Содержание к диссертации
Введение
1 Алгебраическая классификация физических структур большого ранга 14
1.1 Некоторые факты из теории билинейных форм 14
1.2 Аксиоматика и формулировка теорем 15
1.2.1 Базовая система аксиом 16
1.2.2 Следствия базовых аксиом 18
1.2.3 Формулировка теорем 22
1.3 Доказательство теорем 25
1.3.1 Предварительные леммы 25
1.3.2 В М есть нуль, в Я есть нуль. Доказательство теоремы 1.5 31
1.3.3 В М есть нуль, в Я нет нуля 42
1.3.4 В М нет нуля, в Я нет нуля 57
2 Тополого-алгебраическая классификация физических структур больших рангов 78
2.1 Предварительные сведения из топологической алгебры . 78
2.2 Аксиоматика и формулировки теорем 79
2.3 Простейшие следствия аксиом и сведение к алгебраическому случаю 85
2.4 Вид функции F 88
2.5 Топологизация 91
3 Структуры ранга (n + 1,2) 96
3.1 Классификационные результаты для n-транзитивных непрерывных групп преобразований 96
3.2 Аксиоматика физической структуры ранга (n + 1,2) и формулировка классификационной теоремы 98
3.3 Предварительные леммы 100
3.4 Групповая структура на U 102
3.5 Классификация 108
Приложение
- Аксиоматика и формулировка теорем
- В М есть нуль, в Я есть нуль. Доказательство теоремы 1.5
- Простейшие следствия аксиом и сведение к алгебраическому случаю
- Аксиоматика физической структуры ранга (n + 1,2) и формулировка классификационной теоремы
Введение к работе
Данная работа посвящена алгебраическим аспектам и приложениям принципа феноменологической симметрии. Дадим сначала его общее описание.
Первоначально понятие феноменологической симметрии было введено в 1960-х годах Ю. И. Кулаковым [7]—[10] как основная идея его теории физических структур. Общее содержание этого понятия можно выразить следующим образом. Пусть даны множества Л4, Л/", R произвольной природы, связанные отображением (,) : MxN — R (репрезентатором, или, как мы будем его называть, биформой), описывающим взаимодействие элементов множеств М, М. Задаются, кроме того, два натуральных числа т и п — позднее будет видно, что они описывают размерность (в некотором смысле) множеств М. и N
Аксиоматика и формулировка теорем
Согласно классификационным теоремам, на R можно задать посредством биформы структуру тела так, чтобы М и Я были, соответственно, m-мерным левым и п-мерным правым линейными пространствами над этими телами, а(,) задавалась одной из формул (1,2.1)-(1.2.4). (Отметим, что формула (1.2.4) для биформы появлялась ранее, как пример, в работе А. А. Симонова [24]. Им была указана связь обобщенного матричного умножения (см. раздел 2.4) для этой биформы с обычным матричным умножением и исследована обратимость матриц относительно него.) При выполнении аксиомы нулей (,) будет невырожденной билинейной формой, задающейся формулой (1.2.1).
В разделе 1.3 проводится доказательство классификационных теорем. В подразделе 1.3.1 доказываются простые предварительные леммы и устанавливается разбиение хода дальнейших рассуждений на три случая: случай выполнения аксиомы нулей (наличия нулей в М и Л/"), случай наличия нулей в М и отсутствия в N (ему симметричен случай наличия нулей в Л/ и отсутствия в М) и случай отсутствия нулей в М и N. Первый из этих случаев разбирается в подразделе 1.3.2, второй — в подразделе 1.3.3, последний — в подразделе 1.3.4.
В главе 2 топологизуются результаты главы 1: дается аксиоматика непрерывной физической структуры (Л4,Л/", .R, (,)) ранга (n + l,m + 1), п, т 2, и для ранга, отличного от (3,3) проводится их классификация. В разделе 2.1 приводятся факты из топологической алгебры, необходимые для дальнейшего изложения. В разделе 2.2 дается аксиоматика пепрерывной физической структуры и формулируются классификационные теоремы. Первая из них утверждает, что для непрерывной физической структурой ранга (п + 1,т + 1), отличного от (3,3) (при п, т 2) на R можно задать посредством биформы структуру тела, согласованную с топологией. При этом М и N будут, соответственно, левым m-мерным и правым n-мерным топологическими векторными пространствами наді?, а биформа будет задаваться одной из формул (1.2.1)-(1.2.4) главы 1. Вторая теорема дает выражение биформы в соответствии с уже заданной на R структурой топологического тела вещественных чисел, комплексных чисел или кватернионов.
В разделе 2.3 выводятся простые следствия из аксиом непрерывной физической структуры и показывается, что каждая такая структура будет (абстрактной) физической структурой в смысле главы 1, что дает возможность применить к ним соответствующую классификационную теорему. В разделе 2.4 приводятся результаты А. А. Симонова [24], связанные с введенной им концепцией обобщенного матричного умножения, и построенный им явный вид функции F из аксиомы ТІ (близкая к которой была сформулирована им в [24]). В разделе 2.5 проводится топологизация результатов предыдущих двух разделов и завершается доказательство классификационных теорем.
В главе 3 дается аксиоматика непрерывной физической структуры (М,М, Д, {,)) ранга (п+1,2), строится соответствие между ними и точнотг-транзитивными непрерывными группами преобразований топологического пространства R и дается вид соответствующих биформ. В разделе 3.1 приводятся известные классификационные результаты для п-транзитивных непрерывных групп преобразований, необходимые для дальнейшего изложения. В разделе 3.2 дается аксиоматика непрерывной физической структуры ранга (n + 1,2) (немного отличающаяся от аксиоматики структур больших рангов, данной в главе 2) и формулируется классификационная теорема, указывающая для них, в случае ранга, отличного от (2,2), вид 13 биформы (случай ранга (2,2) разобран ранее В. К. Иониным [5] в алгебраическом (абстрактном) варианте, его топологизация тривиальна).
В разделе 3.3 доказываются предварительные леммы, являющиеся перс-несением в рассматриваемую ситуацию нужных нам утверждений из глав 1 и 2. В разделе 3.4 заданной физической структуре приводится в соответствие точно п-транзитивная непрерывная группа U преобразований R. Отмстим, что алгебраическая часть этого результата (без предположения непрерывности физической структуры и вывода о непрерывности ; говоря более строго, результат, сформулированный в предположении дискретности топологии на R) принадлежит А. А. Симонову [33], в то время как все его топологические аспекты — автору настоящей работы. Симонову принадлежит, таким образом, предложение 3.1 и дискретная часть предложения 3.3, автору диссертации — предложение 3.2 и непрерывная часть предложения 3.3. В разделе 3.5 выводится явное выражение для биформы. В подразделе 3.5.1 разбирается случай п = 3, в подразделе 3.5.2 — случай п = 4. Случай п 5 невозможен.
В М есть нуль, в Я есть нуль. Доказательство теоремы 1.5
Условие наличия нуля в М. и в N совпадает с аксиомой АО. В этом подразделе мы будем доказывать не теорему 1.4, а теорему 1.5, предполагающую, помимо выполнения аксиомы АО, более слабые требования на т и п и ослабленную версию аксиомы A3. В связи с этим все проводимые здесь рассуждения будут применимы также и к условиям теоремы 1.4, и дадут, как мы увидим из дальнейшего, исчерпывающий разбор того случая этой теоремы, когда в М и в N есть нуль, несмотря на ослабление других условий. ИнтерПОЛЯЦИЯ фуНКЦИЙ ИЗ UMi UN М и N в дальнейших рассуждениях равноправны, поэтому мы будем доказывать все утверждения, рассматривая М как основное множество; при этом утверждения, в формулировке которых М. и N меняются ролями, также будут верны. Отметим прежде всего наличие в Я выделенного ("нулевого") элемента. Предложение 1.6. В R можно найти такой элемент О, а в М. иМ — такие элементы ZQ UUJQ, соответственно, что (ZQ,CX) = О для всех а Є N и (г, wo) = О для всех г Є М. Элементы О Є R, ZQ Є М, WQ Є М, удовлетворяющие данным соотношениям, единственны. Доказательство. Пусть ZQ, UJQ — некоторые нулевые элементы множеств М и ЛГ, соответственно. Тогда для произвольных і Є М,а Є Af вы полняется (ZQ,O) = {ZQ,UJQ) — (i,u o). Обозначив (ZQ,WQ) — О, полу чаем первую часть доказываемого утверждения. Предположим теперь, что некоторый z 0 Є М. также удовлетворяет условию предложения. Но (Z Q, UJQ) = (ZQ, UJQ) = О, и тогда (z 0, а) — О для всех а Є ЛЛ Из невырожден ности (,) теперь следует Z Q = ZQ. Аналогично доказывается единственность Ч)- Отметим, что элемент О имеет одинаковый смысл для пространств М. и J\f, поэтому далее мы будем формулировать утверждения с участием нуля только для М. Будем далее обозначать нулевые элементы М и N как го и ц, соответственно. Будем обозначать R\ {0} — R . Мы видим теперь, что в М. [0] = {zo}, и = {О}. Обозначим М \ {ZQ} = М+; вообще, если L С М, обозначим L \ {ZQ} = L+. В дальнейших рассуждениях фиксируем произвольный элементе Є R . Предложение 1.7. Пусть а, г Є R, а ф О. Тогда существует единственная функция и Є UlM, такая, что и(а) = г. Доказательство. Покажем существование.
Пусть а, г Є R, а ф О. Возьмем элемент а Є TV с дуальными координатами (a, 0,...,0). Поскольку а ф О, а невырожден, и по аксиоме A3 найдется такой і Є Л4, что (г,а) = г. Тогда /[г](а,О,... ,0) = U[i]((Z,a)) = (г,а) = г, и для и = Oi(U[i]) получаем требуемоеи(а) = г. Покажем единственность. Пусть и,и Є UlM удовлетворяют усло вию предложения. Возьмем элемент j М. с дуальными координата ми (a,0,...,0). Обозначим і — V [u], і = V(j)[w ]. Тогда (мы поль зуемся леммой 1.9) (г,Г2) = (и(а),и(0),... ,и(0)) = (г,0,... ,0) = (и (а), и(0),..., и(0)) — (г , О), откуда, ввиду предложения 1.2, і = і . Тогда u((j, а)) = (і, а) — (і , а) — u ((j, а}) для любого а Є Я. При этом, поскольку а Ф О, j невырожден, и (j, а) для различных а Є Я будет, вви ду аксиомы A3, принимать полный набор значений из R, откуда следует Предложение 1.8. Пусть і Є М, j Є [г]. Тогда найдется такая и Є UlM, что для всех а Є Я выполняется (j, a) = u((i, а)) Иными словами, U [j) будет лежать в UlM. Доказательство. Обозначим (г,П) = (а\,...,ат), (j,Q) = (bi,...,bm). В силу леммы 1.6 нам достаточно найти функцию и Є Uj , такую, что и(ая) = bq, q = 1,...,т. Случай вырожденного і нам не интересен (тогда j тоже вырожден, и за и берется тождественно нулевая функция и = Р2([/[го])), поэтому далее мы можем считать, что не все aq (q = 1,..., т) равны нулю. Без ограничения общности можем полагать а\ ф О. Тогда, согласно предложению 1.7 (точнее, дульному к нему утверждению), для q — 2,...,т найдутся такие функции uq Є U\[, что aq = uq(a\). Если функция v : R — R такова, что (j,a) = v((i,a)), для всех а Є Я (ее существование следует из j [г], согласно определению зависимости; мы не предполагаем здесь v Є Uj ), то при подстановке на место а элементов и)\,..., шт получаем bb = v(at), t = 1,..., т. Тогда, пользуясь предложением 1.4, получаем bq — v(aq) = v(uq{a\)) = ug(v(cii)) = uq(bi), q = 2,...,m. В качестве и возьмем (существующую, согласно предложению 1.7) функцию из /д4, удовлетворяющую условиюи(а\) = Ь\. Для q = 2,..., т теперь имеем: u(aq) = u(uq(ai)) = uq(u(a\))) = uq(b\) = bq, что нам и требовалось. Лемма 1.10. Пусть і Є М, і Є [г ] невырождены, и = ЩІ )[І] (и Є UlM по предложению 1.8). Тогда отображениеи : R-+ R биективно, и найдется такая и Є Uj , что отображение и : R — Я является обратным, к отображению и. Иными словами, выполнено условие У1 для к = \. Доказательство. Пусть u((if,Ct)) — (ai,...,am). Тогда (ai,...,am) = (и((і ,иі)),...,и((і\шт))) = {{і,иі),...,(і,ит)) = (і,П). Поскольку і невырожден, не все элементы изт-ки (г, О) равны О. Без ограничения общности мы можем считать а\ О. Зададим, пользуясь предложением 1.7 функцию и Є Upi таким образом, чтобы и (а\) = (і\ш\). Согласно предложению 1.2, и о и = v для некоторой v Є UXM. При этом v{a\) = u((i ,uJi)) = ai, откуда, в силу утверждения единственности пред ложения 1.7, v = id, что и требовалось. Следствие 1.2. Пусть и Є Uj , и не является тождественной функцией. Тогда и обратима, и обратная ей функция также лежит в UlM. Доказательство. Беря г1 = Z\ (он невырожден, например, в силу аксио мы А2), і — V(2l)[tt], мы получаем, что и — U )[i \, и элементы і,г удовле творяют условиям леммы. Требуемое нам утверждение теперь следует из утверждения леммы.
Простейшие следствия аксиом и сведение к алгебраическому случаю
Выведем некоторые следствия из приведенных выше аксиом. В рассуждениях этого раздела не будут использоваться аксиомы АО, A3, поэтому они проходят в условиях как теоремы 2.4, так и теоремы 2.6. Предложение 2.1. Для любого І Є Вм отображение (/, ) : N — Rn открыто. Для любого 21 Є В отображение (, 21) : М — Rm открыто. Доказательство. Докажем, например, первое утверждение. Нам достаточно показать, что открыты образы всех элементов некоторой открытой базы топологии пространства Л/". Предбаза рассматриваемой нами топологии состоит из всех множеств вида 7т"1 (/7), j Є Л4, U — открытое подмножество R. Пусть n W),..., {Uk), где (jb ... ,jk) = J Є Mk, Uh..., Uk - открытые подмножества R, есть некоторый конечный набор элементов пред-базы. Рассмотрим некоторый , 1 t к. Фиксируем какую-нибудь базу 21 Є Ддл Из аксиомы ТІ получаем тогда, что для любого а Є TV выполняется (jt, a) = F((jt,21), (1,21), (I, a)) = ut((I, а)) (при любом фиксированном jt). При этом щ : Rn — R определена на всем Rn, ввиду аксиомы А2 , и непрерывна, ввиду непрерывности F. Через и : Rn — Rk обозначим декартово произведение отображений щ,... ,ик : Rn — R. Из построения следует, что и определено на всем Лп, непрерывно, и для любого а Є jV верно u((/, a)) = {J,а). Тогда тгДтгТ1 ) n---mr-l(Uk)) = {(1,а), аеМ : 0 ъ ) Є Щ,... ,{jk,a) Є Uk} = u l(U\ x x [/ ), то есть открыто в Rn, ввиду непрерывности и. Та ким образом, мы доказали, что7Г/ переводит любое множество из открытой базы N в открытое множество из Rn, что нам и требовалось. Лемма 2.1. Вм всюду плотно в Мп, Bj f всюду плотно в Мт. Доказательство. Докажем, например, первое утверждение. Заметим, что для произвольной базы 21 Є В отображение (, 21) : Мп — Rnm (декартова степень отображения 7Г21) открыто и взаимнооднозначно.
Открытость следует из предложения 2.1, сюръективность — из аксиомы А2 . Для доказательства инъективности предположим, что для каких либо і,і М (г, 21) = (г , 21). Тогда из аксиомы ТІ получаем (i, а) = F{(i,21), (I, 21), (/, a)) = F((i ,21), (/, 21), (/, а» = (г , а) для произвольных а. Є TV, откуда, ввиду аксиомы невырожденности, г = г . Итак, мы показали открытость и взаимнооднозначность отображения (,21) : Мп — Rnm. Поэтому обратное к нему непрерывно и взаимноод- нозначно, и Вм, как образ всюду плотного в Rnm (согласно аксиоме Т2) множества (Вм, 21) при таком отображении, само всюду плотно вМп. Ана логично, B/j- всюду плотно в J\fm. Предложение 2.2. Пусть І Є Вм, Г Є Мп, г, ї Є М, 21 Є Вдг, 21 Є АЛ", а,о/ Є Л/". Яусть (/,21 ) = (/ ,21), (г ,21) = (г,Я ), (/,а/ = (/ , ). ТЬгЛі (г ,а) = (г, У). Доказательство. Выведем теперь требуемое утверждение из аксиомы ТІ предельным переходом по базам. Пусть І Є Вм, г Є 7W, 21 Є Вдг, а Є Л/", / Є Лчп. Пользуясь доказанной в лемме 2.1 всюду плотностью Вм, построим для Г последовательность элементов Вм, пределом которой он является: / = lim oo I k, где все I k Є Вм- Для каждого I k можно (согласно аксиоме А2 ) построить такой 21 Є АЛ", что (/,21) = (/,21).
После этого строятся а к Є Л/": (/,а ) = (4, а) и z fc Є Л4 : (zj.,21) = (г,2Щ. Тогда из аксиомы ТІ следует (і к,а) = (i,ak). При фиксированном а отображение (, а) : Л4п — І?" будет непрерывно как произведение п непрерывных отображений (, а) : М. — R. Аналогично, непрерывным будет отображение (, 21) : Мп — Rnm. Тогда (/ , a) = limjfc oo (Гк, а), (/ ,21) = lim , (I k,21). Как уже отмечалось нами в начале доказательства, отображение 7Г/ (там речь шла о 7ГЯ, что принципиально ничем не отличается) обратимо, и обратное к нему отображение (обозначим его //:/?"— Л/") определено на всем Rn и непрерывно. Отсюда a = fj((I,a )) = //((/ ,«)) = //(Шщ-кх, (/, )) = lim - //((/, a)) = limjfe-.oo //((/, с«4)) = Нт оо і-Аналогично получается 21 = Іііщ-юо 21 . Тогда (г, 21 ) = lim oc (г, 21 ). Из этого, как и выше, выводим і = 1ігщ_ ос - В силу хаусдорфовости ймы можем теперь перейти к пределу в обеих частях (следующего из аксиомы ТІ) равенства (i k,a) = (і,схк), получая требуемое (i\a) = (hot1). П Фиксируем некоторые базы Z є Вм и О Є Д\г- Будем рассматривать для них наборы функций UM И Utf, определенные, как в главе 1 (и соот- ветствующие этим наборам операторы). Отметим, что, поскольку выполняются аксиомы А1 (фактически сформулированная в предложении 2.2) и А2, будут выполнены и утверждения следующих из них аксиом А4, А5 и А6 (предложения 1.1-1.3). Мы получаем, таким образом, что из условий теоремы 2.4 вытекают условия теоремы 1.4, а из условий теоремы 2.6 — условия теоремы 1.5. Мы зафиксируем далее операции -Ьи-, задаваемые в ходе доказательства теорем 1.4, 1.5, а также наборы Z є Лчп, ft Є Ят, упоминаемые в их утверждениях.
Аксиоматика физической структуры ранга (n + 1,2) и формулировка классификационной теоремы
Рассмотрим многоосновную алгебраическую систему (M,Af,R, (,)), где Л4,М — произвольные множества, і? — хаусдорфово локально компактное, связное топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, (,) : М. хМ — R — отображение, называемое биформой. Будем предполагать, что биформа удовлетворяет условию невырожденности в его обычном смысле. Пусть задано натуральное число п. Обозначим за Rn С Rn множество всех таких п-ок элементов R, все элементы в каждой из которых попарно различны. Обозначим за Дуй Я Мп множество всех п-ок элементов М, все элементы которых попарно различны. Определение 3.3. Будем говорить, что система (Л4,М, Q,R) является непрерывной физической структурой ранга (п + 1,2), если она удовлетворяет, кроме условия невырожденности биформы, следующим аксиомам TV, АГ. Аксиома ТІ Существует такая функция F : R х Rn х Rn — R, определенная и непрерывная на подмножестве R х Rn х Rn, что для всех / Є Дм, і Є М, ЯІ Є Длл а Є Л/" выполнено (г, а) =Я(гД), /, ), /, а)). Аксиома А2" Для любого элемента а Є N и любого г ей найдется такой і М, что (г, а) = г. Для любой п-ки / Вм и любой n-ки г Є Rn найдется такой а Є Л/", что (/, а) = г. Зададим на М и N топологию таким же образом, как в разделе 2.2 — как минимальную, в которой биформа раздельно непрерывна. Теорема 3.4. Для любой непрерывной физической структуры (M,N,R,d)) ранга (п + 1,2), п 2, выполняются следующие утверждения. 1. Ранг структуры должен принимать одно из значений (3,2), (4,2). 2. ДЛЯ произвольных Z Є Вм, со Є N отображения (Z, ) : N — Rn и (-,ш) : М — Л будут гомеоморфизмами (далее в формулировке теоремы также считаем Z Є л со Є N произвольными). 3.
В случае ранга (3,2) найдется такой гомеоморфизм ср : R — Т, гдеТ — топологическое пространство вещественных чисел Ш, комплексных чисел С или кватернионов Ш, что будет иметь место одно из следующих тождеств, выполненное для любых і Є М, а Є N (обозначаем (i, tu) = х\, (Z,a) = (1, 2), + и — обычные сложение и умножение в соответствующих топологических телахТ): . 5 случае ранга (4,2) найдется такой гомеоморфизм ср : Я — Т (где Г — это вещественная проективная прямая RP\ = R U {00} или СР\ = С U {oo}j, что для любых г Є .М, а Є N где х\ = (і,со), (і,2»з) — (Z,a), а, Ъ, с, d — такие элементы Т, что дробно-линейное преобразование у(х) — d переводит упорядоченную тройку точек (0,1,оо) в ( / (&), Замечание 3.1. Все представленные в данной классификации структуры могут быть построены. Отметим, что случай ранга (2,2) был разобран В. К. Иониным [5] без требования согласованности биформы с какой-либо топологией на і?. Приведем соответствующий результат для полноты изложения. Теорема 3.5. Пусть (M,J\f,R,{,)) — многоосновная алгебраическая система, удовлетворяющая аксиомам невырожденности биформы, ТІ (без требования непрерывности F), А2 (с рангом (2,2)). Тогда для произвольных элементов z М, CJ Є N мы можем так задать на R структуру группы с единицей е = (Z,UJ), что для любых гЄМ, aeAf Функция F при этом представляется для произвольных x,y,z Є R в виде Из наличия топологии на Л и требования непрерывности F в аксиоме ТІ тогда будет сразу следовать согласованность операции в группе R с топологией — достаточно подставить в выражение для F в теореме 3.5 Фиксируем некоторые элементы Zi,...,zn М, такие, что Z = (z\,...,zn) Є Мп, и элемент и еМ. Лемма 3.1. Для всех І Є Вм ос Е. М отображения (I,-) : N — Rn, (,а) : М — R биективны. Доказательство.
Сюръективность данных отображений составляет содержание аксиомы А2". Покажем инъективность отображения (/, ) для фиксированного І Є Вм- Действительно, если найдутся такие а, а Є М, что (г, У), откуда, ввиду невырожденности биформы, следует а = а , что да ет инъективность (і,-). Аналогично получается и инъективность (-,а) для любого а Є N. Покажем, что для нашей системы будет выполняться аксиома А1 главы 1. Лемма 3.2. Пусть Г Є Мп, і, г Є М, а,а ,р Є Я. Пусть (Z,(3 ) = {Г,и), (і ,ш) = (г,/? ), (,07) = (/ ). Тогда (г ,а) = (і,а ). Доказательство. Заметим, что (Z, /5 ) Є i?n, поскольку все элементы mZ попарно различны, а отображение (/, ) инъективно. Теперь если для неко торых Г Є Мп, /З Є Л/" выполнено (Z, /? ) = (/ , со), то, ввиду биективности (-, ), должны быть различными и элементы из / , и поэтому / Є Вм- Теперь доказываемое утверждение является тривиальным следствием ак- сиомыТГ: (г» = F((i», (/», (Г,a)) = F((t,/У), (2,/7),( )) = Определим так же, как и в главе 1, отношение зависимости наЛА и связанный с ним набор функций С/дг = Ujj. Далее будем обозначать просто [//V = U. Поскольку отображение (-,CJ) сюръективно, каждая такая функция определена на всем R. Дословно повторяя доказательство предложения 1.2 (опирающееся на аксиому А1), получаем следующее утверждение.
