Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Фрактальные объекты начали активно изучаться в конце прошлого
столетия после выхода в 1977 году монографии Б.Мандельброта «Фрактальная
геометрия природы» [1-8]. К настоящему времени показано, что фрактальная
структура объектов оказывает существенное влияние на их свойства. В
частности, высокочастотные свойства фрактальных антенн существенно
превосходят аналогичные свойства традиционных структур. Образование
фракталов оказывает определяющее влияние на характер поведения
нанокомпозитов вблизи фазовых переходов и магнитных жидкостей.
Теоретические исследования свойств фракталов проводились многими
авторами, например, в [9, 10], изучались гидродинамические и
электродинамические свойства фракталов, а в работах [11, 12]
экспериментально установлена связь толщины магнитной пленки с фрактальным размером доменных границ. Однако несмотря на большое количество работ в этом направлении до настоящего времени отсутствует количественное и в некоторых случаях даже качественное описание зависимости физических свойств фрактальных структур от их фрактальной размерности и внешних параметров. В частности это относится к поведению магнитной восприимчивости и теплопроводности. Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому изучению фрактальных структур и речь в ней идет об изучении магнитной восприимчивости, проводимости и теплопроводности топологически одномерных металлических и ферромагнитных проволок, что и подтверждает актуальность проведенного исследования.
В работе рассматриваются четыре типа топологически одномерных
фрактальных проволок. Это кривая Коха, ковер Серпинского, кривая Пеано и
губка Менгера. Цель работы заключается в изучении магнитной
восприимчивости этих объектов, проводимости, а также в исследовании коэффициента теплопроводности таких структур. Для достижения этой цели решались следующие задачи:
- вычислена продольная магнитная восприимчивость ферромагнитной
фрактальной структуры;
найдена проводимость металлических фрактальных структур;
вычислен коэффициент теплопроводности металлического фрактала.
В диссертации впервые проводится теоретическое изучение таких физических свойств топологически одномерных фрактальных структур как продольная магнитная восприимчивость магнитного фрактала, коэффициент теплопроводности и электропроводности металлического фрактала, а также дается описание распределения температуры по фрактальной кривой. Все проведенные вычисления основаны на применении обобщенного квазиклассического кинетического уравнения, модифицированного на топологически одномерные пространства не целой размерности.
Проведенные вычисления указывают на непрерывную зависимость коэффициента теплопроводности и продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала от параметра фрактальности е. Поэтому, когда осуществляется предельный переход к случаю є -> 0 все наши формулы естественным образом переходят в классические результаты.
Достоверность полученных результатов обеспечивается также использованием апробированных математических и физических методов, а также возможностью экспериментальной проверки полученных решений.
Вычисление физических параметров фрактальных объектов позволяет ответить на вопрос, каким образом ведут себя подобные структуры в тех или иных условиях, и каким образом влияет на эти свойства параметр фрактальности є. Последнее чрезвычайно важно при практическом применении металлических фракталов, например, в деле производства фрактальных антенн, необходимых в системах навигации и дальней связи.
-
Результаты вычисления магнитной восприимчивости ферромагнитного фрактала, коэффициента теплопроводности и проводимости металлического фрактала^
-
Математический подход, основанный на введении операции дробного дифференцирования, основанный на разложении в интеграл Фурье, с целью описания физических свойств топологически одномерных фракталов;
-
Результаты вычисления зависимости магнитной восприимчивости от параметра фрактальности є, температуры 7 и магнитного поля Н.
Основные результаты работы доложены на третьей международной конференции, посвященной 85-летию Л.Д.Кудрявцева (Москва, 2008),
всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 60 -летию мехмата Томского университета (Томск, 2008), пятой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008), первой международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008), шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009), 10-й конференции «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2009), седьмой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2010, 38 Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (St.Peterburg, 2010), второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2010), 22-й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах» (Воронеж, 2010), восьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2011), третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2012), а также на «Низкотемпературном семинаре» С. - Петербургского физико -технического института им. А.Ф. Иоффе РАН.
ПУБЛИКАЦИИ Результаты работы отражены в 22 - х печатных работах.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ
