах [5] и [6].
Метод относительных резольвент
Дальнейшее развитие проблема вычисления группы Галуа получила около тридцати-сорока лет назад, что было связано с появлением и распространением электронных компьютеров.
Одним из первых нововведений было использование появившихся в то время более эффективных алгоритмов разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами, основанных на разложении редукции многочлена по простому модулю р с помощью алгоритма Берлекэмпа с последующим р-адическим подъемом полученного разложения до разложения по модулю pN для достаточно.большого N и группировкой сомножителей в полученном таким образом разложении. Однако даже эти методы разложения многочленов на множители были не в состоянии справиться с резольвентой (1.1.0.1) (которую мы теперь будем называть классической или абсолютной), не говоря уже о том, что по-прежнему оставалась проблема вычисления самой резольвенты.
В связи с этим в ряде работ (первой из которых, по всей видимостиj была работа [20]) были предложены методы нахождения группы Галуа, основанные на нахождении относительных резольвент,.
Ввиду важности этого понятия приведем основные определения (которые можно найти, например, в работе [20]). Для простоты мы будем предпо _ 15 лагать, что F(T) — унитарный многочлен с целыми коэффициентами, хотя в различных модификациях этого метода от этого ограничения часто можно избавиться.
Итак, зафиксируем степень п многочлена F, и будем предполагать, что F унитарен, иеприводим и с целыми коэффициентами (последнего можно всегда добиться, заменив F(T) на F{dT) для подходящего целого d 0). Обозначим через cti, а2, . -., ctn корни многочлена F(T). В зависимости от варианта метода а.-,, рассматриваются либо как формальные корни F(T) в поле Q, либо как комплексные корни (заданные с достаточно большой точностью), либо как элементы некоторого неразветвленного расширения поля р-адических чисел Qp (тогда 0 задаются своими р-адическими приближениями). В последних двух случаях группа Галуа ищется как группа подстановок корней, упорядоченных указанным образом.
Пусть А = ЩХі,..., Хп] — кольцо многочленов от п переменных с целыми коэффициентами. К — Q(Xi,... ,Хп) — иоле частных А. Определим (левое) действие симметрической группы п на А и на К по правилу (а F)(Xb ...,Хп) = F(Xa-Kl),... ,Х (п)) , где и — произвольная подстановка из 5n, a F — произвольный многочлен (соотв. рациональная функция) из А (соотв. из К).
Для любой подгруппы G С &п обозначим, как обычно, через AG (соотв. KG) множество элементов А (соотв. К)у сохраняемых всеми подстановками а из G. Хорошо известно, что AG — подкольцо в A, KG —- его поле частных, и степень [К : К] равна порядку G подгруппы G.
Отметим, что для любой подгруппы G С п существует многочлен Р Є А. стабилизатор которого равен в точности G: достаточно взять, например, P-J2 G v(xxxl--.x»n).
Определение 1.2.1. Пусть F{T) — унитарный многочлен степени п с целыми коэффициентами, OL\, О 2, ..., ап — его корни. Пусть Я С G С Sn -16 подгруппы симметрической группы &п, и пусть Р є Л — многочлен, стабилизатор которого в точности равен Н. Тогда относительная резольвента Q{G.H){T) — это многочлен степени (G : И) с целыми алгебраическими коэффициентами, определенный формулой atG/H
Отметим, что относительная резольвента зависит от выбора многочлена Р, хотя это обычно не отражается на записи.
Замечание 1.2.1.1. Несложно видеть, что если группа Галуа Г многочлена F содержится в (7, то коэффициенты Q(G,H) являются целыми рациональными числами. Важность относительных резольвент обусловлена следующей несложной теоремой (см., напр., [20, 5]):
Теорема 1.2.2. В обозначениях предыдущего определения и замечания предположим, что Г содержится в Q. Предположим, кроме того, что P{oii, ..., an) является простым корнем Q(G,H) [Т) Тогда Г С И в том и только том случае, если число P(Q. I, ..., an) является целым рациональным.
Предположим, что мы умеем находить коэффициенты относительных резольвент Q(GJ-I) в случае Г С С?, и предположим, что у нас есть полная информация о решетке подгрупп симметрической группы 6Л, (если, как это. обычно делается, ограничиться случаем неприводимого Fy то достаточно рассматривать транзитивные подгруппы @,г).
Далее все алгоритмы, основанные на рассмотрении относительных резольвент, поступают следующим образом. Перед очередным шагом алгоритма уже известна некоторая подгруппа G С 6П, заведомо содержащая искомую груїшу Галуа Г (изначально можно взять G — &п). Пусть {Hj} — набор максимальных подгрупп в G., отличных от самой G (достаточно брать по одному представителю из класса G-сопряженных подгрупп; если F неприводим,
-17 рассматриваются только транзитивные Hj). Для каждой Hj вычислим относительную резольвенту Q(H G) Для подходящего многочлена Р и проверим наличие у нее целых рациональных корней. Бели Р(аСТ1,... ,аап) является простым целым рациональным корнем Q(HhG) Для некоторой подстановки а Є 6", то Г содержится в a lHj 7\ перенумеровав корни, можно считать, что Г С Hj, и на этом шаг алгоритма заканчивается. Если ни одна из резольвент Q[BbG) Iie имеет рациональных корней, то группа Г должна совпадать с (?, и на этом выполнение алгоритма заканчивается. Наконец, может так случиться, что у одной из резольвент Q[HbG) имеются кратные корни; в этом случае обычно предлагается сделать преобразование Чирнгаузена и попробовать снова.
Из приведенного выше описания видно, что методы, основанные на вычислении относительных резольвент, требуют знания решетки подгрупп в &п. По этой причине все существующие реализации рассматривают только транзитивные подгруппы 6П (что соответствует случаю неприводимого многочлена F), классификация которых известна вплоть до п 31.
Теорема плотности Чеботарева
Следующее предложение дает удобное описание действия Brob5 на произвольном конечном 7ггоператорном множестве.
Предложение 2.1.16. Пусть S — связная (локально иетерова) схема, щ — ее фундаментальная группа (относительно некоторой геометрической точки), М — конечное -Ki-операторяое множество, X/S — соответствующее эталы-юе накрытие, s Є S — точка с конечным полем вычетов, Frobs Є тгі — (произвольный) элемент Фробениуса, определенныйs. Пустьх —всеразличные точки слоя Xs. Тогда набор длин циклов подстановки элементов М, определенной действием Frobs наМ. совпадает с набором (dimre(sj re(iCj))1 ,. ,..
Доказательство. Пусть K(S) = q — поле вычетов точки s, О, — алгебраическое замыкание K(S), S— геометрическая точка s, определенная вложением K,(S) -- 1, is: Specft(s) — S — естественный морфизм, ipq- G :-Gal(fi/F?) = 7fi(SpecK(S):S) — автоморфизм Фробениуса. Можно считать, что тгі — TTI(S] s) и что Frob5 = тгі(г5)( /?fJ), где 7Vi(is) — гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный is: любой другой выбор заменяет Froba на сопряженный, а значит, и индуцированную этим элементов подстановку на М на сопряженную, что не изменяет набор длин циклов.
Рассмотрим этальное накрытие Xs — X x Spec fs) —, Spec (s); по определению 7ri(is) это накрытие задается множеством М, на котором G действует посредством сужения группы операторов относительно 7Г].(гч). Таким образом, элемент pq Є G действует на М так лоз, как и Frob,s Є ЇГІ; поэтому можно, заменив X, S и 7Гі на Xs, Spec (s) и G, считать, что S — Specks).
Итак, пусть S = SpecFq; тогда X = ]Ji i TSpecК(ХІ) и потому G-операторное множество М есть сумма G-операторных множеств Mi, COOT ветствующих каждому 8реск,(хі). Если di :— clim /-c(a:j), то К(ХІ) — F , и подгруппа в G = Ъ. оставляющая K{XJ) неподвижным, есть d(L. Поэтому Mi = 7,/d-iZ = %jd{L.i и образующая g группы G циклически действует на МІ. Поскольку М есть сумма Мг, отсюда мы немедленно получаем, что набор длин циклов подстановки элементов М, определенной действием ipq, в точности есть что и требовалось доказать.
Нам понадобится еще следующий полезный факт (см. [12, V 8.2]):
Теорема 2.1.17. Пусть S — связная нормальная (локально петерова) схема, — ее общая точка, К — /-с() — ноле рациональных функций на S, s — геометрическая точка, определенная вложением К — К. Тогда гомоморфизм групп Gal(K/K) = TTifSpecK"; s) —» TTI S), яядуяяроваяяыя морфизмом Spec К S, сюръективен.
Теорема плотности Чеботарева
Сначала сформулируем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 2.2.1. Пусть G — нрокопечпая группа, U С G — произвольное подмножество. Следующие утверждения эквивалентны: (i) U открыто-замкнуто (т.е. одновременно открыто и замкнуто); (и) U ХН для некоторого открытого нормального делителя Я в G и конечного множества X С G; (in) U является объединением смежных классов G по некоторому открытому нормальному делителю И С G; (iv) существует открытый нормальный делитель Н в G и подмножество U С G/H, такие, что U является прообразом U относительно канонической проекции (р: G — G/H.
Если эти условия выполнены, то для (лево- или правоинвариантной) меры Хаара п. яа G, нормированной условием /л(С?) — 1, выполнено равенство р(и) = \U \/(G : Я)
Доказательство. Импликации (ii)= (iii)= (iv)= (i) очевидны; докажем (i)= (ii). Для любого открытого нормального делителя Н в G обозначим через [/# объединение всех смежных классов G по Я, содержащихся в U. Тогда U = \JH [/#, где объединение берется по всем открытым нормальным делителям (?, поскольку вместе с каждой точкой х открытое множество U содержит некоторую ее окрестность вида хН. Кроме того, семейство {?/#}# фильтруется по возрастанию, так как из Н С Н следует Uw D UH. Ввиду компактности U отсюда следует, что U — [/# для некоторого Н, т.е. существует открытое покрытие вида U — [JxeX хН. Выбрав из него конечное подпокрытие, получим конечное множество X, удовлетворяющее (ІІ).
Осталось доказать последнее утверждение леммы. Для этого заметим, что мера fi(sH) любого смежного класса sH — Hs совпадает с /л(#); поскольку G является дизъюнктным объединением [G : Щ таких классов, а U является дизъюнктным объединением \U \ классов, получаем требуемое равенство.
Следствие 2.2.1.1. Пусть G — проконечная группа, f: G —» X — яелре рывное отображение G во множество X, наделенное дискретной топологией.
Тогда множество /(G) С X конечно, и отображение f можно записать в виде G — " GjJi - -=- X для некоторого открытого нормального делителя Н в G.
Доказательство. Множество /(С?) компактно и дискретно и потому конечно; пусть (zi)i Kn — все его различные элементы. Подмножество /_1(хі) С G одновременно открыто и замкнуто в G, и потому, согласно лемме, является объединением смежных классов по некоторому открытому нормальному делителю
Категория G-множеств: проконечный случай
Для любой проконечной группы G обозначим через В з категорию дискретных G-множеств, т.е. G-множеств X, для которых действие G х X — X непрерывно, ваш наделить X дискретной топологией. Будем называть В классифицирующим топосом проконечной группы G. Аналогично определению 3.1.1 обозначим категорию конечных дискретных G-множеств через и обозначим через евс; и 0BG — 2 G финальный и инициальный объекты категории Вс (и).
В категории BG существуют произвольные проективные и индуктивные пределы, причем конечные проективные и произвольные индуктивные пределы «можно вычислять в категории множеств».
Для любого непрерывного гомоморфизма прокопечных групп /: Й" — G обозначим через f : BG —» В функтор сужения группы операторов вдоль /. Обозначим (всегда существующий) правый сопряженный функтор к / через /ф; а левый сопряженный (если он существует) — через f\. Функтор / перестановочен с произвольными проективными пределами (и потому точен слева); функтор / точен (слева и справа) и сохраняет произвольные индуктивные пределы. В том случае, если существует функтор f\, он сохраняет произвольные индуктивные пределы, a / — произвольные проективные пределы.
В дальнейшем для любой проконечной группы G мы будем рассматривать только дискретные G-множества, если не оговорено противное. Для того, чтобы указать, что на G-мпожестве X задана топология, отличная от дискретной, мы будем называть X топологическим G-множеством.
Аналогично тому, как это было сделано в 3.1.13. определим категории Ab{BG) = Ab(G) и K Mod{BG) = K-Mod(G) и функторы f-ab - / , ff = /:Н. а также функтор fb, сопряженный слева к / а6; если такой функтор существует.
Замечание 3.2.1.1. Отметим, что любое G-множество X записывается в виде X = [jy Хи, где U пробегает множество всех открытых нормальных делителей G, а Хи, как обычно, обозначает множество [/-неподвижных точек в X (напомним, что мы рассматриваем только дискретные G-множества). Эту же формулу молено записать в виде X — птщ/Х11 , причем индуктивный предел берется по фильтрующемуся множеству индексов, и все морфизмы перехода Х — Xу инъективны.
Опишем теперь, каким образом в категории В вычисляются проективные пределы. Для любого функтора F: X — В мы определим lirn F следующим образом: limji = limj/ІіщгІ 7. Другое возможное описание этого предела таково: вычислим сначала X — limji7), в категории топологических G-множеств, т.е. в категории топологических пространств с непрерывным действием G. и затем возьмем наибольшее дискретное (7-подмножество X в Xі , т.е. множество точек из Xі . стабилизатор которых открыт, или, что одно и то же, объединение X = IJ X . Тогда это G-множество X и будет искомым проективным пределом в категории Be.
Замечание 3.2.1.2. Пусть /: Н — G — непрерывный гомоморфизм проко-нечных групп. Опишем, каким образом для данного Я-множества Y строится /$(У). Одна из возможных конструкций такова: / (У) = liniy/y (У ), где U пробегает множество всех открытых нормальных делителей группы G и fxj: И/f l(U) —» G/U — гомоморфизм дискретных групп, индуцированный /, a fu,v — функтор, определенный в 3.1.3; согласно 3.1.4.1, fi/iX llomH{G/U,Y 1{ ). Отсюда видно другое возможное описание / (У): это множество всех Я-отображений G — Y, пропускающихся через некоторую группу вида G/U (иначе говоря, f (Y) состоит из всех равномерно непрерывных Я-отображений G — Y).
Предложение 3.2.2. Пусть f:H— G непрерывный гомоморфизм проковочных групп. Следующие условия равносильны: (i) f открыт. (и) Существует функтор f\} сопряженный слева к / . (in) Для любого открытого нормального делителя V в Н существует G-множество f\(H/V), представляющее функтор X —» Нош//(Я/У, f X) = (f X)v. iii J Для любого открытого нормального делителя V в Я функтор X — (f X)v перестановочен с фильтрующимися проективными пределами. iv) Функтор f перестановочен с произвольными проективными пределами. iv ) Функтор р перестановочен с фильтрующимися проективными пределами.
Если эти условия выполнены, то f\ можно определить равенством f\Y — Gs хн Y (см. 3.1.4.1), и, кроме того, определен функтор jf: Ab(BH) - АЪ(Вс), сопряженный слева к /;::,а6, причем /,ай можно определить формулой ff B = 1[G\HB.
Доказательство. (i)=»(ii): Положим, как в 3.1.4.1, f\Y := С3хяУ; поскольку для любого элемента [д-,у\ Є f\Y выполнено равенство Stab 3([/-,!/]) — pStabcffecy]) -1 = gf(StabH{y))g l (см. 3.1,10) и f открыт, стабилизатор любого элемента f\Y открыт и потому f\Y является дискретным С-модулем. Тот факт, что fi сопряжен слева к / , следует теперь из 3.1.4.1.
Импликации (п) (ш) и (ІІ)= (ІУ)=Ф-(ІУ ) очевидны; кроме того, (ш)=Ф-(пУ), поскольку всякий представимый функтор перестановочен с произвольными проективными пределами. Импликация следует из того факта, что семейство функторов (Fy: Y н- - Yv)y консервативно, т.е. всякий морфизм, одновременно переводимый всеми этими функторами в изоморфизм, является изоморфизмом; это утверждение немедленно следует из того, что для любого Y Є ОЬВд- выполнено Y — 1imyYv.
Докажем (iv ) (i). Пусть V — произвольная открытая подгруппа в Н. Обозначим через Я множество открытых подгрупп U С G, содержащих /(У), и для каждого U Є Я обозначим XJJ := G/U. Рассмотрим проективный предел X := ІітцХи в В ; по предположению f X отождествляется с 1ітц/ .Х[/. Кроме того, обозначим через X проективный предел Хц в категории множеств (или топологических пространств); согласно 3.2.1.1, X (соотв. f X) отождествляется с подмножеством точек х Є Х\ стабилизатор которых в G (соотв. в Н) открыт. Рассмотрим точку Є Xf. являющуюся образом единицы группы G при канонической проекции G — Xі. Отметим, что Stab#(0 D V и потому Є f X, и, поскольку мы отождествили f X с X, Є X, т.е. Stabc() — Пи открыт в G. Осталось заметить, что Ci U = f(V)} поскольку f(V) — компактная подгруппа в 67.
Поиск виртуальных подгрупп в &п: методы (а) и (с)
Целью этого пункта является изложение основных свойств представлений симметрических групп 6,г, свойств их характеров и изложение алгоритма вычисления таблицы характеров симметрической группы. В основном мы будем следовать книге Джеймса [1]. На протяжении этого пункта мы фиксируем основное кольцо К С, хотя практически для всех конструкций можно было бы использовать К = Q или даже К — Z.
Определение 4.1.1. Для любого множествах обозначим через &х группу, состоящую из биекций X на себя, оставляющих почти все (т.е. все, кроме конечного числа) элементы множества X неподвижными. Будем называть &х группой подстановок или симметрической группой множества X. Для любого Y С X мы будем отождествлять &у с подгруппой в &х- Для любого целого п 0 обозначим через [1, ЇТ.] множество целых чисел от 1 до п и обозначим через группу подстановок Элементы группы подстановок мы будем называть подстановками.
Для любых m. п 0 мы будем отождествл5іть естественным образом Определение 4.1.2. Мы будем называть разбиением любую невозрастаю-щую последовательность А.= (\k)k i целых неотрицательных чисел, все члены которой, начиная с некоторого, равны нулю. Если сумма А всех А равна некоторому целому числу п. мы будем говорить, что А является разбиением (на слагаемые) числа п. Если /с — наибольший индекс, для которого, мы будем записывать разбиение А та/оке в виде (Ai, А2,..., Xk) или в виде Ai + А2 + А/с; тот факт, что А является разбиением числа п, мы будем записывать также в виде п — \\ + А2 +А/с. Множество всех разбиєниРі мы обозначим через part, множество разбиений целого неотрицательного числа п мы обозначим через partn, а количество таких разбиений — через р(п).
Определение 4.1.3. Пусть X — множество, ai, 0 2,. an Є X — п различных элементов множества X (п 1). Обозначим подстановку а Є X, определенную следующим образом: а(щ) — щ+і при 1 і п, a(an) = ai и сг(х) = х для остальных х є X. Мы будем говорить, что a является циклом длины
Замечание 4.1.4. Как известно, любая подстановка n-элементного множества X однозначно с точностью до порядка раскладывается в произведение непересекающихся циклов, причем каждый из элементов X входит ровно в один из этих циклов (допускаются циклы единичной длины). Набор длин этих циклов, упорядоченный по невозрастанию и дополненный бесконечным количеством нулей; образует некоторое разбиение А числа п. Это разбиение называется циклическим типом данной подстановки. Для любого А Є p&rtn обозначим через С\ множество подстановок из &п циклического типа А. Несложно видеть, что разбиение п —представляет собой разложение &п на классы сопряженных элементов.
Определение 4.1.5. Назовем диаграммой Юнга ИЛИ просто диаграммой конечное подмножество D с N х N, обладающее следующими свойствами: 1. (х -f-l,j/) Є D =Ф- (х, у) Є D для любых х, у Є N; 2. (х.у + 1) Є D =$ (х, у) Є D для любых х, у Є N.
Пары (х.,у) из D мы будем называть клетками диаграммы D и будем говорить, что клетка (х,у) находится в строке у и в столбце х; мощность множества D мы будем называть количеством клеток диаграммы D. Множество
всех диаграмм Юнга мы обозначим через diag, а множество диаграмм, состоящих из п клеток — cliag,rt. Для любой диаграммы Юнга D определим двойственную диаграмму D следующим образом: (х.у) Є Df (у, х) Є D.
Определение 4.Х.6. Для любого разбиения X = (\І)І І определим диаграмму Юнга D(X) следующим образом: D(X) = {(ж, у) еНхМ:і Ху}. Мы будем говорить, что D(X) является диаграммой, определенной разбиением Л. Ясно, что X ь- D(X) является биекцней part на diag и partn на diagn, обратная к которой задается формулой А; :— тт{ж Є N : (Ї,Ї) D} — 1. Мы будем говорить, что разбиение X двойственно к Л, если диаграмма D(Xr) двойственна к D(X).
Замечание 4.1.7. Обычно диаграммы Юнга изображают в виде диаграмм из клеток, направляя при этом ось абсцисс вправо, а ось ординат вниз. Вот, например, изображение диаграммы, соответствующей разбиению 7 = 3+3+1:
Определение 4.1.8. Для любого разбиения X — (Аь .... А/.) числа п обозначим через; отождествленную обычным образом с подгруппой
Определение 4.1.9. Пусть А — разбиение числа п} X — n-элементное множество. Назовем Х-таблицей (Юнга) формы А любую биекциюЬ: D{X) — X. Если X [1;П]. то будем называть і просто таблицей (Юнга) формы А. Определим действие &х яа множестве Х-таблиц формы А обычным образом: (at)(x}y) — a(t(x,y)) для любых и Є &х, (х,у) є D(X). Мы будем говорить, что подстановка a &х сохраняет строки таблицы t, если pr2 oi"1 о о- — pr2 ot l, где рг2: N х N — N — проекция па вторую компоненту; подгруппу Rt С &х, образованную такими о, мы будем называть строчным стабилизатором таблицы і. Аналогично, мы будем говорить, что и Є &х сохраняет столбцы таблицы t, если ртг о-1 оог pi ot L, соответствующую подгруппу в х м:ы обозначим через Ct и будем называть столбцовым стабилизатором таблицы t. Мы будем говорить, что две X-таблицы і и if формы А стройно эквивалентны, если if = at для некоторого о Є Rt- Класс таблицы і относительно этого отношения эквивалентности мы будем называть Х-таблоидом формы Л, определенным t, и будем обозначать его {t}. Если X = [1, ті], мы будем опускать упоминание об X.
Замечание 4.1.9.1. Ясно, что две Х-таблицы t и if формы А строчно экви —1 /—1 валентны в том и только том случае, если pr2 ot — pr2 , так что строчная эквивалентность действительно является отношением эквивалентности, причем это отношение эквивалентности согласовано с действием &п.
Предложение 4.1.10. Пусть п О, и пусть Єп — LLepart С\ — разложение симметрической группы &п па классы сопряженных элементов (см. 4.1.4). Обозначим через dx количество подстановок циклического типа X, т.е. количество элементов во множестве С х
