Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Центр полугруппового кольца над произвольной полугруппой 9
1.1. Определение полугруппового кольца 9
1.2. Центр полугруппового кольца 11
1.3. Тривиальные полугрупповые кольца 14
Глава 2. Центр полугруппового кольца над полугруппой ISn 16
2.1. Определение и свойства полугруппы ISn 16
2.2. Центр полугруппы ISn 19
2.3. Количественные характеристики полугруппы ISn 21
2.4. Полугрупповое кольцо над полугруппой ISn 25
2.5. Центральные элементы кольца K[ISn] с групповым носителем 26
2.6. Центральные элементы кольца K[ISn] со смешанным носителем 33
2.7. Способы получения центральных элементов кольца К[ISn] со смешанным носителем 35
2.8. Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца K[ISn] 49
2.9. Необходимые условия центральности элемента полугруппового кольца K[ISn] 53
2.10. Строение центральных элементов ранга 1 полугруппового кольца К[ISn] 66
2.11. Строение центральных элементов ранга 2 полугруппового кольца K[ISn] 66
2.12. Строение центральных элементов полугруппового кольца K[IS3] 74
2.13. Строение центральных элементов с групповым носителем полугруппового кольца K[ISn] 78
Глава 3. Центр полугруппового кольца над подполугруппами полугруппы ISn 82
3.1. Подполугруппы полугруппы ISn 82
3.2. Определение и свойства полугруппы Юп 85
3.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой 10п 87
3.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца К[Юп) 88
3.5. Центр полугруппы Юп 91
Глава 4. Центр полугруппового кольца над полугруппой 93
4.1. Определение и свойства полугруппы ISco 93
4.2. Центр полугруппы IS^ 94
4.3. Полугрупповое кольцо над полугруппой ISQQ 95
4.4. Строение центральных элементов полугруппового кольца K[ISoo] 95
Список литературы 98
- Центр полугруппового кольца
- Полугрупповое кольцо над полугруппой ISn
- Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца K[ISn]
- Строение центральных элементов полугруппового кольца K[IS3]
Введение к работе
Целью данной работы является выяснить строение центров полугрупповых колец над полугруппами ISn и 10п над произвольным кольцом с единицей характеристики 0.
Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами.
Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугруппового кольца относительно того или иного радикала; наличие или отсутствие особых элементов колец; строение идеалов того или иного типа.
Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец.
Изучением строения центров полугрупповых колец занимались такие математики, как Потемкин Л.В., Руколайне А.В., Понизовский И.С., а также Crabb J.N., Munn W.D. и другие.
В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полутрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугруппового кольца.
Это сочетание теории полугрупп и классической теорией колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (например, этому посвящены работы А.В. Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования.
Строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Поэтому авторы работ по данной теме ограничиваются исследованиям центров полугрупповых колец над "более простыми" полугруппами.
В работах Понизовского И.С. (в частности [27]) исследуется вопрос о строении центров полугрупповых колец над инверсными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами с конечным числом идемпо-тентов.
Известен результат о строении центра полугруппового кольца над би-циклической полугруппой ([17], proposition 19.40). В работе [6] этот результат обобщается на полугруппу Рейли.
Ряд работ Krempa J. были также направлены на исследование центров полугрупповых колец (работы [20] и [21]).
Особую роль в изучении строения центров полугрупповых колец сыграли, так называемые, идемпотенты Руколайна А.В. (работы [30], [31], [32]).
В работах [28] и [29] дается описание центра полугруппового кольца над полугруппами всех преобразований и частичных преобразований конечного мноясества X. Предложенные формулы строения центрального элемента имеют большую теоретическую значимость, но для практического применения достаточно сложны (даже для малых рангов центральных элементов или определенного типа элементов полугруппы, например, групповых).
В данной же работе показывается, какими свойствами должны обладать элементы из носителя и коэффициенты центрального элемента полугруппового кольца над полугруппой ISn и ее подполугруппами, в частности полугруппой 10п.
Обозначения и часть терминологии, используемых в работе, взяты из работ [18] и [19].
В качестве методов исследования используются некоторые общеполу-групповые и общекольцевые методы, а так же методы комбинаторной алгебры.
Данная работа. посвящена полугрупповыми кольцам над полугруппой ISn всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества N = {1;2; ...;п} в себя и над подполугруппами полугруппы ISnr в частности над полугруппой Юп всех (возможно частичных) инъ-
ективных отображений конечного множества в себя, которые сохраняют естественный порядок на множестве N.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация теорем, лемм и примеров общая внутри всей работы.
В главе 1 даются определения полугруппового кольца над произвольной полугруппой с единицей, центра кольца и центра полугруппы; вводятся обозначения supp () и coef () для носителя и множества коэффициентов элемента из полугруппового кольца; рассматриваются определения элемента полугруппового кольца с групповым и смешанным носителями; формулируются и доказываются теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия центральности элемента полугруппового кольца.
Леммы и теорема 1 параграфа 1.2 не раз будут использоваться в доказательствах теорем других параграфах.
Параграф 1.3 посвящен тривиальным полугрупповым кольцам, в котором дается соответствующие определение и приводятся примеры таких колец.
В главе 2 в параграфе 2.1 дается определение полугруппы ISn; вводится понятие ранга и обозначения dom() и im() для элемента из lSn.
Большую роль в дальнейшем играют групповые элементы полугруппы ISn. В связи с этим рассматриваются леммы 7 и 8. В параграфе 2.2 доказывается, что центр полугруппы ISn состоит лишь из тождественного и нулевого отображений множества N.
В доказательствах того, что элементы из полугруппового кольца над полугруппой ISn некоторых видов являются центральными будут использованы комбинаторные методы (см. параграфы 2.5, 2.6 и 2.7). Поэтому отдельным параграфом идет материал, связанный с количественными характеристиками полугруппы ISn
В параграфе 2.4 даются определения полутруппового кольца K[ISn] и ранга элемента из этого кольца. В дальнейшем рассматриваются кольца К характеристики 0 и с единицей.
В параграфах 2.5 и 2.6 приводятся примеры центральных элементов полу группового кольца K[ISn]: с групповым носителем (носитель состоит
лишь из групповых элементов, точнее из единиц максимальных подгрупп полугруппы ISn) и со смешанным носителем (носитель этих элементов состоит как из групповых элементов, так и негрупповых элементов полугруппы ISn). Показывается, что хотя центр полугруппы ISn состоит лишь из двух элементов, но центр полугруппового кольца над этой полугруппой сложно устроен.
В параграфе 2.7 даются два способа получения центральных элементов полугруппового кольца над полугруппой ISn со смешанным носителем. Основными теоремами являются теоремы би 7.
Теорема 7 показывает, что множество элементов наивысшего ранга из носителя центрального элемента из K[ISn] распадается, в некотором смысле, на классы смежности, то есть на множества, выдерясивающие умножения справа и слева на элементы из ISn. Это используется для описания центральных элементов из K[ISn] для случая п = 3 — теорема 15 параграфа 2.12.
Одной из основных теорем работы является теорема 8 из параграфа 2.8. В этой теореме говорится, что элементы из носителя центрального элемента из K[ISn], ранг которых совпадает с рангом этого центрального элемента, являются групповыми.
В параграфе 2.9 приводятся ряд теорем, являющихся необходимыми условиями центральности элемента полугруппового кольца K[ISn]. Для выяснения свойств центрального элемента из K[ISn], оказывается, большую роль играют негрупповые элементы полугруппы ISn (см. леммы 21 и 22 этого параграфа) в сочетании с единицами максимальных подгрупп (см. теоремы 11 и следствие 14).
Основные результаты этого параграфа — лемма 21, теоремы 9 и 10.
Используя теоремы из параграфа 2.8 и 2.9 получаем строение центральных элементов из K[ISn] рангов 1 и 2 (см. теоремы 12 и 14 из параграфов 2.10 и 2.11).
Далее, основной теоремой всей работы является теорема 16 параграфа 2.13, показывающая, что все элементы из носителя центрального элемента с групповым носителем являются единицами максимальных подгрупп
полугруппы ISn.
В главе 3 в начале рассматриваются примеры подполугрупп полугруппы ISn и центры полугрупповых колец над этими подполугруппами.
Основным параграфом этой главы является параграф 3.4, в котором описывается строение центральных элементов полугруппового кольца над полугруппой 10п: носитель этих элементов состоит лишь из единиц полугруппы Юп.
В главе 4 в параграфе 4.1 дается определение полугруппы ISoo как полугруппы всех инъективных отображений множества натуральных чисел в себя с конечной областью определения и присоединенной внешним образом единицей.
Основным результатом данной главы является теорема 22, устанавливающая тривиальность полугруппового кольца над полугруппой ISoo.
Результаты диссертации докладывались на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции (декабрь 2003 г, г. Казань), на алгебраических семинарах Поморского государственного университета (2002-2004 гг.), на XL всероссийской конференции по проблемам математики, физики и химии (апрель 2004 г, г. Москва).
Центр полугруппового кольца
Элементы из C(L) будем называть центральными элементами кольца L. Очевидно, что нулевой элемент кольца L является центральным элементом, а значит, C(L) ф 0. Лемма 1. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда если с Є C(K[S]), то coef (с) С С(К). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть с = сцд\ + а2#2 + as9s Є C(K[S]). Тогда для любого а Є К справедливо: с осе = осе с, то есть {aia)(gie) + {a2a)(g2e) + ... + (asa)(gse) = = (aai)(egi) + (аа2)(е52) + ... + (aas)(egs), (ctia)gi + (0:2 )02 + + (asa)g3 = = (aai)gi + (aa2)g2 + -.. + (aas)g3. Следовательно, ща = аоц для всех і = 1,2,..., s. Значит, для любого с Є C{K[S]) справедливо, что coef (с) С С(К). Ш Заметим, что если а Є С (К), то осе Є C(K[S]). Следовательно, Пусть S — произвольная полугруппа. Центр полугруппы S обозначим C(S), то есть Элементы из центра полугруппы C(S) будем называть центральными элементами полугруппы S. Лемма 2. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда любой элемент с из K[S], для которого supp (с) С C(S) и coef (с) С С(К), принадлежит центру C(K[S]). Следствие 1. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда C(S) С C(K[S]). Лемма 3. Пусть K[S\ — полугрупповое кольцо над коммутативной полугруппой S с единицей е. Тогда C(K[S]) = C(K)[S]. Пример 2. Пусть S = {е; д}} где gg — g или gg — е. Тогда C{K[S\) = {ае + 0д\а, /9 Є С (К)} = C(K)[S]. Лемма 4. Пусть K[S] — полугрупповое кольцо над полугруппой S с единицей е. Тогда C(S) С (J supp (с). ceC{K[S\) Следующая лемма является обобщением леммы 2 для произвольного подмножества полугруппы S с единицей е. Для произвольного множества М через символ \М\ будем обозначать его мощность. Пусть М = {h\\ /i2 , 5 hp} С 5; g Є S. Определим множества gM и Мд следующим образом: дМ = {ghngh2;...;ghp}, Мд = {hig;h2g\...;hpg}. Лемма 5. Пусть M = {hi; h2\...; hp} — подмножество полугруппы S с единицей е. Если для любого элемента g Є S справедливо, что р дМ = Мд и \дМ\ = \М\, то элемент с = Е Ы є K[S] принадлеэюит t=i центру C(K[S]). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Tfl Пусть а — Е ctigi Є K[S]. i=l Рассмотрим произведения (ocigi) - с и с-(а г) для фиксированного і = 1,... , га. Имеем: р р р (aigi) с = X) Oi9ihj = Y, aih j9u с (а,-ф) = а,-Л»ф. Так как по условию #М = Мд и рМ = М, то уравнения hjgi = д\х и У9і — 9ihj имеют единственные решения hj и hj соответственно во множестве М. Значит, supp ((ctiPt) с) = supp (с (аг-рг))- Поэтому {сцді) -с = с (агрг). Тогда ( m \ т т f т \ X "»Pi с = (( »») с) = 53(с (сад)) = с I 53 ai9i = са. i=i / i=i t=i \t=i / Следовательно, с Є 7(1 (5]). Следствие 2.
Пусть Mj = {Лд;/г г; 5 } — подмножества полугруппы S с единицей е, где j = 1,2,..., s, которые обладают теми же свойствами, что и множество М в лемме 5 и ai, «2»..., a, С(К). Тогда элемент Pi Р2 Р» С = «1 $3 Лн + «2 J2 п2г + - + Cia X) si Є #[] і=1 і=1 і=1 принадлежит центру C(K[S]). Теорема!. Ненулевой элемент с полугруппового кольца K[S] над полугруппой S с единицей е является центральным тогда и только тогда, когда (\fg Є S)(cg = gc) и coef (с) С С {К). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Докажем необходимое условие. Пусть с — центральный элемент полугруппового кольца /f [5]. Тогда coef (с) С С(К) и элемент с коммутирует с любым элементом из кольца Х[5]. Учитывая, что кольцо К содержит единицу, то все элементы из полугруппы S принадлежат кольцу JK S]. Тогда, в частности элемент с коммутирует со всеми элементами из 5, то есть (V 7 Є S){cg = gc). Докажем достаточное условие. Так как по условию coef (с) С С (К), то для любого а Є К справедливо, что а с = с а. Значит, для любого д Є S также справедливо, что (ад) -с = с-(ад). Пусть а Є K[S]. Если а = О, то теорема справедлива. t Пусть а ф О и а = оцді г=1 Рассмотрим произведение а с. Имеем: t t t t a с = (J] зд) с = Х(а с) = Х](с ОД») = с (X) ЗД) = с а, t=i i=i i=i »=1 то есть а с = с- а. Следовательно, элемент с является центральным. Лемма 6. Пусть S — подполугруппа с единицей е полугруппы S с единицей е; с — центральный элемент полугруппового кольца K[S], причем supp (с) С 5". Тогда с — центральный элемент полугруппового кольца K[S ]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Заметим, что KIS1] С K[S]. Так как с — центральный элемент полугруппового кольца А" [5], то элемент с коммутирует со всеми элементами из K[S], в частности со всеми элементами из KIS ]. Учитывая, что supp (с) С 5 , то с Є C(K[S ]). Ш Следствие 3. Пусть S — подполугруппа с единицей е полугруппы S с единицей е. Тогда C(K[S ]) С C{K[S]). 1.3. Тривиальные полугрупповые кольца Полу групповое кольцо K[S] над полугруппой S с единицей называется тривиальным, если центр кольца K[S] изоморфен кольцу С (К). Пример 3. Пусть RI — полугруппа правых единиц с единицей е, то есть (V#, h Є RI)(gh = g) (значит, RI не содержит нуля), причем
Полугрупповое кольцо над полугруппой ISn
Будем рассматривать кольцо К с единицей характеристики 0 и полугрупповое кольцо K[ISn] полугруппы ISn с центром C(K[ISn]). Пусть а Є K[ISn] и а ф 0. Рангом элемента а назовем наибольшее значение ранга элементов из носителя элемента а и обозначим rank (а), то есть rank (а) = max {rank(#)}. pesupp(о) Ранг нулевого элемента полугруппового кольца K[ISn] будем считать равным нулю. 2.5. Центральные элементы кольца K[ISn] с групповым носителем Хотя центр полугруппы ISn состоит всего из двух элементов 0 и id (см. теорему 2), ожидать, что полугрупповое кольцо K[ISn] будет тривиальным, не приходится. Теорема 3. Пусть e\,es2,...,e8t — единицы всех максимальных подгрупп ранга s, где 1 s п, t = С . Тогда элемент с Е е\ є K[isn] принадлежит центру C(K[ISn]). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть М = {ef; е\\...; е} — множ;ество, состоящее из единиц всех максимальных подгрупп ранга s, где 1 5 n, t = С . тт s т f 1. 2 m J Пусть с= Ее- zf = — произвольный элемент i=1 \ h h . Зт ) ранга т полугруппы ISn. Рассмотрим два случая. 1) Пусть s т. Пусть N = N\{n; «2;. ;гт} = N\dom (gm). Для любого fc, 1 к тп, и любого набора г/1}г/2,..., г/А элементов из множества dom ( m) = {г і; г г;.. ; гт} определим множество М{цх,ц2,..., цк) следующим образом: если существует хотя бы один элемент полугруппы /5П ранга s, где щ, и2,... Є .Л/7, то llk Щ и2 Іік Щ U M(ih,ih,...,iik) = г/і za г/к щ и2 цк щ и2 иии2, EN в противном случае M(«Zlltz3,...,t,J = 0. ( 1 2 3 \ Є IS7, то JV7 = {4; 5; 6; 7} и для s = 6 множество М(1) = 0, так как из пяти элементов 1,4,5,6,7 нельзя составить единицу максимальной подгруппы ранга 6. Для к = О определим множество М(0) следующим образом: Ui М2 Ml и2 . полугруппы если существует хотя бы один элемент ISn ранга s, где щ,и2,... Є iV7, то щ и2 . . М(0) = иии2,... eN \, щ и2 в противном случае М(0) = 0. Заметим, что для любого к = О,1,..., т множества М(г/15 г/2,..., цк) и М(0) являются пустыми тогда и только тогда, когда к + п — т s. Заметим также, что для любого элемента є Є М(0) справедливо, что im (е) П dom (дт) = 0, а значит, едт = 0. Множества М(%,ц21... ,iik) и М(0) обладают следующими свойствами. 1) M(ih,ih,...,ilk) С М, М(0) С М. 2) Af(tZl,ii2,..., /J = Ql » или \M(ih,ih,...,t,J = 0, М(0) = С_гоилиМ(0)=О. Действительно, элементы щ,щ,... выбираются из множества N , для которого \N \ = N\{ii;i2;...;im} = п — т, причем в запи I цх % ... iik щ и2 си каждого элемента ранга s исполь \ ih ih Чк ui u2 J зуются лишь s — k элементов «i,U2,... Тогда количество всех наборов элементов ui,U2,... длины s — k, выбранных из (п — т)-элементного множества N без учета их следования, равно С 1 . Значит, \M(ih,ih,...,ih)\ = C%lkm Так как для множества Af(0) к = О, то М(0) = С _ -т 3) M{iVl , ,..., ivk) П M(«z», ii»,...,г /»,) = 0, если {irltii 2,..., ,} {г /», г /»,..., г /»,}.
Не теряя общности, можем считать, что і? $ {Ц Щ, 5 « /"„} Так как г"/» N , то для любого є Є М{ц»,іщ,... , г /"„) справедливо, что i/j 0 dom(e). Тогда для всех є Є М(г ,г/»,... ,«/"„) справедливо, что eM(iVi,iv2,...,ivk). 4) М (г , г г ,..., г ,) = М (гг», г/»,..., щ,) тогда и только тогда, когда к = к" и {і/;,і/»,...,г ,} = {г"/», г /»,...,г „ }. 5) U ( UMfc.i..., ) =М. А=0 \{г 1.г 2)- г } {гЬг2.-.»т} / Пусть he М. Если г і, г г,..., гт dom (Л), то h Є М(0). Если г /j, г /2, ..., Є {г і; г2;...; г т} и г , %,...,цк Є dom (Л) и ни для каких 1/ ,..., , Є {п;«2;-.-; т} %,%, % 0 dom(h), то /г Є М(г /г,г;2,... ,г/4). Значит, указанное равенство справедливо. Тогда элемент с можно записать в виде: т с=Е «Zi ч2 к=0 Х Щ -М С иъ,..., } \Ui,u2,...iV у « «/2 «/ «1 М2 . г;А Ui w2 Пусть \M{ih,ii2,...,ilk)\ = n{ih,ii2,... ,iik) Тогда / m ТП\ »4 li» iai---»4J . . Jh зь 3h { 1. 2 - г }-{гі 2,—,ї т} Аналогично строятся множества множества Miji ji ... ,jik) и М(0), где N" = N\{,7i; j2;...; jm} = N\im(5 m), а так же показывается, что / с=Е к=0 \{jh Jl2 ,...,jlk }C{ji J2v" Jm} Лі 2 Л Wl W2 иі,«а,...ЄЛГ» \ Jh Ji2 ... J;fc Wi u2 и m\ гтс= Hi/15i/2,...,izJ A=0 \0 l J 2 .-J/jJCfjjJa,- Jm} \Jh Jh І/ Так как \M(ih,ii2,... ,ih)\ = \M{jh,Jh,.-.,jik)\, то nfo,«/„..., t/fc) = rc(jWfe ---iib) Учитывая, что г/п г/2,..., іік Є {г і; г2;...; гт} тогда и только тогда, когда Jh Jhi іІ/ Є О і; J25 - ;; m}, получаем, что c /m = Лс. Проиллюстрируем данные рассуждения примерами. Пусть п = 4, s = 3. Тогда М = 1 2 3W1 2 4 W 1 3 4 \ ( 2 3 4 1 2 3 Н 1 2 4 Г 1 3 4 Г 2 3 4 — множество единиц всех максимальных подгрупп ранга 3 полугруппы /54. Тогда 2 3Wl 2 4] fl 3 4\ (2 3 4 123/ 112 4 7 І134І 12 3 , то = 0,1,2, ЛГ = {3;4} и 9/12 Если =- \2 з;;
Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца K[ISn]
По лемме 7 получаем, что если ранг центрального элемента с полугруппового кольца K[ISn] равен п, то элементы наивысшего ранга, то есть ранга п, из supp (с) являются групповыми. лугруппы ISn ранга к. Равенство rank (ётдкет) = т справедливо тогда и только ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Покажем вначале справедливость достаточного условия. \ ,fc _ I 1 %m Пусть gk = Л 3m .-./ Тогда \3l 3m Докажем теперь необходимое условие. Пусть rank (emgkem) = га. Заметим, что в этом случае к га. Рассмотрим случаи. 1) {ii;-..;»m} (10131( ). Тогда rank (етдк) га, значит, rank (етдкет) rank (етдк) га. По условию лее rank (ётдкёт) = га. 2) {t i;...;«m} im(p ). Тогда rank (дкет) га, значит, rank (етдкет) rank ( / em) га. По условию лее rank (ётдкет) = га. 3) {н;...; im} С dom ($ ) и {г і;...; гго} С im (# ). гі ... гт ... і , где {/i;...;/m} 1 т / Если предположить, что (у = {н; . ; гт}, то rank (етдкет) = rank ( " т \ ет) га. По усло \ 1 ет = Є ISn и д элемент Ъ\ ... 1т Ъ\ ... 1т ,т полугруппы ISn ранга т. Равенство rank (етдтет) = m справедливо тогда и только тогда, когда дтет = етдт = дг ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Докажем необходимое условие. Пусть rank (етдтет) = т. полугруппы ISn ранга т. Равенство rank (етдТпет) = m справедливо тогда и только тогда, когда дт — групповой элемент полугруппы ISn, принадлежащий максимальной подгруппе Gm ранга т с единицей ет. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Докажем необходимое условие. Пусть rank (ётдтёт) = т. элемент Є ISn и 9 Следствие 9. Пусть ё По лемме 21 получаем, что jm = " т , где {ji]... ,jm} = V І1 Іго J {г і;...;гт}. Значит, дт — групповой элемент полугруппы ISn, который принадлежит максимальной подгруппе Gm ранга га с единицей ет. Докажем достаточное условие. Пусть дт — групповой элемент полугруппы ISn, который принадлежит максимальной подгруппе Gm ранга га с единицей ет. Тогда rank (етдтеш) = га. s m Теорема 8. Пусть с Є С(.ЙГ[/5П]); rank (с) = га 0 u 7i\...,# — все элементы ет = Є ISn и д элемент Ъ\ ... 1т Ъ\ ... 1т ,т полугруппы ISn ранга т. Равенство rank (етдтет) = m справедливо тогда и только тогда, когда дтет = етдт = дг ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Докажем необходимое условие. Пусть rank (етдтет) = т. полугруппы ISn ранга т. Равенство rank (етдТпет) = m справедливо тогда и только тогда, когда дт — групповой элемент полугруппы ISn, принадлежащий максимальной подгруппе Gm ранга т с единицей ет. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Докажем необходимое условие. Пусть rank (ётдтёт) = т. элемент Є ISn и 9 Следствие 9. Пусть ё По лемме 21 получаем, что jm = " т , где {ji]... ,jm} = V І1 Іго J {г і;...;гт}. Значит, дт — групповой элемент полугруппы ISn, который принадлежит максимальной подгруппе Gm ранга га с единицей ет. Докажем достаточное условие. Пусть дт — групповой элемент полугруппы ISn, который принадлежит максимальной подгруппе Gm ранга га с единицей ет. Тогда rank (етдтеш) = га. s m
Теорема 8. Пусть с Є С(.ЙГ[/5П]); rank (с) = га 0 u 7i\...,# — все элементы из supp (с), которые имеют общую правую единицу е Тогда элементы д,... ,д являются групповыми. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Элемент с молено записать в виде: ( , то \Л 3 где ос\, - »ota Є Я" и Ь Є -ftTJ.T-S n]. При этом, если 7[" = т етп _ і -?1 Зт \ . Заметим, что Л Зт ) rank (6em) га. Рассмотрим произведения сет и етсёт. Имеем: сет = І а{(дГет) +Ьет = ± аі9? + Ьет, і=1 і=1 emcem = Ог(ет ет) + em6em = а4(етуП + em&e г=1 s=l При этом rank (сеш) = га и rank(embem) rank(6em) га. Так как с Є C{K[ISn]) и ет = етет, то сет = сетет = етсет. Тогда rank (етсет) = т. Следовательно, г=1 г =1 Тогда {д?; ...;д?} = {етд?;...; етд}. Значит, rank (етд) = m, t = 1,..., s. Учитывая, что дет = д для всех і = 1,..., s, то rank (етд ет) = m, г = 1,..., s. По следствию 9 получаем, что все элементы 7i\ .., 7 являются груп повыми. Следствие 10. Пусть с — центральный элемент кольца K[ISn] ранга т 0. Тогда все элементы ранга т из supp (с) являются групповыми. Лемма 22. Пусть с — центральный элемент полугруппового кольца K[ISn] и h — негрупповой элемент полугруппы ISn. Тогда сумма всех коэффициентов при элементах из supp (с), для которых h является их составной частью, равна нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Кл Ко. ... fci / Пусть h = ,. Так как h — негрупповой элемент, то к1\ І2 ... U {ki; k2\...; km} ф {h; Z2;...; вую единицу е Тогда элементы д,... ,д являются групповыми. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Элемент с молено записать в виде: ( , то \Л 3 где ос\, - »ota Є Я" и Ь Є -ftTJ.T-S n]. При этом, если 7[" = т етп _ і -?1 Зт \ . Заметим, что Л Зт ) rank (6em) га. Рассмотрим произведения сет и етсёт. Имеем: сет = І а{(дГет) +Ьет = ± аі9? + Ьет, і=1 і=1 emcem = Ог(ет ет) + em6em = а4(етуП + em&e г=1 s=l При этом rank (сеш) = га и rank(embem) rank(6em) га. Так как с Є C{K[ISn]) и ет = етет, то сет = сетет = етсет. Тогда rank (етсет) = т. Следовательно, г=1 г =1 Тогда {д?; ...;д?} = {етд?;...; етд}. Значит, rank (етд) = m, t = 1,..., s. Учитывая, что дет = д для всех і = 1,..., s, то rank (етд ет) = m, г = 1,..., s. По следствию 9 получаем, что все элементы 7i\ .., 7 являются груп повыми. Следствие 10. Пусть с — центральный элемент кольца K[ISn] ранга т 0. Тогда все элементы ранга т из supp (с) являются групповыми. Лемма 22. Пусть с — центральный элемент полугруппового кольца K[ISn] и h — негрупповой элемент полугруппы ISn. Тогда сумма всех коэффициентов при элементах из supp (с), для которых h является их составной частью, равна нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Кл Ко. ... fci / Пусть h = ,. Так как h — негрупповой элемент, то к1\ І2 ... U {ki; k2\...; km} ф {h; Z2;...; lm}. Пусть элемент с записан в виде: t с = Y, ai9i + b,
Строение центральных элементов полугруппового кольца K[IS3]
Целью данной работы является выяснить строение центров полугрупповых колец над полугруппами ISn и 10п над произвольным кольцом с единицей характеристики 0. Теория полугрупповых колец имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами. Исследования полугрупповых колец ведутся во многих направлениях: полупростота полугруппового кольца относительно того или иного радикала; наличие или отсутствие особых элементов колец; строение идеалов того или иного типа. Одним из направлений является исследование строения центров полугрупповых колец. Изучением строения центров полугрупповых колец занимались такие математики, как Потемкин Л.В., Руколайне А.В., Понизовский И.С., а также Crabb J.N., Munn W.D. и другие. В исследованиях по строению полугруппового кольца необходимо обращать внимание на строение основного кольца и на строение полугруппы, над которой рассматривается данное полутрупповое кольцо. Даже отсутствие большого числа центральных элементов полугруппы не гарантирует тривиального строения центра самого полугруппового кольца. Это сочетание теории полугрупп и классической теорией колец, а также ее приложения в современных отраслях знаний (например, этому посвящены работы А.В. Келарева) вызывает неподдельный интерес к теории полугрупповых колец и, в частности, к данному направлению исследования. Строение центра полугруппового кольца в большей мере определяется строением самой полугруппы. Поэтому авторы работ по данной теме ограничиваются исследованиям центров полугрупповых колец над "более простыми" полугруппами. В работах Понизовского И.С. (в частности [27]) исследуется вопрос о строении центров полугрупповых колец над инверсными полугруппами, в частности над инверсными полугруппами с конечным числом идемпо-тентов. Известен результат о строении центра полугруппового кольца над би-циклической полугруппой ([17], proposition 19.40). В работе [6] этот результат обобщается на полугруппу Рейли. Ряд работ Krempa J. были также направлены на исследование центров полугрупповых колец (работы [20] и [21]). Особую роль в изучении строения центров полугрупповых колец сыграли, так называемые, идемпотенты Руколайна А.В. (работы [30], [31], [32]). В работах [28] и [29] дается описание центра полугруппового кольца над полугруппами всех преобразований и частичных преобразований конечного мноясества X.
Предложенные формулы строения центрального элемента имеют большую теоретическую значимость, но для практического применения достаточно сложны (даже для малых рангов центральных элементов или определенного типа элементов полугруппы, например, групповых). В данной же работе показывается, какими свойствами должны обладать элементы из носителя и коэффициенты центрального элемента полугруппового кольца над полугруппой ISn и ее подполугруппами, в частности полугруппой 10п. Обозначения и часть терминологии, используемых в работе, взяты из работ [18] и [19]. В качестве методов исследования используются некоторые общеполу-групповые и общекольцевые методы, а так же методы комбинаторной алгебры. Данная работа. посвящена полугрупповыми кольцам над полугруппой ISn всех (возможно частичных) инъективных отображений конечного множества N = {1;2; ...;п} в себя и над подполугруппами полугруппы ISnr в частности над полугруппой Юп всех (возможно частичных) инъ ективных отображений конечного множества в себя, которые сохраняют естественный порядок на множестве N. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация теорем, лемм и примеров общая внутри всей работы. В главе 1 даются определения полугруппового кольца над произвольной полугруппой с единицей, центра кольца и центра полугруппы; вводятся обозначения supp () и coef () для носителя и множества коэффициентов элемента из полугруппового кольца; рассматриваются определения элемента полугруппового кольца с групповым и смешанным носителями; формулируются и доказываются теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия центральности элемента полугруппового кольца. Леммы и теорема 1 параграфа 1.2 не раз будут использоваться в доказательствах теорем других параграфах. Параграф 1.3 посвящен тривиальным полугрупповым кольцам, в котором дается соответствующие определение и приводятся примеры таких колец. В главе 2 в параграфе 2.1 дается определение полугруппы ISn; вводится понятие ранга и обозначения dom() и im() для элемента из lSn. Большую роль в дальнейшем играют групповые элементы полугруппы ISn. В связи с этим рассматриваются леммы 7 и 8. В параграфе 2.2 доказывается, что центр полугруппы ISn состоит лишь из тождественного и нулевого отображений множества N. В доказательствах того, что элементы из полугруппового кольца над полугруппой ISn некоторых видов являются центральными будут использованы комбинаторные методы (см. параграфы 2.5, 2.6 и 2.7). Поэтому отдельным параграфом идет материал, связанный с количественными характеристиками полугруппы ISn В параграфе 2.4 даются определения полутруппового кольца K[ISn] и ранга элемента из этого кольца. В дальнейшем рассматриваются кольца К характеристики 0 и с единицей. В параграфах 2.5 и 2.6 приводятся примеры центральных элементов полу группового кольца K[ISn]: с групповым носителем (носитель состоит
