Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нематические жидкие кристаллы в электрическом поле 11
1.1. Свободная энергия искажения 11
1.2. Эффект Фредерикса 12
1.3. Конкуренция между внешним полем и ориентирующим действием стенок 21
1.4. Флексоэлектрический эффект 26
Глава 2. Статические равновесные структуры во внешнем поле 35
2.1. Однородная в направлении оси нематика структура 35
2.2. Периодическая структура в нормальном к оси направлении . 37
2.3. Роль флексоэлектричества 42
2.4. Одноконстантное приближение 46
Глава 3. Рассеяние света 49
3.1. Корреляционная функция НЖК 49
3.2. Гомеотропная ориентация 52
3.3. Планарная ориентация 55
3.4. Корреляционные функции вблизи порога неустойчивости . 58
3.5. Рассеяние света на флуктуациях директора 60
3.6. Случай слабого сцепления с подложкой 67
Глава 4. Динамика перехода во внешнем поле 69
4.1. Баланс моментов 71
4.2. Баланс сил 74
4.3. Эффект обратного потока 77
4.4. Трехмерная периодическая структура 79
4.5. Случай двумерной структуры 82
4.6. Анализ решения 88
Заключение 90
Приложение 1 93
Приложение 2 98
Литература
- Эффект Фредерикса
- Периодическая структура в нормальном к оси направлении
- Корреляционные функции вблизи порога неустойчивости
- Трехмерная периодическая структура
Введение к работе
Оптические характеристики устройств, работающих на жидких кристаллах, представляют с технической точки зрения наибольший интерес. Эти характеристики меняются при изменении поля директора п(г, і), поэтому определение поведения этого поля является решающей задачей; требования улучшения оптических параметров приборов, таких как скорость выполнения операций, увеличение угла видимости, устойчивость к внешним возмущениям и т.п. могут быть интерпретированы как требования к полю директора.
Стремление директора создавать определенное пространственное распределение можно объяснить с помощью упругой континуальной теории, впервые предложенной Озееном [1] и Цохером [2] и позднее развитой Франком. В этой теории упругие силы, создаваемые молекулярной структурой жидкого кристалла, оказывают сопротивление любому отклонению поля директора от его равновесного состояния. Эти отклонения, или искажения, могут быть вызваны различными явлениями: взаимодействием с внешним электрическим или магнитным полем, связью поля директора с течением нематической жидкости, влиянием сил сцепления с поверхностями, ограничивающими образец и т.д. [3,4].
В простейшем электрооптичееком приборе тонкий слой жидкого кристалла расположен между двумя пластинами - наподобие сэндвича, - каждая из которых обработана таким образом, что взаимодействие с молекулами нема-тика создает заданную ориентация директора. Оптические свойства такого прибора могут быть изменены приложенным внешним полем, чье искажающее действие конкурирует с влиянием поверхностных сил. В подавляющем большинстве случаев для этой цели используется электрическое поле, и установлено существование порога - критической величины поля, ниже которой искажений не появляется. Ориентационный фазовый переход, определяемый этим критическим полем, был открыт в 1933 году и называется эффектом Фрсдерикса [5]. Простым операционным режимом для такого устройства является переключение между двумя состояниями: внезапным включением и выключением внешнего электрического поля. Тем не менее, несмотря на простоту, два важнейших вопроса требуют решения. Первый: какой вид имеет пространственное распределение директора в каждом из состояний, и, второй: как проходит переход между этими состояниями.
Нематические жидкие кристаллы (НЖК) - даже если они состоят из полярных молекул - являются неполярными веществами. Они могут быть поляризованы электрическим полем. Поляризация, однако, может быть вызвана деформациями продольного и поперечного изгибов. Возможность такого рода "электричества кривизны"была впервые предсказана Мейером в 1969 году [6] и впоследствии подтверждена экспериментально [7]. Этот эффект, подобный пьезоэлектрическому эффекту в твердых телах, был позднее назван флексо-электрическим. Естественно, существует и обратный эффект: приложенное внешнее поле, поляризуя нематик, может создавать искажения распределения директора [8]. Другими словами, флексоэлектрический эффект представляет собой связь электрического поля с градиентами поля директора в НЖК. При этом вклад флексоэлектричества в термодинамический потенциал пропорционален напряженности приложенного электрического поля, в отличие от диэлектрического вклада, квадратичного по полю.
Определение поведения директора в жидко-кристаллическом устройстве является сложной задачей из-за природы материала. Жидкие кристаллы являются анизотропными веществами и обладают большим числом материальных параметров, необходимых для их описания. К примеру, они имеют 3 - но меньшей мерс - коэффициента упругости, 5 коэффициентов вязкости, две диэлектрические проницаемости и т.д. В дополнение к этому, существует связь между их течением и искажением ноля директора, называемая обратным потоком (back-flow effect), особенно сильно выраженная во время короткого переходного процесса.
Статическое и динамическое поведение простых устройств по-прежнему не проанализировано полностью даже для таких хорошо изученных и широко применяемых приборов, как TN (Twisted Nematic) и STN (SuperTwisted Nematic) [9, 10, 11].
При рассмотрение статической задачи, аналитически несложно вычислить пороговое значение поля для перехода Фредерикса [12], но не структуру нематика выше порога, - для этой цели используются методы компьютерного моделирования. Тем не менее, аналитическое решение имело бы решающее значение для создания оптических устройств. Бесчисленные вариации объемного поведения структуры нематиков связаны с широким спектром значений материальных параметров, характеризующих это поведение.
Динамика переходных явлений в нематиках имеет важное практическое значение: она определяет время переключения оптических устройств. Сложность решения этой задачи связана с необходимостью учета влияния обратного потока на ориентацию директора.
Несмотря на то, что эффект Фредерикса наиболее часто применяется для измерения параметров жидких кристаллов, переходные гидродинамические неустойчивости в НЖК до сих пор остаются относительно мало изученными. При обычном переходе Фредерикса внешнее поле прикладывается к однород- но ориентированному образцу таким образом, что директор стремится повернуться перпендикулярно своему первоначальному направлению. Окончательным углом поворота директора является угол, при котором вращательный момент, вызванный действием поля, уравновешивается упругим моментом, создаваемым ориентирующими стенками и передаваемым нематиком. Хотя конечная структура является однородной в плоскости образца, в процессе ее образования часто возникает пространственно-периодическая переходная неустойчивость, смежные домены которой поворачиваются в противоположных направлениях [13, 14, 15, 16, 17]. Этот эффект является следствием связи между течением нематической жидкости и переориентацией директора. Такой начальный отклик системы, выражающийся в появлении в ячейке НЖК полос, параллельных направлению внешнего поля - полосатых текстур, -оставался долгое время незамеченным. Одной из причин, препятствующих оптическому наблюдению этого явления, является быстрый отклик системы, в особенности если нематик является термотропным: возникающие полосы настолько быстро исчезают, что экспериментальное их обнаружение чрезвычайно затруднено. Однако в случае лиотропных номатиков, система является достаточно медленной и полосатые текстуры становятся наблюдаемыми. Большинство опубликованных экспериментальных исследований проведено именно с лиотропными НЖК [17, 18, 19, 20, 21].
Настоящая работа посвящена исследованию ориентационного фазового перехода в нематиках во внешнем поле. В основе анализа перехода лежит идея о том, что начальное искажение определяется одной доминирующей модой - модой наибыстрейшего роста. Эту моду можно найти, вычислив максимум коэффициента роста мод как функции волнового вектора. Тот факт, что в результате этот максимум существует для ненулевого волнового вектора и, таким образом, модой наибыстрейшего роста, то есть оптически наблюдаемой является периодическая мода, объясняется тем, что эффективная вязкость, характеризующая скорость диссипации энергии, является в общем случае зависимой от волнового вектора, благодаря связи между поворотом директора и градиентами скорости нематической жидкости и анизотропии вязких свойств НЖК.
Диссертационная работа построена следующим образом:
Первая глава посвящена исследованию поведения ячейки НЖК во внешнем электрическом поле. Рассматриваются два эффекта, определяющих ориентацию нематика: квадратичный по полю переход Фредерикса и линейный флексоэлектричсский эффект. Изучается влияние ограничивающих образец пластин - подложек - и их конкуренция с полевыми эффектами. Показано, что в результате этой конкуренции вблизи стенок образуется переходный слой, толщина которого рассчитана аналитически.
Во второй главе рассматриваются статические равновесные структуры, возникающие в НЖК под действием электрического поля. Показана возможность возникновения двумерной периодической структуры, при которой обычный однородный переход Фредерикса с деформацией продольного изгиба замещается периодическим, с деформациями продольного изгиба и кручения. Получено выражение для критерия, определяющего, какое из возможных основных состояний является наблюдаемым. Исследована роль флексо-электрического эффекта и анизотропии упругих свойств НЖК для появления периодической структуры. Доказана невозможность возникновения трехмерной статической структуры.
В третьей главе аналитически рассчитана корреляционная матрица флуктуации директора и интенсивность рассеянного ячейкой света. Показано, что при приближении к точке фазового перехода в угловой зависимости интенсивности рассеянного света возникает пик, измерение которого позволяет вы- числить различные параметры НЖК, в том числе флсксоэлектричсские коэффициенты.
В четвёртой главе рассматривается динамическое поведение нсматика под действием внешнего электрического поля. Исследовано влияние эффекта обратного потока на переходный процесс. С помощью линеаризованного анализа показано, что при достаточно быстром включении внешнего поля, превышающего в несколько раз по величине критическое поле фазового перехода, модой наибыстрейшего роста, доминирующей и наблюдаемой, является периодическая по трем координатам мода. При таком переходе имеют место все три основных типа деформации НЖК - продольный и поперечный изгибы и кручение. Таким образом, возникает трехмерная периодическая структура, оптически наблюдаемая в виде системы наклонных полос.
Основные результаты, полученные в работе, представлены в следующих публикациях:
Романов В.П., Скляренко Г.К. Флуктуации в жидких кристаллах при наличии флексоэлектрического эффекта. ЖЭТФ, 1997, V.112, р.1675-1693 Romanov V.P., Sklyarenko G.K. Fluctuations in nematics near Freedericksz and flexoelcctric transitions. Colloids and surfaces A, 1999, V.158, p.355-
Романов В.П., Скляренко Г.К. Пороговые эффекты в гомеотропно ориентированных нематических жидких кристаллах во внешнем электрическом поле. ЖЭТФ, 1999, V.89, р.543-550 Romanov V.P., Sklyarenko G.K. Fluctuations and light scattering in neraatic liquid crystals in the presence of flexoelectric effect. Molecular Crystals and Liquid Crystals, 2001, V.359, p.523-536 а также в тезисах: Romanov V.P., Sklyarenko G.K. Proceedings of the 8-th International Symposium Colloids and Molecular Electrooptics ElectroOpto-97 Romanov V.P., Sklyarenko G.K. Proceedings of the VII International Topical Meeting on Optics of Liquid Crystals, OLC-99, Puerto Rico, USA, 2001
Эффект Фредерикса
Первый член в правой части (1.5), не зависящий от ориентации нематика, не представляет интереса для дальнейшего исследования. Второй же оказывает сильное влияние на распределение директора п(г) - он зависит от самого вектора п(г), а не от его производных, - и благоприятствует выравниванию директора параллельно внешнему полю в случае єа 0, и перпендикулярно - если єа 0. Здесь и далее мы будем для определенности считать єа 0. Кроме того, при рассмотрении влияния электрического поля, нематик считается идеальным диэлектриком (для избежания проникновения носителей зарядов, образец должен быть отделен от электродов дополнительным слоем изолятора).
Далее предполагается, что электрическое поле внутри НЖК однородно. Это предположение оправдано с высокой степенью точности для нематиков с небольшими диэлектрическими анизотропиями [3, 4]. Общий случай неоднородного поля рассматривается в приложении. Важно отметить, что конечный результат, выражающий связь между разностью потенциалов и формой деформации, меняется незначительно.
Рассмотрим конфигурацию, изображенную на рисунке 2. НЖК расположен между двумя параллельными пластинами, обработанными таким образом, что директор на них имеет одно общее направление, параллельное пластинам. Такая конфигурация называется однородной планарной текстурой.
Геометрия перехода Фредерикса: при значениях внешнего электрического поля, превышающих критическое Е Есв объеме НЖК возникает деформация поперечного изгиба
При этом предполагается, что на подложке директор жестко фиксирован -условие сильного сцепления. Благодаря своим упругим свойствам, это заданное на границе направление передается всему образцу. Ячейка помещается во внешнее однородное электрическое поле Е, перпендикулярное пластинам и первоначальной ориентации директора, Е X п.
Возникает вращательный момент, который стремится повернуть директор п вокруг оси у, чтобы выровнять его вдоль направления поля Е [23] Мдиэл = D х Е = еа(Е)п х Е (1.6) где введено обозначение е0
Легко видеть, что в неискаженной конфигурации этот момент исчезает: п Е = 0, значит неискаженная конфигурация удовлетворяет условиям локального равновесия даже в присутствии внешнего поля Е. Так как диэлектрический вклад (1.5) уменьшает свободную энергию системы при отклонении направления директора от заданного на границе, то для достаточно больших полей оптимальному состоянию будет соответствовать другая конфигурация, в которой молекулы нематика выровнены параллельно полю Е в объеме образца, за исключением двух тонких переходных областей вблизи
Стадии перехода Фредерикса: зависимость угла поворота директора НЖК от z, координаты по вертикали. При значениях поля ниже критического, Е ЕС} деформации не возникает. При полях, намного превышающих критическое Е » Ес, угол поворота директора в среднем слое ячейки достигает своего максимального значения тг/2 пластин.
Будем считать, что сцепление с подложкой является жестким, что означает фиксированное направление директора на границе 11( ,3 = 0,(0 = (1.0,0) (1.7) Распределение директора в этой геометрии может быть представлено в виде п(г) = (cos f (z),0,sm j)(z)) (1.8) где ф - угол отклонения молекул от заданного подложкой направления.
Стандартным методом расчета деформации как функции приложенного напряжения является вариационное исчисление [15, 19, 16]: необходимо подобрать функцию ф(г) таким образом, чтобы изменение свободной энергии F-F0 = J{ упр h(r), дрч(г)] + і л h(r)] }dr , (1.9) вызванное действием внешнего электрического поля, было минимально по отношению к вариациям п(г), что приводит к уравнению Эйлера-Лагранжа
Периодическая структура в нормальном к оси направлении
Рассмотрим флуктуации, испытываемые направлением директора п(г) в пла-нарно ориентированном нематическом жидком кристалле. Для этого представим его в виде п(г) = по + Уп(г) - (1, Ц,(г), Jn,(r)) 2.1) где no = п - постоянное вдоль всего объема равновесное направление, а 5п - флуктуационное отклонение от этого значения. Поскольку n2 = njj = 1, то (по 5п) « 0, то есть в линейном приближении вектор 5п перпендикулярен к п0.
Свободную энергию, вызванную отклонениями от равновесия, можно представить в виде JF= і /0Ц,(г), Ыг))5) ( 5ПУ{Т) dv (2.2) 2 J \ fi-nJ-A і 5пу(г) Snz(r) где линейный дифференциальный оператор 1) имеет вид -(к, - к2)д1 - еЕду - - к2д1 - кф\ Благодаря граничным условиям, оператор 33 является самосопряженным, поэтому существует полный набор ортогональных собственных функций - нормальных мод - ф\ оператора 2) ЗД(г) = AiVi(r) , J &(r)tyj(r)dr = 6ij (2.4) где ХІ - вещественные собственные числа, 5у - символ Кронекера. Следовательно флуктуации директора можно в любой момент времени разложить по нормальным модам 6nJr, і) \ «— = ( Мг) 2-5) Snz(r,t) J І Подставляя это выражение в (2.2) и используя (2.4), получаем
Из теоремы о равнораспределении следует, что среднее квадрата амплитуды каждой нормальной моды фі имеет вид [22] і kgT ,_ _. 1 = хГ ( 7) где кв - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура.
Таким образом, собственное число А определяет амплитуду флуктуации фі. Та мода, собственное число которой при включении внешнего электрического поля приближается к нулю, является критической: ее амплитуда неограниченно растет, и именно она "sanycKaeT asoBbift ориентационный переход в нематике [39].
С учетом симметрии оператора 2), его собственные функции будем искать в виде: 5пу{х, у, z) = cos(qxx) sm(qyy)ev(z) (2.8) 5пх{х, у, z) = cos{qzx) QOS,{qyy)9x{x) (2.9) Подставляя эти выражения в уравнение на собственные значения оператора получаем
Вид уравнения (2.11) позволяет сделать важный вывод о виде структуры, возникающей в нематике под действием внешнего электрического поля.
Пусть решение (2.11), однородное по х, qx — 0, имеет собственное число Ао. Тогда это же решение, по с собственным числом А = Ао -J- K q2. годится и для неоднородного случая qx ф 0, поскольку именно в этой комбинации члены, содержащие qx, находятся на диагонали матрицы вместе с ее собственными числами. То есть собственные числа монотонно растут с ростом qx- Это означает, что при увеличении внешнего поля первой нестабильной флуктуационіїой модой будет мода, однородная по х, - ее собственное число первым обратится в нуль. Следовательно равновесная структура, возникающая в результате ориентационного фазового перехода будет однородной по
Рассмотрим возможность существования статической периодической по у структуры, возникающей в нематике под действием внешнего электрического поля. В этом случае, как видно из рисунка 12, к деформации продольного изгиба добавляется деформация кручения. Рис. 12
Два типа перехода Фредерикса из плапарной в гомеотропную конфигурацию: a) однородный переход Фредерикса с деформацией продольного изгиба; b) периодический переход Фредерикса с деформациями продольного изгиба и кручения.
В данной ячейке НЖК действительной формой структуры, образующейся в результате перехода Фредерикса во внешнем электрическом иоле, является форма, соответствующая наименьшему критическому полю. Для нематиков, обладающих определенными упругими свойствами, а именно, для которых упругий модуль продольного изгиба К\ значительно превосходит модуль кручения К?, периодическое искажение будет иметь меньшее критическое поле, чем для случая однородного искажения, так как при этом деформация продольного изгиба частично замещается кручением [40].
Для анализа задачи будем использовать общий метод расчета критического поля для перехода Фредерикса [13, 14, 15, 19]. Этот метод основан на вычислении состояния с наименьшей свободной энергией вариационным методом. Приравнивание вариации функционала свободной энергии по отношению к функции директора нулю приводит к системе дифференциальных уравнений. Для приложенных полей, меньших критического, решение этой системы, соответствующее минимуму энергии, представляет собой поле директора, описывающее неискаженное состояние, то есть тривиальное реше ниє. Для полей, превышающих критическое значение, наименьшей энергией будет обладать состояние с конечной амплитудой искажения. Следовательно, критическое поле определяется как наименьшее значение поля, при котором нетривиальное распределение директора является решением этих дифференциальных уравнений.
Переход из неискаженной в искаженную конфигурацию является ориен-тационным фазовым переходом И-го рода, поэтому амплитуда искажения непрерывно стремится к нулю в точке перехода [4, 41].
Аналитическое решение этой задачи связано с нахождением решения нелинейных дифференциальных уравнений, что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу. Тем не менее, для нахождения критического поля можно рассмотреть упрощенный подход. Так как вблизи точки перехода амплитуда искажения является произвольно малой величиной, могут быть использованы линеаризованные уравнения.
Корреляционные функции вблизи порога неустойчивости
Для обеих рассмотренных ориентации корреляционные функции флуктуации директора во внешнем электрическом поле имеют полюса первого порядка в точках 7Г Q[h) = i2k k== і»2 "" При Q(/i) = 0 эти выражения остаются конечными, поскольку lim {-= TJT\—к(сЛ[ №)(2;+г/)] сЛ( (Л)гі)сЛ[ 5{м(-г--г )]+зЛ( ?(лї00»л[ (Л) d Izz . і . Если рассматривать Q как функцию поля, то есть q считать фиксированным, то можно заметить, что количество полюсов растет с ростом Е. Найдем 7Г Значение EQ, КОТОрое СООТВеТСТВуеТ Первому ІІОЛЮСу, ТО ЄСТЬ Qffr) = і—. Из а (3.20) имеем h = (3.49) Решая (3.49) относительно EQ, находим
Таким образом, первый полюс у корреляционных функций для обеих ориентации директора появляется при Е = EQ. Причиной появления этого полюса является пороговая флексоэлектрическая неустойчивость, возникающая в ячейках конечной толщины, которая заключается в появлении специфической доменной структуры при значениях поля, больших некоторого критического Ес. Это означает, что при Е Ес исходную ориентацию директора уже нельзя считать однородной и наш предыдущий анализ неприменим. В случае планарной ориентации этот эффект подробно рассмотрен в [50]. Используя такой же метод, нетрудно вычислить критическое значение электрического поля и для случая гомеотропной ориентации. (3.51)
Эти выражения в точности совпадают с полученными в [50] для планарной ориентации. Таким образом, формулы для корреляционных матриц флуктуации директора, полученные в двух предыдущих разделах, справедливы лишь при условии Е Ес. Сравнивая формулы (3.50) и (3.53), легко заметить, что Ео Ес, поскольку q2 — qx + Qy. Это означает, что в области Е Есг то есть в области применимости нашей теории, у корреляционных функций флуктуации директора нет полюсов. Очевидно, что при увеличении поля флуктуации растут, причем первый полюс у корреляционных функций появляется для мод, характеризующихся qx = 0, что согласуется с данными работ [51, 52].
Это изменение, в свою очередь, вызывает рассеяние света в среде. Интенсивность рассеянного света I пропорциональна где Е - поле рассеянной волны. Если в среде распространяется плоская волна с амплитудой Е и волновым вектором kj то величина Еа(г)Ед(г) однократно рассеянных волн Е определяется интегралом по рассеивающему объему [53] где ш - круговая частота, с - скорость света, Та1 (г , г ) - функция Грина уравнений Максвелла, в которой должна быть учтена анизотропия. Поскольку нас интересует вопрос о принципиальном влиянии флексоэлектрического эффекта и эффекта анизотропии на рассеяние света, мы ограничимся асимптотикой TQ7(r , г ) на больших расстояниях г = R — г для изотропной среды Та1(К) = А-е д - saS(3) (3.57) где к — —у/є, є = -JL- средняя диэлектрическая проницаемость, s — — с 2 Н - направление на точку наблюдения. Подставляя(3.57) в (3.56), получаем 4 т/1 fd/2 rd/2 dz e- ) (q, 4(qi/) ElEl (3.58) 3-6,(1 3-6.(2 где V - рассеивающий объем. С помощью (3.55) корреляционную функцию флуктуации тензора диэлектрической проницаемости можно представить в виде = єа п п\ fo (q, г)5пх{ц., /) +nnj Jn7(q, z ) 5raA(q, /) + +n
