Содержание к диссертации
Введение
1 Методы исследования критического поведения наносистем при адсорбции 15
1.1 Численное моделирование адсорбции в наноматериалах 17
1.2 Назначение метода Монте-Карло 24
1.3 Метод Монте-Карло 25
1.4 Оценка статистической погрешности метода Монте-Карло 28
1.5 Модель Изинга 30
1.6 Решеточный газ 34
1.7 Метод погруженного атома 42
1.8 Моделирование адсорбции методом Монте-Карло 43
2 Критические индексы для модели одномерного решеточного газа 46
2.1 Расчет времени релаксации 47
2.2 Расчет корреляционной длины 54
2.3 Расчет динамического критического индекса Z в нулевом приближении 56
2.4 Расчет критических индексов V и Y 58
2.5 Расчет динамического критического индекса Z с учетом скейлинговых поправок 63
2.6 Проверка динамического критического индекса Z 65
2.7 Проверка математической корректности модели 68
2.8 Заключение к второму разделу 70
3 Модель фазовых переходов при переориентации молекул в адсорбционный монослой 71
3.1 Компьютерная модель 72
3.2 Результаты 74
3.3 Заключение к третьему разделу 77
4 Модели адсорбции и миграции адатомов на поверхности 78
4.1 Модель адсорбции на ГЦК ячейке 80
4.2 Модели адсорбции на ГЦК кристалле 86
4.3 Заключение к четвертому разделу 94
Заключение 95
Список использованных источников 97
- Модель Изинга
- Моделирование адсорбции методом Монте-Карло
- Модель адсорбции на ГЦК ячейке
- Модели адсорбции на ГЦК кристалле
Введение к работе
Актуальность данной работы определяется возросшим интересом к компьютерному моделированию одно- и двумерных наноструктур и изучением их свойств в последние годы. Особый интерес к таким системам обусловлен перспективностью их применения во многих областях, в том числе в наноэлектронике и нанокибернетике Также возросший интерес к моделированию объясняется перспективами усовершенствования технологий воспроизведения таких структур Внимание к моделированию малых систем возросло не только из-за значительных перспектив их практического применения, но и в связи с тем, что малые кластеры являются интересными объектами и с точки зрения фундаментальной науки
Проблема моделирования необычного поведения наносистем входит сегодня в ряд наиболее актуальных в моделировании конденсированных сред Этой проблеме посвящен ряд работ зарубежных и российских (советских) авторов таких, как X Гулд, Я Тобочник, К Биндер, Д В Хеерман, В М Замалин, Г Э. Норман, В С Филинов, Ю И. Петров, А Л Эфрос, Q Wang, J К. Johnson, S М Lee, Y H Lee, К S Park, Y С Choi, К H An, G Seifert, T Fraunheim, P A Gordon, R В Saeger, И К Камилов, А К Муртазаев, X К Алиев, Д К Белащенко, С П Гу-бин и др
Компьютерное моделирование систем конечных размеров позволяет воспроизвести многие существенные черты фазовых переходов (ФП), а исследование их особенностей в зависимости от размеров системы представляет значительный интерес.
При исследовании адсорбции самой простой и удобной моделью можно считать модель Изинга Использование методов компьютерного моделирования в рамках низкоразмерной модели Изинга позволит решить ряд задач, связанных с разработкой новых математических методов и алгоритмов моделирования адсорбционных систем
Таким образом, объект исследования - моделирование кинетики адсорбции на поверхности наноструктур в зависимости от внешних и внутренних энергетических параметров
Предметом исследования настоящей работы является компьютерное моделирование фазовых превращений, связанных с адсорбцией в рамках модели Изинга
Основная идея диссертации: усовершенствовать решеточную модель адсорбции с использованием метода Монте-Карло для моделирования кинетических свойств и критического поведения системы на поверхности наноструктур
Целью диссертационной работы является разработка и применение компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования критического поведения наноструктур при
адсорбции в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло
Для достижения этой цели в работе решались следующие задачи
разработать методику расчета основных критических индексов для одномерных кристаллов при адсорбции в области ФП в рамках низкоразмерной модели Изинга,
в рамках разрабатываемой модели рассчитать динамический критический индекс z с учетом скейлинговых поправок,
построить компьютерную модель ФП при переориентации молекул в адсорбированном монослое и найти зависимости степеней покрытия от температуры и внешних параметров при таких ФП,
на основе решеточной модели и алгоритма Метрополиса (метод Монте-Карло) разработать новую компьютерную модель ФП в металлических сплавах при адсорбции связанных с переходом адато-мов в вакансии,
рассчитать зависимость объемной доли адатомов в образующейся фазе от времени при изменении температуры в рамках новой компьютерной модели
Методы исследований. Использовался классический алгоритм Метрополиса как вариант статистического метода Монте-Карло В процессе исследований использовались также идеи теории подобия и некоторые методы теории вероятностей В программах использовались алгоритмы численных методов интерполяции
Основные результаты
разработан комплекс алгоритмов и программ для расчета критических индексов при адсорбции на поверхности конечных нанометро-вых размеров,
разработан комплекс алгоритмов и программ для исследования кинетических особенностей модели ориентационных ФП при адсорбции молекул,
разработан комплекс алгоритмов и программ для исследования кинетических особенностей модели ФП, происходящих при адсорбции и связанных с переходом адатомов в вакансии
Научную новизну работы составляют следующие оригинальные результаты
Построена и исследована компьютерная модель ФП при переориентации молекул в адсорбированном монослое, которая позволяет рассчитывать степени покрытия адсорбировавшихся в определенной ориентации молекул, в зависимости от температуры и физико-химических свойств поверхности кристалла
Разработана компьютерная модель адсорбции, которая позволяет наблюдать процесс прилипания адатомов к поверхности подложки и миграцию атомов по поверхности
Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования адсорбции на наноструктурах в рамках модели Изинга конечного размера с использованием алгоритма, существенно повышающего быстродействие Данный комплекс позволяет рассчитывать критические индексы ФП при адсорбции на нанос-турктурах и проследить эволюцию системы с адсорбцией во времени (что пока невозможно экспериментально)
Рассчитаны критические индексы для модели одномерного решеточного газа на нанокластерах с учетом гипотезы скейлинга Значение для теории. Научная новизна и практическая значимость
заключается в предложенной новой компьютерной модели адсорбции, полученной путем усовершенствования модели Изинга, разработанной теоретической методике изучения модели кинетики адсорбции Рассчитанные при помощи комплекса программ индексы могут служить фундаментом для новых или расширения старых теорий моделирования материалов с использованием адсорбции
Значение для практики. Разработанный комплекс программ позволяет проследить эволюцию системы с адсорбцией во времени, что пока невозможно путем прямого эксперимента На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ возможна математическая обработка экспериментальных данных реального эксперимента Рассчитанные динамические и статические индексы могут использоваться при трактовке физических процессов в реальных наноструктурах с точки зрения теории моделирования критических явлений Также эти результаты могут применяться в разработке новых нанотехнологий и материалов с их использованием Предложенные алгоритмы значительно повышают быстродействие компьютерных программ
Достоверность полученных результатов. В качестве базовой модели используется модель Изинга, нашедшая широкое применение в теории моделирования Использовался хорошо зарекомендовавший себя метод статистических испытаний - метод Монте-Карло Также применялись апробированные и надежные численные алгоритмы и программы Подтверждение достоверности осуществлялось сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами с использованием других методов, в том числе и теоретических Используемые в исследовании методы моделирования имеют надежное математическое и физическое обоснование
Использование результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов, магистров и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Хакасском государственном университете им Н Ф Катанова, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад В Д Кузнецова (г Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете.
Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г Томск), Институте металлофизики НАН Украины (г Киев).
Диссертационное исследование выполнялось в рамках темы «Исследование фазовых превращений в металлах и сплавах с особенностями наноразмеров в рамках обобщенной модели Изинга и электронной теории», финансируемой из бюджета Министерства образования и науки Российской Федерации
Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов Разработка оригинальных моделей осуществлялась при участии научного руководителя. Все основные положения и выводы диссертации получены лично автором
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных «Республиканских Катановских чтениях» (2002-2007 гг, г Абакан), на VIII Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (2002 г, г.Томск), на 4, 5, 6, 8, 10 Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (2001-2007 гг, г Красноярск), на V Всероссийской конференции молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (2003 г, г Томск), на Международных конференциях «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (2003 г, г Барнаул), «Современные проблемы физики и высокие технологии» (2003 г, г Томск), «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2005 г, г Барнаул), на Международной научно-технической школе-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (26-30 сентября 2005 г, г Москва), Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (7-9 января 2006 г, г Санкт-Петербург)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из которых 1 статья в периодическом издании и в соответствии со списком ВАК, 2 статьи в научных журналах, 1 статья депонирована в ВИНИТИ, 3 работы в сборниках международных научно-технических конференций, 7 работ в материалах всероссийских научно-технических конференций
Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, содержит основной текст на 113 с , 37 иллюстраций, список литературы из 135 наименований
Модель Изинга
Изучение систем, состоящих из большого числа взаимодействующих частиц является одной из важнейших проблем не только физики, но и моделирования [1 -3, 11, 18, 20, 31, 35, 78, 79, 98 - 101]. Наиболее интересно исследовать поведение таких систем вблизи границы устойчивости. Прежде всего, возникает задача определения границ устойчивости, т. е. предельных значений энергий для различных систем частиц, а также изучения, весьма своеобразного термодинамического поведения вещества в том случае, когда потеря устойчивости однородной системы обусловлена возникновением в ней определенного типа упорядочения.
Фазовые переходы, связанные с появлением в системе упорядочения, происходят в различных системах: упорядочение расположения атомов двух сортов в кристаллической решетке бинарного сплава [102,103]; упорядочение расположения элементарных магнитных моментов в ферро- и антиферромагнетиках; упорядочение дипольных моментов в узлах решетки (сегнетоэлектрики) [39, 102, 104, 105]; упорядочение состояний электронов в сверхпроводниках [106, 107] и атомов гелия в случае сверхтекучести [108], а также появление «упорядочения» (исчезновение пространственной однородности) в критических точках чистых и многокомпонентных жидкостей.
Появление общих закономерностей у несхожих физических объектов (жидкости и твердые тела, квантовые и классические системы), а также, например, наступление упорядочения при сверхнизких и высоких температурах указывают на наличие общих свойств систем многих частиц, не зависящих от природы изучаемого объекта. Сказанное можно проиллюстрировать на примере простого термодинамического рассмотрения [102], сравнивая энтропию и внутреннюю энергию системы. Энтропия модели S связана со степенью беспорядка при данном расположении частиц в модельной системе, и чем хаотичнее распределение, тем энтропия больше.
Внутренняя энергия модели Е минимальна при упорядоченном расположении частиц. Устойчивость системы, находящейся в данном объеме, определяется при разных температурах минимумом свободной энергии модели F = ES, (1.5.1)
Отсюда видно, что при высоких температурах отрицательное второе слагаемое в F существеннее первого, т. е. минимальное значение свободной энергии определяется большой величиной энтропии, и модельная система разупорядочена. При низких температурах, наоборот, первое слагаемое в F существеннее второго, т. е. минимум F связан с минимумом внутренней энергии, а значит, с упорядоченным расположением частиц. Компромисс этих двух тенденций — упорядочивающей «энергетической» и разупорядочивающей «энтропийной» - определяет температуру упорядочения. Оказывается, что эта температура (в энергетических единицах) порядка характерной энергии взаимодействия между частицами системы, и, поскольку других величин размерности энергии в задаче нет, не удается ввести малый параметр, что обусловливает крайнюю сложность моделирования фазовых переходов.
Широко применяемой для описания ФП является модель Изинга (решетка Изинга) [109-121], под которой обычно понимается жесткая решетка, на узлах которой располагаются объекты двух типов. Эта модель имеет четыре наиболее распространенные модификации: магнетик [122] (объекты - спин вверх или спин вниз); бинарный сплав [123, 124] (объекты -атомы двух сортов); решеточный газ - модель жидкости или газа [21, 40] (объекты - узел занят или пуст). В традиционной модели учитывается только парное взаимодействие ближайших соседних объектов и взаимодействие с внешним полем [21, 40]. Её обобщение может идти по нескольким направлениям. Если на узлах располагаются объекты более, чем двух типов, то в простейшем случае приходим к модели Поттса [21, 40]. Если на узлах расположены векторы, которые могут вращаться произвольным образом, то в простейшем варианте получим модель магнетика Гейзенберга [40], точное математическое исследование которой становится крайне сложным.
Модель Изинга, была впервые применена в 1925 году Ленцем и Изингом к ферромагнетикам [40]. Она пригодна для описания фазового перехода в любой системе, характеризуемой набором переменных, которые связаны с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле соответствующая переменная может принимать только два значения.
Решение одномерной модели Изинга как в отсутствии магнитного поля, так и с его учетом было найдено Изингом в 1925 г [40]. В 1944 г. Онсагер опубликовал работу, содержащую точное решение двумерной проблемы Изинга для квадратной решетки с взаимодействием ближайших соседей в отсутствие магнитного поля. Трехмерная проблема Изинга не может быть решена точно даже в отсутствие магнитного поля [40].
Модель Изинга представляет собой одну из немногих моделей системы взаимодействующих частиц, для которой проведен строгий математический расчет критических индексов (для полного равновесия). Хотя первоначально эта модель была сформулирована для ферромагнетиков, она пригодна для описания фазового перехода в любой системе, характеризуемой набором переменных, которые связаны с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле соответствующая переменная может принимать только два значения. Для ферромагнетика - это два возможных значения спина частиц, находящихся в узлах решетки. Если это бинарный сплав, состоящий из атомов двух сортов (А и В), то два значения соответствуют сортам атомов. В случае жидкости или газа надо разделить объем на большое число эквивалентных ячеек, настолько малых, что в каждой из них не может находиться более одного атома или молекулы - это модель решеточного газа (далее она нам понадобится), для нее переменная будет принимать так же два значения: занята или свободна ячейка.
Кроме магнитных систем модель Изинга может описывать другие типы систем. Это бинарный сплав и решеточный газ. В работе [125] показано, что большая статистическая сумма таких системы пропорциональна статсумме в модели Изинга.
Таким образом, пропорциональность статистических сумм для моделей Изинга магнетика, бинарного сплава и решеточного газа приводит к тому, что основные термодинамические свойства этих моделей оказываются связанными и результаты для одной применимы к другим.
Усовершенствования модели Изинга связаны с учетом дополнительных взаимодействий: взаимодействий вторых соседей (модель ANNNI), третьих соседей (модель A3NNI) [126, 127], а также непарных многочастичных взаимодействий.
Аксиальная модель Изинга и ее модификации в последнее время получили широкое распространение для анализа структур с периодическим распределением планарных структурных дефектов. На основе этой модели возможно объяснение модулированных политипных структур [128, 129, 130]. Модели такого типа могут быть применены к слоистым плотноупакованным кристаллам, в которых имеет место анизотропия межатомных взаимодействий, а порядок укладки атомных слоев задается двузначной квазиспиновой переменной. При этом используют как квазиспиновое описание политипных структур, так и модель решеточного газа.
Моделирование адсорбции методом Монте-Карло
Опишем программу, по которой работает ЭВМ при моделировании фазового перехода на поверхности наноструктуры (в частности адсорбции на поверхность) в одномерной модели Изинга для решеточного газа методом Монте-Карло и определении времени релаксации системы. Речь идет о задаче узлов, причем для простоты рассматривается только одномерная решетка Изинга [98].
Смоделируем адсорбцию на поверхности наноструктуры. Программа начинается с выработки одномерного массива соответствующего одной конфигурации o[i], где г - номер узла в системе (i=l..N). Эта конфигурация является начальной.
Элементами массива а[/], описывающего конфигурацию на очередном шаге МК, являются значения типа ячеек (заполнение ячейки) конкретной конфигурации, соответствующие данному номеру узла /. В одномерной модели Изинга для решеточного газа возможны два значения (а[/]=1 или а[/]=0). А, например, для модели фазовых переходов в металлических сплавах, происходящих при адсорбции и связанных с переходом адатомов в вакансии (обобщенная модель Изинга) возможно 3 значения (а[/]-0 - нет атомов, о[/]=1 - атом подложки, a[i]=2 - адатом) [72]. (Далее в главе будем рассматривать только первую модель).
Время будем измерять дискретно в шагах Монте-Карло. То есть за единицу времени t выберем один шаг МК.
Начальную конфигурацию на первом шаге МК зададим соответствующую пустой (незаполненной) поверхности 00..0. То есть для системы, например из 5, узлов массив конфигурации {а} в памяти ЭВМ примет следующий вид: о[1]=а[2]=а[3]=а[4]=[5]=0.
Зададим цикл шагов МК. Пусть энергия взаимодействующих спинов определяется гамильтонианом Изинга с учётом взаимодействия К соседей. В памяти ЭВМ создадим переменную Е, которая будет соответствовать значению энергии системы на очередном шаге МК [76, 126, 127]
Рассмотрим теперь алгоритм моделирования внутри цикла шагов МК, на очередном шаге МК. Сначала по формуле (1.8.1) рассчитываем энергию данной конфигурации Е\. Сгенерируем затем случайное целое число rand в интервале от 1 до N. Таким образом, случайно выбирается определённый узел в цепочке a[rand\. Изменим тип на данном узле. Внутри ЭВМ такая операция имеет вид инвертирования узла j[rand\:=not(G[rand]). Рассчитаем теперь энергию системы после изменения типа узла по той же формуле (1.8.1), и полученное число занесем в переменную Е2. Вычислим изменение энергии между старой и новой конфигурациями АЕ=Е2 -Е\.
После этого сравним значение изменения энергии АЕ с нулём. Если Д 0, значит система перешла в состояние с меньшей энергией, что соответствует основным принципам термодинамики, поэтому принимаем новую конфигурацию и будем рассматривать её как начальную на следующем шаге МК с энергией Е\.
Если же АЕ О, тогда рассчитываем вероятность перехода W по формуле (1.3.7). Затем генерируем действительное случайное число R в интервале от 0 до 1 и сравниваем его с вероятностью Метрополиса W. Если данное число R W, то считаем, что с вероятностью W реализовалась новая конфигурация, и принимаем её в качестве начальной для следующего шага МК. Если же R W, то в этом случае сохраняем старую конфигурацию путём повторной операции инвертирования (j[rand]:=not((j[rand\). Затем переходим на следующий шаг МК [21].
Полученный алгоритм Метрополиса в общем виде можно изобразить как блок-схему (рис. 1.8.1). В блок-схеме используются ссылки на функции и объекты, которые выбираются в зависимости от модели.
Таким образом, ЭВМ позволяет смоделировать фазовый переход при адсорбции в малых системах.
Модель адсорбции на ГЦК ячейке
Исследовалась система малого размера (11 атомов и 2 ячейки, в которых могут находиться по одному атому) на поверхности ГЦК кристалла (111) с вакансиями [72]. Схематично систему можно представить следующим образом.
В системе имеется две позиции, в которые могут попасть как адатом, так и атом подложки, возможны и случаи отсутствия атомов в этих позициях. Предполагается, что размер адатомов больше размера атомов подложки. Так же считается, что адатомы отталкиваются друг от друга.
Если атомы подложки обозначить буквой А, адатомы буквой В, а отсутствие атома - 0, то состояние системы можно обозначать двумя символами: первый соответствует позиции 1 (рис.4.1.1), а второй - позиции 2 (например, 00 - полностью пустые позиции).
Учитывая вышесказанное, существует лишь 5 возможных состояний системы: 00, АО, АВ, ОВ и ВО. Возможные переходы между состояниями показаны на рисунке 4.1.2.При помощи алгоритма Метрополиса можно заставить нашу модель меняться.
Для блок-схемы (рис. 1.8.1) добавляются:
1) объект Конфигурация! имеющий тип целого числа (0 - конфигурация с состоянием 00, 1 - АО, 2 - АВ, 4 - ОВ, 5 - ВО), и объект сіКонф - тип целого числа (направление изменения);
2) функции:
а) НачальнаяКонфигурация() возвращает номер начальной конфигурации;
б) СоздатъИзменениеКонфигурации(Конфигурация 1) возвращает номер случайно выбранного направления;
в) ПолучитьРазностъЭнергий(Конфигурация1, сіКонф) - возвращает разность энергий текущей и энергии по выбранному направлению сіКонф;
т) КонфПоИзменению(Конфигурация 1, сіКонф) - возвращает номер конфигурации по выбранному направлению сіКонф;
д) УсловиеВыхода() - возвращает истина, если число шагов больше NMCS, иначе возвращает ложь.
По формуле (4.1.1) можно найти изменение энергий при переходах из одного состояния в другое, а затем рассчитать вероятность перехода в новое состояние W, равной отношению гиббсовский весов, как предлагается алгоритмом Метрополиса [3] в формуле (1.3.7).
Кроме этой вероятности в модели есть вероятность направления (по рис. 4.1.2) перехода Р - вероятность возможности перейти в то или иное состояние. Считалось, что все переходы из одного состояния равновероятны и подчиняются условию нормировки, например, Р00 ,А0 + PQO OB + Р ю- во -1 Число итераций в алгоритме прямо пропорционально времени процесса.
4.1.2 Компьютерный эксперимент
Рассчитывалась доля фазы системы с адатомом над плоскостью (111) поверхности подложки (атом В в положении 2) - С0В2 Получена зависимость этой доли от времени при постоянной температуре.
Если увеличивать температуру во время процесса, а потом уменьшать, то при некоторых значениях температуры можно наблюдать гистерезис. Зависимость соВ2 от температуры, меняющейся во времени, показана на рисунках 4.1.3 и 4.1.4.
Из рисунков видно, что на поведение системы сильно влияет начальное состояние. Некоторые начальные фазы очень неустойчивы и относительно быстро переходят в метастабильные состояния (рис. 4.1.3а, 4.1.36, 4.1.4а). После пребывания в метастабильных состояниях система под действием температуры медленно переходит в стабильное состояние - эти процессы видны на рисунках 4.1 .За, 4.1.36 и 4.1.4а.
Некоторые начальные фазы являются метастабильными (рис.4.1.46) или абсолютно стабильными (рис.4.1.3в). Во всех случаях стабильна фаза с адатомами в вакансиях, что согласуется с экспериментальными данными [2].
Модели адсорбции на ГЦК кристалле
Пусть имеется нанокластер ГЦК кристалла небольшого размера, который является подложкой. Рассмотрим поверхность (111) этого кристалла, на которой имеются вакансии. Вблизи кристалла равномерно распределено вещество (в газообразном или жидком состоянии), атомы которого (адатомы) немного больше атомов подложки.
Адатомы в данной модели могут прилипать к поверхности, отрываться от нее, прилипать к вакансиям. Тоже может происходить и с атомами подложки.
Воспользовавшись алгоритмом Метрополиса наблюдали за поведением системы со временем. За один шаг Монте-Карло изменяется тип ячейки (атом, адатом или пустая). Считалась потенциальная энергия парного взаимодействия атомов системы. Следовательно для блок-схемы алгоритма Метрополиса (рис. 1.8.1) добавляются:
1) объект Конфигурация! имеющий тип динамического трехмерного массива из объектов ячеек, которые содержат данные о адресах ближайших ячеек (динамический массив) и ячеек на заданном расстоянии, координатах в ангстремах, типе ячейки (О, А или В) и др. данные; объект йКонф - тип целого числа (адрес ячейки);
2) функции:
а) НачальнаяКонфигурация() - возвращает массив начальной конфигурации
б) СоздатьИзмеиеішеКонфигурации(КонфигурацияІ) - возвращает адрес ячейки, который ищется по алгоритму показанному на блок-схеме:
в)ПолучитьРазностъЭнергий(Конфигурация1, сіКонф) - возвращает разность энергий текущей и измененной
г) КонфПоИзменению(Конфигурация!, йКонф) - возвращает массив измененной конфигурации;
д) УсловиеВыхода() - возвращает истина, если число шагов больше NMCS, иначе возвращает ложь.
Значения энергии брались из рассчитанных Еремеевым СВ. и др. Томске [9,29,135] таблиц зависимости эффективных потенциалов ф от расстояний между атомами г
В отличие от предыдущей модели, в данной модели за один шаг Монте-Карло происходит обмен между двумя ячейками, а также невозможно появление в системе новых атомов и вылет атомов во внешнюю среду, то есть система замкнута. Естественно, что учитывать концентрацию внешних атомов в данной модели не требуется. Следовательно, изменяется только тип объекта йКонф (содержит адреса пары ближайших атомов) и функция СоздатьИзмелепиеКонфигурации (возвращает адреса пары ближайших атомов, которые можно обменять местами), остальные функции изменятся незначительно.
Была рассчитана зависимость числа N адатомов от температуры, меняющейся во времени. Результаты подтверждаются экспериментальными данными.
Данная модель позволяет наблюдать за миграцией атомов по поверхности и за проникновением адатомов и атомов в вакансии.
Если адатом находится во втором слое, то его координаты изменены по сравнению с координатами атомов подложки. Т.к. адатомы чуть «больше» атомов подложки они (адатомы) не могут опуститься на тот же уровень - они находятся немного выше.
Над системой постоянно находятся атомы подложки и адатомы: РА / РВ - вероятность появления атома подложки / адатомов около системы, иначе концентрация атомов подложки / адатомов над системой.
Алгоритм расчета энергии взаимодействия атомов
1) Берем соответствующую таблицу зависимости эффективных потенциалов взаимодействия (р (А-А, А-В или В-В) от расстояний.
2) Находим в таблице расстояние г, чуть больше заданного, г,./ - чуть меньше
3) Соответствующие им потенциалы равны ф, и (р, /
4) Далее считаем, что между двумя точками / и /-1 проведена прямая, по которой находим потенциал соответствующий заданному расстоянию.
5) В данной модели считаем, что потенциалы прямо пропорциональны энергии взаимодействия.
Алгоритм изменения системы (для открытой модели)
1) Находим текущую энергию (Еп).
2) Случайным образом выбираем узел из первых двух слоев.
3) Задаем случайное число РХХ
4) Если РХХ =РА, тогда (прилетел А) 4.1) если узел пуст то:
4.1.1) выбран первый слой то:
4.1.1.1) если в ближайших узлах нет адатомов то выбранный узел заменяем на А;
4.1.2) выбран второй слой то:
4.1.2.1) если в ближайших узлах на первом слое нет атомов, а на втором нет адатомов, то выбранный узел заменяем на А;
5) Если РХХ =РВ+РА, тогда (прилетел В)
5.1) если узел пуст то:
5.1.1) если в ближайших узлах на первом слое нет атомов, а на втором нет адатомов, то выбранный узел заменяем на В;
6) Если РХХ =РВ+РА, тогда убираем атом из выбранного узла
7) Находим изменение энергии системы dEn.
8) если dEn =0 тогда w:=l, иначе w:=exp(-dEn/TeMnepaTypa);
9) задаем случайное число rand;
10) если rand w тогда считаем, что система изменилась, иначе возвращаем систему в исходное состояние.
Алгоритм показывающий течение времени (и изменения температуры) в системе
1) Описываем начальную систему, задаем начальные параметры.
2) Начало первого цикла (нагрев) по температуре, начальная температура - Тп, конечная температура - Тк, шаг по температуре - Ts.
2.1) Начало цикла изменения системы, число шагов - NMCS.
2.1.1) Изменяем систему в зависимости от текущей температуры.
2.1.2) Сохраняем текущие характеристики системы.
2.1.3) Заканчиваем цикл изменения системы.
2.2) Заканчиваем первый цикл по температуре.
3) Начало второго цикла (остывание) по температуре в обратном порядке, начальная температура - Тк, конечная температура - Тп, шаг по температуре - s.
3.1) Повторяем цикл изменения системы, число шагов -NMCS.
3.2) Заканчиваем второй цикл по температуре.
