Спектр Галуа и генерирующие многочлены Сергеев Александр Эдуардович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Спектр Галуа многочленов 15

1. Факторизационный спектр многочлена 15

2. Спектры Галуа многочленов 20

3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена 26

Глава 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов 36

1. Теорема Гильберта о неприводимости 36

2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени 38

3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени 39

Глава 3. Генерирующие многочлены над полями характеристики два 58

1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два 59

2. Циклические расширения 4-ой степени над полями характерИСТИКИ два 66

3. Циклические расширения 8-ой степени над полями характеристики два 69

4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики нуль 73

5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики два 80

Список литературы 86

• Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена
• Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени
• Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени
• Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики нуль

Введение к работе

В работе изучаются спектры и полные спектры Галуа параметрических многочленов и рассматривается построение генерирующих многочленов над различными полями.

Понятие факторизационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена были введены впервые автором.

Понятие спектра Галуа параметрического многочлена связано с теоремой Гильберта о неприводимости, изучением Гильбертовых множеств, со свойствами параметрических многочленов. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена связано с нахождением целых точек на эллиптических кривых. Факторизационный спектр используется также при нахождении полного спектра Галуа параметрического многочлена.

В теории Галуа есть ряд известных задач, связанных с теоремой Гильберта о неприводимости, которые формулируются следующим образом:

1) Пусть f(x, у) неприводимый над Q многочлен с целыми коэффициен
тами. Нужно охарактеризовать множество целых специализаций х = а,

для которых многочлен f(a,y) приводим над полем рациональных чи
сел (часто это множество оказывается конечным). Эту задачу изучали
M.Fried [24] и P.Muller [50].

2) Пусть д{х) - многочлен с коэффициентами из поля К. Надо охаракте
ризовать группу Галуа G многочлена вида д{х) — t над полем K(t).

Эту группу G называют группой монодромии многочлена д{х). По задаче 2 имеются результаты P.Muller [51]. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена тесно связано с задачей 1, а понятие спектра Галуа параметрического многочлена с задачей 2. Так как, если К - Гильбертово поле и группа G есть группа монодромии многочлена д{х) (т.е. группа Галуа многочлена д{х) — t над полем K(t)), то по теореме Гильберта о неприводимости существует бесконечно много специализаций t — а, таких, что группа Галуа многочлена д{х) — а над полем К есть G. Таким образом, задача об

определении спектра Галуа параметрического многочлена обобщает и углубляет задачу 2.

Дадим соответствующие определения и приведём полученные результаты. Пусть К - поле и дан многочлен / от г +1 переменной t\, t.., t_r, х, то есть

/ = oo(*i,<2>" -,t_r) + ai(ti,t2,. . ,t_r)x + ... + a_n(ti,t₂,... ,t_r)xⁿ,

ГДЄ Oo(a_n ф 0.

Определение 1. Факторизационным спектром многочлена f(ti,..., t_s; х) Є K[ti,..., t_s][x] степени n относительно x называется набор разбиений (щ' > ..., > risi) числа п, где 1 < і < г, такой что:

1. Для любого г, 1 < г < s существуют такие элементы (специализации) а\..., a_s Є К, что многочлен f{a\₁..., a_s, х) раскладывается над К в произ-ведение неприводимых многочленов степеней Пі, ..., щ/.

2. Если для некоторых ai,..., a_s Є К многочлен /(ai,..., a_s, х) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней п'і > ... > n'_s, то существует г, 1 < і < г, такое что (ni,... n'_s) = {щ,..., п^ ).

Напомним, что разбиением числа п называется набор натуральных чисел ni> П2> ... >п_р, сумма которых равна п. Рассмотрен пример: Пример 1. Многочлен вида

f(x) = х⁵ + тх + nf + nl + n| + nl + 1 Є Q[m, п_ь п₂, пз, П4, ж]

имеет следующий факторизационный спектр над Q, состоящий из разбиений: (5), (4,1),(3,2), (3,1,1) и (2,2,1).

Пример 1 уточняет результат Рабиновича [53] (он рассматривал лишь факторизации вида (1,4) и (2,3)).

Приведем определение спектра Галуа параметрического многочлена.

Определение 2. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G\, С?2,..., G_s группы S_n г-параметрическим спектром Галуа многочлена

/ Є K[ti,t2,.. .,t_r,x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров t\,t2,... ,t_r в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения" C?i,С?2, , G_s. Этот факт будем обозначать так:

Sp Galif (/; t_u Л Є Л) = {(7_Ь G₂, , (.

Наряду с понятиями факторизационного спектра и спектра Галуа параметрических многочленов, вводится понятие полного спектра Галуа параметрического многочлена.

Определение 3. Назовём последовательность неизоморфных между собой подгрупп G\,G2,...)G_P группы S_n г-параметрическим полным спектром Галуа многочлена f Е K[ti,t2,.. .,t_r,x] над К по отношению к множеству А С К, если при изменении параметров ti,t2,... ,t_r в А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения" G\, G2, , G_p.

Этот факт будем обозначать так:

Spt Gal*(/; *i, Л Є A) = {G_lt G₂, , G_p}.

В 2 приводятся примеры спектров и полных спектров Галуа параметриче-скйхшюгочленов~над полем рациональных чисел Q.

В общем случае нахождение спектров Галуа параметрических многочленов степени больше трёх затруднительно, так как связано с решением нетривиальных диофантовых уравнений. Исключение составляют генерирующие многочлены [22], для которых, при определенных условиях, связанных с ре-шением обратной задачи теорий Галуа полный спектр Галуа определяется сразу (см. следствие 2), благодаря результату Кемпера [35].

Понятие генерирующего многочлена впервые упоминается в работах [57],[22] и было связано с обратной проблемой теории Галуа, проблемой Нётер, генерирующими расширениями. В дальнейшем возникла следующая проблема: существует ли для данной конечной группы G над бесконечным полем К генерирующий (7-многочлен? Ниже приводится таблица, отражающая полученные результаты.

Определение 4 (Кемпер). Пусть К - поле и G - конечная группа. Назовём нормированный, сепарабельный многочленg(ti,..., t_m, X) Є K(t\,..., t_m)[X генерирующим для группы G над К\ если выполняются следующие два свойства:

1. Группа Галуа многочлена д (как многочлена от X над K(ti,... ,t_m)) есть G.

2. Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют Ai,..., А_т Є L, такие, что N является полем разложения многочлена д(Х\,... ,Х_т,Х) над L.

Определение 5. (Kemper) Назовём многочлен д спускающимся генерирующим многочленом (descent-generic), если он удовлетворяет условию (1) определения 3. (см. выше), а также, кроме того, выполняется следующее свойство:

(2') Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой Н < G, тогда существуют Ai,..., A_m Є L, такие что N является полем разложения многочлена g(\i,..., A_m, X) над L.

Имеет место следующая теорема [35]: "Теорема^-!7Каждый генерирующий многочлен g(ti,... ,t_m,X) для группы G над бесконечным полем К является спускающимся генерирующим многочленом.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Следствие 2. Если д(Х) - генерирующий многочлен для группы G над бесконечным полем К, то полный спектр Галуа многочлена д(Х) над полем К состоит из всех подгрупп группы G, для которых обратная задача теории Галуа имеет решение над полем К.

Замечание 1. Спектр Галуа генерирующего для группы G многочлена состоит из транзитивных подгрупп группы G. В рассмотренных нами примерах (часть из них приведена чуть ниже, а также в конце второго параграфа первой главы) оказалось, что он состоит из всех транзитивных подгрупп группы G.

Приведём теперь таблицу, связанную с генерирующими многочленами.

Таблица генерирующих многочленов

Приведём примеры нахождения спектров (и полных спектров) Галуа некоторых генерирующих многочленов.

Пример 2. Многочлен д(Х) = X³ — tX² + (t — 3)Х -f 1 - является генерирующим многочленом для группы Сз над полем Q, поэтому SpGal

Пример 3. Многочлен д{Х) = X⁴ + 2hX² - At₂t₃X + (fa + t₂f - 2t₂t\) 'являётсяТенёрйрующим многочленом для "группы D\ над полем Q, поэтому Spt Gal_Q(0(X)) = {L>₄, С₄, С₂ х С₂, С₂, е}.

Как показывает таблица к настоящему времени построено над различными полями не много генерирующих многочленов даже для групп небольших порядков над полем Q.

В 3 изучается влияние преобразования Чирнгаузена на спектр Галуа параметрического многочлена. В следующей теореме 3 будем рассматривать преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из Kfa,.. .,t_r]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X f\{X\t\,...^t_r) и f₂(X; ti,...,t_r) из кольца Kfa,...,t_r][-X"j эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над Kfa,... ,t_r], то их спектры Галуа совпадают.

Теорема 4. Пусть группа G реализуется как группа Галуа над полем К. Пусть также в группе G существуют две несопряжённые подгруппы Т и Н одинакового порядка такие, что выполняются следующие соотношения:

Паеоо-То--¹ = {е}, ПтестНт-¹ = {е}.

Тогда существуют два неприводимых многочлена над полем К одинаковой степени, не эквивалентных относительно преобразования Чирнгаузена над полем К и имеющих одно и то же поле разложения.

Доказано, что над полем Q свойством, описанном в теореме 3, обладают многочлены f(X) = X⁴ - 2 и д(Х) = X^а + 8.

Одной из основных проблем теории Галуа является обратная проблема теории Галуа, которая для фиксированного поля К формулируется следующим образом: Какие группы G реализуются над полем К в качестве групп К-автоморфизмов расширений Галуа поля КЧ Для конечного поля К обратная проблема теории Галуа решена: циклические конечные группы и только они реализуются в качестве групп Галуа над К.

Если К = Q - поле рациональных чисел, то полный ответ на эту проблему неизвестен. Аналогом обратной проблемы теории Галуа для параметрических многочленов над полем К является следующая проблема (обратная проблема для спектров Галуа параметрических многочленов):

Проблема 1. Пусть {G\, G2, , G_s} - набор транзитивных подгрупп группы S_n и 1 < г < п. Существует ли многочлен / Є K[ti,t2, — ,t_r,x], спектр Галуа которого над К в точности равен {C?i, ( » G_s}7

/ /

Теперь обратную проблему теории Галуа можно переформулировать так: Проблема 2. Для всякого ли натурального числа п существует параметрический многочлен степени п, полный спектр Галуа которого над полем Q совпадает (с точностью до изоморфизма групп) с множеством всех подгрупп симметрической группы 5_П?

Благодаря многим конкретным результатам разных авторов известно к настоящему времени, что проблема 2 имеет положительное решение для всех натуральных п < 15 [40].

11 Вторая глава посвящена обратной проблеме для спектров Галуа параметрических многочленов. Благодаря теореме Гильберта о неприводимости и теореме о группе Галуа многочлена, получающегося при помощи специализации, обратная проблема для спектров Галуа многочленов решена над полем Q для спектров Галуа многочленов третьей и четвёртой степеней. В рассматриваемых случаях удаётся найти Н - Гильбертовы множества для некоторых (^-параметрических многочленов, когда Н - транзитивная подгруппа группы S_n (n = 3, 4). Доказаны следующие теоремы:

Теорема 5. Любой многочлен третьей степени, неприводимый над полем Q(t\,..., t_r), г Є N с коэффициентами из Q[t\,..., t_r], при целых специализациях, имеет один из следующих спектров Галуа: {5з}, {Аз} и {5з,Аз}.

Теорема 6. Целочисленным спектром Галуа, неприводимого HadQ(t±,... ,t_r) многочлена четвёртой степени с коэффициентами из Q[ti,... ,_г] может быть любой из следующих наборов подгрупп группы S4: {S4}, {А4}, {D4}, {V4}, {С₄}; {5₄, А₄}, {5₄, At}, {5₄, V₄}, {5₄, С₄}, {А₄, V₄}, {D₄, V₄}, {D₄, C_A};

{54,^4,^)4}, {S4, Л4, C4}, {-54,^4,14}, {54,^4,^4}, {^4, D4, C4}, {54,V4, C4},

{D4, V4, C4}; {S4, A4, D4, V4}, {S4, JD₄, V4, C4}, {S4, A4, At, C4}, {S4, A4, V4, C4}; {54,^4,/)4,04,}. Ни один из наборов подгрупп 54, не входящий в этот список, не может быть целочисленным спектром Галуа такого многочлена.

В третьей главе для некоторых групп G небольших порядков рассматривается построение С?-параметрических и G-генерирующих многочленов в основном над полями характеристики два.

Случай, когда char К = 2 - особый, но благодаря функции Берлекэмпа [14] (играющей в полях char К = 2 роль функции ^/D(f) в полях char К = 0), в первом параграфе третьей главы сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие находить группы Галуа неприводимых многочленов соответственно 3-ей и 4-ой степеней над полями характеристики два. Приводятся соответствующие примеры.

О генерирующих многочленах над полями charK = 2 известно немного, так как большинство известных методов не работают над полями char К = 2.

Так в [61] упоминается многочлен f(x,t) = х³ — tx² + {t — 3)я+1, являющийся генерирующим многочленом для циклической группы Сз над любым полем (в том числе и над полем char К = 2). Построенные далее генерирующие многочлены для групп Ci, Cjg и А± над полем char К = 2 приводятся впервые.

Во втором и третьем параграфах, с помощью теоремы Витта [66], построены над полями характеристики два генерирующие многочлены для циклических групп С*4 и Се. В частности доказаны теоремы:

Теорема 7. Пусть К - поле характеристики два. Тогда многочлен вида f(x] *i, іг) = х⁴ + (1 + t\)x² + t\x + t³ + t² + ^2 из К[х, ii, ^] является С±-генерирующим многочленом над полем К.

Явный вид генерирующего многочлена для группы Св, над полем К = F₂(i) приведён в 3. Рассмотренный приём позволяет последовательно строить генерирующие МНОГОЧЛеНЫ ДЛЯ ЦИКЛИЧеСКИХ ГруПП C\Q, С32,

В четвёртом параграфе для знакопеременной группы А\ над Гильбертовым полем характеристики нуль строятся генерирующие многочлены шестой и четвёртой степеней над полем Q. В частности, доказаны теоремы:

Теорема 8. Многочлен f(X;t,a,b,c) из кольца K(t,a,b,c)[X] вида:

f(X; і, а, Ь) = Х⁶- Х⁴[3а² + bc(t² - Зі + 3) + 2abt + b²{t- 3)+

+c²(t² - 4i + 9) + 2ac(t² - 2t + 6)] + X²[4a³bt + ac³(t⁴ - 6i³ + 23t² - 42i + 51)+ +a²6c(2i³ - t² + Зі + 9) + a²b²{t² + Зі - 9) + a²c²{t⁴ - 4i³ + 19i² - 36i + 63)+ +c⁴ (i²-2i+6) + a³c(4i²-8i+24) + 3a⁴ + бас³ + 36²c²-6⁴i + 2bcH+b³a(t²- 3i--3) + 6²ac(2i³ - 8i² + 12i - 18) + 26³c(3 - i) + abc²(t⁴ - 4i³ + Hi² - 18i + 27)--26³c(i² - 2i + 6) + b²c²(-t³ + i² - Зі - 3) - bc³{t³ - 5i² + 13i - 18)] - [ac²(i²--4i + 9) + o?bt + c³ + ab²(t -3) + abc(t² - Зі + 3) + a²c(t² - 2i + 6) - 6³-

_₆2_{c + a}3 _{+ 6c}2₍₃__t)]2

является A\-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Теорема 9. Многочлен p(X;t,a, b,с) из кольца K(t, a, b, с)[Х] вида: р(Х; *, а, Ь) = X⁴ - 2X²[3a² + bc{t² - 3* + 3) + 2abt + b²{t -3)+

+c²(t²-4t + 9) + 2ac(t²-2t + 6)]-8X[ac²(t²-4t + 9) + a4t + c³ + a(3-t)b²+ +abc(t² - 3* + 3) + а²ф² - 2* + 6) - 6³ - tb²c + bc²(t -3) + a³] + b²c²(t⁴-

-3*² + 36* - 45) + 6c³(2*⁴ - 10*³ + 28*² - 34* - 18) - 4a³c(*² - 2* + 6) - 4a?bt-

-6a²c²(*² - 4* + 9) + 6⁴(*² - 2* + 9) + c⁴(*⁴ - 8*³ + ЗО*² - 64* + 57)+

+b³c(2*³ - 4*² + 16* + 6)- 3a⁴ - 6&V(* -3)- 66ca²(*² - 3* + 3) - 12ac³+

+12acb²t + 12ab³ + 12a6c(* - 3)

является А^-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Заметим, что Л едет в [46] построил генерирующий многочлен для группы А± 4-ой степени с двумя параметрами над полем Q, но с дробно-рациональными коэффициентами. Полученный генерирующий многочлен для группы А^ 6-ой степени над полем Q является новым.

В~пятом~параграфе для группы А± над Гильбертовым полем характеристики два построены генерирующие многочлены степени шесть и четыре. В частности, доказаны теоремы:

Теорема 10. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен шестой степени F(X; *, и) вида

F{X; *, и) = (X² + Xf + u²{t² + * + 1)²(Х² + X) + u\t² + * + І)²

является А^-генерирующим над полем К.

Теорема 11. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен четвёртой степени G{X\ *, и) вида:

G(X-*, и) = X⁴ + (*² + * + 1)²Х² + (*² + * + 1)²Х + u²(t² + * + I)⁴

является А±-генерирующим многочленом над полем К характеристики два.

Автор благодарен своему научному руководителю, профессору Яковлеву Анатолию Владимировичу за советы, беседы и помощь в работе по теме диссертации.

Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена

Цель этого параграфа - установить связь между спектром Галуа многочленов и преобразованием Чирнгаузена [6]. Напомним определение спектра Галуа многочлена, данное в первом параграфе. Определение 1. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G\, C?2j ) Gs группы Sn г-параметрическим спектром Галу а многочлена f Є K[ti, 2,..., tr, x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров t\, 2,. , U в Л группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения" G\, G2,..., Gs. Этот факт будем обозначать так: Перейдем теперь к рассмотрению преобразования Чирнгаузена. Определение 2. Пусть f(x) - многочлен из кольца К[Х] степени п с корнями а\,..., ап и со,..., с„ - элементы из поля К. Многочлен который, очевидно, имеет коэффициенты в поле К, называется многочленом, полученным с помощью преобразования Чирнгаузена из f(x). Если / = со + CIOLJ + ... + Cn-iaJ"1, то р(гс) = П (х - ft) и (ft) - ( )- Будем в этом случае писать Tsh : f -+ д. Справедлива следующая теорема: Теорема 3.1. Пусть f(x) и д(х) -многочлены из кольца К[х], причём f(x) - неприводимый и сепарабельный многочлен над К степени п с корнями аі,...,а„ в его алгебраическом замыкании К. Тогда существует преобразование Чирнгаузена Tsh : / -+ g над полем К, тогда и только тогда, когда существуют такие корни а и /3 соответственно многочленов fug, что имеем включение полей К({3) С К (а). Доказательство. Если существует преобразование Чирнгаузена Tsh : / — g над полем К, то справедливость утверждения следует из (10). Если теперь К (13) С К (а), то /3 = со + с\а + ... + Cn-ia""1, где Q Є К. И, с помощью (10) получаем соответствующий многочлен д(х). П Из этой теоремы вытекают два следствия: Следствие 3.2. Пусть fug- два неприводимых над К многочлена одинаковой степени.

Тогда существует обратимое преобразование Чирнгаузена Tsh l : g — f над полем К, тогда и только тогда, когда существуют такие корни а и ft этих многочленов, что K(fi) — К (а). Следствие 3.3. Обратимое над К преобразование Чирнгаузена неприводимого над К многочлена f(x) не меняет группу Галуа, т.е. если существуют преобразования Чирнгаузена Tsh : f —) g и Tsh 1 : g —ї f, mo GCLIKJ — Galjig- Доказательство. Т.к. K((3) = K(a), то поля разложений многочленов / и g над полем К совпадают. Определение 3. Будем говорить, что многочлены f,g Є К[х] - эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над К, если существует обратимое над К преобразование Чирнгаузена Tsh : f — g. В следующей Теореме 3.4 будем рассматривать преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из K[ti,... ,tr]. Теорема 3.4. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X f\(X\ ti,..., tr) и J2{X\t\, . . . , tr) из кольца K[t\,..., Г]ЙП эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над кольцом " K[ti,..., t \ rn6 ux спектры Галуа совпадают.

Доказательство. Пусть ai,..., ап - корни fi(X; ti,..., tr), а /Зі,..., fin -корни /г(А"; h,..., tT) в алгебраически замкнутом поле K(t\,..., tr). Тогда, по условию, существуют такие Q, d{ Є K[ti,..., tr] (і = 0,1,..., n — 1), что после соответствующих переобозначений корней, получаем равенства: Пусть t\ = ai,...,tr = ar - специализация над полем К, при которой многочлен /i(X; i,..., tr) остаётся неприводимым над полем К и его группа Галуа над полем К есть Н. Тогда, при указанной специализации соотношения (11) и (12) перейдут в следующие: Докажем, что многочлен f2(X;ai,... ,аг) также является неприводимым над полем if имеет группу Галуа над полем К, изоморфную Н. Действительно, если бы многочлен f2(X;a\,... ,аг) был бы приводимым над полем К и имел бы нетривиальную факторизацию над К: то, применяя к многочленам равенства (15) преобразование Чирнгаузена, ин--дуцированного указанной специализацией над полем К, мы бы получили равенство: где Tsh(f2 ),Tsh(f2 ) Є if И, и значит, многочлен fi(X) окажется приводимым над полем if, что является противоречием. Итак, многочлен /г(-Х"; «і, .., аг) неприводим над if. Из соотношений (13) и (14) вытекает, что поля разложений над полем К многочленов fi(X; ai,..., ат) и fz(X\ ai,..., аг) совпадают, следовательно, их группы Галуа над полем К являются изоморфными. Теорема доказана. Приведём примеры на эту теорему. Пример 3.1. Пусть f(x) = x3+x+t. Этот многочлен - неприводим в кольце Q ()[#]. Тогда взяв в качестве преобразования Чирнгаузена /3j = 1 — а? (как в определении 2 этого параграфа), где a j - корни многочлена f (j = 1,2,3), мы получим многочлен д(х) = х3 + t2 — 1. Заметим, что спектр Галуа многочлена f(x) SpGalQ(/;i 6 Z) = {S3} (группа Аз не получится в спектре ни при какой специализации t, так как дискриминант D(f(x)) = —4 — 27t2 ф и2 (и Є Q) ни при каком рациональном значении і). По той же самой причине, спектр Галуа многочлена д{х) SpGalQ(p;i Є Z) = {53}, то есть SpGalQ(/; Є Z) = SpGalQ(p;t Є Z) = {ft}-Пример 3.2. Пусть f{x) = x4 + 4ж2 +1. Этот многочлен - неприводимый многочлен в кольце Q(i)[rc]. Возьмём в качестве преобразования Чирнгаузена f3j — 1 + CXJ — OL2- (как в определении 2 этого параграфа), где а;- - корни многочлена / (j = 1,2,3,4), мы получим многочлен д(х) = х4 — 12ж3 + х2{50 + 2t) - х(т + 68) +12 + 19 + 29. Заметим, что спектр Галуа многочлена f(x) Sp Gal Q)(/; t Є Z) = {Д4, V4, C4} (см. предыдущий параграф). Используя резольвенты Лагранжа [64], можно проверить, что многочлен д{х) ни при каких целых t не имеет в качестве групп Галуа группы S± и А , т.е. SpGalQ ; Є Z) = {Д Q}, т.е. SpGalQ(/; Є Z) = SpGalgfot Є Z).

Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени

Как известно, существует всего две транзитивные подгруппы группы 5з -это сама симметрическая группа 6-го порядка 5з и циклическая (знакопеременная) группа 3-го порядка А$. Приведём известный критерий для вычисления группы Галуа многочлена третьей степени [12]: Теорема 2.1. Если f(X) - неприводимый многочлен из кольца К[х], где charK ф 2, то группа Галуа этого многочлена будет изоморфна »% или Аз, в зависимости от того, будет ли дискриминант квадратом некоторого элемента поля К. Теперь мы в состоянии доказать главную теорему параграфа. Теорема 2.2.

Всего может быть три различных спектра Галу а неприводимых над Q многочленов третьей степени, а именно: Sp GdX f{t\, ...,tr\X) -{,%}, SpGalg/pi,...-, V, X) = {A3} и SpGalQ/(ti,..., tr; X) = {S3j A3}. Доказательство. 1) Пусть f(x) = x3 + t. Тогда, дискриминант этого многочлена имеет вид D(f) = —27t2, и ясно, что он ни при какой специализации t не является квадратом некоторого рационального числа, следовательно, для этого вида многочлена не может реализоваться группа Аз, т.е. SpGalQ/(t;X) = {S3}. 2) Пусть f(x) = х3.— 9х + t. При t = 9 дискриминант многочлена f(x) является квадратом (D(f) = 272), а при t = 11 - нет (потому что он отрицательный), и потому реализуются обе транзитивные подгруппы группы S3 согласно теореме 2.1. То есть SpGalQ/(;.X) = {S3, А3}. 3) Пусть f(x) = ж3 — tx2 -f (t — S)x + 1. Дискриминант этого многочлена имеет вид: )(/) = (9 - 3t +12)2. Таким образом, при любых специализациях t дискриминант этого многочлена всегда квадрат, т.е. будет реализовываться только группа А3. Это также следует из того, что этот многочлен является генерирующим многочленом для группы Аз над полем

Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени

Известно, что с точностью до сопряжённости существует всего 5 транзитивных подгрупп группы 54, а именно: сама симметрическая группа 24-го порядка 4, знакопеременная группа 12-го порядка А4, диэдральная группа 8-го порядка D±, группа Клейна V4 и циклическая группа 4-го порядка С\. Для всех этих групп найдены параметрические многочлены с данными группами Галуа, т.е. для них решена обратная задача теории Галуа. Напомним определение кубической резольвенты, которая необходима для нахождения групп Галуа многочленов четвёртой степени. Определение 1. Кубической резольвентой многочлена f(X) = хА -f Ьхъ + сх2 + dx + е называется многочлен г(/) = (х — а)(х — /?)(ж — 7), где а = а\сх2 + азщ, /5 = ос\а$ + а2 24 7 = &\&± + #2 3, a «і - все корни многочлена /( ) (! 4). Известно, что г(/) = ж3 — ex2 + (bd — 4е)ж — Ь2е + 4се — d2, где Ь, с, d, е - коэффициенты многочлена f{X). Теперь сформулируем критерий для вычисления групп Галуа многочленов четвёртой степени [33]. Теорема 3.1. Предположим, что f(X) - неприводимый многочлен из кольца К[х] (charK ф 2), r(f) - его кубическая резольвента и r(f) имеет поле разложения Е = K(ti,t2,tz), где 1, 2) 3 корни резольвенты r(f) и D - дискриминант многочлена f(X). Тогда: 1) группа Галуа Galqf(X) = «S4 = г(/) - неприводима над К и D ф К2; 2) группа Галуа Galqf(X) = А4 =$ r(f) - неприводима над К и D Є К ; 3) группа Галуа Galqf(X) = V4 $=$ r(f) - расщепляется над К в произведение линейных множителей] 4) группа Галуа Galqf(X) = D4 = r(f) - имеет только один корень t в К и многочлен д(х) вида (x2—tx-\-e){x2jrbx+c—t) - не расщепляется над Е (е, Ъ) с - коэффициенты многочлена /(X)); 5) группа Галуа Galqf(X) = С4 =$r(f) - имеет только один корень t в К и многочлен д(х) вида {х2 — tx + e) (х2 -f Ьх 4- с — t) - расщепляется над Е (е, 6, с - коэффициенты многочлена f(X). Выясним, какие r-значные спектры точно не могут появляться в качестве спектров Галуа неприводимых многочленов 4-ой степени. Определение 2. Спектр Галуа некоторого неприводимого многочлена называется r-значным, если он состоит только из г транзитивных подгрупп группы Sn, когда коэффициенты многочлена изменяются в поле К. Теорема 3.2. Не существует многочленов f(t\,..., tn; X) Є Q[ii,..., tn\ X], таких, что SpGalQ/(X;i,... ,tn Є Z) ранялся бы одному из наборов г- значных спектров: {A D }, {А ,С4}, {14, С4}, {A D V }, {A D C }, { 4, 4,64), 4, 4, 4}.

Доказательство. Справедливость теоремы немедленно следует из теорем 1.2 и 1.3 первого параграфа этой главы. Действительно, если бы, например, было SpGalQ/(X;ii,... ,in Є Щ = {А Д }, то по теореме 1.3 группы А± и Z 4 были бы подгруппами группы Галуа G многочлена /(i,... ,tn,X) над полем Q(t\,.... ,tr), а потому по теореме 1.2 нашлись бы такие специализации 2i,..., ап Є Z, что группа Галуа многочлена f(ai,...,an,X) над полем Q была бы равна G. Таким образом, группа G принадлежала бы спектру SpGa\qf(X;ti,... ,tn Є Z), то есть была бы равна одной из групп Aj, D4 и содержала другую из этих групп, что невозможно. Аналогичным образом разбираются и другие возможности для спектров. Все рассматриваемые далее многочлены неприводимы над Q(), так как существуют специализации, при которых они неприводимы над Q. В даль нейшем берутся только целые специализации. Докажем-следующую теорему. Теорема 3.3. Для любых неприводимых многочленов четвёртой степени над Q(ti,..., tm) с коэффициентами из Q[ti,..., tm] 1-значные целочисленные спектры Галуа могут иметь один из следующих видов: {S4}, {А }, {D4}, {У±\, {С±} при целых специализациях.

Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики нуль

Перед тем, как формулировать основные результаты этого параграфа, определим два многочлена, играющих здесь важную роль. Пусть L/K - циклическое расширение Галуа степени 3, и пусть с і, а?2 с з - сопряженные над К элементы поля L. Далее, пусть 772,773 - квадратные корни (в алгебраическом замыкании поля L) из элементов а а\ и аіа2] тогда элемент 771 = ах &ъ/ Щ Лемма 4.1. Все коэффициенты многочленов f(X] а\, а2, а3) и д{Х\ а\, а2, а3) принадлежат полю К. Поле М = (771,772,773) является полем разложения каждого из этих многочленов. Если а\а2 не является квадратом в поле L, то группа Галуа расширения М/К изоморфна А±, а многочлены f(X] «і, а2, с з) w д(Х; а\, а2, о;3) неприводимы над К. Доказательство. Сначала укажем еще одно выражение для многочлена g(X;ai,a2,as), из которого, в частности, будет видно, что этот многочлен действительно зависит только от элементов «і, а2, а3, а не от элементов -771,772, 773?-через-которые он был выражен первоначально: Теперь мы видим, что все коэффициенты наших многочленов f{X; o i, а2, а3) и д(Х]аі,а2,ог2 ) принадлежат L и являются симметрическими функциями от а:і,а!2,а3; поскольку любой автоморфизм расширения L/K лишь переставляет элементы аі,а2,а з между собой, коэффициенты обоих многочленов инвариантны относительно всех автоморфизмов из Gal(L/K) и потому принадлежат К. Все корни ±77i, ±7у25 ±77з многочлена f(X] а\, а2, аз) и все корни 771+772+773, т.-42- »7з, —»7i + 772 - »7з, -»7i - »72 + »7з многочлена д(Х\ аъ а2, а3) принадлежат полю М, так что поля разложения этих многочленов содержатся в М. Обратно, элементы 771,772,773 принадлежат полю разложения многочлена f(X; «і, аг, «з) (это очевидно) и полю разложения многочленад(Х; а\у «2, аз), потому что Поэтому поле М = К(щ,щ, 773) содержится в полях разложения обоих многочленов.

Пусть теперь OJIQ;2 не является квадратом в L\ тогда элементы адоз іаз, сопряженные с агаз, тоже не являются квадратами в L, и, значит, квадратные корни 771,772,773 из этих элементов не принадлежат L. Далее, (ai0:2)(0 3) = Хіазо 2 - не квадрат в L, поэтому поля Ь(г]з) = Ь(у/а\а2) и (772) = Ь{у/аіа$) "не сШпадйбтГВ т6 же время 771 = &\0і2 хзІЩШ принадлежит полю (772,773). Таким образом, Ь(г]з)/Ь и (772,773)/. (773) - квадратичные расширения, и М = L(T]I, 772,77з) = L(T]2, 773); значит степень поля М над L равна 4, а потому его степень над К равна 12. Пусть G - группа Галуа расширения М/К\ ее порядок равен 12, у нее есть факторгруппа Gal(L/K) порядка 3 и в ней есть три сопряженных подгруппы порядка 2 (это группы Gal(M/L(r]i)), і — 1,2,3, которые сопряжены в G, поскольку поля Ь{Т]І) сопряжены над К). Но такими свойствами обладает только группа А\. Многочлен д(Х; ai, #2, аз) неприводим над К, потому что расширение М/К с группой Галуа А не может быть полем разложения приводимого многочлена степени 4. Далее, все корни ±77і,±772,±77з многочлена /(-Х";аі,о;2,о;з) сопряжены над К\ следовательно, он тоже неприводим над К. Следующее утверждение является частичным обращением леммы 4.1. Лемма 4.2. Пусть М/К - расширение Галуа поля К характеристики О с группой Галуа Aj и пусть L - единственное содержащееся в М циклическое расширение степени 3 поля К. Тогда существуют такие элементы «і, «2, с з Е L, сопряэюепные над К, что М - поле разлооюения любого из многочленов f(X; a\t аг, аз) и g{X\ аі, аг, з). Доказательство.

В поле М есть ровно три подполя iVj, ІУ2) А/з, являющихся квадратичными расширениями поля L\ композит любых двух из них совпадает с М, а пересечение - с L. Поля N\, А/г, N3 сопряжены над К. Как и всякое квадратичное расширение, поле N\ получается присоединением к L квадратного корня из некоторого элемента а\ Е L; тогда N2 = L y/afy, N3 = Ь(у/аї), где а 2,аз Е L - сопряженные с а\ над К элементы. Отсюда видно, что в поле М найдутся элементы щ, 7]2, 773, квадраты которых равны соответственно агссз, одої и аіаг. Элемент 773 = л/аїа ие принадлежит полю Ni (иначе элемент -у/ог = у/оїїа /у/оії принадлежал бы полю АГі), и точно так же он не принадлежит полю Afo тем более 773 $. L. Поскольку АГі, N2 и АГ3 -единственные квадратичные расширения L, содержащиеся в М, мы получаем, что поле 1/(щ) совпадает с А/з- Аналогично доказывается, что N\ = (771), N2 = (772)- НО поле М - композит полей АГі, АГ2, ІУ"з, поэтому М получается из L присоединением элементов ±77і,±772,±7?з, которые являются всеми корнями многочлена (X2 — aia 2)(X2 — аіаз)(Х2 — сх2&з) = f{X\ "i,&2, з). Таким образом, М - поле разложения многочлена f(X; ai, »2, «з)і п0 лемме 4.1 оно является также полем разложения многочлена д(Х; а.\, »2, аз)- П Напомним теперь, как выглядит генерирующий многочлен для циклической группы третьего порядка (см. [61]).

Похожие диссертации на Спектр Галуа и генерирующие многочлены

Метод вычисления группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентамиДуров Николай Валерьевич