Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению одномерного оператора Ванье-Штарка
H = —^-Fx + p(x)
в Z,2 (R+) на подходящей области определения. Здесь постоянная F > 0 и р(х) - вещественная периодическая функция.
Для математиков этот оператор интересен тем, что это оригинальная модель с нетривиальными спектральными свойствами. Эта модель вызывает определенный интерес и с точки зрения физиков: и потому, что для нее можно найти прямые интерпретации, и поскольку на ней физики ожидают увидеть интересные трансформации спектра в зависимости от свойств гладкости потенциала и других параметров задачи. Разгоняющие свойства линейного потенциала конкурируют с запирающими свойствами сингулярной решетки: запрещенные зоны в спектре периодической задачи остаются достаточно длинными и начинают заметно отражать частицу. Ожидается, что баланс наступает для потенциалов с особенностями типа дельта-функция, однако на настоящий момент эта гипотеза остается недоказанной [1], [2], [3]. Это, конечно, выглядит весьма интригующим и для математиков.
БИБЛИОТЕКА tittup 09 К»/
Известно, что спектральные свойства оператора связаны с поведением решений спектрального уравнения в бесконечности [4]. Изучение асимптотического поведения решений представляется интересной задачей и само по себе. Для получения асимптотик решений обычно используют квазиклассический метод [5]. Для применения этого метода необходимо предполагать, что периодический потенциал - дважды непрерывно дифференцируемая функция, однако это является довольно сильным ограничением. Квазиклассическая техника позволяет доказать, что оператор Ванье-Штарка с дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом имеет однократный абсолютно непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось [6]. Наличие особенностей у периодического потенциала выглядит вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь анализировать спектральные свойства оператора Н при достаточно широких предположениях относительно гладкости периодического потенциала. Систематическая теория для построения- №^ТД^ик^ЩЙН№"уравнения
Ванье-Штарка в случае негладких или даже сингулярных периодических потенциалов до сих пор отсутствовала. Тем не менее в ряде случаев удалось описать спектральные свойства оператора Ванье-Штарка без анализа асимптотических свойств решений спектрального уравнения. Во всех этих случаях авторы рассматривают либо все еще гладкие, либо сильно сингулярные потенциалы (с особенностямитипадельта-функция и выше) [3], [7], [8], и вопрос о природе спектра оператора Ванье-Штарка для достаточно широкого класса потенциалов до сих пор оставался открытым. Известны примеры операторов Ванье-Штарка, связанные с сильными особенностями у периодического потенциала, для которых спектр не содержит абсолютно непрерывной компоненты [8]. При этом нет четких условий на гладкость потенциала, при которых спектр все еще чисто абсолютно непрерывный, равно как нет условий, при которых сохраняется абсолютно непрерывная компонента спектра.
Из сказанного выше ясно, что изучение как спектральных свойств оператора Ванье-Штарка, так и асимптотических свойств решений спектрального уравнения в случае негладких локально суммируемых потенциалов не погружается в рамки известных построений и требует привлечения новых методов. Настоящая работа посвящена изучению этих двух взаимосвязанных вопросов и восполнению существующего в теории оператора Ванье-Штарка пробела.
Цель работы. Целью диссертации является:
1) разработка нового метода для описания асимптотического поведения
решений обыкновенных дифференциальных уравнений с негладкими ко
эффициентами на примере оператора Ванье-Штарка.
доказательство сохранения абсолютно непрерывной компоненты спектра оператора Ванье-Штарка при максимально свободных условиях на периодический потенциал;
описание условий, при которых спектр оператора Ванье-Штарка чисто абсолютно непрерывен;
4) описание условий, при которых точечный спектр оператора Ванье-
Штарка пуст.
Научная, новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту.
Описано асимптотическое поведение в бесконечности решений уравнения Ванье-Штарка с локально суммируемым периодическим потенциалом.
Доказано сохранение абсолютно непрерывной компоненты спектра оператора Ванье-Штарка для достаточно широкого класса периодических потенциалов.
Найдены условия на периодический потенциал, при которых спектр оператора Ванье-Штарка чисто абсолютно непрерывен.
Найдены условия на периодический потенциал, при которых точечная компонента спектра оператора Ванье-Штарка отсутствует. Теоретическая и практическая ценность. В диссертации предложен новый метод построения асимптотик решений уравнения Ванье-Штарка, который применим в случае локально суммируемых потенциалов. На основе анализа полученных асимптотик были описаны спектральные свойства оператора Ванье-Штарка для широкого класса периодических потенциалов. Полученные результаты могут быть использованы для исследования одномерного оператора Шредингера более общего вида. Например, с потенциалом, заданным в виде суммы из локально суммируемой периодической, гладкой монотонно стремящейся к минус бесконечности и, в подходящем смысле, убывающей функций. Результаты диссертации применимы и при исследовании некоторых физических вопросов. Например, сингулярные потенциалы возникают при описании динамики квантового электрона в кристалле, помещенном в однородное электрическое поле. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (2000-2003 г.); Семинаре по математической физике Санкт-Петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН (2003 г.); Семинаре по математической физике в математическом департаменте университета Мюнхена, Германия (2003 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [Р1]- [РЗ].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 84 страниц. Список литературы содержит 41 наименование. Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность своему науч-
