Введение к работе
Диссертационная работа представляет собой исследование в области трехзначных логик. Разработка этих логик послужила началом развития одного из центральных разделов современной неклассической логики - многозначной. Возникновение неклассических логик, в том числе многозначных, было продиктовано актуальными проблемами логики и философии. Системы многозначных логик, и их подкласс - трехзначные логики, строились на основании пересмотра принципов классической логики и применялись для решения конкретных познавательных задач.
Критика принципа двузначности имела различные предпосылки и основания, что привело к возникновению различных трехзначных систем. Так, первая трехзначная логика - логика Лукасевича (1920 г.) была построена в связи с анализом проблемы высказываний о будущих случайных событиях и связанной с ней проблемой логического фатализма. Другие системы трехзначных логик возникли в связи с необходимостью преодоления логических и семантических парадоксов. С другой стороны, возникает задача корректной работы с противоречивыми высказываниями, и эта важная, в том числе с философской точки зрения, задача в рамках трехзначной логики решается построением паранепротиворечивых систем. Особый класс среди трехзначных логик представляют регулярные логики. Они конструировались и использовались в качестве аппарата для работы с неразрешимыми утверждениями (утверждениями, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть).
Актуальность темы. Широкий класс проблем, решение которых связано с отказом от классической логики и ее принципов, приводит к многообразию трехзначных логик. В связи с множественностью и разнообразием логических систем возникает актуальная проблема изучения взаимоотношений между различными трехзначными логиками, их систематизации и упорядочивания в виде определенных структур.
Необходимо сказать, что в целом задача изучения различных классов логик и представление их в виде структур занимает значительное место в логических исследованиях со второй половины XX века, и в некоторых областях была успешно решена. Так, например, были построены и изучены решетки модальных логик, решетки суперинтуиционистских логик (логик без закона исключенного третьего (si-логики), или класс логик без закона сокращения (sl-логики)). В работе А.С.Карпенко построены булевы решетки аксиоматик импликативных логик. Однако все это решетки однотипных логик.
В рамках класса трехзначных логик, где конструируются различные по своим свойствам логики, актуальна задача представления трехзначных логик в виде решетки относительно отношения функционального вложения одной трехзначной логики в другую.
Степень разработанности проблемы. Первой работой в области взаимоотношения трехзначных логик является работа В.И. Шестакова , в которой автор рассматривает «логику Клини-Бочвара» (она получается за счет комбинирования связок логики Бочвара и логики Клини), функционально эквивалентную трехзначной логике Лукасевича L3. Там же автор показывает, что логика Клини и логика Бочвара функционально вложимы в L3. В другой своей работе В.И. Шестаков рассматривает расширения Вз и Кз до функционально полных трехзначных логик.
В вопросах взаимоотношения трехзначных логик, выразимости в них связок большое значение имеет работа В.К. Финна . В этой работе впервые показывается, как посредством сильных связок Клини можно определить слабые. Здесь же, автором представлены своеобразные нормальные формы для логики Вз, посредством которых можно представить любую логическую связку этой логики. Заметим, что наличие таких форм для связок той или иной
1 Karpenko AS. The classification of propositional calculi II Studia Logica. Vol. 66. № 2. P. 253-271.
2 Шестаков В.И. О взаимоотношении некоторых трехзначных логических исчислений // Успехи математических наук. Том
19. Вып. 2(116). 1964. С. 177-181.
3 Шестаков В.И. О некоторых расширениях исчислений Бочвара и Клини до функционально полных трехзначных ис
числений//Научно-техническая Информация. Серия 2(12). 1967. С. 12-17.
4 Финн В.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном
мире. Философия и логика. М.: Наука, 1974. С. 398-438.
логической системы имеет принципиально важное значение при изучении взаимоотношений логических систем, например, при доказательстве того, что одна трехзначная логика не является функционально вложимой в другую. В этой же работе приводится аксиоматизация и алгебраизация некоторых трехзначных систем. В связи с логикой Бочвара Вз упоминается трехзначная логика Холдена, показывается, что последняя функционально вложима в Вз. В другой работе В.К.Финна описаны 11 предполных классов логики Бочвара. Показано, что логика Холдена функционально вложима в один из них.
Далее, в книге Л. Годдарда и Р. Раутли представлена серия трехзначных (а также четырехзначных) систем, названных логиками значения; истинностные значения, отличные от истины и лжи, в них интерпретируются либо как неполнота информации, либо как незначимость. Но в этой работе лишь перечисляются системы, отсутствует формальное определение понятия «логика значения». Этот недостаток устраняется в работе В.К. Финна, О.М. Аншакова, Р.Ш. Григолия, М.И.Забежайло . Здесь же представлена классификация трехзначных логик значения, и в качестве основания выступают алгебраические семантики соответствующих логик. В качестве подкласса логик значения выделяется класс логик бессмысленностного типа. В свою очередь логики бессмысленностного типа делятся на два основных подкласса: логики сильно бессмысленностного типа и логики слабо бессмысленностного типа. Характерными представителями первого подкласса являются трехзначная логика Бочвара Вз и трехзначная логика Холдена Нз. Здесь промежуточное значение понимается как «самая сильная» незначимость (бессмыслица). Среди логик слабо бессмысленностного типа наиболее интересным представителем является трехзначная логика Эббинхауза Ез, которая по своим функциональным свойствам является промежуточной между Вз и L3. Что
5 Финн В.К. О критерии функциональной полноты для В3 // Исследования по формализованным языкам и неклассическим
логикам. М.: Наука, 1974. С. 194-199.
6 Goddard L., Routley R. The logic of significance and context. Edinburgh and London. 1973.
7 Финн В. К., Аншаков О.М., Григолия Р. Ш., Забежайло М.И. Многозначные логики как фрагменты формализованной
семантики // Семиотика и информатика. 1980. Вып. 15. С. 27-60. См. также Finn V., Grigolia R. Nonsense logics and their
algebraic properties II Theoria. Vol. LIX. Parts 1-3. 1993. P. 207-273.
касается самой L3, то в предложенной классификации она вообще не является логикой значения и называется логикой неопределенностного типа.
Интересный результат в области взаимоотношений трехзначных логик и
их систематизации принадлежит А. Аврону . Здесь выделяется класс так называемых естественных трехзначных логик, представляющих собой расширение логики Клини Кз. Это логики Кз, L3, LPF, RM3 и PCont. Приводятся доказательства функциональной эквивалентности некоторых систем: L3 и LPF, RM3 и PCont. Однако основное внимание уделено отношению логического следования в каждой из этих систем, приводится секвенциальная формулировка этих систем со свойством устранимости сечения. Заметим, в эту классификацию не попадает такая известная логика, как трехзначная логика Бочвара Вз, являющаяся расширением слабой логики Клини.
Взаимоотношениям внутри класса трехзначных регулярных логик Клини посвящена статья Е.Ю. Комендантской , где взаимоотношение между трехзначными регулярными логиками Клини представлено в виде четырехэлементной решетки.
Таким образом, несмотря на то, что исследования в области изучения взаимоотношения трехзначных логик, их систематизации ведутся уже достаточно давно, и достигнуты некоторые результаты, на наш взгляд, эта тема по-прежнему актуальна и недостаточно разработана в том плане, что в литературе не находим решения задачи представления различных трехзначных логик в виде решеток относительно отношения функционального вложения одной трехзначной логики в другую.
Цели и задачи исследования. Целью данного диссертационного исследования является применение систематизирующего подхода к изучению многообразия трехзначных логик, представление различных классов
AvronA. Natural 3-valued logics-characterization and proof theory //The Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56. № l.P.276-294. 9 Комендантская Е.Ю. Функциональная взаимовыразимость регулярных логик Клини // Логические исследования. Вып. 15. 2009. С. 116-128.
трехзначных логик в виде решеток относительно отношения функционального вложения.
Для достижения указанных целей, в ходе работы над диссертационным исследованием были поставлены следующие задачи:
Проанализировать основные источники возникновения трехзначности в логике и описать наиболее известные и философски значимые трехзначные логики;
Исследовать свойства и взаимоотношения между регулярными логиками Клини;
Сформулировать определение понятия естественной импликации и представить класс естественных импликаций;
Описать импликативные расширения регулярных логик Клини; доказать утверждения о функциональной вложимости некоторых импликативных расширений в другие; доказать утверждения о функциональной эквивалентности (независимости) некоторых импликативных расширений, а также их эквивалентности известным трехзначным логикам;
Описать класс стандартных р-яогик и их свойства. Рассмотреть импликативные расширения стандартных р-яотик; доказать утверждения о функциональной вложимости некоторых импликативных расширений в другие; доказать утверждения о функциональной эквивалентности (независимости) некоторых импликативных расширений, а также их эквивалентности известным трехзначным логикам;
Обобщить понятие р-логики и рассмотреть класс естественных р-логик. Доказать ряд утверждений о функциональной эквивалентности (независимости, вложимости) естественных р-логик.
Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач применялись методы
современной символической логики, которые использовались при доказательстве утверждений.
В методологическом плане принципиальным является трактовка термина «логика». Это, в свою очередь, непосредственно определяет методологию исследования.
В данном исследовании под трехзначной логикой будем понимать некоторое конечное множество логических связок, задаваемых таблично. По существу такое понимание трехзначной логики мы находим у С. Клини .
Логические связки являются знаками истинностных функций.
Функциональная трактовка термина «логика» была выбрана, поскольку, во-первых, ни одна из регулярных логик Клини не имеет тавтологий при одном выделенном значении, во-вторых, такой подход удобен для сравнения различных логик.
Укажем некоторые базовые понятия, а также ряд ключевых определений, существенно используемых на протяжении всей работы.
Функцией трехзначной логики называется произвольная функция J[x\,...,xn) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функции является множество V^ = {0, /г, 1}. Множество всех трехзначных функций обозначается посредством Рз.
Пусть F - некоторое непустое множество 3-значных функций, по индукции определим понятие формулы над F.
Базис индукции. Каждая функция f(x\,...,xm) из F называется формулой над F.
Индуктивный переход. Пусть fi(x\,... ,хт) - функция из F и А\,... ,Лт -выражения, являющиеся либо формулами над F, либо символами переменных (аргументов). Тогда выражение ft(Aь...Д„) называется формулой над F.
Клини С. К. Введениев метаматемитику. М.: Иностранная литература. 1957. 64.
Функция f выразима {определима) через функции множества F, если существует формула над F, которая реализует функцию/
Если функция f реализуется формулой, которая составлена только из символов функций /[,.../к (а также символов переменных), то функция f является суперпозицией функций /,.../к, а процесс получения функции f из f\,...fkназывается операцией суперпозиции.
Система функций F = {/,..../...} из Рз называется функционально полной, если любая функция из Рз представима посредством суперпозиций функций из системы F.
Система F функций называется функционально предполной в Рз, если F представляет не полную систему, но добавление к F любой функции f такой, что/є Рз и/ F, преобразует F в полную систему.
Итак, поскольку связки являются знаками истинностных функций, то, соответственно, если говорим о том, что некоторая связка а определима посредством некоторого множества связок М (например, М = {Pi,..., рп}), то имеем в виду, что функция, знаком которой является а, выразима через функции, знаками которых являются связки из М.
Таким образом, имеем следующие определения 1-5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Трехзначная логика S - функционально полна, если всякая связка трехзначной логики определима посредством связок S. Или, другими словами, если система функций S, соответствующая логике S, является функционально полной в Рз.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Трехзначная логика S - функционально предполна, если она не является функционально полной, но добавление к S связки, которая не выразима посредством исходных связок логики S, превращает S с этой связкой в функционально полную логику. Или, другими словами, если система функций S, соответствующая логике S, является функционально предполной в Рз. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Логика S функционально вложима в логику S', если все связки логики S могут быть определены посредством связок логики S'.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Логика S функционально эквивалентна логике S', если
логика S функционально вложима в логику S' и
логика S' функционально вложима в логику S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Собственным расширением логики S назовем некоторую логику S' со множеством связок, которое представляет собой пополнение исходного множества связок логики S связкой, которая не может быть определена посредством исходных связок системы S.
Кроме того, в ходе диссертационной работы будут привлекаться элементы теории решеток :
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Отношения, обладающие свойством рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, называются отношениям частичного порядка. Множества, на которых заданы такие отношения - частично упорядоченные множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть Ясіиієі. Тогда х называется верхней границей подмножества Н, если h < х для всех h є //. Верхняя граница х подмножества Н называется его верхней гранью или супремумом, если х < у для любой верхней границы у подмножества Н. Понятие нижней границы и инфимума определяется аналогично (двойственным образом).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Ч.у. множество
Научная новизна работы. В диссертационном исследовании впервые представлены в виде решеток относительно отношения функциональной вложимости различные трехзначные логики. При этом элементами этих решеток являются наиболее известные трехзначные логики, а именно, трехзначная логика Лукасевича L3, трехзначная логика Бочвара Вз, трехзначная паранепротиворечивая логика PCont. Кроме этого появляются трехзначные логики неизвестные ранее. Все эти логики являются импликативными расширениями слабой регулярной логики Клини К^. И таких логик всего семь,
11 Далее, говоря о расширении некоторой трехзначной логики, будем иметь ввиду «собственно расширение некоторой
трехзначной логики», слово «собственное» для удобства будем опускать.
12 Гретцер Г. Общая теория решеток. М.:Мир, 1982.
их мы назвали базовыми трехзначными логиками. Эти логики являются нормальными в смысле Лукасевича-Тарского, и для каждой из них имеет место теорема дедукции.
Подобный подход применяется и к другому классу логик, который образуют так называемые стандартные р-яотики. В этот класс кроме уже известных логик Ьз и Вз в качестве импликативных расширений попадают трехзначная логика Гейтинга G3 и трехзначная логика Эббинхауза Ез.
Как обобщение стандартных р-логик и в связи с ними впервые определен и рассмотрен класс естественных р-логик, здесь появляется трехзначная логика Сетте Р1.
Впервые показана функциональная эквивалентность логики Р и I , которые ранее в литературе рассматривались исключительно с точки зрения дуальности друг к другу и по функциональным свойствам считались различными.
Несмотря на то, что класс естественных р-яотик напрямую не связан с регулярными логиками Клини, между ними установлена опосредованная связь, и здесь принципиальную роль играет одно из расширений слабой логики Клини - трехзначная логика Бочвара Вз. Кроме того, доказано, что знаменитая паранепротиворечивая логика Р с функциональной точки зрения есть фрагмент логики Бочвара Вз (т.е. множество всех внешних связок логики Бочвара Бі функционально эквивалентно множеству связок Р ).
Кроме того, в ходе исследования найдены многочисленные функционально эквивалентные построения для известных трехзначных логик Ез, Вз, G3, PCont, Р1
Построение конструкций в виде решеток позволило упорядочить и систематизировать знания о совершенно различных логических системах, ясно показать взаимоотношения между ними и ту роль, которую играет каждая из них.
Основные положения, выносимые на защиту. В ходе проведенной работы были получены следующие результаты:
Импликативные расширение регулярных логик Клини образуют
семиэлементную решетку по отношению функционального
вложения одной логики в другую. Элементами решетки являются
логики L3, Вз, PCont, Z, а также ранее не встречавшиеся в
литературе логики Т , Т , Т ;
Трехзначная логика L3 может быть представлена как стандартная сильная дважды /?-логика и как стандартная промежуточная р-логика; стандартная слабая /?-логика есть трехзначная логика Бочвара;
Импликативные расширения стандартной сильной /?-логики образуют два класса: класс логик, по функциональным свойствам эквивалентных логике Лукасевича L3, с другой стороны, класс систем, функционально эквивалентных логике G3;
Импликативные расширения стандартной сильной дуальной р-логики образуют один класс: класс логик, по функциональным свойствам эквивалентных логике Лукасевича L3;
Импликативные расширения стандартной слабой /?-логики образуют три класса: класс логик, по функциональным свойствам эквивалентных логике Лукасевича L3, с другой стороны, класс систем, функционально эквивалентных логике Ез, а также класс логик, эквивалентных логике Т ;
Естественные /?-логики образуют пятиэлементную решетку относительно отношения функциональной вложимости;
Трехзначные логики Р и I функционально эквиваленты и характеризуются в терминах естественных р-яотик;
Множество связок паранепротиворечивой логики Сетте Р функционально эквивалентно множеству внешних связок логики Бочвара.
Научно-практическая значимость работы. Теоретическая значимость оты заключается в систематическом подходе к рассмотрению проблемы
взаимоотношения различных трехзначных логик. Материалы и выводы диссертационного исследования могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по неклассическим логикам.
Апробация работы. Полученные в ходе исследования результаты докладывались на научно-исследовательском семинаре сектора логики Института философии РАН (апрель 2010 г.), на международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 2007 г., 2009 г.), на XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007), на IX Общероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2006г.).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка использованной литературы.
