Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения о специальных алгебрах Ли 35
1.1 О свойствах присоединенной ассоциативной алгебры . 35
1.2 Операции над специальными многообразиями 43
1.3 Связь между свойствами алгебры Ли и ее Р/-оболочки 52
1.4 Косые полугрупповые алгебры 61
2 Первичный радикал алгебр Ли 72
2.1 Первичные специальные алгебры Ли 73
2.2 О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли 79
2.3 Верхний и нижний слабо разрешимые радикалы алгебр Ли 83
2.4 Первичный радикал специальных алгебр Ли 95
3 Локально нильпотентный радикал специальных алгебр Ли 103
3.1 Наибольший локально нильпотентный идеал специальных алгебр Ли 103
3.2 Локально нильпотентный радикал 114
4 Приложения теории первичного радикала 130
4.1 Артиновые и нетеровы специальные алгебры Ли 130
4.2 Об использовании первичного радикала в теории многообразий алгебр Ли 140
4.3 Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры 145
4.4 О радикале для групп 155
4.5 Первичный радикал специальных супералгебр Ли . 163
5 Центроид Мартиндейла и инъективные оболочки модулей 177
5.1 Центроид Мартиндейла полупервичных алгебр Ли . 177
5.2 Существование инъективной оболочки 182
5.3 Об эпиморфизме инъективных оболочек 186
Литература 188
Предметный указатель 200
- Операции над специальными многообразиями
- О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли
- Локально нильпотентный радикал
- Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры
Введение к работе
Тема диссертации относится к изучению структуры абстрактных алгебр Ли. Это направление является актуальным. Написаны сотни работ, изучающих структурную теорию алгебр Ли с разных точек зрения.
В настоящий момент не существует удовлетворительной структурной теории для всех классов алгебр Ли. Создание структурной теории предполагает наличие хорошего радикала, хоропіее описание фактора по радикалу и получение ряда результатов, описывающих отдельные классы алгебр.
Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А.Парфеновым [39]. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.
В.А.Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли. Для дальнейшего развития структурной теории хотелось бы найти аналоги ряда теорем, справедливых для конечномерных алгебр Ли. Для класса всех алгебр Ли этого сделать не удалось.
В 1963 г. В.Н.Латышев ввел новый класс алгебр Ли [32], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.
Скажем, что алгебра Ли L специальная или *5Р/-алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в А^ как алгебра Ли, где А^ - алгебра Ли, заданная на Л с помощью операции коммутирования [х, у] = ху — ух.
При исследовании специальных алгебр Ли нужно было решить вопрос: представляет класс этих алгебр многообразие или нет? Для этого требовалось ответить на вопрос: будет ли гомоморфный образ
специальной алгебры Ли специальным? - который был поставлен В.Н.Латышевым [32].
Исследования в этом направлении были проведены Ю.А. Бахтури-ным [54], автором диссертации [87] и Ю.В.Биллигом [10]. В частности, автор диссертации показал, что присоединенная ассоциативная алгебра AdL специальной алгебры L является Р/-алгеброй - теорема 1.1.1 [87]. Из этого следует, что фактор специальной алгебры Ли по центру является специальной алгеброй Ли.
Для свободной алгебры многообразия алгебр Ли над полем характеристики нуль справедливо также обратное утверждение - теорема 1.1.2 [87]. Используя теорему 1.1.2 Ю.В.Биллиг дал отрицательный ответ на вопрос о гомоморфном образе специальной алгебры Ли [10].
Следующий класс алгебр образует многообразие и является обобщением специальных алгебр.
Назовем алгебру Ли L обобщенно специальной, если ее присоединенная ассоциативная алгебра является PI-алгеброй.
Для обобщенно специальных алгебр Ли можно построить хорошую структурную теорию.
В диссертации рассматриваются различные аспекты структурной теории обобщенно специальных алгебр Ли.
Остановимся подробнее, на содержании отдельных глав.
В 1 главе рассмотрены свойства алгебр Ли, лежащих в специальном многообразии, и рассмотрены некоторые важные конструкции.
В разделе 1.1 доказана следующая теорема.
Теорема 1.1.1 ([87]). Пусть L - специальная алгебра Ли. Тогда AdL - РІ-алгебра.
Ю.А.Бахтуриным было показано, что если алгебра Ли L лежит в специальном многообразии, порожденном специальной алгеброй Ли G, то алгебра AdL лежит в многообразии, порожденном алгеброй AdG [8].
Это утверждение следует из того, что любое тождество в алгебре AdG может быть записано как система лиевых тождеств алгебры G.
Следовательно, у всех алгебр L, лежащих в специальном многообразии, присоединенная алгебра AdL является Р/-алгеброй.
При доказательстве результата Ю.А. Бахтурина о том, что подмногообразие специального многообразия над полем характеристики нуль является специальным [8], используется следующая теорема, принадлежащая автору диссертации.
Теорема 1.1.2 ([87]). Пусть L - свободная алгебра Ли некоторого многообразия ШТ над полем F характеристики нуль, Z(L) - центр этой алгебры и L/Z(L) - специальная алгебра Ли. Тогда L также является специальной алгеброй Ли.
В разделе 1.2 рассматриваются операции над многообразиями.
Ответ на вопрос о том, когда произведение и коммутатор специальных многообразий являются специальным многообразием, полезен при построении примеров обобщенно специальных алгебр Ли.
Приведены следующие теоремы.
Теорема 1.2.1 Пусть F - поле характеристики нуль. Произведение многообразий алгебр Ли 9Л91 является специальным тогда и только тогда, когда 91 - многообразие абелевых алгебр, a 9DT - ниль-потентных алгебр ограниченной степени.
Теорема 1.2.2 Пусть F - поле характеристики нуль. Коммутатор многообразий алгебр Ли [DJI, УХ] является специальным тогда и
только тогда, когда *У1 - многообразие абелевых алгебр или тривиальное многообразие, состоящее из нулевой алгебры, а 9Л - специальное многообразие (возможно ffll и 91 меняются ролями).
Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 были получены Бахтуриным Ю.А. и автором диссертации независимо [5], [97]. Эти результаты были доложены на летней школе по многообразиям в Барнауле, 1981 г.
При изучении строения специальной алгебры Ли полезно изучить возможные вложения алгебры Ли в ассоциативную Р/-алгебру. Этому вопросу посвящен раздел 1.3.
Интересно изучить связь такого свойства специальных алгебр Ли и их Pi-оболочек как первичность.
Теорема 1.3.2([101]). Пусть L - специальная алгебра Ли.
Если L первичная, тогда у нее существует первичная Р1-оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.
У простой специальной алгебры Ли существует простая PI-оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.
Теорема 1.3.2 получена совместно с К.И.Бейдаром.
Теорема 1.3.2 вызывает следующий вопрос: будет ли присоединенная алгебра AdL первичной специальной алгебры Ли первичной? Отрицательный ответ на него дает пример 1.3.1 специальной алгебры Ли над полем характеристики 3.
Для поля нулевой характеристики ответ на вопрос положительный.
Теорема 2.1.7 Присоединенная алгебра AdL первичной специальной алгебры Ли L над полем характеристики нуль является первичной ассоциативной Р1-алгеброй.
В разделе 1.4 рассматриваются косые полугрупповые алгебры.
Дано определение косой полугрупповой алгебры Ли.
Получены достаточные условия, при выполнении которых, косая полугрупповая алгебра Ли является специальной алгеброй Ли.
Построен пример специальной первичной артиновой бесконечномерной алгебры Ли и примеры косых полугрупповых специальных алгебр Ли, удовлетворяющих различным условиям.
Во второй главе изложена теория первичного радикала обобщенно специальных алгебр Ли.
В разделе 2.1 рассмотрены первичные алгебры Ли.
Приведены формулировки теорем Капланского [47], Познера [68] и Размыслова о ранге [45]. Рассмотрены их следствия, относящиеся к специальным алгебрам Ли.
В разделе 2.2 дано отрицательное решение проблемы Р. Амайо и И. Стюарта [50]: приведен пример алгебры Ли над полем, в которой сумма двух локально разрешимых идеалов не является локально разрешимым идеалом. Результаты этого раздела получены совместно В.Н. Латышевым, А.В. Михалевым и автором диссертации.
В разделе 2.3 рассмотрены общие свойства первичного и слабо разрешимого радикала, справедливые для произвольных алгебр Ли. Результаты этого раздела получены совместно с А.В. Михалевым и А.Ю .Голубковым.
Введены понятия верхнего и нижнего слабо разрешимого радикалов.
Показано, что первичный радикал совпадает с нижним слабо разрешимым радикалом.
В качестве приложения полученных результатов доказано, что первичный радикал нетеровой алгебры Ли над полем является разрешимым (теорема 4.1.3).
В разделе 2.4 рассматриваются свойства первичного радикала для обобщенно специальных алгебр Ли. Результаты раздела 2.4 получены совместно с К.И.Бейдаром.
Показано, что для обобщенно специальных алгебр Ли первичный, слабо разрешимый и локально разрешимый радикалы совпадают. Первичный радикал обобщенно специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль является характеристическим.
В главе 3 рассматриваются локально нильпотентный радикал обобщенно специальных алгебр Ли.
В разделе 3.1 изучаются свойства локально нильпотентных идеалов.
Известно, что сумма нильпотентных идеалов алгебры Ли является нильпотентным. Из этого следует существование наибольшего нильпо-тентного идеала в конечномерной алгебре Ли.
Существование наибольшего локально нильпотентного идеала в произвольной алгебре Ли над полем было доказано Б.И.Плоткиным [40] и Hartley [67].
Независимое доказательство существования наибольшего локально нильпотентного идеала для энгелевых алгебр Ли было дано А.И, Ко-стрикиным [30], для обобщенно специальных алгебр Ли, и также тот факт, что для таких алгебр ниль-идеал является локально нильпотентным было дано автором диссертации в [90].
Нам потребуется следующее определение. Скажем, что внутреннее дифференцирование ado является ниль для элемента х алгебры Ли L,
если существует натуральное число пх такое, что x(adb)nx = 0.
Для обобщенно специальных алгебр Ли справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1.1 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли. Тогда
в алгебре L существует наибольший локально нильпотентный идеал Pl(L);
идеал В алгебры Ли L является локально нилъпотентным тогда и только тогда, когда для всех Ь Є В внутреннее дифференцирование adb ниль для всех х Є L.
Ю.А.Бахтурин показал, что если R - локально разрешимый идеал специальной алгебры Ли L над полем характеристики нуль, то идеал [R, L] локально нильпотентен [54].
Как показал В.А.Парфенов, наибольший локально нильпотентный идеал абстрактной алгебры Ли может не быть характеристическим даже для поля характеристики нуль [39]. Для обобщенно специальных алгебр Ли справедливо следующее обобщение результата Ю. А.Бахтурина.
Теорема 3.1.2 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, R(L) - ее первичный радикал, Pl(L) -наибольший локально нильпотентный идеал, D : L —» L - дифференцирование. Тогда D(R(L)) С Pl{L).
Из теоремы 3.1.2 следует характеристичность наибольшего локально нильпотентного идеала специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль.
Для конечно порожденных специальных алгебр существование наибольшего нильпотентного идеала было доказано Ю.П.Размысловым [44].
В разделе 3.2 рассматривается теория локально нильпотентного радикала для обобщенно специальных алгебр Ли.
Пусть М модуль над L. Обозначим через A(L) ассоциативную подалгебру, порожденную в EndL множеством L. Скажем, что алгебра A(L) - ассоциативная алгебра, ассоциированная с представлением алгебры Ли L.
Если модуль М - конечномерный, то наибольший идеал U алгебры L такой, что эндоморфизм хм, соответствующий элементу ж, является нильпотентным для всех х Є L, в алгебре EndM, - называется наибольшим идеалом нильпотентности представления.
Назовем РI-представлением алгебры Ли L представление, для которого ассоциированная ассоциативная алгебра представления Л(Ь) является Р/-алгеброй.
Для PI- представлений алгебр Ли введено понятие наибольшего идеала локальной нильпотентности представления.
Назовем локально нильпотентным радикалом N(L) обобщенно специальной алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PJ-представлений алгебры Ли L над полем F.
Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли локально нильпо-тентно полупростая, если ее локально нильпотентный радикал N(L) равен нулю.
Для идеала N(L) выполнены следующие свойства.
Теорема 3.2.2 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над
полем. Тогда
і) Определенный выше идеал N(L) алгебры Ли L является локально нилъпотентным.
и) Идеал N(L) является радикалом для класса обобщенно специальных алгебр Ли.
Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли называется редук-тивной, если она является произведением полупервичной и абелевои алгебр.
Следующая теорема является аналогом утверждения, справедливого для конечномерных алгебр Ли [12].
Теорема 3.2.3 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем F характеристики нуль, R(L) ~ ее локально разрешимый радикал. Тогда следующие условия эквивалентны
L - локально нилъпотентно полупростая алгебра Ли.
L - редуктивна.
L2 - полупервичная алгебра.
Отметим, что некоторые утверждения, справедливые для конечномерных алгебр Ли, не переносятся на обобщенно специальные.
Так, например, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль справедливо равенство N(L) — [L, R(L)], где N(L) -нильпотентный, a R(L) - разрешимый радикалы [12].
Кроме того, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль равенство нулю нильпотентного радикала N(L) равносильно тому, что радикал R{L) совпадает с центром.
Оба этих утверждения не имеют места для обобщенно специальных алгебр Ли. Контрпримером к ним является известный пример Ю.В.Биллига [10].
В главе 4 рассмотрены различные приложения теории первичного радикала обобщенно специальных алгебр Ли.
В разделе 4.1 рассмотрены артиновы и нетеровы обобщенно специальные алгебры Ли.
Получен следующий результат, который является аналогом утверждения о нильпотентности радикала Джекобсона артиновой ассоциативной алгебры.
Теорема 4.1.1([107]). Пусть L - артинова, обобщенно специальная алгебра Ли и R(L) - ее первичный радикал. Тогда идеал R(L) -разрешимый.
В разделе 4.2 обсуждается методика применения первичного радикала матричной алгебры Ли в теории многообразий.
Следуя В.Н.Латышеву, назовем многообразие, порожденное алгеброй Ли, удовлетворяющей всем тождествам алгебры матриц некоторого порядка, матричным [34].
С использованием рассмотренной методики получено другое доказательство теоремы Ю.П.Размыслова о собственных подмногообразиях многообразия, порожденного sl(2,F) в следующей редакции[43].
Теорема 4.2.А [43]. Пусть ЯЯ - матричное многообразие алгебр Ли. Любое нематричное подмногообразие ЗЯ лежит в произведении NCA для некоторого нильпотентного многообразия Nc и абелева многообразия А.
В разделе 4.3 показано применение структурной теории для исследования алгебр с условием максимальности на абелевы подалгебры. Результаты раздела 4.3 получены совместно с К.И.Бейдаром и М.В,Зайцевым.
В 1991 году М.В.Зайцев доказал следующую теорему.
Теорема 4.3.А [81]. Пусть F - поле характеристики нуль, L -конечнопорожденная специальная алгебра Ли над полем F. Если любая абелева подалгебра алгебры L - конечномерна, то алгебра L является конечномерной.
В этом разделе дается обобщение теоремы 4.3.А, основанное на некоторых результатах и некоторых идеях из [81].
Теорема 4.3.1 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры. Тогда алгебра L является конечномерной.
В разделе 4.4 рассматривается локально разрешимый радикал для групп.
Введено понятие Р/-представимых групп. Показано, что первичный радикал Р/-представимой группы является локально разрешимым.
Этот результат является аналогом теоремы, доказанной для групп с кручением [83].
В разделе 4.5 исследуется первичный радикал супералгебр Ли. Результаты раздела 4.5 получены совместно с И.Н.Балабой.
В частности показано, что для обобщенно специальных супералгебр Ли первичный и локально разрешимый радикалы совпадают.
В главе 5 приведены краткие сведения о центроиде Мартиндейла и о построении инъективной оболочки модуля над ассоциативной алгеброй.
При изучении специальных алгебр Ли важную роль играет понятие центроида Мартиндейла. В разделе 5.1 даются формулировки основных результатов о центроиде Мартиндейла первичных и полупервичных алгебр, необходимых для исследования строения специальных алгебр Ли.
В разделе 5.2 приводится конструкция инъективной оболочки модуля.
При использовании инъективных оболочек определенный интерес представляет вопрос о существовании эпиморфизма между инъектив-ными оболочками. С использованием конструкции из раздела 5.2 в разделе 5.3 доказан следующий результат.
Теорема 5.3.1 Пусть R С S - ассоциативные кольца, единицы колец R и S совпадают, Ms - правый S-модуль, Р\ - инъективная оболочка М как S-модуля, а Рг - как R-модуля. Тогда существует R-эпиморфизм ф : Р\ —> Pi, действующий тождественно на модуль
М.
В диссертации получены следующие основные результаты:
Доказано, что присоединенная ассоциативная алгебра специальной алгебры Ли является Р/-алгеброй (теорема 1.1.1; эта теорема дала основание для определения обобщенно специальной алгебры Ли). Проблема В.Н. Латышева о специальности гомоморфного образа специальной алгебры Ли сведена к центральным расширениям для поля характеристики нуль (теорема 1.1.2; это утверждение было использовано Ю.В. Биллигом для отрицательного решения проблемы о гомоморфном образе специальной алгебры Ли);
Отрицательно решена проблема Амайо - Стюарта о сумме локально разрешимых идеалов алгебры Ли (пример 2.2.1; это означает, что для класса всех алгебр Ли может не существовать наибольший локально разрешимый идеал);
3. Построена теория первичного радикала обобщенно специальных
алгебр Ли. Доказаны следующие утверждения:
а) В любой обобщенно-специальной алгебре Ли существует наиболь
ший локально разрешимый идеал, который называется локально разре
шимым радикалом (теорема 2.4.1);
б) Фактор обобщенно-специальной алгебры Ли по локально разреши
мому радикалу представим в виде подпрямого произведения первичных
алгебр Ли, конечномерных над своими центроидами Мартиндейла (те
орема 2.4.3);
в) Для обобщенно-специальных алгебр Ли локально разрешимый ра
дикал совпадает с первичным (следствие 2.4.1);
4. Построена теория локально нильпотентного радикала обобщенно
специальной алгебры Ли. Доказаны следующие утверждения:
а) Существует наибольший идеал локальной нильпотентности
PI-представления алгебры Ли (теорема 3.2.1);
б) Пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности
всех Рі-представлений обобщенно-специальной алгебры Ли является
локально нильпотентным радикалом (теорема 3.2.2);
Получен критерий того, что обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль является редуктивной (теорема 3.2.3);
Решена проблема М.В. Зайцева. Доказано, что обобщенно - специальная алгебра Ли, удовлетворяющая условию максимальности на абелевы подалгебры, является конечномерной (теорема 4.3.1).
Подводя итог сказанному выше, можно сделать вывод о том, что в диссертации развита структурная теория обобщенно-специальных алгебр Ли, тем самым открыто новое направление - построение радикалов обобщенно-специальных алгебр Ли и их применение для решения различных задач.
Результаты диссертации докладывались на:
научно-исследовательских семинарах "Теория колец" и "Кольца и модули" кафедры Высшей алгебры МГУ в период с 1981 по 2003 г.;
расширенном семинаре кафедры Высшей алгебры МГУ памяти А.Г.Куроша, 1981 год;
летней математической школе по теории многообразий алгебраических систем, Барнаул, 1981 год;
XIX Всесоюзной алгебраической конференции, Львов, 1987 год;
Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991 год;
Международной сессии алгебраического семинара кафедры Высшей алгебры МГУ, посвященного 70-летию О.Ю.Шмидта, Москва, 2000 год;
IV Международной конференции " Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященной 110-летию И.М.Виноградова, Тула, 2001 год;
Всероссийской научной конференции " Современные проблемы математики, механики, информатики", проходившей в Туле в 2001 году;
Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича. Санкт-Петербург. 2002;
V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула. 2003;
International Conference on Radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. Chisinau. 2003.
Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах ([87], [88], [89], [90], [91], [93], [96]).
В работах с К.И. Бейдаром [88], [89] идея существования наибольшего локально разрешимого радикала и его совпадения с первичным для обобщенно-специальных алгебр Ли принадлежит автору. К.И. Бейдару принадлежит идея исследования IDS-свойства.
В работе с К.И. Бейдаром и М.В. Зайцевым [91] идея использования локально разрешимого радикала и введение размерности над полупервичным центроидом Мартиндейла принадлежит автору. К.И. Бейдару и М.В. Зайцеву принадлежит идея использования условия обрыва возрастающих цепей аннуляторов.
В работе с В.Н. Латышевым и А.В. Михалевым [96] идея отрицательного решения проблемы Амайо - Стюарта и использования линейных отображений на векторном пространстве с растущими по ширине промежутками нулевого действия принадлежит автору. В.Н. Латышеву и А.В. Михалеву принадлежат идеи о наложении дополнительных условий на рассматриваемые линейные отображения.
Автор выражает благодарность своему научному консультанту -профессору В.Н.Латышеву, профессорам В.А.Артамонову, М.В.Зайцеву, А.В.Михалеву, А.Ю.Ольшанскому, Б.И.Плоткину, А.Л.ПІмелькину и всем преподавателям кафедры Высшей алгебры мех-мата МГУ за помощь, внимание к работе и полезные консультации.
Операции над специальными многообразиями
Для того, чтобы определять является ли многообразие алгебр Ли специальным, полезно понятие произведения многообразий. Как известно, многообразие определяется множеством выполненных в его алгебрах тождеств, которое называется Т-идеалом. В отличие от обычного идеала Т-идеал свободной алгебры замкнут не только относительно умножения на элементы свободной алгебры, но и относительно подстановок. Определение. Пусть I и J - лиевские Т-идеалы. Обозначим через J(I) Т-идеал, порожденный полиномами вида Если Ш1 и УІ - многообразия алгебр Ли; I, J - соответствующие им Т-идеалы, то многообразие ЯЛОХ, которому соответствует Т-идеал J(I), называется произведением многообразий 9DT и 9t. Многообразие (Ші, (і], заданное идеалом [/,«/], назовем коммутатором многообразий 9Я иЪ1. Отметим, что операция коммутиро многообразий является специальным многообразием, полезен при построении примеров обобщенно специальных алгебр Ли. Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 были получены Бахтуриным Ю.А. и автором диссертации независимо [5], [97]. Эти результаты были доложены на летней школе по многообразиям в Барнауле, 1981 г. Теорема 1.2.1 показывает в каких случаях многообразие ЯЖУ1 является специальным. Теорема 1.2.1 Пусть F - поле характеристики нуль. Произведение многообразий алгебр Ли ЯЖЛ является специальным тогда и только тогда, когда 91 - многообразие абелевых алгебр, а ЯЯ - нилъпогпент-ных алгебр ограниченной степени. Для доказательства теоремы 1.2.1 нам потребуется следующая лемма. Лемма 1.2.1 Пусть F - поле характеристики нуль. Если многообразие 91 имеет неабелеву алгебру и многообразие Ш1 не является тривиальным, то свободная алгебра многообразия SDT91 с бесконечным множеством образующих не является специальной. Доказательство. Пусть X бесконечное множество. Рассмотрим свободную алгебру Lp{X) многообразия 91. Она не является абелевой. В.Н.Латышев показал, что универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли L над полем F характеристики нуль является PI- алгеброй тогда и только тогда, когда алгебра L - абелева [33]. Следовательно, универсальная обертывающая алгебра U алгебры Lp(X) не является Р/-алгеброй. Будем считать, что алгебра U с единицей. Рассмотрим правое регулярное представление алгебры U. Таким образом, алгебра U превращается в точный правый U-модуль. Используя вложение Ljr(X) в алгебру U, рассмотрим U как Lp(Х)-модуль. Обозначим его через М. Рассмотрим модуль М как алгебру Ли с нулевым умножением и возьмем полупрямое произведение G алгебры Lp(X) на алгебру М [12]. Рассмотрим алгебру AdG. Ясно, что ограничивая действие элементов алгебры AdG на модуль М, получим гомоморфизм AdG на алгебру U. Поэтому алгебра AdG не является Р/-алгеброй.
На идеале М алгебры G умножение нулевое. Так как многообразие WI содержит ненулевую алгебру, можно считать, что все тождества этого многообразия имеют степень не меньше 2 и алгебра М лежит в многообразии 9Л. Следовательно, свободная вания многообразий коммутативна. Для изучения операций над многообразиями нам понадобится понятие нильпотентной алгебры. Определение. Алгебра Ли L называется нильпотентной ступени с, если она удовлетворяет тождеству нильпотентности степени Многообразие алгебр, удовлетворяющих тождеству нильпотентности степени с, называется нилъпотентным многообразием степени с. Ответ на вопрос о том, когда произведение специальных многообразий является специальным многообразием, полезен при построении примеров обобщенно специальных алгебр Ли. Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 были получены Бахтуриным Ю.А. и автором диссертации независимо [5], [97]. Эти результаты были доложены на летней школе по многообразиям в Барнауле, 1981 г. Теорема 1.2.1 показывает в каких случаях многообразие ЯЖУ1 является специальным. Теорема 1.2.1 Пусть F - поле характеристики нуль. Произведение многообразий алгебр Ли ЯЖЛ является специальным тогда и только тогда, когда 91 - многообразие абелевых алгебр, а ЯЯ - нилъпогпент-ных алгебр ограниченной степени. Для доказательства теоремы 1.2.1 нам потребуется следующая лемма. Лемма 1.2.1 Пусть F - поле характеристики нуль. Если многообразие 91 имеет неабелеву алгебру и многообразие Ш1 не является тривиальным, то свободная алгебра многообразия SDT91 с бесконечным множеством образующих не является специальной. Доказательство. Пусть X бесконечное множество. Рассмотрим свободную алгебру Lp{X) многообразия 91. Она не является абелевой. В.Н.Латышев показал, что универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли L над полем F характеристики нуль является PI- алгеброй тогда и только тогда, когда алгебра L - абелева [33]. Следовательно, универсальная обертывающая алгебра U алгебры Lp(X) не является Р/-алгеброй. Будем считать, что алгебра U с единицей. Рассмотрим правое регулярное представление алгебры U. Таким образом, алгебра U превращается в точный правый U-модуль. Используя вложение Ljr(X) в алгебру U, рассмотрим U как Lp(Х)-модуль. Обозначим его через М. Рассмотрим модуль М как алгебру Ли с нулевым умножением и возьмем полупрямое произведение G алгебры Lp(X) на алгебру М [12]. Рассмотрим алгебру AdG. Ясно, что ограничивая действие элементов алгебры AdG на модуль М, получим гомоморфизм AdG на алгебру U. Поэтому алгебра AdG не является Р/-алгеброй. На идеале М алгебры G умножение нулевое. Так как многообразие WI содержит ненулевую алгебру, можно считать, что все тождества этого многообразия имеют степень не меньше 2 и алгебра М лежит в многообразии 9Л. Следовательно, свободная алгебра многообразия 9J191 не является специальной алгеброй Ли. Доказательство теоремы 1.2.1. Учитывая лемму 1.2.1, достаточно рассмотреть случай, когда 91 - многообразие абелевых алгебр. Пусть L - произвольная алгебра многообразия SDT. Рассмотрим алгебру Ли L[X] многочленов от счетного числа коммутирующих переменных с коэффициентами из L, изоморфную тензорному произведению
О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли
В этом разделе дано отрицательное решение проблемы Р. Амайо и И. Стюарта [50]: приведен пример алгебры Ли над полем, в которой сумма двух локально разрешимых идеалов не является локально разрешимым идеалом. Результаты этого раздела получены совместно В.Н. Латышевым А.В. Михалевым и автором диссертации. Пример 2.2.1. Рассмотрим счетномерное векторное пространство V над полем F с базисом ЄІ,І = 1,2,... . Определим на V линейные преобразования а и 6, которые отображают одни базисные векторы в другие, как показано на рисунке. Если из вершины е; не выходит ребро а или 6, то соответствующее преобразование отображает этот вектор в нуль. Из вершины ei выходят последовательно 4 ребра а, из вершины е$ выходят последовательно 4 ребра 6, затем - 8 ребер о, затем 8 ребер 6, затем 16 ребер а и так далее. После двух групп с одинаковым числом ребер а и 6, количество ребер удваивается, группы ребер а и 6 чередуются, и этот процесс продолжается до бесконечности. Обозначим через L подалгебру Ли алгебры эндоморфизмов вектор ного пространства порожденную преобразованиями а и 6. Обозначим через 1а и Д идеалы алгебры Ли L, порожденные элементами а и Ь соответственно. Тогда алгебра Ли L равна сумме этих идеалов L = Ia + 1ъ Покажем, что идеалы /а и Д - локально разрешимы. В качестве конечного множества образующих подалгебры идеала 1а достаточно рассмотреть множество лиевых слов относительно а и Ь и элемент а. Пусть X С 1а - конечное подмножество, состоящее из лиевых слов относительно о и 6. Обозначим через Н алгебру Ли, порожденную множеством {a}UX. Пусть максимальное число букв 6, входящих в запись одного элемента из X, равно В. Обозначим через Y множество слов вида Обозначим через J идеал алгебры Ли Н, порожденный множеством X U Y.
Множество X U Y — бесконечно, но все его элементы содержат в своей записи не больше В букв Ъ. Фактор-алгебра H/J - абелева. Покажем, что идеал J является разрешимым. Тогда и алгебра Н - разрешима. Рассмотрим множество ассоциативных слов W, в запись которых обязательно входят и буква а и буква 6, количество букв а может быть любым, а количество ,букв Ь не превосходит В. Тогда идеал J содержится в ассоциативной алгебре D, порожденной множеством W. Покажем, что алгебра D - нильпотентна. Скажем, что элемент базиса е - типа а, если он не отображается в нуль отображением а. Соответственно базисный элемент е; может быть типа 6. Будем называть множество базисных элементов типа а с последовательными номерами - участком типа а. Аналогично определим участок типа Ь. Возьмем наименьшее натуральное число к такое, что 2к 2В + 1. Обозначим через N число N = 2к. Покажем, ЧТО Произведение СЛОВ WiU 2 ... WN = О, ГДЄ ВСЄ W{ Є W. Отметим, что если базисный элемент ег - типа a, w Є W и etu ф О, то элемент Єі\п лежит в следующем участке типа Ъ или далее. То же, с точностью до замены а на 6 относится к элементам типа 6. Предположим, что элемент е = e\W\W2 ...-WN, где все Wi Є W. Тогда, несложно проверить, что е лежит в одном из участков, находящихся правее участка типа Ь, содержащего не менее 2В +1 элементов. Так как при преодолении такого участка произведение eiW\W2 ... WN = 0 мы ПОЛУЧИМ Противоречие С Предположение, ЧТО e\W\W2 ... WN ф 0. То же относится и к произведению eiW\W2 ... WN для произвольного г, так как ширина участков типа 6 только возрастет. Мы доказали, что алгебра D - нильпотентна. Следовательно, идеал J - разрешим. Осталось показать, что алгебра Ли L не является разрешимой. Рассмотрим следующие элементы алгебры L: Пусть f(xi,...,X2n) = 0 - полилинейное ассоциативное тождество степени 2п, в котором коэффициент при х\ - ... Х2п - отличен от нуля.
Тогда Отличие от нуля объясняется тем, что ненулевой элемент в результате применения одночленов многочлена /(сі, ...,С2П) к элементу Є2 может получится только однозначно - элемент С2п преодолевает самый широкий участок типа 6, элемент С2П-\ преодолевает следующий слева самый широкий участок типа а и так далее. Степень тождества 2п выбрана только для удобства записи ненулевого элемента. На самом деле она может быть любой. Таким образом, алгебра Ли L = Ia + 1ъ не удовлетворяет никакому лиевому полиномиальному тождеству, в том числе и тождеству разрешимости. Отметим, что фактор-алгебра L/Ia - одномерная абелева. Построенный пример позволяет сформулировать новый вопрос: существует ли алгебра Ли, удовлетворяющая тождественному соотношению, которая является суммой локально разрешимых идеалов и сама не является локально разрешимой?
Локально нильпотентный радикал
Нилъпотентным радикалом N(L) для конечномерной алгебры Ли L называется пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений [12]. Пусть М - модуль над L. Обозначим через A(L) - ассоциативную подалгебру, порожденную в EndL множеством L. Скажем, что алгебра A(L) — ассоциативная алгебра, ассоциированная с представлением алгебры Ли L. Если модуль М - конечномерный, то наибольший идеал U, алгебры L такой, что эндоморфизм хм, соответствующий элементу ж, является нильпотентным для всех х Є L, в алгебре EndM, - называется наибольшим идеалом нильпотентности представления. Для конечномерной алгебры Ли L нильпотентный радикал N{L) характеризуется также как пересечение наибольших идеалов нильпотентности конечномерных представлений алгебры L [12]. Назовем PI-представлением алгебры Ли L представление, для которого ассоциированная ассоциативная алгебра представления A(L) является PI- алгеброй. Для обобщенно специальных алгебр Ли естественным обобщением конечномерных представлений алгебр Ли являются Р/-представления. Если алгебра Ли имеет точное Рі-представление, то она является специальной. Для РІ- представлений алгебр Ли можно ввести аналог наибольшего идеала нильпотентности. Теорема 3.2.1 Пусть алгебра Ли L имеет РІ-представление в кольце эндоморфизмов векторного пространства М. Тогда г) Все идеалы J алгебры L такие, что хм нильпотентно для любого х Є L, содержатся в одном из них, например U. И) Образ U идеала U является локально нилъпотентным в алгебре EndM. Hi) Идеал U является множеством элементов х Є L таких, что хм принадлежит первичному радикалу Р ассоциативной алгебры A(L), ассоциированной с представлением алгебры L. По аналогии с конечномерными алгебрами, назовем идеал U наибольшим идеалом локальной нильпотентности представления. Назовем локально нилъпотентным радикалом N(L) обобщенно специальной алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех Рі-представлений алгебры Ли L над полем F.
Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли локально нилъпо-тентно полупростая, если ее локально нильпотентный радикал N(L) равен нулю. Для идеала N(L) выполнены следующие свойства. Теорема 3.2.2 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем. Тогда г) Определенный выше идеал N(L) алгебры Ли L является локально нилъпотентным. и) Идеал N(L) является радикалом для класса обобщенно специальных алгебр Ли. Известно, что включение N(L) С Pl(L) является строгим даже для конечномерных алгебр Ли [12]. Отметим, что для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекоб-сона J(L), который равен пресечению максимальных идеалов и нулю, если их нет [71]. Для бесконечномерных алгебр Ли свойства радикала Джекобсона исследовал F.Kubo [70]. Отметим, что существует специальная алгебра Ли, локально ниль-потентный радикал которой строго содержится в радикале Джекобсона (пример 3.2.1). Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли называется редук-тивной, если она является произведением полупервичной и абелевой алгебр. Следующая теорема является аналогом утверждения, справедливого для конечномерных алгебр Ли [12]. Теорема 3.2.3 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем F характеристики нуль, R(L) - ее локально разрешимый радикал. Тогда следующие условия эквивалентны 1) L - локально нильпотентно полупростая алгебра Ли. 2) L - редуктивна. 3) L2 - полупервичная алгебра. Отметим, что некоторые утверждения справедливые для конечномерных алгебр Ли не переносятся на обобщенно специальные. Так, например, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль справедливо равенство N(L) = [L,R{L)], где N(L) -нильпотентный, a R{L) - разрешимый радикалы [12]. Кроме того, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль равенство нулю нильпотентного радикала N(L) равносильно тому, что радикал R(L) совпадает с центром. Оба этих утверждения не имеют места для обобщенно специальных алгебр Ли. Контрпримером к ним является известный пример Ю.В.Биллига [10]. Он построил пример обобщенно специальной алгебры Ли д над полем комплексных чисел С такой, что она является расширением центра при помощи первичной специальной алгебры Ли и не является специальной. При этом из леммы 3.2.3 следует, что локально нильпотентно полупростая обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль является специальной.
Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры
В 1991 году М.В.Зайцев доказал следующую теорему. Теорема 4.3.А [81]. Пусть F - поле характеристики нуль, L -конечнопорожденная специальная алгебра Ли над полем F. Если любая абелева подалгебра алгебры L - конечномерна, то алгебра L является конечномерной. В этом разделе мы дадим обобщение теоремы 4.3.А, основанное на некоторых результатах и некоторых идеях из [81]. Это обобщение было анонсировано в [88] для произвольной характеристики. Результатыассоциативных алгебр. Методы доказательства позволяют сформулировать его для алгебр Ли и для конечномерных подпространств. Обозначим через ZL(X) централизатор множества X в алгебре Ли L. По аналогии с теорией ассоциативных колец, мы будем также называть ZL(X) аннулятором множества X. Лемма 4.3.2 ([53]) Пусть S и Т - подпространства алгебры Ли L. Тогда справедливы утверждения. (і) Если подпространства Т, [S,T] и SC\ZL(T) - конечномерны, то подпространство S также конечномерно. И) Если T - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, подпространства Т и [...[S,Т], ...,Т], к 1, конечномерны, то и к подпространство S также конечномерно. (Иг) Если Т - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, dimT оо и для каждого t Є Т внутреннее дифференцирование ad t нилъпотентно, то алгебра L также является конечномерной. Для удобства читателей, а также потому, что некоторые формулировки результата из [53] изменены, приведем доказательство этого утверждения. Доказательство, (і) Рассмотрим линейное отображение заданное формулой f(s) = ads \т- Его ядро Kerf = 5 П ZL(T). Поэтому S/(S П ZL(T)) вкладывается в конечномерное пространство Нотр(Т, [Т, S]). Из конечномерности подпространства SDZL(T) следует конечномерность S. (ii) Так как Т - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, получаем ZL(T) — Т. Следовательно этого раздела получены совместно с М.В.Зайцевым и К.И.Бейдаром. Теорема 4.3.1 Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем F. Если любая абелева подалгебра алгебры L конечномерна, то алгебра L является конечномерной. Для доказательства теоремы нам потребуются следующие леммы. Лемма 4.3.1 ([81]) Пусть L - алгебра Ли над полем F, Н - конечномерный идеал алгебры L.
Если алгебра L удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек абелевых подалгебр, то тому же условию удовлетворяет фактор-алгебра L/H. Отметим, что доказательство, приведенное в [81], не содержит ограничения на характеристику поля F. В работе [53] доказано следующее предложение для ассоциативных алгебр. Методы доказательства позволяют сформулировать его для алгебр Ли и для конечномерных подпространств. Обозначим через ZL(X) централизатор множества X в алгебре Ли L. По аналогии с теорией ассоциативных колец, мы будем также называть ZL(X) аннулятором множества X. Лемма 4.3.2 ([53]) Пусть S и Т - подпространства алгебры Ли L. Тогда справедливы утверждения. (і) Если подпространства Т, [S,T] и SC\ZL(T) - конечномерны, то подпространство S также конечномерно. И) Если T - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, подпространства Т и [...[S,Т], ...,Т], к 1, конечномерны, то и к подпространство S также конечномерно. (Иг) Если Т - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, dimT оо и для каждого t Є Т внутреннее дифференцирование ad t нилъпотентно, то алгебра L также является конечномерной. Для удобства читателей, а также потому, что некоторые формулировки результата из [53] изменены, приведем доказательство этого утверждения. Доказательство, (і) Рассмотрим линейное отображение заданное формулой f(s) = ads \т- Его ядро Kerf = 5 П ZL(T). Поэтому S/(S П ZL(T)) вкладывается в конечномерное пространство Нотр(Т, [Т, S]). Из конечномерности подпространства SDZL(T) следует конечномерность S. (ii) Так как Т - максимальная коммутативная подалгебра алгебры L, получаем ZL(T) — Т. Следовательно, подпространство конечномерно для любого V С L. В силу (і) из конечномерности [...[S, Т],..., Т) следует конечномерность подпространства [...[S, Т],..., Т]. 4 v " v к к-1 После нескольких шагов получим конечномерность S. (Ш) Пусть элементы і,..., хп образуют базис подространства Т и (adxi)ki = 0 для і = 1,..., п. Хорошо известно, что если элементы а,Ь Є L
