Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Логическая природа альтернативных величин 8
1.1. История выразительных возможностей языка математической (символической) логики 8
1.2. Свойства альтернативных величин 27
1.3. Понятие альтернативной величины в логике 46
1.4. Методы использования альтернативных величин в логике 53
Глава 2. Способы арифметизации языка современной логики 60
2.1. Базис арифметизированной логики 60
2.2. Расширение выразительных возможностей логики высказываний 110
2.3. Расширение выразительных возможностей логики предикатов 117
2.4. Порождающие схемы арифметизированной логики 124
Заключение 139
Библиография 146
- История выразительных возможностей языка математической (символической) логики
- Понятие альтернативной величины в логике
- Расширение выразительных возможностей логики высказываний
- Порождающие схемы арифметизированной логики
Введение к работе
Предметом исследования является расширение выразительных возможностей языка современной логики.
Актуальность исследования. Математическая (символическая) логика является современным этапом развития формальной логики. Ее выразительные возможности представляются синтаксисом, алгеброй и геометрией, образующими неразрывное единство и дополнение друг друга в языке логики.
Синтаксис (лексико-грамматические схемы и формы мышления) обладает наименьшей логической силой.
Алгебра (математическая логика) позволяет установить то общее, что имеется в различных по содержанию мыслях - их логическую силу и слабость, их логическое количество и качество. Тем самым становится возможным классификация особых языково-мыслительных конструкций, их сравнение и сопоставление. Алгебраические формулы легко располагаются в пространстве, образуя решетки, матрицы, таблицы. Алгебра, в отличие от синтаксиса, более научна, объективна, непредвзята. Недостатком алгебры является ее абстрактность, бессодержательность.
Геометрия (схемы, диаграммы) строится на основе алгебры. Средства визуализации придают мышлению определенность, конкретность, осязаемость, наглядный и очевидный характер, благодаря чему достигается наибольшая продуктивность мышления.
Логическая грамотность заключается в свободном отношении к перечисленным выше знаковым системам. Правила применения и сочетания знаковых систем выражают принцип дополнительности (комплементарности), который имеет фундаментальное значение для логики [Григорьев Б.В. Классическая логика: Учебное пособие. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1996. - 192 с. - С. 16-18].
Противоречие заключается в том, что логические способы и методы обработки информации в алгоритмических языках программирования реализованы всего лишь одним компонентом языка современной логики - синтаксисом, что не позволяет применять методы математической (символической) логики в полной мере. Актуальность исследования заключается в необходимости разрешения противоречия, поиске путей и способов расширения выразительных возможностей языка современной логики. Исторически известно, что основатели математической логики Д.Буль, У.С.Джевонс, И.И.Жегалкин, О.деМорган, Ч.С.Пирс, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер до приобретения ее символической письменности в своих исследованиях применяли арифметические операции с логической точки зрения.
Идея исследования состоит в предположении, что символические обозначения логических связок можно моделировать арифметическими операциями, что позволит применять методы математической (символической) логики в алгоритмических языках программирования и расширит выразительные возможности языка современной логики компонентом арифметики логики в дополнение к синтаксису, алгебре и геометрии логики.
Цели и задачи исследования. Главная цель диссертационного исследования состоит в разработке теоретической базы (оснований) языка арифметизированной логики для расширения выразительных возможностей языка современной логики.
Достижение главной цели осуществляется постановкой и решением следующих основных задач:
выявить объективно необходимые предпосылки систематического построения языка арифметизированной логики в контексте главной цели исследования;
разработать логически обоснованные средства реализации основных схем и форм мышления в языке арифметизированной логики;
- выделить специфические параметры языка арифметизированной
логики для разработки средств и методов его автоматизации.
Методологическая основа и разработанность темы исследования.
Методологическую основу диссертационного исследования составляют идеи классической и современной математической (символической) логики, теории информатики и кибернетики. В разрабатываемой теме нашли свое отражение известные в отечественной и зарубежной литературе отдельные идеи, имеющие к ней непосредственное или косвенное отношение: в области построения основ математической логики с применением заимствованных в арифметике знаков операций для описания действий над классами (И.И.Жегалкин, П.С.Порецкий, Э.Шредер); в области компьютерного представления разделов логики (К.И.Бахтияров); в области практики программирования (В.Н.Касаткин). Настоящее исследование предполагает расширить выразительные возможности языка современной логики путем создания и систематического исследования языка арифметизированной логики.
В методологическом плане автор благодарен тем ученым, с чьими трудами имел возможность ознакомиться, деловым встречам на кафедрах и конференциях по логике и философии Санкт-Петербурга и Москвы.
Научная новизна заключается в разработке и внедрении:
- единых арифметизированных подходов к изучению типовых схем
логических форм мышления в результате их анализа и систематизации;
арифметизированных моделей логических форм мышления;
критериев применимости арифметизированных моделей;
интерпретаций форм мышления универсальными средствами языка арифметизированной логики;
синтеза и программной реализации рекурсивно устойчивых алгоритмов линейных способов логической обработки информации;
практических рекомендаций по повышению быстродействия современной цифровой технологии на основе подходов языка арифметизированной логики;
использования предложенных средств, способствующих расширению выразительных возможностей языка современной логики. Практическая значимость диссертации определяется новыми
возможностями в теоретических и практических исследованиях способов и методов логической обработки информации на основе расширения выразительных возможностей языка современной логики.
Алгоритмизация предложенных методик, выбор оптимальных структур и их компьютерная и техническая реализация явились основой для проектирования интегральных логических модулей и микросхем, а также для разработки принципиально новых линейных способов логической обработки информации. На некоторые из них получены положительные решения ВНИИГПЭ.
Результаты диссертации могут послужить методологическим основанием для представления новых подходов современного языка логики на основе расширения его выразительных возможностей.
Апробация работы. Рукопись диссертации обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании кафедры философии Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) и на заседании кафедры логики Санкт-Петербургского государственного университета.
Основные идеи и результаты диссертационного исследования отражены в публикациях и статьях, выступлениях на научных конференциях, в частности на: III, IV Международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 2001, 2003 гг.), VIII, IX, X, XI, XIII, XIV Международных конференциях «Применение новых технологий в образовании» (Москва, 1997, 1998, 1999, 2000, 2002, 2003 гг.),
Международной научной конференции молодых ученых (Ишим, 2001), VII Общероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002), VI межвузовской конференции «Проблемы педагогической инноватики» (Тобольск, 2001).
Диссертационные задачи, связанные с разработкой логических схем и на их основе интегральных электронных схем, нашли отражение в изобретениях (per. №2001117273 от 26.06.2001, per. №2001122666 от 14.08.2001) и полезных моделях (№26710 от 10.12.2002, №29195 от 27.04.2003).
История выразительных возможностей языка математической (символической) логики
Язык общения порождал математику и логику. Грамматика, математика и логика участвуют в любой деятельности человека и содействуют его развитию. Под выразительными возможностями языка математической (символической) логики понимают любые ее представления знаками: иконическими знаками (диаграммы, схемы, таблицы, формулы, расположение слов в предложениях), вырожденными индексами (указатели), символами (специальные символы, слова, предложения, высказывания, языки) [38, с. 14-20]. Логика имеет дело с отношением символов к их объектам. Чтобы сделать это отношение очевидным и понятным, она разрабатывает правила перехода от символов естественного языка к индексам и символам искусственного языка, а от него — к иконическим знакам. Таким образом, в языке логики присутствуют все виды знаков, представляя своей совокупностью своеобразные синтаксис, алгебру и геометрию логики. Логика начала свое становление с лексико-грамматических форм естественного языка. Этот инструмент научного анализа состоял из правил в виде схем и форм рассуждений. Появились эти схемы и формы рассуждений благодаря усилиям философов-элеатов [12, с. 8-19]: - Парменида (ок. 540-480 до н.э.), - Сократа (469-399 до н.э.), - Платона (427-347 до н.э.) [29, с. 236; 48, с. 17; 62, с. 435, 442, 560; 65, с. 4; 70, с. 99; 94, с. 472-473]. Суть рассуждений они видели в выведении одних (истинных) суждений, именуемых заключениями (следствиями) из других, называемых посылками (предпосылками). Для представления рассуждений находились особые языково-мыслительные конструкции, которые связывались между собой специальными логическими словами. Такие конструкции носили комбинаторно-вероятностный характер, порождающий определенное количество схем и форм рассуждений, а также определенные условия их применимости. Рассуждения, представленные иконическими знаками, зависели от расположения слов в языково-мыслительных конструкциях, играющих одновременно роль символов. Все языково-мыслительные конструкции трудно было запомнить в разных вариантах их сочетаний.
Вместе с языком развивалась геометрия. Геометры во времена Евклида обозначали объекты буквами [71, с. 34]. Такой подход упрощал мыслительную деятельность, на что мог обратить внимание Аристотель (384-322 до н.э.).
Важным достижением Аристотеля является то, что он отделил логические принципы и схемы рассуждений от содержания самих рассуждений. Если у более ранних философов логические правила функционируют только в конкретных рассуждениях, то Аристотель создал теорию силлогизмов (первую логическую систему дедукции [68, с. 16]) и дал систематическое изложение логики, - благодаря чему его считают основоположником формальной логики. Он ввел в употребление буквенные обозначения для субъектов и предикатов простых категорических высказываний [62, с. 438], изложил законы правильного мышления (закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего). В своих исследованиях Аристотель выделял именно форму: "если А приписывается всем Б, а Б - всем В, то А необходимо приписывается всем В", - это схема умозаключения (дедуктивного вывода, дедукции) [12, с. 20]. Если вместо А, Б, В подставить конкретные значения или слова, то мы получим конкретное рассуждение в виде примера применения указанной схемы. Именно схемы умозаключений демонстрировали выразительные возможности языка формальной логики. С буквенных обозначений терминов суждений началось развитие обозначений от вырожденных индексов к символам. Аристотеля [62, с. 675]. Объем понятия условно изображается окружностью и отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Такие предметы или классы предметов можно изображать точками или окружностями меньшего радиуса внутри окружности, представляющей объем рассматриваемого понятия.
Формы и схемы суждений (Аристотель) и высказываний (стоики), буквенные обозначения в логике позволяли изучать наиболее общие свойства и отношения между предметами, явлениями, процессами реальности путем рассуждений. Схематические деревья и круговые диаграммы не только наглядно изображали структуру суждений и высказываний, но и регламентировали строгий порядок их построения и последовательность приведения рассуждений.
Способ пошагового описания действий (всякая система вычислений, выполняемых по строго установленным правилам) был предложен древнеузбекским ученым ал-Хорезми Абу Абдулла Мухаммед ибн-Муса ал-Маджуси (787 - ок. 850). Его имя в Европе было переведено algorithmi, что и дало название - алгоритм [85, с. 93, 333]. Это был очередной шаг к систематизации знаний, аналогичный "древу Порфирия".
Когда наступил длительный период застоя, логики продолжали изучать и развивать аристотелевскую силлогистику, пользуясь средствами естественного (латинского) языка, к которым присоединялись простейшие схемы и буквенные обозначения. Кому принадлежит первая геометрическая интерпретация (визуализация) отношений между некоторыми видами суждений с помощью логического квадрата -точно не известно. Но впервые она встречается в рукописи II в. н.э. у Апулея [Л. Г. Тоноян. К истории "логического квадрата". // Материалы VII Общероссийской научной конференции "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке". СПб., 2002. - с. 407-409].
Понятие альтернативной величины в логике
Создание электронных вычислительных машин (а затем и персональных компьютеров) вызвало процессы, обратные развитию формализованных языков в математике и логике. Известно, что компьютер представляет собой сложную систему простых переключателей. Эта система способна выполнять элементарные действия сложения и сравнения с достаточно большой скоростью, заменяя рутинный интеллектуальный труд человека. Совокупность способов и методов математической и логической обработки информации (до современных процессов компьютеризации и информатизации) являлась некоторого рода абстрактным компьютером, позволяющим развивать производство, изучать сложные процессы и явления с достаточно высокой степенью достоверности. Сами способы и методы представляют собой шифрование (формализацию) и сведение огромного количества элементарных мыслительных процессов к упрощенной алгоритмической структуре с учетом оценок погрешностей получаемых результатов. В настоящее время стоят задачи расшифровки этих способов и методов до элементарных действий и разработки специальных алгоритмов, под управлением которых компьютер получает результат. Согласно теории релейных цепей, создаются схемы, выполняющие те или иные логические операции и функции, с помощью которых и определяются элементарные операции сложения и сравнения. При этом истинность определяется состоянием выходных электронных реле (переключателей). Далее логики вынуждены поступать как математики, расчленяя логические методы на элементарные действия сравнения, создавая алгоритмы логической обработки информации. Это важная задача.
При решении этой задачи необходимо помнить, что синтаксис, алгебра и геометрия языка логики образуют неразрывное единство, они дополняют друг друга. Синтаксис (лексико-грамматические схемы и формы рассуждений) дает содержание, алгебра (формализованные исчисления и семантические таблицы) - точность, геометрия (схемы и диаграммы) - наглядность (визуализацию). Техническая реализация представляет собой найденное единство синтаксиса, алгебры и геометрии языка логики в конкретных устройствах кибернетического типа [12, с. 58-61; 38, с. 17-19; 44, с. 36-37; 65, с. 228-235; 81, с. 266-270]. Умение использовать синтаксис, алгебру и геометрию языка логики либо с последовательным переходом от одного к другому, либо комбинируя разнообразные варианты их сочетания, либо одновременно, - составляет принцип комплементарности, имеющий фундаментальное значение для логики, обогащающий ее выразительные возможности [38, с. 18-20].
Анализ выразительных возможностей современной математической (символической) логики показал, что они представляются: естественным языком в виде лексико-грамматических схем и форм рассуждений, высказываний, суждений, доказательств (выделение объектов и установление связей); графически в виде деревьев, логических схем и графов (визуализация); геометрически в виде диаграмм Кэрролла и Венна (визуализация); таблично в виде матриц и таблиц истинности (разрешающая процедура); функционально в виде аналитических схем и формул (формализованные исчисления); алгоритмически в виде лексико-грамматических и аналитических схем и форм (языки программирования, информационные модели); технически в виде механических, гидродинамических, газодинамических, электрических, электронных и оптических схем управляющих автоматических устройств (исключение абстракций). Все перечисленные выразительные возможности должны быть сведены к двоичной системе счисления, представляя собой исчисление особого логического двоичного характера. Процесс сведения логического исчисления к двоичному счислению назван арифметизацией логики. Он заключается: в принятии за основу известных истинностных значений 0 и 1; в представлении указанными истинностными значениями результатов проверки любых отношений, выражаемых простыми или составными сравнениями; в получении составных сравнений с помощью арифметических опера ций, основанных на действиях с 0 и 1. В построенной таким образом арифметизированной логике сохраняются все важные свойства выразительных возможностей языка современной логики и расширяются до двоичного счисления. В арифметизированной логике выразительные возможности в виде схем и форм рассуждений проявляются в лексико-грамматической и логико-арифметической формах одновременно, а также интерпретируются всеми выразительными возможностями языка логики. Обобщение таких интерпретаций позволило получить универсальные аналитические, графические, геометрические, табличные, алгоритмические и технические характеристики.
Обобщение основных этапов развития логики позволило построить примерную схему генеалогического дерева математической (символической) логики. В ней указаны только основные моменты, в которой, к сожалению, невозможно указать все отдельные исторически моменты открытий и всех логиков, их совершивших.
Первый этап длится двадцать веков (с V в. до н.э. - по XV в.) -это этап становления формальной логики и формальных систем. Второй этап (с XV в. - по XX в.) - этап становления математической (символической) логики. Сверху вниз рассматриваются пять основных линий (справа налево): развитие математики, развитие логики, развитие средств визуализации, следование исключений абстракций существующим на каждом этапе теоретическим достижениям, такое же следование лексико-грамматических и аналитических схем и форм в алгоритмическом виде.
Расширение выразительных возможностей логики высказываний
D-итерации диаграмм - способ введения нового термина разбиения универсума высокого ранга: универсума так много, что трудно представить способ организации сопряженных пересечений, необходимо выполнить U-итерации (увеличить масштаб) и выполнить разбиение (диаграмма 2.1.14.с)); после выполнения разбиения учесть, что ранг универсума повысится с lf3) на lf4); если для исследования такого представления достаточно, то не возникает необходимости в восстановлении диаграмм 2.1.14.Ь) и 2.1.14.а) в указанной последовательности; выполняя указанные рекомендации, можно произвести разбиения любой части диаграмм;
С-итерации диаграмм - способ уточнения значения и смысла терминов последующих разбиений универсума путем понижения ранга универсума: в отличие от U-итерации (когда относительно термина последнего разбиения возникла необходимость уточнения значений и смыслов предыдущих терминов разбиения, включая и сам универсум), в данном случае, кроме универсума, значение и смысл пересматриваются в порядке очередности следования введения терминов разбиения - с целью изменения, например, самого порядка введения терминов или уточнения их значения и смысла; согласно диаграмм 2.1.15., возможно уточнение последующих терминов двойным проходом. Универсальный метод интерпретации форм мышления и отношений между терминами таблицами истинности [16, с. 46-47] Универсальный метод интерпретации таблицами истинности соответствует универсальному методу визуализации в перечисленных выше свойствах. Введем следующие пояснения: шапка таблицы истинности содержит строки состояния истинностных значений терминов, строку индексирования столбцов (таблица 2.1.1.а)); заполнение строк состояния истинностных значений терминов: если обозначить через п ранг универсума, то число ячеек в строке равно 2"; обозначим номера строк через т, тогда строки заполняются истинностными значениями 0 и 7, начиная со строки с последним номером, в которых истинностные значения чередуются с частотой повторения 2п т раз; индексирование столбцов шапки таблицы истинности можно производить слева направо; направление индексации справа налево выбрано в направлении понижения количества истинностных значений 1 в столбцах; формулы характеристических свойств классов определяются пересечением терминов и их дополнений в следующем порядке: в таблице 2.1.1.а) в столбце с индексом 1 на пересечении со строкой термина а находится истинностное значение 7, следовательно, характеристическое свойство класса записывается именем термина а; в столбце с индексом 2 на пересечении со строкой термина а находится истинностное значение 0, следовательно, характеристическое свойство класса записывается именем дополнения термина 1-а; (таблица 2.1.1 .Ь)): в столбце с индексом 1 на пересечениях со строками терминов находятся истинностные значения 1, следовательно, характеристическое свойство класса записывается именами терминов ab; в столбце с индексом 2 на пересечении с первой строкой находится истинностное значение /, а на пересечении со второй строкой находится истинностное значение 0, следовательно, характеристическое свойство класса записывается именами первого термина и дополнения второго термина а(1-Ь); и так далее: формулы логики, представленные их истинностными состояниями, определяются посредством формул характеристических свойств классов: в таблице 2.1.1.а) задано значение истинностного состояния 10, формула которого будет записана характеристическим свойством столбца с индексом 2, так как истинностное значение 1 истинностного состояния указывает на этот индекс - 1-а; в таблице 2.1.1 .Ь) задано значение истинностного состояния 0001, формула которого будет записана характеристическим свойством столбца с индексами 1, так как истинностное значение 1 истинностного состояния указывает на этот индекс - ab; при задании значение истинностного состояния 0111, формула будет записана характеристическими свойствами столбцов с индексами 1, 2, 3, так как истинностные значения 1 истинностного состояния указывает на эти индексы - (1-a)b+a(l-b)+ab; приведенные выше формулы можно задать индексами характеристических свойств (столбцов): (2), (1), (1)+(2)+(3), соответственно.
Будем понимать под универсумом множество мыслимых объектов, обладающих множествами мыслимых признаков, соответствующих действительности (субъективный мир). Каким бы ни был выбран универсум, любые рассуждения относительно мыслимых объектов и их признаков являются предусмотренными на предмет наличия или отсутствия в универсуме объектов, а также принадлежности или не принадлежности им признаков, принятыми истинностными значениями которых являются истина или ложь, с арифметизированными аналогами 1 или 0, соответственно. Характеристическая функция универсума обладает свойством содержать все возможные внутренние характеристические свойства, предусматриваемые и не предусматриваемые логическими исследованиями, принадлежащие универсуму. Обозначим универсум именем U, а характеристическое свойство универсума именем w, выражаемое формулой: где под бесконечностью произведений внутренних истинностных значений универсума 1 понимается такое содержание универсума, которое может быть представлено бесконечным количеством свойств. Он всегда сохраняет приписываемый род относительно рассматриваемых классов, образующихся при разбиениями универсума значениями терминов.
Пусть необходимо изучить логические свойства термина А, определяемом на данном универсуме. Характеристическое свойство термина а может принимать переменные истинностные значения 1 или 0 в зависимости от соответствия некоторого выражения смыслу термина на момент времени логического исследования. Исходя из обязательно возможного истинностного значения универсума и=1,
Порождающие схемы арифметизированной логики
В этом случае термин а выступает родовым термином по отношению к приведенным ниже видовым терминам. Родовидовые отношения сохраняются и в случаях подмножеств, состоящих из классов, не представляющих своей совокупностью характеристического свойства термина универсума.
Относительно родовых признаков о предметах универсумов, терминов, подмножеств говорят, что некоторые предметы терминов, классов, подмножеств, обладают их видовыми признаками. Совместимыми называются термины, области значения которых полностью или частично совпадают, т.е. содержат общие элементы [93, с. 43]. Вернемся к рассмотрению установленных отношений между значениями терминов.
Пусть даны два высказывательных термина А и В. Они могут иметь одинаковые значение, но при этом отличаются друг от друга по смыслу. Следовательно, термины могут иметь такие субъектно-предикатные структуры: A=SAPA И B=SBPB- Например, SA=«прямоугольник», Рл= «равносторонний», SB=«POM6», Рв-«с углами 90». Вроде бы значения терминов А и В должны совпадать общим термином «квадрат». На диаграммах Эйлера-Венна для доказательства совпадения получаемых значений необходимо привести в сопряженное пересечение все указанные элементарные термины и их дополнения: «прямоугольник» - «не прямоугольник», «равносторонний» - «не равносторонний», «ромб» - «не ромб», «с углами 90» - «с углами не 90», - на универсуме таких предметов, которые обладают всеми перечисленными признаками. Предметы некоторыми определенными количествами попадут в классы с соответствующими характеристическими свойствами (какие-то классы могут не содержать предметов). Количества распределенных предметов нас не интересуют. Предметы, являющиеся «квадратами», попадут в класс пересечений признаков всех терминов SAPASBPB (или АВ). И такие предметы обладают одновременно всеми перечисленными признаками, а не термины содержат общие элементы. Таким образом, установлением отношения тождества может быть только проверка (о наличии сразу всех признаков у предметов) и достоверность (в том, что выделенные таким образом предметы не обладают свойствами других классов).
Термины, находящиеся в отношении тождества, являются частным случаем отношения пересечения между терминами. Другим сильным доказательством приведенных выше рассуждений является закон обратного отношения между значением и смыслом терминов, находящихся в родовидовых отношениях. Для этого достаточно показать, что термин «квадрат» является подвидовым к терминам «прямоугольник» и (или) «ромб», которые в свою очередь являются видовыми к термину «четырехугольник». Именно из того, что некоторые предметы, обладающие видовыми признаками и объединяемые в класс подвидовых, указывает на отношение пересечения. Содержание подвидового термина больше, так как в нем должны быть перечислены признаки таких видовых терминов, посредством которых он был образован. А значение меньше - за счет ограничения количества предметов большим количеством параметров. Можно говорить о тождественности любого элемента диаграммы Эйлера-Венна с указанными подходами, кроме самого универсума, не обладающего возможностями иметь предметы без указания их признаков. Являясь отражением закона сохранения истины окружающей объективности, универсум выступает всего лишь ее константой, изменение значения которой и является одним из направлений исследования логики.
Выше приведенные рассуждения показывают, что отношения тождества и пересечения между терминами являются отношением частичного совпадения значений терминов. Области значений терминов частично совпадают и при отношении подчинения, только не в контексте традиционных подходов, а в контексте интерпретаций формул [2.1.48]-[2.1.51].
Но полного совпадения значений терминов не происходит при установлении всех указанных отношений между ними. Следует добавить, что выше описанные отношения в равной мере относятся и к дополнениям терминов, которые можно установить на универсумах. Отношение противоречия (контрадикторности) является отношением между двумя терминами, в котором информация одного термина отрицает информацию другого термина. Считается, что области значения контрадикторных терминов исчерпывают всю область значения подчиняющего их третьего термина [93, с. 46]. Традиционно такое отношение изображается кругом Эйлера, поделенным на две части:
Установление отношения противо- /1 \ Диаграмма 2.1.20. речия имеет место для термина универсума первого ранга и его дополнения откуда следует вывод, что отношение противоречия устанавливается не между самими терминами. На самом деле, если известны термины А и В, то они, согласно свойства расщепления универсума на классы, не могут противоречить друг другу (диаграмма 2.1.16.Ь)). Если же оказывается, что В=(не-А), то этим устанавливается отношение тождества называния между именами В и не-А.
