Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур Тудоровский Тимур Яковлевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Тудоровский Тимур Яковлевич. Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.03.- Москва, 2006.- 88 с.: ил. РГБ ОД, 61 06-1/635

Содержание к диссертации

Введение

1 Эффективная динамика носителя заряда в нанотрубках 25

1.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования 27

1.2 Эффекты, связанные со спином 32

2 Адиабатическое приближение и его разрушение в квазиодно мерных волноводах переменной толщины 36

2.1 Прямой волновод с "неровными" стенками 36

2.1.1 Адиабатическое приближение 37

2.1.2 Квазиклассические асимптотики 38

2.1.3 Сверхвозбужденные продольные состояния 40

2.2 Торический волновод с "неровными" стенками в сильном магнит ном поле 44

2.2.1 Адиабатическое приближение 45

2.2.2 Квазиклассические асимптотики 46

2.2.3 Сверхвозбужденные продольные состояния 48

2.3 Приложения к Главе 2 50

3 Эффективная динамика носителя заряда в наиопленках 53

3.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования 56

4 Обобщенный адиабатический принцип. Операторное разделе ние переменных . 61

4.1 Постановка задачи , 61

4.2 Идея операторного разделения переменных 62

4.3 Схема операторного разделения переменных 64

4.4 К оценке точности асимптотических разложений 71

4.5 Операторное разделение переменных на примере преобразования Фолди-Ваутхайзена 74

4.6 "Сверхвозбужденные" состояния. Скалярный гамильтониан . 81

Список литературы

Эффекты, связанные со спином
Квазиклассические асимптотики
Сверхвозбужденные продольные состояния
Схема операторного разделения переменных

Введение к работе

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - папотрубки и иапопленки. Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные папотрубки [23, 31, 35, 9, 49]. Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве наноструктур из полупроводниковых материалов [30].

Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр трубки и толщина пленки - d~ 1-ьЮнм (ю-г-юо А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2ж/кр ~ 1 им с энергией порядка энергии Ферми ер ~ 1 эВ. Это обстоятельство приводит к эффекту "размерного квантования" в низкоразмерных системах: область локализации волновой функции по поперечным направлениям ~ Л и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется. Характерный продольный размер L наноструктур обычно существенно больше d (например, L ~ 100 им, см. [30]).

Слабость электрон-фононного взаимодействия в наноструктурах приводит к упругому баллистическому транспорту электрона на большие расстояния [31]. Таким образом, наноструктуры можно рассматривать в качестве квантовых волноводов или квантовых проводов, которые предполагается использовать при создании нового поколения наноэлектроники. Специфика квантовых волноводов заключается в том, что электрон обладает спином. Спиновая степень свободы, по-видимому, может существенно влиять на динамику электрона. В свою очередь, можно воздействовать на спин посредством геометрии структуры и внешнего магнитного поля. Последнее обстоятельство предполагается использовать в спинтропике - будущей основе приборов для квантовых вычислений. Здесь спиновая степень свободы является носителем информации [56].

Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкого изогнутого цилиндра с "закрученной границей" и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей вол- новая функция Ф(г,) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок"). Как и в [17, 55], мы полагаем, что квантовые состояния электрона Ф(г, t) (стационарные и нестационарные) в трехмерных наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается нестационарным уравнением Шредингера гДФ₍=Ш> (1) с гамильтонианом Рашбы [45]:

Р² eh ^=^ + ^(г) + г^(М)-—<ст,Н)-г%о. (2)

Здесь г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — ihV — (e/c)A(r, t), h - постоянная Планка, є - заряд электрона, т - эффективная масса квазичастицы, u_int(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, (y_ext, А) - потенциалы внешних полей, Н() = rot А(г, t) - однородное магнитное поле, а = {сті, а%, <т₃} ~ матрицы Паули, %o=a<nt(r) = 0 и условии равенства волновой функции нулю на границах трубок и пленок, получаются модели "пустых структур". Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

В Главах 1,3 рассматривается случай достаточно слабого магнитного поля, когда ларморова частота u># = e|H|/(mc) ~ h/{mdL) и магнитная длина 1ц -^ \/dL, в Главе 2 - случай сильного магнитного поля шц ~ h/(md?), Ін ~ d.

Мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Их малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины d с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Разномасштабность в топких протяженных наноструктурах удобно характеризовать малым "адиабатическим" параметром ti = d/L

Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами L" на оси трубки или на поверхности пленки для волновой функцией ф": ІЩ» = 'iff. (3)

Здесь v - номер подзоны размерного квантования. Для перехода от (1) к (3) мы используем подход, предложенный в [44]. Общая схема подхода приведена в Главе 4. Использованная процедура является обобщением адиабатического метода, восходящего к работе Борна и Оппенгеймера [6].

В случае, когда внутри волновода существует устойчивая классическая траектория, определяемая из решения гамильтоновых уравнений движения с гамильтонианом -К(Р, г) = 2^ + *w(r) + w^(г, О» Р = Р - (е/с)А(г, і). с помощью указанного подхода можно описать не только "возбужденные", но и "сверхвозбужденные" состояния. Для таких состояний период поперечных осцилляции имеет тот же порядок величины, что и время пролета вдоль всего волновода. Однако "мгновенная поперечная энергия" таких состояний включает существенно нелокальные характеристики классической траектории, совпадающей с осью волновода (показатель Флоке). Переход от локального описания к нелокальному для состояний с высокой продольной энергией исследованы в Главе 2.

Как было отмечено, различные характерные размеры и наличие свободных носителей дают возможность рассматривать наноструктуры в качестве квантовых волноводов или квантовых систем с ограничениями [12, 24, 11, 1G, 32, 13, 42, 1, 2, 43]. Близкие задачи, связанные с волноводами, возникают в электродинамике, акустике, теории упругости, физике океана и т.д. Исключение ограничений, приводящее к понижению размерности задачи обычно проводится с помощью адиабатического приближения. Оно эквивалентно асимптотическому разделению колебаний на продольные и поперечные моды. Такое разделение может быть проведено с любой степенью точности по параметру (і. В результате удастся "спроектировать" динамику частицы на ось трубки (поверхность пленки), т.е. вывести эффективные уравнения типа (3). Для уравнения Гельмгольца такое разделение было проделано, например, в [57], где выписано уравнение типа (3) для продольной моды, и показано, что подбирая кривизну волновода можно создать резонаторы с одномодовыми связанными состояниями. В кван-товомеханических задачах подобные уравнения были выведены, например, в работах [24, 11,17, 55, 46, 32, 42, 43]. Заметим, что задачи о волноводах близки задачам физики молекул, при этом роль потенциала конфайнмента играет ку-лоновский потенциал с "замороженными" координатами тяжелых ядер. В математической литературе уравнения, возникающие в разномасштабных задачах, называют уравнениями с оператор позначным символом [58].

Волновые функции продольных состояний ф" могут быть 1) делокализо-ваны и существенно меняться на масштабах порядка L, 2) делокализованы и быстро осциллировать - т.е. меняться на масштабах Ац < L, 3) асимптотически локализованы на малых участка с масштабами Лц *С L. Скорость изменения волновой функции мы характеризуем "квазиклассическим" параметром h = Лц/L, An = h - характерная длина волны для ф". Окончательные формулы для Ф существенно зависят от соотношений между Лц, d и L, что эквивалентно соотношению между параметрами /і и h. Близкая классификация была проведена в [50].

В этой работе мы приводим эффективные уравнения "на подзонах размерного квантования" (3), аккуратно выведенные и пригодные для описания всех перечисленных продольных состояний. Класс этих состояний оказывается существенно шире, чем в работах [24, 11, 17, 55, 32, 42, 43]. Из полученных уравнений следуют появление связанных состояний и ловушек за счет переменной толщины трубки, влияние спина на классическую одномерную динамику в трубках в присутствии магнитного поля, возможность переворота спина в искривленных трубках и т.д [41, 64].

Специфической особенностью рассматриваемых моделей наноструктур является наличие спина у электрона. Поэтому спектр наноструктур описывается уравнением Шредингера с матричным гамильтонианом (2). Подходы к изучению таких уравнений близки использованным в преобразовании Фолди-Ваутхайзена [19] и подстановке Пайерлса. Адиабатическое приближение для весьма общих (матричных) гамильтонианов как реализация квантового осреднения изучалась в работах ]5, 50, 28]. В диссертации используется весьма простая операторная схема адиабатического приближения, предложенная в [44]. В качестве иллюстрации эффективности предложенной схемы рассматривается обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена, справедливое как для нерелятивистских, так и для релятивистских энергий электрона. Автор надеется, что использование развитого подхода в матричных задачах нанофизики, таких как андреевское отражение электронов от границы нанотрубка-сверхпроводник, окажется полезным.

Целью работы является редукция исходного трехмерного нестационарного уравнения Шредингера (1) с гамильтонианом Рашбы (2) на ось нанотрубки и поверхность нанопленки и дальнейший асимптотический анализ полученных эффективных уравнений. Рассматриваются особенности динамики, характерные для различных продольных энергий. Существенное внимание уделяется спиновым эффектам.

Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений для уравнения Шредингера с гамильтонианом Рашбы.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

Получены эффективные гамильтонианы продольного движения носителя заряда в низкоразмерных структурах, использована эффективная операторная схема адиабатического приближения, позволившая провести редукцию размерности для широкого диапазона состояний; с помощью квазиклассического приближения построены асимптотические решения эффективных продольных уравнений с учетом спина, выведены классические уравнения, описывающие спиновую динамику, показано, что для слабо возбужденных состояний спин может существенно влиять на классическую динамику; изучены границы применимости адиабатического приближения и причины его разрушения, для специальных примеров построены асимптотические решения для "сверхвозбужденных" состояний в области энергий, при которых адиабатическое приближение становится неприменимым; проведена аналогия между т.н. "ускорением Ферми" и причиной разрушения адиабатического приближения; на основе "операторного разделения переменных" получено "обобщенное преобразование" Фолди-Ваутхайзена для уравнения Дирака.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные уравнения продольного движения носителя заряда в наноструктурах, по-видимому, могут быть использованы для объяснения некоторых экспериментов. Автор надеется, что рассчитанные эффекты, связанные с динамикой спина в нанотрубках, действительно возникают в определенных ситуациях.

Приведенная в Главе 4 схема адиабатического приближения может быть применена во многих физических задачах для упрощения конкретных вычислений. Построенное обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена иллюстрирует применение указанной схемы и носит академический интерес.

Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся движения заряда в низко размерных структурах получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Беловым (МИЭМ). Вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений. Квазиклассическая динамика спина в нанотрубках изучена автором самостоятельно.

Результаты, выносимые на защиту :

1. Получены эффективные продольные гамильтонианы в искривленных закрученных нанотрубках, справедливые для широкого диапазона продольных состояний;

Построены квазиклассические асимптотики для уравнений с эффективными продольными гамильтонианами для различных продольных энергий;

Изучена динамика спина для различных продольных энергий и различных возможных значений постоянной Рашбы;

Исследован эффект спин-флипа в искривленной трубке в постоянном магнитном поле специальной напряженности;

С помощью использованной общей схемы адиабатического приближения обобщено преобразование Фолди-Ваутхайзена.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на

Международных семинарах "Дни Дифракции" в 2003, 2004 и 2005 годах;

Международном семинаре "Spectral problems for Schrodinger-type operators П" в Берлине (Германия) в 2003 году; семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2004 году;

Международной школе-семинаре "Mathematical Methods in Quantum Mechanics", Брессапоне (Италия), 2005;

Международном семинаре "Mathematical Models of Nanostmcturcs: Spectral Problems and Scattering Properties" в Берлине (Германия) в 2005 году;

6. семинаре Лаборатории нейтронной физики ИТЭФ в 2005 году. Основное содержание работы отражено в 6 публикациях.

Белов, В.В., Доброхотов С.Ю., Синицын CO., Тудоровский Т.Я., Ква-зи классическое приближение и канонический оператор Маслова для нерелятивистских уравнений квантовой механики в ианотрубках, ДАН, v. 393, N4, 2003, 460-464. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov,T.Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004) 109-119.

В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках, Теор. Мат. Физ. 141 (2004) 267-303, V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov and T.Ya. Tudorovskiy, Operator Separation Of Variables For Adiabatic Problems In Quantum And Wave Mechanics, Journ. Ind. Math, (to appear); arXiv:math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005.

В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т.175, N9, (2005), 1004-1010. G. Т.Я. Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат. Заметки, т.78, 6, (2005), 948-953.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Материал диссертации изложен на 88 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 65 наименований.

Основные результаты

Параметры и гамильтониан в безразмерных переменных.

Перепишем уравнение (1) и гамильтониан (2) в подходящих безразмерных переменных. Под характерным "продольным" размером L мы будем подразумевать длину трубки или длину геодезической на поверхности пленки. Через d обозначим характерный радиус трубки или толщину пленки. Перейдем от декартовых координат г в гамильтониане (2) к безразмерным координатам г' = r/L. Введем "магнитную длину" /_Л/ = */ftc/(e|H|), квант магнитного потока Фо = 2тгйс/е, безразмерное магнитное поле как "число квантов магнитного потока через характерную площадь 2ттЬс^ Н' = 2ітЬ<Ш./Ф₀, |Н'| = Ld/l\f и безразмерный векторный потенциал А' = 2хАе//Ф₀. Характерная магнитная длина, соответствующая напряженности магнитного поля 10⁴Гс (1 Тл), определяется следующим образом 1м = ^/hc/e\H\ = y/e/a_Q\H\ z± 20nm, а₀ = е²/he = 1/137. Для d = 4 им длиной L ~ 100 нм получаем Ld/l²_M ~ 1.

Как следует из Введения, характерная поперечная энергия є± = Н²/(т.(Р), характерная поперечная частота и±_ = h/(md²), характерное время (период поперечных осцилляции) ojJ¹. Определим безразмерные потенциалы v'_mt = v_ini/e±, ^vext ⁼ ^ext/sx; безразмерное время t' = cjj}t и безразмерный параметр, характеризующий спин-орбитальное взаимодействие a' = ha/d². Штрихи в дальнейшем будем опускать. Уравнение Шредингера (1) во введенных безразмерных переменных имеет вид:

П = l/2(-7/xV - A)² + umt(r) + y_ext(r, t) + fi/2(tr_} H) + %o, (4) где Tiso = a{cr, [Vumt, —г/^V — А]). Мы будем предполагать, что а < fi.

Динамика носителя заряда и спина в квантовых трубках со сложной геометрией

Криволинейные координаты. Определим подходящую систему координат в окрестности оси трубки. Будем считать, что ось трубки - кривая 7 ~ задана уравнением г = R(x), г Є R³, где R(x) - гладкая вектор-функция, х є К - натуральный параметр на -у (длина трубки, отсчитанная от некоторой фиксированной точки ж*), |Э,Д(а;)! = 1, д_х = д/дх. В случае, если кривизна оси к(х) = \дІЩ ф 0, определен трехгранник Фреие {^R, n = 5^R/|3²R|,b = [<9дД,п]} и кручение оси к{х)\ д_хіі = — кЪ — кд_хК, д_хЪ = хп. Поворачивая п(х), Ъ(х) на угол в(х) = f*,x(x)dx₎ построим вектора Пі(х), п₂(х). Тогда введенные по

Рис. 1: Вид потенциала конфайнмента при наличии "жестких" стенок формуле г = R(x) + у(х,у₁,у₂), у(х,у₁,у₂) = уіп_г(х) + у₂щ(х) криволинейные координаты (х,уі,у₂) в окрестности оси трубки будут ортогональными.

Граничные условия. Будем понимать под периодическими трубками замкнутые трубки или трубки на концах которых для функции Ф выполнено условие периодичности Борна-Кармана. Период трубки будем обозначать L. При прохождении L вектора ni(x), п₂{х) переходят в Щв₀)ііі(х), Щво)п₂(х), где П(#о) - матрица поворота на угол ( = JJ.⁺ x{x)dx. В силу этого, координаты (х,уиУ2) "е являются глобальными - одной и той же точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты (х + nL, П(—пв_а)у), п = О, ±1, ±2,..., где у = {уиУ2}^т - вектор-столбец из двух компонент и условие периодичности имеет вид Ф(ж,у) = Ф(х + L,U(—9₀)у).

Жесткие стенки. Будем считать, что при (уі+УІ)¹^² > <5 волновая функция Ф(:г,у) = 0. Параметр 6 считаем не зависящим от ft. Такое предположение для периодической трубки приводит к дискретному спектру оператора (4). Если потенциал конфайнмента v-_mt(x,y) быстро возрастает при удалении от оси трубки, можно надеяться, что наложение условия "жестких стенок" оказывает "малое" влияние па динамику электрона (см. Рис. 1).

В периодических трубках с жесткими стенками спектр оператора 7І - дискретный.

Эффективный продольный гамильтониан в нанотрубке. Для упрощения формул в дальнейшем ограничимся классом модельных потенциалов вида v_m = V (і*, Дх^ЩФ^'у). ^гД^е D(x) > 0. V(x*, уі, y₂) ~ гладкая функция, П(Ф) - матрица поворота на угол "внутреннего" кручения Ф(х), х*- некоторая фиксированная точка на оси трубки.

Для применения адиабатического приближения следует определить "мгновенные поперечные" функции. Они имеют вид ехр(г{у, A(R)))Wj, j = 1,... , г, где Wj - собственные функции задачи " h² ( д² д² \ І ~2го [ду¹ ⁺ ду?) ^+Vint^^X,y^ ^wj(^x>^y) ⁼ l(^x)^wj(^x>v)- <⁵)

Функции Wj удовлетворяют граничному условию и(х,у) = 0 при (у² + у1)>5 и условию нормировки / W(x,y)fd²y = l.

Наличие номера j у функций wj означает, что значение х(^х) может быть вырождено; мы предполагаем, что кратность вырождения г не зависит от продольной координаты х. Функции w^vAx,y) и ^(х) выражаются через w?(x*,y), є±(х*): w?{x,y) = D-^l(x)w^(x",D~¹(x)ll-^l(x)y)e^⁽-^x-^x"\ єЦх) = Sj_(x*)D²(x*)/D²(x). Для непериодической трубки w,(x*,y) и (3j выбираются неоднозначно, / можно взять равными нулю. Для периодической трубки w^Vj{x, у) и j3j можно выбрать таким образом, чтобы Wj(x, у) были периодическими функциями х. Тогда одномерный по х эффективный квантовый матричный гамильтониан определяется формулами U Р² , \ , .// л Ь²к²{х) е Г /_а„, _Л dA(R{x^f),t)\ , , +ПВ E₂— + L_yE₂- -^E_T {sy, (6) Til itlC где p = —ihd/dx, L_sy = а(А1 {tr,d_xR) -(- M¹ {(7,11^+ M² <<7,n₂)pY

Мы обозначили E_n единичную n x п-матрицу, В - диагональную г х г-матрицу с коэффициентами В$у = fijdjy, Л(х) - г х г-матрицу момента с элементами Ajjr = (wjjwj,) , І = -іЦуід/ду₂ - У2д/дуі), M^k{x), k = 0,1,2 - матрицы размера г х г вида (Л*)#« = -гй (wj, (((^) - ())^) , (М¹)^ = (twj, (d2V_int)Wf)_y, (M²)_jr = - {«, (Siuint)^),, > Ф = ⁵/^Уі' - тензорное произведение матриц, Y(x) = Уіщ + У2П2, Yj_(x) = У2П1 — Уіп₂ - трехмерные "векторы", компоненты которых суть 2x2 "дипольные" матрицы (Yi)jy(x) = \Wj, j/t^J') , г = 1,2. Здесь введено обозначение (vifo у), M^xt у))у = / v>ifo у)Ы^х, у)<Ру-

Для случая А|| t$> d гамильтониан типа (б) был получен в [17, 55]. "Геометрический потенциал" —Н²к(х)²/(8т) необходимо принимать во внимание в длинноволновом случае (Ац ~ L). Именно он порождает связанные состояния в пустом волноводе [57], создавая эффективное притяжения к точкам наибольшей кривизны оси.

Если ф" есть решение эффективного уравнения (3), то функция Ф" восстанавливается по формуле

ФЧя, у, t) a G(x, у)"¹/* (_x"(_Xj _У) _t) + х\) х хехр (ie/(hc) (3,11, A(R))dx) j>^v(x,t)_t G(x,y) = (1- k(y,n))\ w\(x,y) 0 w?(x,y) 0 0 w\(x,y) 0 w%(x,y) XS = exp(i(y,A(R))J Xi ⁼ Xoi^xi P> У> )"^0ПР^еД^еля1Щ^ий поправку дифференциальный оператор, явный вид которого для дальнейшего несущественен.

Геометрические фазы. В незамкнутой трубке для уравнений (3) естественно рассматривать задачу рассеяния и задачу об эволюции волновых пакетов. В периодической трубке условие для Фвлечет блоховское условие для вектор-функции ф^и: ф"(х + L,t) = _еЧ№)ІЇФ*кмЩ<&<ф"(_Х}і), д_ля замкнутой трубки фаза е/{Пс) j^(d_xK,A{R)}dx = 2тгФ/Ф₀, где Ф = f (d_xR, A{R)}d х- поток магнитного поля через область, охватываемую осью трубки, Фо = 2-irhc/e - квант магнитного потока. Такое условие есть проявление эффекта Ааронова-Бома [22].

Перенормировка энергии и квазиклассические асимптотики. Спектр оператора (6) сильно зависит от характера изменения эффективного потенциала, т.е. от эффективной силы, действующей на частицу в направлении оси трубки. Для примера рассмотрим трубку в отсутствие внешних нолей. Тогда эффективный "продольный" потенциал (аналог потенциала Морза в молекулярной физике) в основном определяется "флуктуациями" размеров поперечного сечения и, следовательно, "мгновенной" поперечной энергии ±(х). Рассмотрим периодическую трубку в случаях когда 1) e^u_L = e^v_L(xo) = const и 2) ^{ж) имеет на периоде единственную точку минимума хо. В случае 1) спектр оператора (6) имеет вид Е = ± + sY,ⁿ, На часть спектра sY,ⁿ < є± может существенно влиять кривизна оси, например организовывать связанные состояния (см. [57, 16]) и слагаемые, связанные со спином [55]. В случае 2) точка минимума xq порождает спектральную серию асимптотически локализованных собственных функций ("ловушечных" состояний, аналогичных нижним состояниям ядер в молекулярной физике) и собственных значений E^vn = ±{х₀) +jf\ при этом геометрический потенциал практически не играет никакой роли и может быть учтен по теории возмущений. Продольная длина волны Ац связана с ejl" соотношением |[ⁿ ~ /i²/(2mA|)

Разумно предложить следующую классификацию собственных значений оператора (6) в зависимости от соотношения между єУі^п и ^(х₀): длинноволновые - Ац ~ /₀) jf" ~ (^²Ло)^єі.(^хо)і h ~ 1; средневолновые - Ац ~ y/dQ, ejf¹¹ ~ (сІ/Іа)є±(хо), h ~ у/Ц; коротковолновые состояния - Ац — d, є|" ~ є±(хо), h ~ fi; ультракороткие - Ay ~ d^²(l\, єї,^п ~ (іо/ії)е±(х₀), h ~ ^².

При Ац ~ d²/l₀, ejf" — (/o/^²)^l(^xo), h ~ }i² адиабатическое приближение разрушается. Близкая классификация для абстрактной задачи была проведена в [50]. В случае а) уравнение (3) следует решать точно; в случаях b)-d) можно применять квазиклассическое применение, при этом в случае Ь) спин может влиять на классическую динамику; в случае d) квазиклассическое приближение совпадает с борцовским (см. примеры в 4),

О точности вывода уравнений на подзонах размерного квантования. С помощью асимптотической процедуры п. 4.3 оператор (6) можно построить с любой заданной точностью. Однако, его вычисление связано с определенными техническими трудностями. В п. 4.4 показано, что как правило, можно ограничиться тремя членами разложения оператора W. Более строго, для случаев а)-с) из рассуждений п. 4.4 следуют приведенные ниже два утверждения.

Утверждение 1. Разность между функцией (7) и точным решением нестационарного уравнения (4) при одинаковых начальных условиях на временах, необходимых для прохождения трубки, стремится к пулю при (J, —> 0.

В случае, когда оператор Н не зависит от времени, имеет место

Утверждение 2. Спектральные серии Е^ип операторов L" являются одновременно спектральными сериями оператора Н. Это означает, что разные числа Е"^п приближают различные точки спектра оператора Н. Напомним, что в периодических трубках с жесткими стенками спектр оператора Н - дискретный.

В случае d) характерный период поперечных колебаний md²/h становится сравнимым со временем прохождения частицей трубки mX^lo/fi, тогда мгновенное разделение на продольные и поперечные колебания не имеет смысла и адиабатическое приближение перестает работать. При этом в формуле (7) результат действия оператора Xi ^11а функцию ip" нельзя считать "поправкой": ХгФ" ~ 1-Отвечающая таким состояниям часть спектра оператора 1У не приближает ни- какие собственные значения Н. Такую ситуацию удастся иногда проанализировать с помощью комплексного метода ВКБ [61]. Точность асимптотических конструкций в зависимости от соотношений между параметрами р и h также проанализирована в [43, 1].

Некоторые свойства трубок с круглым сечением. В качестве потенциала конфайпмента выберем v-_m = mQ²(x)(y² 4- yl)f2. Тогда є±{х) = l(x)(u 4-1), кратность вырождения задачи (5) равна и + 1 и следовательно, матричный гамильтониан Ь^и имеет размерность 2(и+ 1)х 2(^4-1). Выберем в качестве Wj собственные функции оператора момента I = —ih{yidfdy2 — Уг^/дуі) = —ihdfdtp, которые имеют вид е¹¹^и^^к{т), I = О, ±1,,.., к = О,1,..., где yi = rcos^, г/2 — г sin v'- В базисе {wj} гамильтониан L^v имеет вид блочно-диагональной матрицы с 2 х 2 блоками L^ui, отвечающими проекции момента на ось трубки, равной I:

Здесь а'(х) = e(mc)~^lH — 2атШ(х)²даД, к(х) - кривизна оси трубки в точке х. Тем самым, вектор ф^и(х, t) составлен из двухкомпоиентных вектор-функций ф"¹{х, t), удовлетворяющих уравнениям: ihip\^l = Ь^ф"¹. Приведем его некоторые точные и асимптотические решения.

Явно решаемая модель для спиральной трубки. Рассмотрим трубку цилиндрически с осью К(х) = (pisin(x/p),—p].co$(x/p),p2z/p), Р = у/р\ + р\> Для нее к(х) = pijp² = const, кручение оси я(х) = р2Ір² = const.

В случае, когда сечение трубки постоянно П(х) = П — const и магнитное поле направлено вдоль оси спирали Н = (0,0, Н), гамильтониан (8) унитарно эквивалентен оператору с постоянными коэффициентами: _1?„, П² д² Й /1 0W .. д\ 1р₂ П²р\ где шн = еН/(тс) - ларморова частота. Поэтому спектр оператора L^vl (8) в бесконечной спиральной трубке непрерывен и имеет вид E^u^l{g) = q²/(2m) + №{v +1)- PiUiill(2p) + h²pl/{8mp⁴) - a^h/(mp)J((g + іпшнр)/2 - am²fi²/p₂) + (am²№lpi) , ct_Tj = ±1.

Пусть волновая функция Ф^х, у) периодически повторяется через каждые N витков. Это условие приводит к блоховскому условию для функции ф^и1 с квазиимпульсом IjiflichpN), 1 = -іав + 1¹в> где Iab = (е/с) j_Q^wp (t^R, A{K))dx = (е/с)ЛГФ, I^l_B — fi//„^ffp >cdx. Таким образом, условие периодичности Ф" имеет вид: N(2-Kpq^ln/h — 7Г — 2itpxl + 2тгФ/Ф₀) = 2тгп. Отсюда следует, что спектр оператора с указанными блоховскими условиями дискретен: E^uln = E^vl(q^ln), где q^ln = {h/p) (n/N + lpijp + 1/2) — Ф/(рФ₀), Ф = кр\Н - поток магнитного поля через площадь проекции спирали. Слагаемое іав есть проявление эффекта Ааронова-Бома, а І¹_В - фазы Берри. Отметим, что Іц = 0 при I = 0. Из [43] следует, что в случае невырожденного терма 1в = 0 для произвольного сечения трубки. При рг = 0 Е"^ы определяют спектр замкнутой торической трубки.

Далее мы исследуем ситуации, когда к уравнению (3) можно применить квазиклассическое приближение.

Динамика спина в коротковолновом режиме. Рассмотрим трубку переменной толщины с Q(x) ф const и нестационарное уравнение Шф%¹ = Ь^и1ф^и1. Исследуем в "коротковолновом режиме" [43] эволюцию волновых пакетов ip^vt(x,t), заданных условием ф^и1(х,0) = ехр(іЗц(х)/її)Ац¹(х), где A^vl -двумерный вектор. В этом случае функции ф"¹ имеют квази классический вид и восстанавливаются по 1) траекториям X(xq, t) уравнения Ньютона тх = -Ш'(х)(і> + 1), x\t=o = X(x₀>t), ^mi|t=o = {дЗ/дх)(ха), 2) решениям А"⁽(х₀,) уравнения для спинора A^vl\ dA^vl/dt - (i/2) < A^vl = 0, A%₌₀ = <(x₀), (9) где вектор a'(x) определен в (8).

Если при t < t* якобиан J^vl(xo,t) = \дХ/дхо\ ф 0, то ф"¹(х,і) ^ _eis^₀^.t\m+iHM^U)A^(x₀{x,t),t)/y/J"^l(x₀(x,t),t), где S"(x₀,t) = S%(x₀) + J*[{m/2)X{x_0i t)² - ЩХ{х₀, t))(v + l)]dt, 0{x_o, t) = (1/2) &(д_хЩХ(х_0> ()),НЦ, Xo(x,t) - решение уравнения X(t,x₀) = x относительно Xo- При t > t* -после появления фокальных точек ( например, в местах сужения трубки и вблизи ее конца ) асимптотика определяется с помощью канонического оператора [60].

Спектральные асимптотики в коротковолновом режиме. Пусть в трубке переменной толщины функции Ф" удовлетворяют условию периодичности через каждый виток спирали, и частота Г2(х) с тем же периодом имеет на витке единственную точку минимума х₀. Тогда функции, отвечающие энергии E^vln < тахє^(х) локализованы в классически доступной области; функции, отвечающие E^uln > тах^(х) делокализованы и описывают "баллистические" состояния [14].

Локализованные состояния можно разделить на

1) низколежащие, соответствующие осцилляторному приближению (приближению Борна-Оппенгеймера для (1)) со спектром E"^nl и ht(x_Q)(u +

1) + ft/^y't" + 1/2) - *%Ш*ш{а) - f Язі + fer_n|(e/c)H -2ат1П²(%о)д_хТ1(хо)\, где стц = ±1 отвечают направлению спина по или против вектора (е/с)Н— 2ат1С1(х₀)²д_з:'К(хо)\ и

2) возбужденные, соответствующие быстроосциллирующим ВКБ-решениям, со спектром Е*^1п = Е%^п - Щ\^п - йы?^п + 0(^²), где Е%^п находится из условия квантования Бора-Зоммерфельда -j^Vdx = h(n + 1/2), V = j2m{EQⁿ — Ш(х)(у + 1)). Здесь Х\ < х₂ суть решения уравнения V = О, и^^г = el(2mdT)-¹ f*(d_xR(X(xo,t)),H)dt = el{mcT)~^l Ц{д_х^П)тГ-Чх, Т = 2J**mV~^ldx - период замкнутой траектории на уровне энергии Е, ш^^ы -показатели Флоке матрицы моиодромии системы (9) (вещественные в силу самосопряженности матрицы (cr, a*(x(f))) и такие, что —х/Т < w¹ < т/Т). Для локализованных состояний фазы 1_АВ — О, 1_В — 0.

Спектр баллистических состояний имеет вид Е = Е — t&j^f¹ — hu)¹ + hu^l_B + 0(u²)_t где Eq¹ определяется условием J₀^np Vdx = 2жНп — 1_ЛБ, Wj"' = eZ(cr)-¹ f**^pN{д_хК,Н)Г-Чх, T = ft*^pNmV-^ldx, <"< - показатели Флоке системы (9), u_B = (hT)~^lI^l_B.

Спин-орбитальное расщепление и теория возмущений. Пусть Н = 0, а <ёС (mfi)^-1. Тогда поправка uJ^v_s^nl может быть подсчитана с помощью теории возмущений [55]. Действительно, матрица моиодромии уравнения (9) М = Е + 2aml Q(X(x₀,0)²(o-,3rRp((a:o,0)>^di + 0(а²), и показатели Флоке с точностью 0(а²) суть собственные числа матрицы 2amlT~¹ J_Q H(X(xQ₎t))²{tr,d_xR{X(xo,t)))dt = 2amlT~^l j^^pN ВД<ег, д_хЩх))тТ-Чх. Подчеркнем, что теория возмущений работает только при а < (тП)^-1.

Влияние спина на классическую динамику слабовозбужденных состояний в зависимости от направления Н. Пусть ja'(x)| Ф О (термы не пересекаются) и 1(х) = П = const. Тогда система урав нении имеет быстроосциллирующие ВКБ-решения, кото рые восстанавливаются по траекториям двух классических систем тх = -W_n [43], где v^l_n = -еП{2тс)-Цд_хВ.,П)1 - (ff_U/2)ft|a^l(i)|, |а<(х)1 = ^/и²_И + (2атПЧ)² -2{е/с)ат²(д_хК, Н).

Экстремумы tij| находятся из условия (|а^г(х)| — а_патП²)д_г(-(1/2){д_хК,К)1) = 0. Точкам минимума uj| соответствуют "ловушки". Для направления <т^ минимумы и максимумы потенциала v\, соответствуют минимумам и максимумам —(l/2)(d_xR,H)l, т.е. фазовый портрет спиновой частицы качественно совпадает с фазовым портретом аналогичной бесспиновой. Но для направления <7| аналогичная картина имеет место при условии олтШ² < |а^г(х*)[, где х* соответствует точкам минимума и максимума —(1/2){д_хК,Ы}1. Для направления о~[ максимум потенциала повышается на величину (Л/2)|а'(х*)] по сравнению с бесспиновой частицей, а для (7_Т понижается на ту же величину. Отсюда следует любопытная возможность сепарировать спиновые частицы с заданной проекцией момента /: в диа- пазоне энергий hU(v +1)- he(2mc)-^l{d_xR(x*),H)l - (h/2)\a^l(x*)\ < Е < hQ(u + 1) — Не(2тс)~¹{д_хТІ(х*)_уЇІ)1 + (Н/2)\а'(х*)\ частица с направлением спина <7т будет проходить через трубку, в то время как частица с направлением спина U[ будет отражаться от нее.

Если атїї² > \а¹(х*)\, то для направления с_т в центре "магнитной" ловушки (точке минимума — (1/2)(д_хИ, Н)() возникает барьер - ловушка распадается на две; в точках максимума -(1/2)(^ Н)1 появляются дополнительные точки минимума,

Переворот спина (спин-флип). Рассмотрим случай е/(тс)Н = 2атЮ,²д_хЩх*). Тогда х* есть точка минимума —(l/2)(3_3;R₁H)i, a |a'(z*)| = 0. В этом случае в точках х* имеет место пересечение термов, которому соответствует "переворот" спина. В качестве примера возьмем ось в виде дуги окружности R(x) = p(cos(x/p),sm(x/p),0) и поле e/(mc)H = 2ат1П²(—1,0,0). Тогда потенциал и|| = —h\l\u>н sin(x/ р) — а"||Йшя|зіп(х/4 — х/(2р))\ и х* = кр/2, причем главный член ВКБ-решения уравнения (3) определяется уравнениями тх = -(v±)', где ?4 = — h\l\unsm(x/p) =F hwj{sm(n/4 - х/(2р)) [52]. Потенциал v^l_± не совпадает с потенциалом vi,.

Разрушение локального описания в квазиодномерных волноводах

Описание модели. Рассмотрим торический волновод с параболическим потенциалом конфайнмепта. Приложим сильное однородное магнитное иоле, направленное перпендикулярно плоскости, в которой лежит ось волновода (окружность). Собственные функции Ф в таком волноводе удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера *- + ¹ (__iu± , Щро + wfY _ tf _ &_ ду² ⁺ (ро + №)² \ % 2ц J 4(р₀ + w)* dz^ +П²(<р)у² + П²₂(<р)г²}Ъ = ЕУ. (10)

Безразмерные переменные введены аналогично предыдущему пункту. Напряженность магнитного поля выбрано так, что їм ~ do. Ограничимся состояниями, для которых мгновенная (средняя) поперечная кинетическая энергия Ех{Ф) = {Ф| (~д²/ду² — d²/dz²)ty)y_Z(2{—ipdfd

2₎/(2р))²^)_уг(^р) <; р~², для исследования уравнения (10) можно использовать адиабатическое приближение.

В случае, когда Е\\((р) ~ р~², период поперечных осцилляции сопоставим со временем прохождения волновода. Адиабатическое приближение ста- новится неприменимым и для решения (10) следует воспользоваться подходом Леонтовича-Фока (методом параболического уравнения) [54, 48] (см. также [39, 61]). В отличие от адиабатического приближения, при таком подходе представление о локалъной мгновенной поперечной энергии теряет смысл. Описание опирается на глобальные классические характеристики (Флоке-решения и показатели Флоке) классической траектории, совпадающей с осью волновода.

Адиабатическое приближение. Рассмотрим асимптотики спектра и собственных функций в адиабатическом приближении. Для простоты ограничимся случаем Е\\(<р) ~ 1.

Сильное магнитное поле приводит к появлению переменной эффективной массы т(у>) = 1 + Н²/ПІ(ір). Представляя Е* = е?"*¹ + fiE?"*ⁿ + 0{{i²), находим і jT ^2m(n-iu")Mp = /m, *' "<" l¹^, (11) +и(ЕГ^2П){Нрї/№)}, ш=Ц, T= [ ¹ Jo L^J(A) ^— ^uett ). где П²{<р) = П\{<р) + Н*, C(^) = ПЫ(.₁ ₊ 1/2) + П_гЫ(.₂ + 1/2), №²/(V)} означает дробную часть числа квантов магнитного потока, проходящего через площадь, ограниченную осью волновода: {Нр²₎/(2р,²)} = {Hirpl/(2nfi²)} = Ф/Фо, где Ф = Няро/ц² - поток магнитного поля через площадь хр²,, Ф₀ = 2тг -квант магнитного потока.

Асимптотические собственные значения Е^и'^і1"^іП двукратно вырождены. Асимптотики вещественных собственных функций имеют вид

Ф(<р, у, z) = N(p₀ + ЮГ^1/2[2(Е - ь^Г)Г^1/4РМ^/2 х ххго^-я^/ад,^*) -Hp²₀(ip-0)/(2ii²) + S(2n-v:}r)podv, где tfo - специальная точка на оси [14]. "Супервозбужденные" состояния и разрушение адиабатического приближения. В случае "сверхвозбужденных" состояний асимптотические собственные значения имеют вид = H([Hpl/(2fi²)} + п) + РМ + 1/2) + № + 1/2) + 0(/0, (13) ср. [22] (стр. 25). Здесь [Н р²/(2(х²)] означает дробную часть числа квантов магнитного потока через площадь, ограниченную окружностью р = ро- Наличие слагаемого Н[Н ру {2{г²)\ в (14) есть следствие эффекта Ааронова-Бома,

Частоты Pi, 02 определяются следующим образом. Рассмотрим два обыкновенных дифференциальных уравнения с периодическими коэффициентами

С\ + (Я² + fi?(m))d =0, С₂ + n²₂(Ht)C₂ = 0. (14)

Пусть Ci = Z\e^l^^ib, <7₂ = 2)2^¹ - Флоке-решения (блоховскиє функции) этих уравнений. Коэффициенты /?i, {3₂ называются коэффициентами Флоке. В случае, если мнимая часть одного из коэффициентов Флоке отлична от нуля, имеет место неустойчивость, эквивалентная изменению поперечной энергии классической частицы при прохождении ею волновода. В этом случае формула (14) неприменима. Если оба показателя Флоке вещественны, формула (14) определяет асимптотический спектр.

Асимптотики собственных функций, отвечающих собственным значениям fivivyn. _имеют _ВИд "^1/2x{sin ( _nw = N^NMZtF¹'² х \ [ {[HpH{2h)\ + n)(v» - Ы + +ljfjV + ^Hj^² - (^ + l/2)Arg(Z0 - {u₂ + l/2)Arg(Z₂) ] x хехр(-_У²/(2|2₁|²)-г²/(2|2₂|²))Я,₁(у/|2₁|)Я₁,₂(_г/|^|), (15) где v = ^~^ll^A2~^²{v\)~¹^², знаки '±' соответствуют cos и sin.

Собственные значения Е"¹"²¹¹ асимптотически двукратно вырождены. В случае, когда E^VlU2n приближают два невырожденных собственных значения яр« _< «_?к>_П) р_{асщепле}ние Е^^п - ЕТ^гп = 0(ц).

Сравнение возбужденных и сверхвозбужденных состояний. Ускорение Ферми. Формулы (14), (16), в отличие от (11), (13), содержат только локальные мгновенные (при фиксированном <р) характеристики волновода. Физически это связано с тем, что за период поперечных осцилляции в адиабатическом приближении продольные координата и импульс частицы не успевают существенно измениться, испытывая лишь "незначительные осцилляции". В результате задача сводится к описанию осреденнного продольного движения. Мгновенная поперечная динамика определяется при "замороженных" продольных координате и импульсе.

В то же время, в случае сверхвозбужденных состояний время прохождения волновода сопоставимо с периодом поперечных осцилляции. В силу этого, продольная и поперечная динамика оказываются связанными, мгновенная поперечная энергия начинает зависеть от геометрии всего волновода. Если формулы (13), (11) справедливы при любых магнитных полях, то (14), (16) применимы лишь при полях, попадающих в зону устойчивости (15), При других значениях поля имеет место хаотическое поведение.

Задача с осциллирующими стенками (15) хорошо известна в классической механике [65]. Она была впервые рассмотрена Ферми; поэтому возможное ускорение частицы в этой задаче называется "ускорением Ферми". Естественно сказать, что зоны неустойчивости в (10) возникают вследствие ускорения Ферми, разрушающего регулярный спектр.

Обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена как адиабатическое приближение.

Преобразование Фолди-Ваутхайзена [19] представляет собой последовательную процедуру, позволяющую получить нерелятивистские уравнения электрона и позитрона с гамильтонианом типа Паули для частиц с кинетической энергией <; тс² (v -С с) в слабом электромагнитном поле из уравнения Дирака с помощью унитарного преобразования. В этом разделе мы рассмотрим обобщение преобразования Фолди-Ваутхайзена и построим гамильтонианы электронов и позитронов в слабом электромагнитном поле, справедливые для кинетических энергий < тс².

Мы стартуем с уравнения Дирака (с = 1): ih—Яг = ЙФ, П = атг + рт + еФ, (16)

а= {а_иа₂,т}_} ^Qi⁼l_a. q)' ^~(о где 7Г = р — еА, р = — г/iV, Е - единичная 2 х 2-матрица, а <7$, г = 1,2,3 - стандартные матрицы Паули, удовлетворяющие соотношению OiOj = <5^ + iijk&k, где S{jk - абсолютно антисимметричный тензор.

Введем характерные параметры задачи: А_с = Н/(тс) ~ комптоновская длина волны, тс² - характерная величина полной энергии частицы. Предположим, что электрическое и магнитное поля достаточно слабые: е\_сЕ еЛ_сЯ тс²

ЗА <1, Я=-—-УФ, II = rot А.

Другими словами, в нашем приближении потенциалы полей "медленно" зависят от пространственной переменной г и времени t. Иначе можно сказать, что мы имеем задачу с малым параметром перед производными по г и і. Будем формально ассоциировать малый параметр с постоянной Планка ft, стоящей перед этими производными.

В п. 4.5 показано, что при указанных предположениях уравнение Дирака (17) сводится к двум уравнениям Шредингера для электронов и позитронов ihtpt = Ь⁺ф⁺, іГіфї = 1~І>~- (17)

Здесь ф⁺, ф~ - волновые функции и операторы L⁺, L~ - 2 х 2-ыатричные гамильтонианы электронов и позитронов соответственно. Электронный и пози-тронный гамильтонианы не являются полиномами по р, поэтому их удобно задавать с помощью вейлевских символов (см. напр. [51]) _І+=_І+(±Ь,_Й), i-=L-(±b,_ft).

Показано, что вейлевские символы электронного и позитронного гамильтонианов имеют вид ... .. /-=-—s , , eh(o-H) еП(т[Е х 7г] ^V ^; 2 Vm² + 7Г² 2^т² + тг ²(Vm² + тг² + т) eh² _ЛЛ e*h²E² __2| „ ^; 2 Vm² + 7Г² 2y/m² + n²(Vm² + n² + m) ^eft2 a^ e²h²E² _,_». .. _/1п.

8m² 8m³ где черта сверху означает комплексное сопряжение. Символы L⁺, L~ зарядово сопряжены: L~{p,r₇e) = -I+{-p,r,-e).

Благодарности

Результаты диссертации были получены в рамках проектов грантов DFG-PAH и РФФИ 05-О1-00968а.

Автор благодарит за дискуссии В.А. Гейлера, К.В. Паикрашкина, Л.А. Чер-позатонского. Работа выполнена при поддержке грантов DFG-PAH и РФФИ 05-01-00968а.

Особую благодарность я выражаю научному руководителю проф. д.ф.-м.н. С. Ю. Доброхотову за помощь, оказанную автору за время обучения в аспирантуре. Я очень признателен В. В. Белову за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, которые были учтены в окончательной редакции. Я также благодарю С. Я. Секерж-Зеньковича за моральную поддержку и полезные дискуссии во время подготовки диссертации.

Эффекты, связанные со спином

Моделирование эффективных потенциалов. Укажем в заключение на одно из элементарных, но любопытных свойств перечисленных выше уравнений, порожденных возможностями нанотехнологий: меняя геометрию трубки, помещенной в однородное электрическое поле, можно моделировать различные эффективные одномерные потенциалы.

Рассмотрим сначала трубку постоянного сечения, ось которой- плоская кривая на плоскости (гі,г2). Пусть электрическое поле с напряженностью Eext направлено вдоль оси Ох2- Тогда эффективный потенциал имеет вид р = уезЛ(Т1(х)) = 7?ext 2( ) Если трубка изогнута не очень сильно по отношению к оси и, то х « п. Таким образом, выбирая ось трубки в виде подходящей кривой т"2 = (ri), можем моделировать потенциальную, двойную потенциальную яму и т.д.

В качестве примера неплоской трубки рассмотрим винтовую линию R(x) = fa cos(x/yJp\ + pl)}pi віп(аг/д/рї + Р22), /W\/pi + РЇ) (pi = cnst, Рг = const - параметры) в поле ,ext(0,sino;,cosa;). Эффективный потенциал содержит осциллирующую и линейно возрастающую составляющие: (р(х) = - sinai extpi rni{xj\Jp\ + pi) — х cos аі?ехїр2/\/Рі + p\- Если a = x/2, то есть поле направлено перпендикулярно оси трубки, мы получаем периодический потенциал, а выведенные выше уравнения в первом приближении совпадают с уравнением Матье, а в случае а = 0, т.е. поле направлено вдоль трубки, мы получаем уравнение Эйри. Более сложный пример, когда ось трубки служит обмоткой тора: в этом случае можно получать, в частности, почти периодические потенциалы. Подобных же результатов можно добиться, меняя вдоль оси толщину трубки.

Явно решаемая модель для спиральной трубки Рассмотрим трубку с осью R(x) = (p1sm(x/p), piCos(x/p),p2x/p)l р = VPT+РІ- ДЛЯ нее Кх) = pi/p2 = const, кручение оси к{х) = р2/р2 = const. Следующее утверждение принадлежит В.В. Белову, СВ. Николаеву, СО. Синицыну.

Утверждение 1. Пусть і) сечение трубки постоянно Q{x) = її = const и магнитное поле Н = {О, О, Я). Тогда гамильтониан (8) унитарно эквивалентен оператору с постоянными коэффициентами:

Следствие 1. В предположении і) спектр оператора Lvl (8) в бесконечной спиральной трубке непрерывен и имеет вид Evl{q) = q2/2 + Q(v + 1)-рр2Н1/(2р)+рУ2/(8р )-ап(р/р)у/{(Я + Нр)/2- al№p2)2 + {аІ&Рі)2,ще an = ±1.

Пусть волновая функция Ф"(х, у, р) периодически повторяется через каждые JV витков. Условие периодичности для функции Ф" приводит к блохов-скому условию для функции ф"1 с квазиимпульсом I/(2irpN), І = -Ілв + /д, где IAB = j pN(dxR,A(K))dx/p = NQ/p, IlB = lf pN xdx. Таким образом, условие периодичности Ф" имеет вид: N(27rpqln/p — х — 2-кркІ + Ф/р) = 2жп.

Утверждение 2 Спектр оператора Lvl с указанными блоховскими условиями дискретен: Evln = Eui{qin), где qln = {р/р) {n/N + lp2/p + 1/2) - Ф/(2жр), Ф = кр\Н - поток магнитного поля через площадь проекции спирали.

Слагаемое /дд есть проявление т.н. эффекта Ааропова-Бома, а 1В - фазы Берри. Отметим, что /в = 0 при / = 0. Из [43] следует, что в случае невырожденного терма 1в — 0 для произвольного сечения трубки. При р2 = 0 " " определяют спектр замкнутой торической трубки.

Динамика спина в коротковолновом режиме Рассмотрим трубку переменной толщины с Sl(x) ф const и нестационарное уравнение ipipf = Lvityvl. Исследуем эволюцию волновых пакетов " (Х,І,/І) с условием ipul{x-, 0,/() = CXP(ISQ(X)/P)AQ(X), где Avl - двумерный вектор ("коротковолновый режим", см.[43]). В этом случае функции фиі имеют квазиклассический вид и восстанавливаются по 1) траекториям X(xo,t) уравнения Ньютона х = — W(x)(u + 1), x\t=o = - ( o,0i (=о = ф оІдх){хо)і 2) решениям Л"г(хо,) уравнения для спинора Avl\ dAvlldt - (г/2) (a,al(x(t))) А"1 = 0, А%=0 = А$(х0). (1.15)

Утверждение 3. Предположим, что при t t rl{xQ,t) = \dXjdxQ\ ф 0. Тогда при t t фи1(х,і, ) = e s"(x0(x,t),o/f«-Htf(Xo( 10) [A"l(XQ{x, t), t)(rl(X0{x, t), 0) 1/2 + O(fi)], где 5"(яг0,0 = SS(xQ) + f [(l/2)X{x0,t)2 - Q{X{x0,t))(u + l)]dt, 0(xQ,t) = (1/2) fQ{dxR(X(xo,t)), H.)dt, Х0(х, t) - решение уравнения X(t,x0) = x относительно XQ. При t t (после появления фокальных точек) асимптотика определяется с помощью канонического оператора Маслова [58]. Фокальные точки появляются, например, в местах сужения трубки и вблизи ее конца.

Спектральные асимптотики в коротковолновом режиме Пусть в трубке переменной толщины функции Ф" удовлетворяют условию периодичности через каждый виток спирали, и частота Q(x) с тем же периодом имеет на витке единственную точку минимума хо- Тогда существуют два типа асимптотических собственных функций [14]. Функции, отвечающие энергии Euln тах _(х) локализованы в классически доступной области; функции, отвечающие Evln max (x) дел окал изованы и описывают "баллистические" состояния.

Локализованные состояния. Локализованные состояния можно разделить на 1) пизколежащие, соответствующие осцилляториому приближению (приближению Борна-Оппенгеймерадля исходной трехмерной задачи), и 2) возбужденные, соответствующие быстроосциллирующим ВКБ-решеииям.

Квазиклассические асимптотики

Ранее уже отмечалось, что адиабатическое приближение позволяет "заморозить" мгновенные значения медленных ("продольных") координат и импульсов и построить мгновенные быстрые ("поперечные") волновые функции. При этом конечно предполагается, что за время быстрых ("поперечных") осцилляции продольные "координата" и "импульс" изменяются незначительно. При возрастании продольной энергии частицы в волноводе такое "локальное" разделение переменных перестает работать. Вообще говоря, в этом случае малый параметр "исчезает" и спектр становится хаотическим.

Однако существует важный частный случай, когда для таких "сверхвозбужденных" состояний также можно выделить некоторую регулярную часть спектра. Эта ситуация имеет место, если в волноводе существует устойчивая классическая траектория, определяемая из решения гамильтоиовых уравнений движения с гамильтонианом 7{(р,х,ру,у) /х-2, а в разложении коэффициентов уравнения можно сохранить лишь квадратичные слагаемые по "отклонению" от этой траектории. Такая ситуация рассматривалась в [48, 39, 61].

Рассмотрим эту ситуацию подробно для исходного уравнения (2.1), Удобно с самого В данной ситуации поперечные колебания оказывают малое влияние на быструю продольную динамику. Поэтому частица движется в продольном направлении практически свободно. Физически естественно рассмотреть движение в системе отсчета, в которой относительные поперечная и продольная энергии имеют одинаковый порядок.

Представляя функцию ф в виде ряда ф = ф0 + пф\ + ..., получим для фо следующее уравнение:

Введем "собственное время" t = х/р и сделаем замену о = єхр[г(і51/ГІ — p2/2)t/h]ip. В результате для функции р получаем "нестационарное" уравнение Шредингера в движущейся системе координат:

Уравнение (2.21) есть уравнение квантового осциллятора с переменной частотой. Оно имеет естественную физическую интерпретацию - в системе координат, движущейся вдоль оси волновода со скоростью частицы, возникает задача с "осциллирующими" стенками.

Если вместо конечного волновода рассмотреть бесконечный периодический волновод с периодом 27Г вдоль оси, частота Cl(pt) в уравнении (2.21) будет периодической функцией времени і. Таким образом, мы приходим к нестационарной задаче с гамильтонианом Флоке.

Хорошо известно, что (2.21) имеет точные решения в виде когерентных состояний [48, 39, 61]. Для их нахождения введем операторы рождения A+(t) и уничтожения A{t) с коммутационным соотношением [А, А+] = 1. Эти операторы являются динамическими инвариантами, т.е. действуя на решение ц \ уравнения (2.21) они дают решение (р2 того же уравнения.

Подставляя функцию tp2 = A pi в уравнение (2.21) и пользуясь тем, что ц \ также удовлетворяет этому уравнению, находим: Последнее уравнение выполнено, если выполнено операторное равенство Будем искать оператор Л, удовлетворяющий (2.23), в виде Подставляя (2.24) в (2.23), находим, что коэффициенты B(t) и C(t) удовлетворяют уравнениям С = В, В= Q2(pnt)C. (2.25)

Коммутатор [J4)J4+[ = (21)-1 {ВС — ВС). В скобках стоит вронскиан системы (2.25), поэтому [А, А+] = const. Для того, чтобы операторы А, А+ удовлетворяли бозонным коммутационным соотношениям необходимо, чтобы (ВС — ВС) = 2І. Этого всегда можно добиться, если В и С комплексные решения. Найдем вакуумное состояние из условия A{t)ip = _L[C( )ftj - iB(t)r,]MV,t) = 0. (2.26) Нормированное решение этого уравнения имеет вид tpo{y,t) = -W rll2txv(iB(t)C-\t)tf/2). (2.27)

Временной множитель перед экспонентой выбран из условия, что tpo удовлетворяет уравнению (2.21). В справедливости решения (2.27) легко убедиться непосредственной проверкой.

Легко убедиться, что ImfBC -1) = 1/{2І){ВС 1 - C lB) = 1/(2г)\С\-2(СВ -ВС) = \С[ 2 0. Таким образом, как и следовало ожидать, функция tpo(r],t) быстро убывает при любом t.

Околовакуумные когерентные состояния можно найти, действуя оператором рождения на вакуумное состояние и пользуясь соотношением j4+f,f) = y/v -\- \\и + l,t). Отсюда находим Р.Ы) = 2-» 2(v\)-V2ipQ(y,t)exp(-ivO(t)/2)Hl,(y/R), (2.28) где tf( ) = АгЄС((), 1/ = 4/ .

Видно однако, что функции (2.28) при произвольно выбранных В и С не являются асимптотическими собственными функциями, т.к. они не удовлетворяют периодическим условиям на концах волновода. Чтобы удовлетворить граничным условиям, выберем в качестве решений (2.25) Флоке-решения B(t) = W{t)eil3t, C(t) = Z(t)ei0t, где W(t), Z(t) - периодические функции t, a /3 - показатель Флоке. Тогда R(t) и BC l(t) - периодические функции времени, 0(t) = /3t + Avg(Z(t)). Настоящие асимптотические собственные функции есть мнимая и вещественная часть (2.29). Пользуясь равенством ЖГ1 = НеСЖГ1) + і \ха{ВС-1) = ЩСС 1) + i\Z\ 2 = \Z\"x\Z\t + i\Z\ 2 окончательно находим: ФГ = NW\Z\-W х { 2 (ф - х0) + }V -{и + l/2)Arg(Z)) х х exp (-y2/(2\Zf)) Hv(y/\Z\), N„ = тг- - И-1 (2.32) где хо - специальная точка па оси [14]. Вид (2.31) асимптотических собственных значений очень похож на выражение (2.15), необходимо только заменить среднюю частоту U индексом Флоке /3. Но существует большая разница между этими формулами. Во-первых, зависимость от частоты во втором случае более сложная, чем осреднение в первом, и, в противоположность П, (3 зависит от продольного квантового номера

Во-вторых, для некоторых значений п показатель Флоке системы в вариациях (2.25) может становиться комплексным. Это означает, что классическое движение вдоль оси волновода не является устойчивым - существуют решения (2.21) с растущей и убывающей поперечной энергией. Для этих значений п формулы (2.32) перестают быть справедливыми. В адиабатическом приближении такого рода эффект принципиально отсутствовал, т.к. значение поперечной энергии определялось лишь "мгновенным" значением частоты 1(х).

В третьих, в отличие от (2.15), функции (2.32) "нелокально" зависят от переменной х (через систему в вариациях).

По-видимому, ширина лакун возрастает вместе с ростом продольной энергии. В конце концов зоны устойчивости становятся очень маленькими и исчезают, это значит, что для высокой продольной энергии в квантовом волноводе имеет место хаотическое поведение.

Задача с осциллирующими стенками (2.25) хорошо известна в классической механике [65]. Она была впервые рассмотрена Ферми; поэтому возможное ускорение частицы в этой задаче называется "ускорением Ферми". Естественно сказать, что возникновение зон неустойчивости в (2.25) порождены аналогом ускорения Ферми, разрушающего регулярный спектр и адиабатическое приближение.

Рассмотрим теперь более сложный случай движения частицы в трехмерном квантовом торическом тонком волноводе с мягкими стенками, помещенном в однородное сильное магнитное поле. Аналогично предыдущему разделу мы полагаем, что толщина волновода р\ таким образом частота (параболического) потенциала конфайнмента в случае мягких стенок рГ2.

Сверхвозбужденные продольные состояния

В методе Борна-Оппенгеймера для скалярного гамильтониана Ті [6], главный член асимптотики функции Ф(х, у, t,/i) представляется в виде произведения

Такое представление, однако, работает лишь для сравнительно простых гамильтонианов Ті. В более сложных случаях (см. [19, 5] и п.4.5) представление (4.6) обобщается на основе идеи квантового осреднения.

Рассмотрим вначале следующую задачу на собственные значения оператора ТСо (эффективные гамильтонианы или "термы"): По (р, х, -i-Q-,V, А Хо(р, х, у, t) = #efF(p, х, t)xo(p, ж, У, t). {4.7)

Для простоты будем считать, что спектр этой задачи дискретный. Выберем некоторое собственное значение Н%$, Пусть это собственное значение /г-кратно вырождено. Ограничимся случаем когда к не зависит от р, х, t. Тогда существуют к независимых собственных вектор-функций Хо , — 1» , задачи (4.7). Выберем их ортонормированными: {(Л+ХоКі,,)у = 4

Здесь (хо )+ означает эрмитово сопряжение (комплексное сопряжение и транспонирование) вектора Хо { )у обозначает интегрирование f dyi... J dym выражения в угловых скобках. В качестве решения Хо задачи (4.7) будем понимать матрицу со столбцами Хо

Будем искать решение (x,ytt,fjt) уравнения (4.1) в виде [44]: і б 2 Ф(х, у, t, fi) = Х"(- Р tj. я. У, t, V-Жх, t, ft), (4.8) где x" - k x s-матричный псевдодифференциальный оператор с символом Х(р, х, у, t, fi) = Хо(р х, у, t) + цХіІР, x,y,t) + ..., (4.9) ip(x,t,(j) - вектор-функция с к компонентами. Оператор х" называется "сплетающим". С физической точки зрения, представление (4.8) означает, что мы "замораживаем" не только медленные переменные х как в формуле (4.6), но также медленные импульсы, которые представляют собой в квантовой механике дифференциальные операторы —гцд/дх. Заметим, что часто Xo{p,x,y,t) в разложении (4.9) не зависит от р, однако поправки обычно уже зависят от импульса. Эта зависимость играет важную роль при оценках границ применимости адиабатического приближения в конкретных задачах.

Мы никак не зафиксировали функцию -ф в (4.8). Следуя [29, 19]), будем считать, что -ф удовлетворяет уравнению Шрсдингера с эффективным гамильтонианом U1 Подставляя функцию Ф из (4.8) в уравнение (4.1), получим

Используя условие (4.10), перепишем это уравнение следующим образом: (х"" + WXt Х") = 0 Достаточным условием для выполнения последнего равенства является следующее операторное соотношение Перейдем от операторов к символам в этом соотношении. Для этого нам потребуется вычислить символ произведения двух операторов. Имеет место следующая простая формула:

Доказательство. "Наивное" доказательство формулы (4,13) основано на представлении оператора А в виде ряда пор и применении к каждому члену ряда формулы Лейбница. Доказательство, основанное на определении псев-додифференциалыюго оператора, проводится с помощью следующей цепочки равенств

Замечание 1. Методы [59] позволяют рассматривать более общие ситуации в которых квантовый гамильтониан 7і(р, х, ру, у, р) есть функция векторов-операторов (p,xtpy,y) с коммутационными соотношениями [XJ,PJ] = г//, [VjiPyj] = і, Ц . 1, или более сложными [1]. Однако в этой работе мы рассматриваем ситуацию в которой х = х,р = —ірд/дх.

Замечание 2. Не сложно изменить представленную формальную схему для несамосопряжсшюго исходного оператора 7і0. В частности, можно использовать собственные функции сопряженного оператора HQ В условиях ортогональности. При этом необходимо добавить некоторые дополнительные условия, такие как существование вещественнозначных эффективных гамильтонианов, и т.д. (пример см. в [1]).

Замечание 3. Аналог операторного разделения переменных в классической механике. Существует классический аналог "квантового" адиабатического приближения ([36, 37, 25, 62, 27]).

Основная идея может быть проиллюстрирована посредством гамильтониана Ti{p,px,XiPy,y,fi) с малым параметром р. Если мы заменим переменные х, рх на = x/fj, и р$ = ррх, то мы получим гамильтониан вида Т{(р,р ,рюу,р). Удобно записать гамильтониан в неканонических переменных х и р, dp Л dx = pdpx Л dx = pdp Л d: Ті{р, х,ру, у, fi). Уравнения Гамильтона для переменных р, х, ру, у имеют вид (4.23) Так как мы имеем р, х (і для производных, в то время как ру, у 1, естественно сказать, что переменные р, х есть "медленные переменные" а переменные ру, у - "быстрые переменные". Принимая во внимание что переменные относятся к двум типам, естественно "заморозить" медленные переменные и получить семейство гамильтонианов с к степенями свободы, зависящих от параметров (р, х).

Мы не рассматриваем резонансных задач и ограничиваем рассмотрение случаем к = 1 и (ру,у) Є Ш.2. Предположим, что в некоторой области (р,х) Є Q, траектории Т і({р,х},Ру,у,0) замкнуты. Скобки означают, что включенные переменные рассматриваются как параметры (т.е. "заморожены"). Тогда возможно ввести переменные "действие-угол" (J, ір), соответствующие этим замкнутым траекториям. Переход к этим переменным задается заменой переменной у = Y0(J,tp,p,x), Ру = Py(J, p,p,x). К сожалению, эта замена переменных неканоническая и, чтобы сделать ее канонической, необходимо добавить поправки и написать у = Y0(J, р, Р, X) + /iYi{J, ip,P,X) + ..., ру = P(J, ip, Р, X) + /xPj(J, P,X)-r...,p = P+ Pi(J, P,X)+...,andz = X+nX1{J, ptP,X)+.... Для дальнейших оценок нам понадобится следующая Лемма.

Лемма (о расстоянии до спектра) [58]. Пусть имеются приближенные собственная функция (р и собственное значение Е линейного самосопряженного оператора А. Функцию ip будем считать нормированной условием ][ /з = 1, Пусть (р и Е удовлетворяют уравнению (Ё-А) р = д, (4,42) где д - невязка. Тогда расстояние между Е и ближайшим к нему собственным Е значением оператора А не превосходит \\д\\: Я-В 5. (4.43) Идея доказательства. Если Е совпадает с одним из собственных значений А, утверждение Леммы очевидно. Пусть Е не совпадает ни с одним собственным значением А. Из (4.42) находим tp = (Е — А) 1д, откуда р = 1 = \\{Е—А) гд\\. Пользуясь тем, что \\(Ё - АГ д\\ = {{В - АГ д, (Ё - А) д) = (д, (Ё - А) 1+(Ё - A) lg)W для самосопряженного оператора А находим: 1 \Е — ?-15, где Е - ближайшее к Е собственное значение оператора А, Отсюда следует оценка (4.43). Замечание- Для несамосопряженного оператора А оценка (4.43) может не выполняться. Определение. Спектральной серией называется последовательность собственных значений Ej, приближающих различные собственные значения оператора А.

Схема операторного разделения переменных

Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - папотрубки и иапопленки. Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные папотрубки [23, 31, 35, 9, 49]. Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве наноструктур из полупроводниковых материалов [30].

Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр трубки и толщина пленки - d 1-ьЮнм (ю-г-юо А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2ж/кр 1 им с энергией порядка энергии Ферми ер 1 эВ. Это обстоятельство приводит к эффекту "размерного квантования" в низкоразмерных системах: область локализации волновой функции по поперечным направлениям Л и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется. Характерный продольный размер L наноструктур обычно существенно больше d (например, L 100 им, см. [30]).

Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкого изогнутого цилиндра с "закрученной границей" и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей вол новая функция Ф(г,) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок"). Как и в [17, 55], мы полагаем, что квантовые состояния электрона Ф(г, t) (стационарные и нестационарные) в трехмерных наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается нестационарным уравнением Шредингера

Здесь г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — ihV — (e/c)A(r, t), h - постоянная Планка, є - заряд электрона, т - эффективная масса квазичастицы, uint(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, (yext, А) - потенциалы внешних полей, Н() = rot А(г, t) - однородное магнитное поле, а = {сті, а%, т3} матрицы Паули, оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. При Uint(r) = 0 и условии равенства волновой функции нулю на границах трубок и пленок, получаются модели "пустых структур". Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

В Главах 1,3 рассматривается случай достаточно слабого магнитного поля, когда ларморова частота u # = eH/(mc) h/{mdL) и магнитная длина 1ц - \/dL, в Главе 2 - случай сильного магнитного поля шц h/(md?), Ін d.

В случае, когда внутри волновода существует устойчивая классическая траектория, определяемая из решения гамильтоновых уравнений движения с гамильтонианом с помощью указанного подхода можно описать не только "возбужденные", но и "сверхвозбужденные" состояния. Для таких состояний период поперечных осцилляции имеет тот же порядок величины, что и время пролета вдоль всего волновода. Однако "мгновенная поперечная энергия" таких состояний включает существенно нелокальные характеристики классической траектории, совпадающей с осью волновода (показатель Флоке). Переход от локального описания к нелокальному для состояний с высокой продольной энергией исследованы в Главе 2.

Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур Тудоровский Тимур Яковлевич

Эффекты, связанные со спином

Квазиклассические асимптотики

Сверхвозбужденные продольные состояния

Схема операторного разделения переменных

Похожие диссертации на Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур