Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сингулярная задача Римана — Гильберта 14
1. Предварительные сведения 14
1.1. Задача Римана — Гильберта в односвязной области 14
1.2. Интегралы типа Коши и некоторые их свойства 16
1.3. О методах конформного отображения односвязных областей 17
2. Элементы теории гипергеометрической функции 21
2.1. Гипергеометрическое уравнение и интегральное представление Эйлера 21
2.2. Формулы аналитического продолжения 22
2.3. Формула Якоби и соотношения между ассоциированными функциями 22
3.4. Функция Аппеля , 24
3. Сингулярная задача Римана — Гильберта в верхней полуплоскости 25
3.1. Постановка задачи Римана — Гильберта и ее сведение к задаче сопряжения 25
3.2. Модифицированный интеграл типа Коши 30
3.3. Решение однородной задачи 35
3.4. Частное решение неоднородной задачи для случая I 40
3.5. Частное решение неоднородной задачи для случая II 54
3.6. Общее решение задачи Римана — Гильберта 55
4. Сингулярная Римана — Гильберта в И+ с кусочно-постоянными коэффициентами 57
4.1. Построение решения однородной задачи 57
4.2. Решение неоднородной задачи 60
4.3. Представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для случая трех точек разрыва 64
162
Глава 2. Приложение к проблеме магнитного пересоединения 79
1. Вводные замечания 79
1.1. Рассматриваемая задача 79
1.2. Модель магнитного пересоединения 79
1.3. Основные результаты 80
2. Постановка задачи 81
2.1. Область д 81
2.2. Постановка краевой задачи Римана — Гильберта 82
2.3. Сведение к задаче в четверти области 83
2.4. Подход к решению задачи 85
3. Конформное отображение Ф-1 полуплоскости на область G 89
3.1. Замечания об обозначениях 89
3.2. Представление отображения Ф-1 в виде интеграла Кристоффеля — Шварца 89
3.3. Система уравнений для неизвестных параметров 89
3.4. Метод решения системы уравнений для прообразов Лиг 91
4. Вычисление интегралов гипергеометрического типа 93
4.1. Вводные замечания 93
4.2. Интегралh{\,r) 93
4.3. Интеграл 72(А, т) 95
АЛ. Интеграл 13(\, т) 97
5. Предельные случаи геометрии области G и соответствующие асимптотики для прообразов Лиг 99
5.1. Вводные замечания 99
5.2. Подход к получению асимптотик для прообразов 99
5.3. Элементы теории деформирования 101
5.4. Случай р -> 0 107
5.5. Случайр -* со 112
5.6. Случай а -> 119
5.7. Построение начальных приближений для прообразов Л и г 124
6. Отображение Ф области G на верхнюю полуплоскость 125
6.1. Предварительные замечания 125
6.2. Метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца 125
6.3. Пример разложения Ф вблизи вершин 128
7. Решение краевой задачи 129
7.1. Постановка задачи Римана — Гильберта в полуплоскости 129
7.2. Решение задачи Римана — Гильберта в полуплоскости 130
7.3. Приведение решения 0я" к виду интеграла Кристоффеля — Шварца. 130
7.4. Область годографа магнитного поля 133
7.5. Представление решения 7+ в виде рядов 135
7.6. Решение 3" исходной задачи Римана — Гильберта 136
7.7. Физически важные характеристики решения 137
8. Численная реализация решения 140
8.1. Эффективность метода при численной реализации 140
8.2. Численное исследование характеристик магнитного поля 142
Литература
- Интегралы типа Коши и некоторые их свойства
- Частное решение неоднородной задачи для случая I
- Модель магнитного пересоединения
- Система уравнений для неизвестных параметров
Введение к работе
0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена исследованию задачи Римана — Гильберта с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.
Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области Ъ функции vF = и + iv по заданному на границе дЪ соотношению между ее вещественной и мнимой частями au — bv = с, (0.1) где а, Ь, с — заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана — Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов [111], [94].
Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого [67], Племеля [107], Вольтерра [123], Гильберта [94], [95], Карлемана [85], Нётера [103], Ф.Д. Гахова [32]-[34], Н.И. Мусхелишвили [54], [55], Б.В. Хведелидзе [73], И.Н.Векуа [17]-[20], Н.П. Векуа [21], Б.В. Боярского [14]-[16], А.В. Бицадзе [11]-[13] и др. Об истории исследований в этой области см. также [34], [35], [40], [55], [73].
Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время [56]-[58], [63]-[65], [125], [128] и др. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана — Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро- и аэродинамика [45], [53], [98], [130], теория упругости [53], [75]) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязкоупругости [129], теории рассеяния [116] и импе-дансной томографии [97], [НО], задачах электролиза [126], теории нейтронных звезд [127] и др. Задачи Римана — Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их сведения к задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля — Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле [48], [93], [120]. Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них — очень близко друг к другу (что называют кроудингом) [93], [100], [119], [131]. Проблема парамет ров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей [88], [93], [%], [100], [102], [118], [119], [120], [131].
Отметим, что в приложениях (в механике [71], физике плазмы [27], [51], [69] и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (0.1) в сложной области, когда коэффициенты а, Ь и с кусочно-постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (0.1) при постоянных а, Ъ и с представляет собой уравнение прямой на плоскости w = и + iv. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами может быть интер претировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник. Возможность такой интерпретации была указана Риманом [111] (даже для более общей ситуации). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана — Гильберта (с кусочно-постоянными коэффициентами) в полуплос кости было бы представление решения в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.
Целью диссертационной работы является:
1) исследование разрешимости задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана — Гильберта); 2) получение для функции Аппеля F\ (обобщения гипергеометрической функции Гаусса F) формулы, являющейся аналогом формулы Якоби для F и дающей выражение для производной от произведения F\ на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;
3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции F\ нового представления в виде интеграла Кристоффеля—Шварца для решения задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами а, 6 и с, имеющими три точки разрыва;
4) решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;
5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращение в аналитическом виде.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) на основе классических подходов [34], [55] исследована разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;
2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля F\;
3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображения полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;
4) решена сингулярная задача Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме; проведена численная реализация решения и представлена динамика картины магнитного поля в зависимости от параметров модели; найдены формулы для физически значимых характеристик поля;
5) построено необходимое для решения задачи, указанной в п. 4, конформное отображение исходной многоугольной области на полуплоскость; при этом решена проблема параметров для обратного отображения, представляемого интегралом Кристоффеля — Шварца, с использованием найденных асимптотик для неизвестных параметров этого интеграла; интеграл Кристоффеля — Шварца обращен в аналитическом виде.
Приемы, использованные в п. 5 для построения конформного отображения, допускают обобщение на широкий класс многоугольных областей.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ [4]-[9], [77], [122].
Структура работы. Диссертация разбита на главы, параграфы, пункты и подпункты. Первая цифра номера пункта совпадает с номером параграфа, а вторая обозначает номер пункта в параграфе. В каждой главе принята своя нумерация теорем и предложений. Нумерация формул — двойная: первая цифра означает номер параграфа, вторая — порядковый номер формулы в параграфе. При ссылке на формулу из другой главы к номеру формулы добавляется номер главы. При ссылке на подпункт к его номеру добавляется номер параграфа и пункта.
Интегралы типа Коши и некоторые их свойства
Пусть — простая гладкая дуга (замкнутая или незамкнутая), лежащая в С, t — комплексная координата ее точек, a X(t) — заданная на (комплекс-позначная) непрерывная по Гёльдеру функция. Интеграл называют интегралом типа Коши, функцию X(t) — его плотностью, a l/(t—z) — ядром Коши.
Интеграл типа Коши F(z) является аналитической в С\ функцией переменного z. В указанных предположениях для дуги и плотности X(t) функция F(z) непрерывно продолжима слева и справа на дугу за исключением ее концов (обозначаемых а и 6), если таковые имеются. Левые F+(t) и правые F (t) предельные значения интеграла типа Коши на терпят скачок, равный плотности X(t), т.е. справедливо следующее равенство F+ {t) - F (t) = X (t), t Є int, (1.4) называемое формулой Сохоцкого, где int/C — дуга без концевых точек.
При стремлении z к концевым точкам а и b дуги & интеграл типа Коши F(z), вообще говоря, имеет логарифмический рост. Но если в концевой точке плотность А (і) обращается в нуль и удовлетворяет в ней условию Гёльдера, то F(z) имеет конечный предел при стремлении z к этой точке, т.е.
Интеграл Кристоффеля — Шварца. Пусть д — односвязная риманова поверхность над комплексной плоскостью w, содержащая (внутри себя) конечное число точек ветвления w m (т = 1, М), в окрестности каждой из которых область д конечнолистна. Определим порядки ветвления fj,m в этих точках, следуя, главным образом, монографии [39].
Пусть w — конечная точка области д, в которой д локально fc-листна (см. [39]); тогда порядок ветвления в этой точке полагаем равным к. Если же w Є д расположена в бесконечности, то порядок ветвления в ней определяем как взятый со знаком "—" порядок ветвления в образе этой точки при отображении W = —l/w (аналогично приведенному ниже правилу для углов в бесконечных вершинах).
Полагаем, что область д не содержит бесконечно удаленной точки, а граничный контур дд этой области состоит из N прямолинейных звеньев (сторон Сп), последовательно соединяющихся в вершинах wn (n = 1, N), величины углов 7г/Зп в которых определим, следуя [52]). Если вершина wn конечна, то 7г /Зп — величина угла в ней, измеряемая по области. Если же wn = оо, то величину угла іг/Зп в такой вершине определяем как взятую со знаком "-" величину угла в образе этой вершины при отображении W = —l/w. Порядок нумерации вершин соответствует положительному направлению обхода области д, т.е. когда она остается слева.
Пусть w = p(z) — конформное отображение верхней полуплоскости Н+ на область д. Обозначим через zn и z m соответственно прообразы вершин wn и точек ветвления w m области д при этом отображении. Тогда [48], [52] для этого отображения справедливо представление в виде обобщенного интеграла Кристоффеля — Шварца: где /Co и /Сі — константы.
Заметим, что если все точки w расположены в конечной плоскости, то все / больше единицы, и, значит, второе произведение в (1.6) может быть записано в виде полинома с вещественными коэффициентами.
Отображение круговых многоугольников. Обознаим через д односвяз-ную и однолистную область, представляющую собой круговой iV-угольник, т.е. такую область, что ее граничный контур дд состоит из iV последовательно соединенных в вершинах wn (п = 1, N) звеньев, каждое из которых представляет собой дугу некоторой окружности (в частности, отрезок прямой). Величины углов 7г/?п в вершинах wn определяются аналогично случаю прямолинейных многоугольников, т.е. в конечных вершинах углы неотрицательны, в бесконечных неположительны.
Пусть функция w = p(z) осуществляет конформное отображение полуплоскости И+ на область д. Обозначим через zn прообразы вершин wn при таком отображении, т.е. wn = ip(zn), п = 1, N. При этом будем полагать, что ZN = со.
Как было установлено Шварцем [115] (см. также [10], [36], [37], [39], [48]), такая функция ip(z) удовлетворяет следующему уравнению: в котором {( , z] — производная Шварца, определяемая равенством a R(z) — рациональная функция, имеющая вид
Здесь Ojv,n := (-l)5jv n, где 5м,п символ Кронекера, a jm — вещественные числа, называемые акцессорными постоянными. Если задать еще два прообраза вершин (например, положив z\ = 0, zi = 1), то с учетом принятого выше условия zn = со это полнстью определит отображение (p(z). И тогда уравнение Шварца (1.7) для однозначно определенной функции (p(z) будет содержать (N — 3) неизвестных прообразов и (N — 3) неизвестных акцессорных параметров jm. Таким образом, при построении отображения ip : Ш+ — д на основе решения уравнения Шварца (1.7) возникает проблема отыскания (2N — 6) неизвестных параметров. Решение этой проблемы с помощью аналитических средств представляется весьма затруднительным (см., например, [22], [60]), как и решение в аналитическом виде самого уравнения (1.7). Последняя задача может быть несколько упрощена с помощью описываемого ниже приема [36], [37], [39], сводящего решение нелинейного уравнения (1.7)
Частное решение неоднородной задачи для случая I
Сведение к задаче о скачке. Будем искать №(() в виде Х+(С) = Х+(С) 5+(0, 34-(С) = Х-(С) 2-(0, (3.69) где Х(С) — каноническое решение однородной задачи сопряжения (3.44)-(3.47), определяемое по формуле (3.58). Из (3.49), (3.66), (3.69) находим, что J+ Є Л+ иУ б ІК должны удовлетворять условию комплексного уравновешивания
Учитывая асимптотики (3.50), (3.59) для Х(0, а также поведение (3.67), (3.68) функции Э\Г(() при стремлении ( — &, находим, что 5F+ и 3 ограничены или имеют интегрируемую особенность в точках &, & = 1, К, а на бесконечности имеют порядок 0(C), т.е.
Подставляя (3.69) в условие сопряжения (3.65) и учитывая, что согласно (3.48) коэффициент G() может быть записан в виде получаем следующее условие скачка на вещественной оси для + и где, напомним, х — индекс задачи, определяемый по формуле (3.60).
Частное решение для случая I при неотрицательном индексе х. Пусть индекс х неотрицателен. Тогда введем функцию S (() по формуле S(() := (С - А)2 "/2 (С2 + 1) [ф\ (3.73) где Л Є R\{fc}. Заметим, что такая функция при х 0 является полиномом степени х ненулевым старшим коэффициентом, что влечет 5(0 = 0 0, С- оо (3.74) (если же х 0, то она обращается в нуль на бесконечности, а точках С, — ±г имеет полюсы). Тогда в силу (3.71) и (3.74) функции Н+(0 и Н (0» определяемые равенствами -(():=?, S-(0:=$ , (3.75) на бесконечности ограничены, а в конечных точках & ограничены или имеют интегрируемую особенность. Из соотношений (3.72), (3.75) находим условие скачка для 5і на вещественной оси: где х(0 дается формулой
Частное решение задачи о скачке (3.76), сохраняя за ним прежнее обозначение Н, будем искать в виде интеграла типа Коши к такую возможность устанавливает следующее Предложение 5. Для случая I, т.е. в предполооїсении (3.6), и неотрицательном индексе к справедливы следующие утверждения: 1) интеграл (3.78) существует в смысле главного значения; его предельные значения удовлетворяют условию скачка (3.76) за исключением, быть может, точки = А; произведение S(() () = $(() принадлежит классу %, а его предельные значения () = S( )E±( ) удовлетворяют условию скачка (3.72); 2) функции Н+(С) и Е () удовлетворяют условию комплексного уравновешивания S-(0 = 3 (C), СН-; (3.79) 3) функции Н+(С) и 5 (С) имеют в конечных точках k следующую асимп тотику: 4) функции Е+(() и "() имеют в бесконечной точке о следующую асимптотику: Доказательство. 1) Пусть я — четное число или нуль. Тогда, как следует из (3.73), функция S() не обращается в нуль в точке = А, а значит, %() в этой точке гёльдерова. Поскольку g Є #о, то из оценок (3.50), (3.59) для Х(() и асимптотики S{Q = 0 ((х), находим, что функция х() имеет в конечных точках {&} интегрируемую особенность или нуль (возможно, дробного порядка), а на бесконечности убывает, если одновременно а0 и п0 не равны нулю: Х(01 = О(—), КІ-ЮО, ао + по 0.
В этом случае интеграл (3.78) существует как несобственный при всех ( Є Н±. Кроме того, очевидно, что этот интеграл, т.е. 5() принадлежит !К.
Если же а0 = п0 = 0, то согласно замечанию 1 имеем 0 — 0; таким образом, функция д(), а значит, и х{& непрерывна в бесконечности (т.е. значения х(+оо) и х(—со) конечны и равны между собой) и удовлетворяет в = ±оо условию Гельдера \х(х) х(±) С_/і, Є (0,1]. В этом случае интеграл (3.78) существует в смысле главного значения при всех є Н . Очевидно, что он также принадлежит %.
Пусть теперь я — нечетное число. Тогда функция S(() имеет в точке С = X нуль первого порядка, а функция %() — особенность типа ( — Л)-1, а в остальных точках Є R ведет себя так же, как в изученном выше случае четного к. В рассматриваемом случае доказательство существования интеграла (3.78) в смысле главного значения при всех Є Ш±, а также справедливость включения S(() Б(() Є "К проводится с помощью рассуждений, использованных в предложении 2 для доказательства существования интеграла (3.29).
Рассуждения, примененные в доказательстве предложения 2 для анализа граничных свойств интеграла (3.29), приводят к установлению справедливости равенства (3.76) за исключением, быть может, точки = Л и равенства (3.72) для предельных значений произведения S() () = ().
2) Покажем, что 5і() удовлетворяют условию комплексного уравновешивания (3.79). Непосредственно из определения (3.78) функции Н+ получаем равенство К из которого видно, что для установления (3.79) достаточно показать
Производя в определении (3.77) функции х() комплексное сопряжение, подставляя в него равенство Х+() = G()X (), следующее из (3.48), а также используя определение (3.18) для д() и соотношение S() = ?(), получаем
Модель магнитного пересоединения
Модель магнитного пересоединения. Эффект магнитного пере соединения в плазме (т.е. принципиальное изменение конфигурации магнит ного поля с высвобождением энергии) лежит в основе таких явлений, как солнечные вспышки [66], [105], магнитосферные бури [114] и пилообразные срывы в токамаках [43].
В статье [51] была предложена двумерная модель магнитного пересоединения, являющаяся обобщением работ [69], [ИЗ]. В данной модели поле, считающееся потенциальным, рассматривается во внешности токовой конфигурации. Эта конфигурация, изображенная на рис. 1 в виде системы разрезов на плоскости, состоит из бесконечно тонкого токового слоя (горизонтальный разрез длиной 2R), к концам которого присоединены, наподобие усов, четыре ударные МГД-волны (наклонные разрезы длиной г на рис. 1). Нормальная компонента магнитного поля на токовом слое обращается в нуль, а на ударных МГД-волнах, наклоненных к токовому слою под углом 7га, она равна заданной постоянной /3; поле на бесконечности линейно возрастает с коэффициентом пропорциональности j. Величины а, (3, j, г и R являются свободными параметрами модели.
Описанная модель сводится к рассматриваемой ниже задаче Римана — Гильберта во внешности этой системы разрезов. В работе [27] была найдена асимптотика решения этой задачи, соответствующая малой длине г "усов"; было показано, что поправка к полю без "усов", полученному в [69], имеет порядок у/г.
Основные результаты. В настоящей работе дано полное решение рассматриваемой задачи Римана — Гильберта. Искомая функция построена в аналитическом виде и с помошью результатов гл. I записана в терминах интеграла Кристоффеля — Шварца. В ходе ее получения были решены возникающие подчиненные проблемы: в явном виде обращен интеграл Кристоффеля — Шварца; для отыскания параметров этого интеграла дан эффективный метод, для которого кроудинг ("слипание" прообразов вершин, обычо вызывающее большие трудности) является благоприятствующим фактором. Этот метод базируется на установленных в работе явных асимптотиках для искомых прообразов и на аналитическом способе вычисления интегралов гипергеометрического типа. Для полученного решения задачи Римана — Гильберта дана эффективная численная реализация и проведен детальный анализ физически значимых величин. Представлена картина магнитного поля вблизи токовой конфигурации и исследована ее динамика при изменении параметров задачи. Исследованы также локальные характеристики поля на фронтах ударных волн. В явном виде получены величины, определяющие скорость пересоединения и полный ток.
Постановка задачи
Область д. Обозначим через Г расположенную на комплексной плоскости z = х + %у систему прямолинейных разрезов, симметричную относительно осей х и у (см. рис. 1). Ее внешность представляет собой область д, в которой рассматривается исходная краевая задача.
Для того чтобы описать систему Г формально, введем операторы Mj, j Є {1,2,3,4}, действие которых на произвольное комплексное число а определяется следующими равенствами: отрезка Го = [—R, R] длиной 2R и наклонных отрезков Tj, j Є {1,2,3,4}, длиной г, задаваемых следующими равенствами
Таким образом, д := С \ Г представляет собой односвязную бесконечную десятиугольную область. Отметим, что эта область не является жордановой, но она принадлежит классу (Л). В п. 0.4.1 дано определение класса (Л), указаны некоторые свойства областей из этого класса; в частности сказано, в каком смысле понимается граница, граничные дуги и замыкание области из (Л).
Система уравнений для неизвестных параметров
Подобные системы известны и в общем случае произвольного многоугольника [44], [48], [93]. Поскольку такие системы допускают явное решение лишь для немногих частных случаев [24], [25], [29], [48], то для их решения в общем случае используются комбинированные численные процедуры [30], [48], сочетающие метод Ньютона [3], [44], [117], [131] с методом продолжения по параметру [44], [74], [124]. Главные трудности, возникающие при этом, связаны с выбором хорошего начального приближения для неизвестных параметров и с обеспечением высокой точности вычисления интегралов гипергеометрического типа, фигурирующих в этой системе.
Как было подчеркнуто в [93], [100], [119], [131], эти трудности значительно возрастают в том случае, когда для рассматриваемого отображения возникает эффект кроудинга. Этот эффект заключается в сильном сближении, скучивании прообразов вершин, тогда как сами вершины расположены достаточно далеко друг от друга. Наименование "кроудинг", происходящее от английского to crowd (толпиться), было предложено в [102]. Изучение этого эффекта и поиск способов преодоления порождаемых им трудностей привлекает большое внимание исследователей [88], [93], [96], [100], [102], [118], [119], [131].
В 4 изложен аналитический метод вычисления возникающих в данной задаче интегралов гипергеометрического типа. Для этого метода кроудинг является благоприятствующим фактором, тогда как для обычно применяемых численных методов кроудинг создает большие трудности [44], [93], [117], [118]. Данный метод был для частного случая предложен в [25]. Он основан на представлении указанных интегралов в виде экспоненциально сходящегося ряда по гипергеомерическим функциям. Проведенные численные эксперименты подтвердили высокую эффективность метода.
В 5 дан метод нахождения асимптотик для неизвестных параметров отображения Ф-1, причем для этого метода ситуация кроудинга также является благоприятствующей, т.е. чем ярче выражен этот эффект, тем ближе получаемые начальные приближения к точным значениям параметров. Этот метод основан на теории конформного отображения сингулярно деформируемых областей [23], [24], краткое изложение которой дано в 5.
После того как указанные выше трудности в решении системы уравнений для неизвестных параметров преодолены и, следовательно, отображение z — Ф-1(С) построено в виде интеграла Кристоффеля — Шварца, возникает необходимость в его обращении, так как в представлении J = У о Ф для решения задачи Римана — Гильберта фигурирует обратное отображение ( = Ф(г). Обычно такое обращение осуществляют поточечно при помощи численных процедур [88], [96], [117], [118]; при этом также возникает необходимость вычисления интегралов гипергеометрического типа, осложняемая ситуацией кроудинга, т.е. возникают трудности, сходные с упомянутыми выше.
В 6 изложен аналитический метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца в виде набора разложений (степенных рядов) с явно выписанными коэффициентами; этот метод, основан на теории, изложенной в [23], [24]. Множества сходимости упомянутых разложений для нашего случая изображены на рис. 3, откуда видно, что эти множества покрывают в совокупности всю отображаемую область G, вернее — ее замыкание (за исключением бесконечности). Важно отметить, что для любой точки г из G \ {сю} можно указать хотя бы одно разложение из этого набора, которое сходится в дайной точке z с экспоненциальной скоростью. Таким образом, совокупность этих разложений дает удобный и эффективный инструмент для вычисления и исследования отображения = Ф(г).
Решение J(z) задачи (2.9) получено в 7. Необходимо отметить, что применение метода Гахова — Мусхелишвили [34], [55] дает для У+(() из (2.10), т.е. для решения в Н+ задачи Римана — Гильберта, выражение в виде интеграла типа Коши. С помощью результатов из п. 1.4.3 решение У+ приведено к весьма удобному виду интеграла Кристоффеля — Шварца. Последнее представление позволило выразить функцию 3 +() в виде совокупности разложений, аналогичных разложениям для Ф( ), о которых говорилось выше, обладающих теми же свойствами, в том числе высокой вычислительной эффективностью. Использование этих разложений для обеих функций, У+ и Ф, входящих в представление (2.10), дает эффективный инструмент для исследования решения J исходной задачи (2.9) и его численной реализации, которой посвящен 8.
Отметим еще, что аналитическая функция w = tJ{z) осуществляет конформное отображение исходной области G на некоторую область W, которую в соответствии с [49] будем называть областью годографа магнитного поля. Из представления 3я" () в виде интеграла Кристоффеля — Шварца вытекает, что область годографа W является многоугольником. Этот факт придает геометрическую наглядность решению рассматриваемой задачи и облегчает его анализ.
