Введение к работе
Актуальность темы.
Современная теория асимптотических разложений начинается с работы А. Пуанкаре 1886 г. [1], в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел Л. Прандтль в 1904 г. [2]. Теория асимптотического интегрирования стала целенаправленно развиваться, начиная с работ Л. Шлезингера (1907) [3] и Дж. Биркгофа (1908) [4].
К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова [5]. Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов [6-8]. В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, Л.А. Люстерник [9], В.А. Треногий [10], А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов [11-13] и др.), метод усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский [14-15], В.М. Волосов [16], М.М. Хапаев [17] и др.), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [18], М.В. Федорюк [19] и др.), теория релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [2], Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов [21] и др.), метод регуляризации (С.А. Ломов [22] и др.), метод сращивания асимптотических разложений (A.M. Ильин [23] и др.). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом [24].
В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [9], в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи
возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами, и асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов [25] применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, погранслойной и угловой частей.
Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок. Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщением рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.
Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов решения нелинейных задач химической кинетики, широко используемых в математической физике, позволяющих эффективно исследовать значительный круг модельных задач, именно:
разработка методов построения асимптотических приближений решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач в областях с угловыми точками границы;
развитие метода угловых погранфункций для указанного класса задач как эффективного средства построения асимптотических приближений;
развитие метода барьеров (верхних и нижних решений) как эффективного средства доказательства существования решений нелинейных задач математической физики;
развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств доказательства теорем существования и оценки остаточных членов асимптотик, имеющих пограничные слои.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации, ориентированы на исследование прикладных задач, в частности, задач химической кинетики. Работа носит теоретический характер:
получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.
модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы;
введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфункций;
проведено сглаживание кусочно-гладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслоиных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы;
- модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам (Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях ~ VII" (Воронеж, 1996), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), на Международной конференции «Информатизация образования - 2006» (Тула, 2006), на 3-й и 4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2006, 2007) и других конференциях.
Публикации. Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [32-41] (список литературы приведен в конце автореферата). Всего по теме диссертации опубликовано 32 работы, все они без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общий объем диссертации - 224 страницы.
