Введение к работе
Актуальность темы
Несмотря на значительный прогресс в развитии методов изучения эволюционных уравнений со случайными коэффициентами, исследование как уравнений в частных производных, так и обыкновенных дифференциальных уравнений подобного типа сопряжено с серьезными затруднениями. Дело в том, что аналитические результаты, как правило, представляют собой лишь некоторые утверждения об асимптотическом поведении типичной реализации решения без оценки скорости выхода на асимптотику. Эту трудность в некоторых случаях удается преодолеть при помощи численного моделирования, однако возможности последнего ограничивает проблема, связанная с объемом выборки независимых случайных реализаций решения, который требуется в численном эксперименте для изучения свойств его математического ожидания и высших статистических моментов. Даже для достаточно простых линейных уравнений этот объем может быть очень большим, порядка полумиллиона реализаций. Вместе с тем, решение проблемы моментов актуально и с точки зрения аналитической теории, поскольку далеко не всегда понятно, как подойти к выводу замкнутых уравнений для моментных функций решения (особенно это касается нелинейных задач).
Специфика решения проблемы моментов определяется как видом самого уравнения, так и структурой его случайных коэффициентов, поэтому для разных классов задач приходиться использовать разные методы усреднения. Иногда решение задачи удается выписать в явном виде через коэффициенты уравнения, после чего непосредственным усреднением и находятся его моментные функции. Развитию такого подхода, оказавшегося особенно эффективным при исследовании линейных задач, посвящены многочисленные работы Дж. Адомиана, В.И. Кляцкина, СА. Молчанова, В.И. Тихонова и др. Другой подход состоит в том,
что для моментных функций строятся цепочки дифференциальных уравнений, которые оказываются, как правило, бесконечными, связанными и незамкнутыми. Проблеме замыкания этих цепочек посвящена обширная литература (отметим, например, работы А.В. Фурсикова, в которых построена моментная теория для уравнений Навье-Стокса). Еще один подход, опирающийся на аппарат вариационных (функциональных) производных, развит в недавних работах В.Г. Задорожним.
Вместе с тем, в физических приложениях (в частности, в задачах магнитной гидродинамики) нередко возникает проблема усреднения дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде короткокоррели-рованных случайных процессов, когда корреляционная длина для коэффициентов уравнения считается малой и детали поведения решения на соответствующих масштабах игнорируются. Подобные задачи впервые были рассмотрены в контексте теории гидромагнитного динамо А.П. Казанцевым и позднее исследовались в работах Я.Б. Зельдовича, А.А. Рузмайкина, С.А. Молчанова, Д.В. Семенова и др.
Важным преимуществом модели с мгновенными корреляциями является то обстоятельство, что формальный предельный переход при устремлении корреляционной длины к нулю позволяет получить для моментных функций дифференциальные уравнения, а не интегро-разностные, которые возникают при учете эффектов памяти. В диссертации в данном контексте исследуется проблема моментов в классе линейных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами, а также ряд возможных подходов к изучению типичных реализаций и статистических моментов решений некоторых нелинейных уравнений со степенной нелинейностью специального вида. Предложенный для линейных уравнений метод усреднения затем применяется к исследованию одного тонкого эффекта, впервые обнаруженного Я.Б. Зельдовичем в контексте космологии.
Как известно, Вселенная в больших масштабах обладает исключительной
степенью однородности и изотропии, однако в малых масштабах она неоднородна и анизотропна из-за концентрации материи в массивных небесных телах. Еще в 1964 году Я.Б. Зельдович показал, что флуктуации плотности, вызванные такими неоднородностями, приводят к небольшому систематическому искажению космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна нулю, в известной степени похожей на открытую космологическую модель. Эффект Зельдовича с геометрической точки зрения удобно описывать в терминах полей Якоби на геодезических пространственного сечения, вдоль которых и распространяются лучи света. Поле Якоби при этом удовлетворяет уравнению Якоби, которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Коэффициент в этом уравнении - гауссова кривизна - полагается случайным процессом, принимающим как положительные, так и отрицательные значения.
В недавних работах В.Г. Ламбурта, Д.Д. Соколова и В.Н. Тутубалина показано, что эффект Зельдовича можно понимать как возникновение небольшой эффективной добавки к усредненному значению кривизны в уравнении для математического ожидания поля Якоби. Вывод этого уравнения проводился в рамках короткокоррелированного приближения; при этом актуальной задачей оставалось получение явных уравнений для высших статистических моментов поля Якоби, входящих в описание эффекта Зельдовича. В диссертации на основе предлагаемого тензорного подхода к усреднению линейных дифференциальных уравнений с короткокоррелированными коэффициентами эта задача решена.
Еще одной актуальной задачей является прояснение вопроса об устойчивости результатов при переходе от модели с мгновенными корреляциями к модели с памятью. В диссертации в данном контексте рассматривается поведение математического ожидания поля Якоби в случае, когда кривизна представляет собой обновляющийся случайный процесс с малой, но конечной корреляционной длиной. В этом же
контексте исследуются нелинейные уравнения, для которых полученные в рамках короткокоррелированного приближения аналитические результаты сопоставляются с результатами численного эксперимента, проведенного при фиксированной корреляционной длине.
Цели и задачи работы
В ходе проведенных исследований решались следующие основные задачи:
Нахождение конструктивного метода решения проблемы моментов в классе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с коротко коррелированными случайными коэффициентами.
Получение явных уравнений для высших статистических моментов поля Якоби. Нахождение из этих уравнений показателей скоростей прогрессивного роста моментов и сравнение их с соответствующими показателями, полученными ранее из численного эксперимента.
Выявление роли памяти для экспоненциального роста среднего решения уравнения Якоби в контексте знакопеременности случайной кривизны в модели с мгновенными корреляциями.
Проведение аналитического и численного исследований некоторых модельных нелинейных задач, в рамках которых на начальной стадии воспроизводятся эффекты перемежаемости.
Определение минимального объема выборки независимых случайных реализаций решений рассматриваемых нелинейных уравнений, необходимого в численном эксперименте для изучения их статистических моментов. Сравнение этого объема с объемом, который требуется для численного моделирования соответствующих линейных задач.
Научная новизна
Представленный в данной работе подход позволяет исследовать высшие статистические моменты решения любого линейного однородного уравнения с коротко коррелированными случайными коэффициентами. На основе
введенного понятия линеаризирующего тензора впервые удалось построить конструктивный алгоритм, позволяющий выводить явные уравнения для моментных функций произвольных натуральных порядков.
Для рассмотренных нелинейных уравнений со случайными коэффициентами предложен метод, позволяющий исследовать поведение высших статистических моментов решений. Новизна этого метода заключается в том, что вместо моментных функций решений, явные уравнения для которых получить не удается, исследуются моментные функции некоторых функционалов от решений.
Аналитически продемонстрировано и затем численно подтверждено, что эффекты перемежаемости, характерные для линейных уравнений со случайными коэффициентами, имеют место на начальных стадиях и для нелинейных задач. При этом оказалось, что скорости начального прогрессивного роста статистических моментов не зависят от порядка нелинейности и совпадают со скоростями роста моментов решений соответствующих линейных задач.
Защищаемые положения
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Построен конструктивный алгоритм вывода явных уравнений для моментных функций решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с коротко коррелированными случайными коэффициентами.
Получены явные уравнения для статистических средних поля Якоби 2-ого, 3-его и 4-ого порядков. Предложен простой способ исключения посторонних решений этих уравнений, появление которых обусловлено структурой линеаризирующего тензора поля Якоби. Найдено соотношение между показателями скоростей прогрессивного роста моментов, которое практически совпадает с соответствующим соотношением, полученным ранее из численного эксперимента.
Показано, что рост математического ожидания поля Якоби в модели с
памятью определяется соотношениями того же характера, что и в модели с мгновенными корреляциями. Тем самым подтверждено, что этот рост связан именно с малыми флуктуациями кривизны, а не с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной.
4. На примере простых нелинейных лагранжевых моделей демонстриру
ется подавление эффектов перемежаемости, выражающееся в прекращении
начального прогрессивного роста высших статистических моментов.
5. Оценен объем выборки независимых случайных реализаций
решений рассматриваемых нелинейных уравнений, который необходим для
воспроизведения свойств их статистических моментов. Показано, что этот
объем не превосходит того объема, который требуется для численного
моделирования соответствующих линейных задач.
Теоретическая и практическая значимость работы
Систематизированная техника вывода замкнутых моментных уравнений, основанная на предложенном тензорном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях. Показательным примером последних могут служить задачи, связанные с различными моделями явлений переноса в случайных средах, и, в частности, с моделями динамо, где одним из ключевых этапов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений для магнитного поля в соответствующем случайном потоке.
Моменты поля Якоби являются одной из ключевых характеристик, описывающих поведение геодезических на многообразиях случайной кривизны. Поэтому найденные моментные уравнения не только входят в описание эффекта Я.Б. Зельдовича, но и представляют самостоятельный геометрический интерес.
Результаты проведенного в рамках простых лагранжевых моделей численного эксперимента могут принести пользу при численном исследова-
ний более сложных эволюционных уравнений со случайными коэффициентами. В частности, это касается полученных оценок минимальных объемов выборки независимых случайных реализаций решений, необходимых для моделирования их статистических моментов.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих международных семинарах и конференциях:
"Неравновесные процессы в сплошных средах", г. Пермь, 2007.
"Актуальные проблемы внегалактической астрономии", г. Пущино, 2007.
"Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, 2008.
"Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова", п. Абрау-Дюрсо, 2008.
"Transport in hydrodynamic flows: analytical and numerical approaches", г. Москва, 2008.
"Механика сплошных сред как основа современных технологий", г. Пермь, 2009.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 11 работ (5 статей в рецензируемых журналах, 2 статьи в сборниках трудов конференций и 4 тезиса конференций). В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 3 статьи.
Структура и объем диссертации
