Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Характеристика работы 4
1.2 Краткое содержание диссертации 9
1.2.1 Введение 9
1.2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта 9
1.2.3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта 15
1.2.4 Асимптотическое решение при малых временах 19
1.2.5 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами 20
1.3 Благодарности 23
1.4 Публикации автора по теме диссертации 23
2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта 24
2.1 Постановка задачи 24
2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта 25
2.3 Алгоритм построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности регулярных точек фронта 30
2.4 Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами 33
2.5 Алгоритм вычисления суммы функций, построенных на сетках с не совпадающими узлами 36
3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фрон та 39
3.1 Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек 39
3.2 Примеры волновых фронтов и поведение основных величин вдоль фронта 42
3.3 Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронта с асимптотикой для окрестности фокальных точек 51
3.4 Доказательство теоремы 56
4 Асимптотическое решение при малых временах 65
5 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами 70
5.1 Образование фокальных точек и волн над круглыми банками . 73
5.2 Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появление пространственно-временных каустик 75
5.3 Поведение возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик: подводный хребет как генератор захваченных волн 78
5.4 Волны над кривыми хребтами 80
5.5 Алгоритм построения каустик 86
6 Заключение 89
Список литературы 90
- Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта
- Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами
- Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронта с асимптотикой для окрестности фокальных точек
- Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появление пространственно-временных каустик
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами. Для систем такого типа основная масса публикаций в математической литературе была посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей (типа -функции) и часто называемых “разложениями по гладкости” (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В. Гийемин, Ш. Стернберг и др.). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирую-щие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк, В.М. Бабич, В.С. Булды-рев и Л.А.Молотков, Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг, Л.М. Бреховских, А. Майда, В.Г. Данилов, Ле Ву Ань, В.В. Кучеренко, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, С.Ю. Доброхотов. Публикаций, посвященных асимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в математической литературе было существенно меньше. Для гиперболических систем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка [1]. На гиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщены в [2]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не очень эффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Подход к получению максимально эффективных формул для таких задач и
основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах [3], [4]. Затем в разных ситуациях он был реализован в цикле работ С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я. Секерж-Зеньковича (отметим [5, 6, 7, 8, 9]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретных ситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точек фронтов), точек самопересечения фронтов, представления решения при малых временах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем с переменными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями. Отметим, что рассмотренные задачи для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованной системы уравнений мелкой воды возникают, в частности, при описании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами). Исследования таких волн проводятся как численными, так и аналитическими методами. Литература, посвященная проблеме цунами, очень обширна. Отметим работы Ю.И. Шокина, Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, А.С. Алексеева, В.К. Гусякова, К.В. Симонова, З.И. Федотовой и соавторов [10], [11], [12], а также обзорные работы [13], [14]. Также отметим монографию Е.Н. Пелиновского ”Гидродинамика волн цунами”, содержащую аналитические подходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [15], [16], [17]. Однако, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнему остается еще много интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение
волн и визуализацией соответствующих аналитических формул.
Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболических систем. Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Маслова была высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задач математической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализации результатов математического моделирования. По-существу в диссертации соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн (порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном, включая волны над подводными банками и хребтами.
Цель работы. Основная цель работы - построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетом имеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками, над подводными неоднородностями, типа донных хребтов, а также изучение поведения асимптотического решения при малых временах.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестности точек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и более участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделано сравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта с решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнений мелкой воды. Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решения практически совпадают.
В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости от степени разложения по степеням малого параметра асимптотического решения в окрестности фокальной точки.
В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах.
В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики.
Все алгоритмы запрограммированы на языке C/C++ и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.
Методика исследования основана на использовании квазиклассических асимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова для построения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией. Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик. Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубы-вающими функциями, локализованными в окрестности фронтов. Поэтому здесь используется подход, предложенный в работах С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафа-ревича, Б. Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я. Тудоровского, позволяющий в результате интегрирования по дополнительному параметру, перейти от быстро убывающих решений к быстро осциллирующим, для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова, а затем упростить результаты, используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ.
Теоретическая и практическая ценность. Было проведено исследование асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Составлен алгоритм численной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения, описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами. Обнаруже-
но явление образования цугов волн, порождаемых локализованными источниками в бездисперсионных средах.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на международной конференции ”Days of Diffraction” в 2011 и 2012 гг, на конференции МФТИ в 2011, 2012 гг, на семинаре М.И. Вишика механико-математического факультета МГУ в 2012 г, на семинаре под руководством Г.М. Кобелькова и А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАН в 2013 г.
Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта
В диссертации приводится алгоритм построения асимптотического решения в окрестности фокальной точки. Алгоритм основан на том факте, что формулы (1.10)- (1.12) имеют одинаковый вид в любой системе координат, которая получена из исходной при помощи сдвига и поворота и устроен таким образом, что построенное возвышение в окрестности фокальной точки наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности регулярных точек фронта. Основные трудности, которые возникают в данной задаче следующие. Формулы (1.10)- (1.12) справедливы только в той окрестности фокальной точки, в которой отличен от нуля якобиан: подкоренное выражение, стоящее в знаменателе во всех формулах. При произвольном выборе системы координат, якобиан обращается в нуль близко от фокальной точки. Тем самым, область действия формул (1.10)- (1.12) получается небольшой. Более того, может так получиться, что после построения возвышений в окрестности фокальной точки и в окрестности регулярных точек фронта, между областями, в которых построены поверхности будет разрыв, т.е. они не будут перекрываться. В связи с этим были предприняты следующие шаги. Сначала строится возвышение в окрестности регулярных точек фронта. Оно строится так, чтобы максимально близко подходило к фокальной точке. Затем мы начинаем строить возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки. Делается это так. Мы помещаем центр новой системы координат в фокальную точку и вычисляем в ней возвышение свободной поверхности жидкости. Затем мы начинаем поворачивать новую систему координат в пределах ф Є [0, 2тт] с каким-то шагом ёф и в каждой новой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. На самом деле не нужно вычислять возвышение в каждой системе координат. Сначала нужно оценить насколько близко от фокальной точки обращается в нуль новый якобиан. Если он обращается в нуль на расстоянии большем, чем минимально допустимое, то в такой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. В итоге у нас получается набор возвышений. Среди них делается отбор возвышения, которое наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное для окрестности регулярных точек фронта. В зависимости от того, как определять наилучшее соответствие фокального возвышения регулярному, могут отбираться различные фокальные профили.
Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки
На Рисунке 1.5 изображена склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки. Здесь критерием наилучшего перехода является минимум от максимума разности возвышений в области их пересечения.
Асимптотическое решение задачи (1.1), (1.2) было построено в работах [30], [34] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова. При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому что начальное лагранжево многообразие не проектируется диффеоморфно на плоскость (жі, Х2). С другой стороны малые времена представляют интерес, потому что при малых временах происходит зарождение волны цунами, волна имеет достаточно большую амплитуду и ее можно наблюдать. Поэтому в данной работе на временах t Т ц мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемые каноническим оператором Маслова. Для источников специального вида получены явные формулы. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема.
Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник является несимметричным, интеграл, который стоит в формуле (1.14), явно не вычисляется, и его надо считать численно. На Рисунках 1.6, 1.7 изображено асимптотическое решение линеаризованной системы уравнений мелкой воды при малых временах. На Рисунке 1.6 изображен случай симметричного источника, а на Рисунке 1.7 случай несимметричного источника.
Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами
Волны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляют собой довольно интересные объекты в теории волн на воде и физике океана. Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарные состояния в 3-D задаче о волнах на воде, или как решения пространственно двумерного волнового уравнения с оператором Лапласа-Бельтрами -VC2(xh x2)V в пространственной части, если используется длинноволновое приближение. Здесь С2 = gD{xux2), где D{xhx2) глубина в точке х = (жьж2), а д ускорение силы тяжести. Существование захваченных волн используется для объяснения многих эффектов в физике океана. В частности, распространение длинных волн цунами без потери энергии связано с длинными подводными хребтами в океане. В этой области существует большое количество работ. Мы отметим только некоторые из них [69, 70, 74, 75, 76, 77]. Отметим также, что, как правило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются для случая, когда неоднородность дна в функции D{x\)x2) зависит только от одной пространственной переменной хл или от полярного радиуса г = х\ + х\. Распространение волн в нестационарном случае над подводными хребтами изучено не очень хорошо. В данной главе будут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводными хребтами, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками. Такая постановка задачи относится к так называемой поршневой модели в теории волн цунами, в случае когда подводный источник располагается на вершине хребта или рядом с его вершиной.
Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами
В этом параграфе будет произведено сравнение результатов расчета возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта, посчитанного по асимптотическим формулам, с численным решением уравнений мелкой воды (2.1).
В качестве сравниваемой области была выбрана окрестность точки самопересечения фронта. В данной работе при численном решении уравнений (2.1) использовалась явная схема, построенная на разнесенном шаблоне (см. [36], схема 22), на котором переменные определяются следующим образом:
Стоит отметить, что несмотря на то, что в данной работе рассматривается свободное распространение волн в океане, такое граничное условие можно использовать, если в интересующий нас момент времени волна находится достаточно далеко от границы расчетной области. Параметры дна, а также параметр її и время счета такие же, как для Рисунков 2.3, 2.4. В качестве расчетной области был взят квадрат со стороной 1 = 7. Начало координат находится в центре квадрата, сетка была выбрана равномерной, и число точек сетки по каждому направлению составляло 10000.
На Рисунках 2.6, 2.7 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численном решении уравнений мелкой воды. Небольшие осцилляции, которые здесь можно наблюдать получаются как результат замены дифференциального уравнения разностной схемой.
На Рисунке 2.8 изображены сечения возвышения свободной поверхности жидкости по оси У, проходящие через точку самопересечения фронта. Более высокое и гладкое сечение — это то же сечение, что и на Рисунке 2.2, а сечение пониже и с осцилляциями — это сечение вдоль оси Y Рисунков 2.6, 2.7.
В данном пункте приводится описание алгоритма, который использовался при построении возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности точек самопересечения фронта. Пусть Г і и Г2 — пересекающиеся участки фронта. Пусть, также для Г і и Г2 построены сетки М\ и М2 соответственно, в узлах которых вычислено возвышение свободной поверхности жидкости по формуле (2.6). Задача заключается в том, чтобы для области M1f]M2 найти сумму возвышений свободной поверхности жидкости. При этом, узлы сеток Mi и М2 не совпадают.
Опишем алгоритм построения результирующей поверхности, вычисленной на сетке М\. Для этого, сначала нужно найти те точки М\, которые попали в область, ограниченную сеткой М2. Алгоритм нахождения таких точек следующий. Пусть Р — точка сетки Мь а г)(Р) — возвышение свободной поверхности жидкости, вычисленное в точке Р. Разобьем область, ограниченную сеткой М2 на области, каждая из которых ограничена двумя соседними отрезками, перпендикулярными участку фронта Г2. Это те же отрезки, которые использовались при построении возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности ре Рис. 2.9. Попадание точки Р сетки Мг в область, ограниченную сеткой гулярных точек фронта. Затем для каждой такой области, заключенной между двумя соседними отрезками, будем проверять принадлежит ли точка Р этой области. На Рисунке 2.9 изображено попадание точки Р в область, заключенную между отрезками А В и CD. Для проверки принадлежности точки Р указанной области, разобьем ее на два треугольника - ABC и ВВС. Опишем проверку на попадание точки Р в треугольник ABC. Рассмотрим вектора РА, Р и как вектора из R3 с координатой х% = О, и вычислим следующие векторные произведения:
Если все координаты х% этих векторных произведений имеют один и тот же знак, то точка Р попала в треугольник ABC. В противном случае точка Р лежит снаружи от треугольника. Если точка Р попала в треугольник ABC или ВВС, то область, заключенная между отрезками АВ и CD разбивается на маленькие треугольники, так как изображено на Рисунке 2.9. После этого находится маленький треугольник, в который попала точка Р. Пусть а,Ь,с — это вершины маленького треугольника, в который попала точка Р, а г](а), г](Ь), г](с) — это возвышение свободной поверхности жидкости, вычисленное в точках а,Ь,с соответственно. В данной работе по этим трем точкам проводилась плоскость П(а, Ь, с, 77(a), 77(6), 77(c)) и вычислялось значение щ(Р) на плоскости П. Окончательное значение возвышения свободной поверхности жидкости в точке P вычислялось как сумма г)(Р) + щ(Р).
Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронта с асимптотикой для окрестности фокальных точек
В данном пункте подробно описывается построение профиля волны в окрестности фокальных точек, а также склейка фокального профиля с профилем для окрестности регулярных точек фронта. В предыдущем параграфе было показано, что размер области, в которой строится фокальный профиль, зависит от того, как ведет себя один из якобианов, (3.5) или (3.6). Важный момент состоит в том, что формула (3.1) справедлива в любой системе координат, которая получена из исходной с помощью сдвига и поворота. Поэтому можно рассматривать только один из якобианов, например якобиан в карте (p1, x2), но вычисленный в повернутой системе координат. В частности, графики для якобиана в карте (p2, x1), приведенные в предыдущем параграфе, это графики, построенные для якобиана в карте (p1, x2), но построенные в другой системе координат, а именно, в системе координат, повернутой на угол 90 относительно исходной. Обозначим через R расстояние от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, в которой якобиан обращается в нуль. Опишем на конкретном примере порядок действий, который использовался в данной работе для построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки. Пусть дно имеет вид (3.7), а параметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.87, a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1.5, b2 = 1.5. На Рисунке 3.13 изображен участок волнового фронта в момент времени t = 6. Также на рисунке изображена прямоугольная область, в которой производилось построение возвышения свободной поверхности жидкости, и окружность, радиус которой равен расстоянию от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, в которой обращается в нуль якобиан.
Сначала вычисляется интересующий нас участок фронта. Также на этом участке фронта находятся все фокальные точки. Фокальная точка, на примере которой будет описываться построение возвышения, имеет угол ipF = 1.043815, координаты {X?, XF) = (-0.63583,3.0728) и импульсы {PF, PF) = (-0.4291,0.60785).
После этого строится возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности тех регулярных точек фронта, которые ближе всего подходят к выбранной фокальной точке. Это то возвышение, к которому мы в дальнейшем будем подклеивать профиль, посчитанный по формулам для окрестности фокальных точек. Возвышение для окрестности регулярных точек фронта, которое используется для склейки, строится на двух участках фронта: (фг-аъфг-а2) и (фг + Ъъфг + Ъ2). Здесь ц а2 0, Ъ2 h 0.
Теперь у нас все готово для того, чтобы начать построение возвышения свободной поверхности в окрестности фокальной точки. Область, в которой строится возвышение, представляет собой прямоугольник со сторонами 1Х,1У. Центр прямоугольника помещается в фокальную точку. Далее прямоугольник поворачивается так, что его сторона 1У становится параллельна импульсу (P[,Pf). В данном примере /І = 10"3, 1Х = 80/І, ly = 20/І. На Рисунке 3.14 красным изображена локальная система координат (х[,х 2), у которой ось х2 параллельна импульсу (Pf,P2). Угол а между осью х\ и осью х[ составляет а = 0.61.
Выше мы обозначили через R расстояние от фокальной точки до ближайшей точки на фронте, в которой якобиан обращается в нуль. Наша задача заключается в том, чтобы отобрать такие углы поворота ОІІ локальной системы координат, чтобы в этой системе координат выполнялось бы неравенство Ri R. Здесь R заданная константа. Мы делаем следующим образом. Берем в качестве исходной системы координат систему (х[,х 2). Далее начинаем ее вращать с каким-то шагом, например один градус, и вычислять величины Ri. После того, как мы сделали полный оборот на 360, мы получили набор допустимых углов поворота локальной системы координат «і,..., адг. На следующем этапе происходит отбор, в результате которого определяется ”лучший” угол поворота.
Отбор ”лучшего” угла поворота происходит следующим образом. Область, в которой построен профиль в окрестности регулярных точек фронта, пересекается с областью, в которой будет строиться фокальный профиль. Вычисление фокального профиля в допустимой для этого области не зависит от положения точки в которой он вычисляется. Напомним также, что профиль в окрестности регулярных точек фронта строится на отрезках, перпендикулярных фронту. Поэтому мы берем граничный отрезок регулярного профиля, который попадает в фокальную область (это будет первый отрезок или последний) и находим все те его точки, которые попадают в фокальную область, т.е. в прямоугольник. В этих точках мы вычисляем профиль по формулам для окрестности фокальных точек. Итого мы имеем: набор точек отрезка (хгЪ xi2),... (хтЪхт2), значения регулярного профиля в этих точках 7?f,... ,т? и значения только что посчитанного фокального профиля в этих же точках rjf,... ,77 . После этого мы вычисляем сумму отклонений Y,\nf- rfj . Мы вычисляем сумму отклонений для всех углов поворота «і,..., адг и выбираем угол а , для которого сумма отклонений минимальна. Можно выбрать другой критерий отбора, например, можно выбирать оптимальный угол а{ из условия max \qf -rjf\ — min. На Рисунке 3.14 зелеными пунктирными линиями изображена локальная ”оптимальная” система координат (V/, х ), которая повернута на угол а = 0.436 относительно системы координат (rzi, ).
Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появление пространственно-временных каустик
1). Начнем с примера, когда на фронте появляются четыре фокальные точки. Дно имеет вид (5.1), параметры дна имеют следующие значения a0 = 0.5, a1 = 0, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 180. На Рисунке 5.1 изображено дно и начальное возвышение свободной поверхности жидкости. На Рисунке 5.7 изображеныволновые фронты в последовательные моменты времени. Также на рисунке контурным графиком изображено дно. Концы арок (фокальные точки) образуют линии, известные как пространственно-временные каустики. На рисунке каустики изображены штрихованными линиями. В начальный момент времени фокальные точки на фронте отсутствуют, затем, из-за неровностей дна, на фронте образуются первые две фокальные точки, после этого появляются еще две фокальные точки. Источник отмечен на рисунке жирной точкой в начале координат.
2). Рассмотрим еще один пример появления фокальных точек на фронте. Пусть дно опять имеет вид (5.1), а параметры дна имеют следующие значения a0 = 0.5, a1 = 0, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 280. В сравнении с предыдущим расчетом, здесь появляются шесть фокальных точек, которые изображены на Рисунке 5.8. Разница между этими двумя расчетами заключается в более вытянутой банке во втором случае. В обоих примерах источник располагается на оси симметрии банки. Также в обоих примерах при дальнейших расчетах других фокальных точек не появлялось. Из Рисунков 5.7, 5.8 видно, что первые фокальные точки появляются уже тогда, когда фронт еще не достиг точки, в которой банка имеет максимальную высоту. Для того чтобы это увидеть достаточно посмотреть контурные графики дна и точки, в которых образовались первые каустики. Фокальные точки могут также появляться и в том случае, когда источник располагается сбоку от оси симметрии хребта. Этот случай рассматривается в следующем примере.
3). Рассмотрим пример, когда функция D(x1, x2) имеет вид (5.1) и параметры имеют следующие значения: a0 = 0.5, a1 = 30, a2 = 350, b1 = 40, b2 = 280. Здесь источник находится также в точке (0, 0), которая расположена не на оси симметрии хребта. На Рисунке 5.9 изображен волновой фронт в разные моменты времени, каустики и источник. Также контурным графиком нарисована функция дна D(x1,x2). Данный расчет иллюстрирует тот факт, что фокальные точки могут образовываться и в том случае, когда источник волны находится не на оси симметрии хребта. Всего здесь получается шесть фокальных точек и, соответсвенно, шесть каустик.
4). Рассмотрим еще один пример, когда волна распространяется над бесконечным подводным хребтом. На Рисунке 5.10 изображен волновой фронт в момент прохождения над бесконечным подводным хребтом. Пунктирными линиями изображены каустики, источник находится в начале координат и отмечен жирной точкой. Здесь функция дна имеет вид (5.1), параметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.5, a1 = 30, a2 = 0, b1 = 40, b2 = 1010. Источник волны расположен сбоку от оси симметрии хребта. На Рисунке 5.4 изображено возвышение свободной поверхности жидкости, расположенное над бесконечным подводным хребтом.
Здесь рассматривается возвышение свободной свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик. Пусть волна распространяется над вытянутым подводным хребтом, который имеет вид (5.1), и параметры дна имеют следующие значения: a0 = 0.87, a1 = 0, a2 = 0, b1 = 1.5, b2 = 34.
На Рисунке 5.11 изображен участок волнового фронта в момент времени t = 100. Источник находится в начале координат, на оси симметрии хребта, и на рисунке он отмечен жирной точкой. Волновой фронт движется в положительном направлении оси x2. Возвышение свободной поверхности жидкости Рис. 5.11. Участок фронта, на котором строилось возвышение свободной поверхности жидкости построено для окрестностей первых четырех точек самопересечения фронта и изображено на Рисунках 5.12, 5.13. Направление возвышения свободной поверхности жидкости зависит от индекса Морса mj, который равен числу фокальных точек, лежащих на траектории. Для данной задачи индекс Морса можно связать с индексом Маслова, который принимает одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3. Первой волне соответствует индекс
Похожие диссертации на Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками
