Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные эффекты в диэлектрических кристаллах
1.1 Термодинамическое описание нелинейных явлений в диэлектрических кристаллах 10
1.2 Уравнения движения и уравнения состояния пьезоэлек трической среды, подвергнутой влиянию внешних воздействий 18
1.3 Экспериментальные исследования нелинейных свойств пьезе— и сегнетоэлектрических кристаллов 25
1.4 Пути практических применений нелинейных эффектов 30
Выводы к 1 главе 37
Глава 2. Распространение упругих волн малой амплитуду в ацентричных кубических кристаллах при внешних статических воздействиях
2.1 Объемные акустические волны в кубических кристаллах при наложении постоянного электрического поля 39
2.2 Метод теории возмущений для определения коэффициен тов управления скорости ОАВ электрическим полем 52
2.3 Выбор направлений распространения ОАВ и ориентации электрического поля для определения параметров НЭМС ацентричных кубических кристаллов 57
2.4 Влияние одноосных механических напряжений на условия распространения ОАВ в ацентричных кубических кристаллах
Выводы к 2 главе 82
Глава 3. Методу экспериментальных исследований
3.1 Методика ультразвуковых исследований 83
3.2 Метода создания и регистрации внешних статических воздействий 94
3.3 Выбор рабочей кристаллофизической системы координат в энантиоморфных кубических кристаллах 99
3.4 Приготовление образцов 103
Выводы к 3 главе 105
Глава 4. Нелинейные электромеханические свойства кристаллов со структурой силленита. возможности применений
4.1 Результаты экспериментальных исследований зависимостей ft = f(E) , If і =JK) в кристаллах со структурой силленита 106
4.2 Нелинейные параметры, линейные и нелинейные электромеханические свойства кристаллов со структурой силленита 130
4.3 Особенности распространения ОАВ в кубических пьезоэлектрических кристаллах при воздействии по стоянного электрического поля 139
4.4 Оценка эффективности применения кристаллов со структурой силленита в управляемых и нелинейных устройствах акустоэлектроники 154
Выводы к 4 главе 162
Заключение 164
Приложение
- Уравнения движения и уравнения состояния пьезоэлек трической среды, подвергнутой влиянию внешних воздействий
- Метод теории возмущений для определения коэффициен тов управления скорости ОАВ электрическим полем
- Выбор рабочей кристаллофизической системы координат в энантиоморфных кубических кристаллах
- Нелинейные параметры, линейные и нелинейные электромеханические свойства кристаллов со структурой силленита
Уравнения движения и уравнения состояния пьезоэлек трической среды, подвергнутой влиянию внешних воздействий
Описание распространения упругих волн в пьезоэлектрических средах при достаточно сильных внешних воздействиях наиболее точно можно осуществить, если воспользоваться основными представлениями, развитыми в работах Терстона и Браггера [12, 4] и Баумхауэра-Тиерстена [13]. При описании большинства ультразвуковых экспериментов, связанных с влиянием внешних воздействий на скорости упругих волн, целесообразно, согласно [12], различать три состояния системы: исходное недеформированное с координатами XL , промежуточное (статически деформированное) с координатами ± и настоящее, которое возникает вследствие конечной статической и малой динамической деформации, с координатами CC-L. Авторами [13] показано, что уравнения электроупругости могут быть записаны в любой из этих конфигураций. Наиболее целесообразным, однако, представляется путь отыскания решений в исходной конфигурации, так как при таком подходе сочетаются как учет, в общем случае, неортогонального преобразования системы координат, так и выполнение инвариантности уравнений электроупругости относительно преобразований симметрии точечной группы кристалла в исходном состоянии. Следуя [13], представим уравнения движения упругой среды и уравнения Максвелла в исходной конфигурации: где KR- - общий тензор Пиолы-Кирхгофа, PRJ - тензор механических напряжений, MR; - тензор максвелловских (электростати-ческих) напряжений. Символ Кронекера 5/м является оператором перевода вектора из исходного в настоящее состояние, и наоборот, и требуется для последовательности в системе обозначений, в которой, как и ранее, заглавные латинские индексы относятся к исходной, а строчные - к настоящей системам координат.
Определим вектор смещения UM материальной точки с помощью соотношения: При одновременном воздействии на частицу среды сильного постоянного и слабого динамического полей ее движение описывается одним из уравнений, записанным в координатах различных конфигураций: Пользуясь (I.I2-I.I5) и (I.II), для динамического U и статического UF смещений запишем, соответственно:
Аналогичным (1.22) приемом представления термодинамических переменных в виде статической и динамической частей мы воспользовались, чтобы выделить динамическую часть уравнений состояния табл. 1.3. При получении таких выражений было сделано предположение о достаточности учета в эффективных постоянных нелинейных членов, пропорциональных только первой степени величины внешнего воздействия. Кроме того, считались малыми члены, содержащие квадраты и произведения динамических величин термодинамических переменных, например, (п) , ( у и т.п.
В настоящее время наиболее детально разработаны методы измерений электрических полей и механических напряжений, благодаря чему, эти величины целесообразно выбирать в качестве независимых термодинамических переменных. Это обстоятельство мы учитывали при записи эффективных постоянных в табл. 1.4. Например, величины статической электрической индукции и статической деформации в динамических уравнениях состояния (I) и (3) табл.І.3 были заменены с помощью "статических" уравнений состояния полученных из уравнений (4) табл. 1.3. "Динамические" уравнения состояния для различных условий опыта, необходимые нам в дальнейшем, приводятся в табл. 1.4. Следуя [14], выделим статическую и динамическую части общего тензора Пиолы-Кирхгофа (1.10) и подставим их в уравнение движения (1.8)
Метод теории возмущений для определения коэффициен тов управления скорости ОАВ электрическим полем
Запишем детерминант модифицированных уравнений Грина-Крис-тоффеля (2.II) в общем виде: Дальнейшее рассмотрение мы будем вести, сделав предположение о достаточности учета добавок только в первом порядке теории возмущений, благодаря чему будем считать, что компоненты Гвс[ )ж собственные значения J-L есть линейные функции : где J Bc , 7-L - компоненты тензора Грина-Кристоффеля и его собственные значения в исходном состоянии, о(вс , d-L - нелинейные добавки, возникающие при приложении & Подставляя (2.31) в (2,30) и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях i , получим условия на коэффициенты 0(- в первом порядке теории возмущений: Выражения (2.32)— это система 3-х линейных уравнений относительно 3-х неизвестных oil $ представляющих собой добавки к о "невозмущенным" собственным значениям J і . Такая система может быть легко решена: Отметим, что формулы (2.34) непригодны при А = 0 , т.е. для особых направлений [ІООЗ и [III] в кубических кристаллах, однако в этих случаях нет необходимости в применении выражений (2.34), т.к. легко получить прямые решения модифицированных уравнений Грина-Кристоффеля.
Поскольку экспериментально определяемой величиной является коэффициент управления скоростью ОАВ (2.24), необходимо указать связь между Ыу. и &i . Преобразуя (2.31), получим: Соотношения (2.38) необходимы для расчета коэффициентов управления скоростями всех трех объемных акустических волн, которые могут распространяться в произвольном кристаллографическом направлении, отличном от особого. Следует отметить, что принятый нами подход к отысканию малых добавок к скоростям упрутих волн может быть распространен на случай других типов внешних воздействий, например, механических, если выполняются условия линейной зависимости скоростей QAB от воздействия. Представляется уместным указать на различия в коэффициентах dy , вычисленных с помощью приведенного в этом параграфе метода и дифференцированием уравнений (2.II). Для проверки выбраны направления типа 210 , для которых еще возможно полу- чить коэффициенты dt путем прямого решения уравнения (2.18), не привлекая упомянутые способы. Сравним, например, выражение, полученное для коэффициента управления скоростью квазипродольной волны ( N \\ Г 210] , Я II [001] ) методом дифференцирования: где J[i = - г{Сц + С12+2С ) , с соответствующим аналитическим соотношением для о(т, , вычисленным методом теории возмущений: собственное значение тензора Грина-Кристоффеля для квазипродоль-но.й волны в направлении [210]. Из анализа соотношении (2.39) и (2.40) видно, что существует заметное различие в коэффициентах o(v » вычисленных разными методами. Значительно различие o(v для скоростей других волн, возможных в данном направлении. В подтверждение корректности соотношения (2.40) мы получили и прямое решение уравнения (2.18) для указанного направления и типа волны.
Оно оказалось тождественным соотношению (2.40). Это обстоятельство дает основания для применения метода теории возмущения при отыскании решений ив направлениях типа "nkCj. Изложенный в 2.1, 2.2 подход к отысканию аналитических выражений для коэффициентов o(v позволяет определить необходимое число направлений распространения, типов волн и ориентации для раздельного определения всех независимых нелинейных параметров О. і , bj , 4 . Так как исследования изменений скоростей волн под действием & в направлениях "чистых мод" и в направлениях {hkQ} дают возможность определения величин Qi7oZ}QH t Ьн , о (для кристаллов точечной симметрии 23), то для измерения параметров Q3 Ь т Ь3 наиболее удобным оказалось использовать направление типа {lI2J , лежащее в плоскости (ІЇ0). Приведем для этого случая решение на собственные значения и собственные векторы, так как эти результаты необходимы для правильного выбора нужных нам волн.
Выбор рабочей кристаллофизической системы координат в энантиоморфных кубических кристаллах
Избранные в качестве объектов исследования кристаллы со структурой силленита Ві МеОго fMe = Ge, Si.Ti) . принадлежат к энантиоморфному классу симметрии 23 и могут, следовательно, существовать в двух модификациях. Для таких кристаллов становится неоднозначным выбор кристаллофизической системы координат, что особенно существенно для экспериментальных исследований нелинейных свойств. Действительно, в этом случае, согласно [IO], необходимо иметь возможность однозначно осуществлять выбор одно- го из двух наборов координатных систем (КС) (направлений крис-таллофизических осей). В дальнейшем условимся работать только с правыми системами координат. Координатные системы, составляющие один.из наборов, получаются путем преобразования исходной КС (например, А , рис. 3.10) одной из операций симметрии данной точечной группы, вследствие чего все КС, полученные из А таким образом, эквивалентны и составляют набор [Я 2 л-Я- ]\ 2 }. Аналогично можно получить и КС другого набора. На рис. 3.10 представлены наборы КС, полученные действием только одного из элементов симметрии этой точечной группы - оси второго порядка. Очевидно, применение другой операции симметрии ось 3) дополнит указанные наборы КС.
Любой тензор, описывающий то или иное физическое свойство кристалла данной точечной группы, не будет иметь различий.в одноименных компонентах, если его рассматривать только в КС, принадлежащих одному из наборов. Напротив, для некоторых материаль» ных тензоров такое различие (в величине или знаке) возникает при рассмотрении в КС, принадлежащих разным наборам. Свойства таких тензоров естественно использовать для выбора рабочей кристаллофизической КС. Для кристаллов класса 23 в качестве кристаллофи-зического критерия такого выбора целесообразно воспользоваться тем, что для тензоров 4го ранга с внутренней симметрией TVZJ (в символике Яна), например, пьезооптических или электрострикци-онных постоянных, не равны компоненты 1\ г 4 JZ1 или R12 Ф Rz1 , соответственно (приняты матричные обозначения).
В дальнейшем мы будем пользоваться результатами по выбору системы координат в кристаллах со структурой силленита, любезно предоставленными нам сотрудником лаборатории кристаллофизики А.М.Сысоевым. Выполнение экспериментальных исследований зависимостей резонансной и антирезонансной частот продольного пьезо-резонатора от приложенного постоянного электрического поля позволяет раздельно определить компоненты тензора нелинейного пье-зоэффекта сЦ и dw , а также компоненты тензора электро-стрикции R12 и Rzi . Последние как раз и были использованы для выбора рабочей системы координат и затем для определения модификации исследованных кристаллов. Согласно Ц0], в качестве"рабочей" рекомендуется выбор системы координат, принадлежащей к одному из наборов, например, Я (рис. 3.10), в которой выполняется неравенство R Az "R 21 . Переход к системе координат В будет означать, что это неравенство обращается: R 2 21
Указанные правила выбора КС одинаковы для правой и левой модификаций энантиоморфного кристалла. Принадлежность образца к той или иной модификации можно установить, определяя знаки компонент тензоров нечетного ранга, в частности, можно воспользоваться линейным пьезоэффектом. В выбранной исходя из первого неравенства системе координат методом прямого пьезоэффекта был определен знак пьезомодуля d и, таким образом, модификация исследованных кристаллов. Согласно ПО], условие d 0 COOTV ветствует левой модификации, d 0 - правой модификации энантиоморфного кристалла.
Нелинейные параметры, линейные и нелинейные электромеханические свойства кристаллов со структурой силленита
Приведенные в 4.1 данные по скоростям ОАВ в невозмущенном состоянии кристаллов со структурой силленита мы использовали для вычисления линейных упругих постоянных, для чего были использованы соотношения табл. 3.1. Соотношения (3) и (5) этой таблицы мы применяли также при определении пьезоэлектрической постоянной 4 » ПРИ этом были приняты во внимание соотношения связи между упругими постоянными, измеренными при различных электрических условиях [9]: и значениями диэлектрических постоянных, измеренных при различных механических граничных условиях [І09І: - коэффициент электромеханической связи для пьезоэлектрических кубических кристаллов. Легко убедиться в том, что (4.10), (4.II-) и (4.12) дают возможность из V и С-чч определить С# , "зажатую" диэлектрическую проницаемость JJ и затем пьезоэлектрические постоянные ЄАЦ и 4 при использовании предварительно измеренной "свободной" (низкочастотной) диэлектрической постоянной 8и . Упругие постоянные, к , Ej{ , 8 и d /f исследованных кристаллов приводятся в табл. 4.9а, где также показаны аналогичные данные для германосилленита, полученные в [НО]. Следует отметить хорошее соответствие полученных нами значений и литературных данных. Пользуясь соотношениями связи между электромеханическими достоянными [III] , мы вычислили также постоянные упругой податливости Si? , диэлектрической "непроницаемости" &ij и пьезоэлектрические коэффициенты h , Q 4 » измеряемые обычно в других условиях опыта. Эти данные приведены в табл. 4.96. Как было показано выше, влияние Е на распространение ОАВ определяется нелинейными параметрами Qi , & , о. . Данные экспериментов if - J[E) мы использовали, чтобы найти все девять параметров для класса симметрии 23 ( L,j =1 4). Для этого в соотношения табл. 2.7 подставлялись экспериментально измеренные коэффициенты dy и вычисленные значения упрутих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных. Полученные таким образом нелинейные параметры приводятся в табл. 4.10. Как было показано выше ( 3.3), в кристаллах точечной симметрии 23 существует неоднозначность выбора "рабочей" кристалло-физической системы координат. На основании рекомендаций [10] мы в качестве условия выбора "рабочей" системы координат последовательно использовали неравенство R R2,f. Хотя исследованные нами кристаллы в этой установке принадлежат к левой (d 0 ) энантиоморфной модицикации, целесообразно привести и систему данных по НЭМС для правых кристаллов.
При записи соответствующих компонент НЭМС учтено, что нелинейные параметры bj и тензоры четных рангов ( Сн , R, Н ) остаются неизменными, различие правой или левой модификации имеет место для нелинейных параметров Q-L и компонент тензоров нечетных рангов (d , е , dH» 6н ), где меняются знаки коэффициентов (табл. 4.9а, 4.10, 4.П). Нелинейные параметры, как показано в 2.3, можно использовать для вычисления некоторых постоянных НЭМС, для чего достаточно подставить QL , Ь; в (2.49-2.52). Коэффициенты электрострик-ции Ru и нелинейного пьезоэффекта d rj представлены в табл. 4.II, где для сравнения приводятся постоянные нелинейного пьезоэффекта, полученные из данных по изменению характеристических частот пьезорезонатора от Е CEI2], а также коэффициенты электрострикции, измеренные методом емкостного дилатометра [71]. Можно отметить хорошее соответствие доступных сравнению значений коэффициентов нелинейного пьезоэффекта и электрострикции, что говорит о надежности определенных наш параметров НЭМС. С помощью соотношений табл. 2.13 и экспериментальных данных по ( (табл. 4.8) были рассчитаны все независимые компоненты тензора упругих постоянных 3 порядка. В кристаллах точечной симметрии 23 их число равно 8. Сравнение с аналогичными данными авторов [31] показывает, что между компонентами Сш есть удовлетворительное (в пределах погрешности измерений) согласие.
Различие в значениях С112 , С из и Ciss, С166 можно объяснить кристаллофизическими особенностями данных кристаллов (необходимость выбора системы координат см. 3.3), которые, видимо, не учитывались авторами [ЗІ]. Значительная ошибка в измерениях компонент Ст и С456 объясняется тем, что эти величины вносят только косвенный вклад в совокупный эффект, в целом определяемый комбинацией УПВП и УПТП. В свою очередь, компоненты тензора УПТП Cm , Ci55 , С б и СЦ56 были использованы при расчете коэффициентов нелинейного пьезоэффекта ЄЩІЗКІ. И электрострикщга Ндмл/ № таких расчетов использованы выражения для нелинейных параметров О. і , b; (табл. 2.1, 2.2), их численные значения (табл. 4.10) и численные значения УПТП (табл. 4.12). Результаты приведены в табл. 4.13. Данные по линейным и нелинейным электромеханическим свойствам приводятся в компактной матричной форме, правила перехода к тензорной записи указаны в Приложениях. Малый вклад диэлектрической нелинейности в измеряемый в эксперименте V = jlB) совокупный эффект определяет значительную погрешность определения этой величины. Поэтому, пользуясь значениями нелинейных параметров о, (табл. 4.10), мы приводим только оценку постоянной диэлектрической нелинейности: для силикосилле-нита -,231 = 2,2-10" си Ф/В, для германосилленита І зІ = = 1,7-Ю" 20 Ф/В. Итак, при выполнении экспериментальных исследований IS і = = СЁ) И 7// =-f(%) и определении постоянных НЭМС корректность получаемых результатов достигается с помощью: - минимизации случайной ошибки путем статистической обработки результатов эксперимента;
