Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общие сведения о поведении джозефсоновского перехода в магнитном поле 7
1. Феноменологическая теория эффекта Джозефсона 7
1.1 Соотношения Джозефсона 7
1.2 Взаимодействие дэюозефсоиовского перехода с магнитным полем 11
1.3 Электродинамика джозефсоновского контакта 12
1.4 Свободная энергия джозефсоновского перехода 14
2. Длинный джозефсоновский переход в магнитном поле 17
2.1 Статический случай 17
2.2 Малые колебания поля в джозефсоновском переходе 21
3. Зависимость поведения длинного дэюозефсоиовского перехода от начального возмущения 23
4. Связь эффекта Джозефсона с другими физическими явлениями 24
Выводы 26
ГЛАВА 2. Устойчивость джозефсоновского перехода 27
1. Аналогия дэюозефсоиовского перехода и упругого стержня 27
2. Статический и динамические пороги потери устойчивости дэюозефсоиовского перехода в магнитном поле 33
3. Граничные условия и область изменения модуля эллиптических функций 41
5. Потенциал Гиббса 42
5. Сопоставление критического поля джозефсоновского перехода и критического поля разрушения сверхпроводимости 44
Выводы 47
ГЛАВА 3. Динамические структуры в джозефсоновском переходе 48
1. Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля 48
2. Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля 54
3. Связь между размерными и материальными параметрами перехода. 60
4. Динамические доменные структуры 63
Выводы 67
ГЛАВА 4. Частоты колебаний магнитного поля в джозефсоновском переходе 68
1. Уравнение малых колебаний 68
2. Анализ уравнения колебаний. Переход от уравнения Ламе к уравнению Матье 70
3. Решение уравнения Матье со сдвигом фазы 72
4. Случай больших внешних магнитных полей 74
5. Численное решение уравнения Ламе методом Галеркина. Анализ полученных решений 77
Выводы 83
Заключение 84
Литература 86
Приложения 92
- Взаимодействие дэюозефсоиовского перехода с магнитным полем
- Связь эффекта Джозефсона с другими физическими явлениями
- Граничные условия и область изменения модуля эллиптических функций
- Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля
Введение к работе
Поиск новых свойств различных неоднородных структур представляет интерес не только в теоретическом плане, но и позволяет создавать новые приборы и другие технические устройства на основе новых найденных свойств.
Большой класс неоднородных структур — это слоистые материалы. Свойства таких структур во многом определяются свойствами их поверхностей, т.е. граничными условиями. Такие системы всегда имеют характерные размеры, поэтому следует ожидать появления в них размерных и частотных эффектов.
Одним из наиболее известных размерных эффектов является Эйлерова неустойчивость при продольном изгибе стержня конечной длины. Основополагающая работа М.А.Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1] показала, что помимо статического порога, возникающего в упругих системах по достижению пороговой, Эйлеровой силы, существуют более высокие, названные ими динамическими, пороги, достижение которых возможно путём динамического (взрывного) нагружения. При таком динамическом воздействии на систему величина нагрузки должна быть больше, чем величина пороговой силы, а время нарастания нагрузки должно быть меньше времени релаксации системы.
В работе Ю.В. Захарова [2] была найдена аналогия задачи об устойчивости упругого стержня - консоли при продольной нагрузке и задачи о перемагничивании двухслойной магнитной системы «магнитомягкий слой на магнитожесткой подложке», которая обладает несимметричными граничными условиями типа закрепления магнитного момента на одной поверхности и свободного магнитного момента на другой. Таким образом, показано, что динамическая потеря устойчивости характерна не только для упругих систем, но и для более широкого круга систем.
Одним из представителей слоистых систем является переход Джозефсона. Открытие эффекта Джозефсона позволило разработать ряд новых современных устройств различных направлений - это и сверхвысокочувствительные квантовые магнитометры, микроэлектроника и другие устройства на основе сверхпроводящих контуров с джозефсоновскими контактами.
Проведённые ранее исследования [22-30] показали, что стационарный эффект Джозефсона может быть описан уравнениями, аналогичными уравнениям равновесия для упругих и магнитных систем. Поэтому представляет интерес попытаться рассмотреть процессы в джозефсоновском переходе как статическую и динамическую потерю устойчивости, что позволит определить динамические пороговые поля работы соответствующих переходов, используемых в технических устройствах.
Изучение статической и динамической потери устойчивости, а также нелинейных свойств джозефсоновских структур открывает возможность экспериментально исследовать нелинейные уравнения, характерные для задач современной физики.
Настоящая работа посвящена исследованию свойств джозефсоновского перехода конечных размеров в магнитном поле. Нас будет интересовать не только само явление потери устойчивости системы, но и её закритическое поведение. Будут найдены динамические пороги потери устойчивости, получены точные выражения для распределения полей вдоль перехода для статических и динамических мод. Будет найдена зависимость от внешнего магнитного поля частоты малых колебаний динамических структур, возникающих в переходе после потери им устойчивости.
Взаимодействие дэюозефсоиовского перехода с магнитным полем
Поскольку в переходе имеется конечное распределение разности фаз и связанное с этим распределение плотности тока, протекающего через переход, то переход обладает свободной энергией, связанной с работой источников тока каждого из сверхпроводников [5] и, соответственно, энергия, связанная с барьером, равна Поскольку VL- VR есть разность потенциалов на барьере, то, учитывая (1.1.9) и (1.1.10), получают [5] Интегрируя это выражение и находя константу интегрирования из условия, при котором через контакт не течет ток,/= 0 при ф = 2пп, п = 0, 1,2, ..., получают выражение для свободной энергии перехода, приходящейся на единицу площади контакта [3, 4, 5] Если переход находится во внешнем электромагнитном поле, то к свободной энергии перехода добавляют энергию магнитного поля Н11 и электрического поля Е 11. В силу того, что XL»x, энергия магнитного поля сосредоточена, в основном, в прилегающих к плоскости перехода областях сверхпроводников толщиной XL. С учетом (1.1.16), в расчете на единицу площади поверхности перехода эта энергия равна [3] Аналогично, энергия электрического поля в силу того, что i»XD (здесь XD - дебаевский радиус экранирования), сосредоточена, в основном, в диэлектрическом зазоре. С учетом (1,1.10), в расчете на единицу площади поверхности перехода эта энергия равна [3] Отсюда получают полную энергию перехода с учетом (1.1.19) в виде В случае, когда переход находится в постоянном магнитном поле, выражение (1.1.29) для свободной энергии приобретает вид С помощью термодинамического подхода получают выражение для соотношения между «критическим полем» Нс\ джозефсоновского перехода и свободной энергией F, приходящейся на единицу длины уединенного вихря [21] интегрируя выражение (1.1.3.0), получают [3] Соответственно, тогда [3, 4, 5] Величина Нс} представляет собой то минимальное поле, при котором меисснеровское решение становится неустойчивым и проникновение вихрей в контакт энергетически выгодно. Необходимо отметить, что если в переходе происходит диссипация энергии из-за омических токов о0, то скорость рассеяния энергии получают в виде [32] В случае, если в длинном переходе под действием внешнего магнитного поля образуется вихрь, который может двигаться от одного края к другому, вводят феноменологический коэффициент вязкости [32]
Это выражение имеет вид, аналогичный выражению для сверхпроводников второго типа, за исключением того, что в выражении вместо НсХ стоит соответствующее критическое поле Нс для сверхпроводников. Здесь будут представлены результаты работ [16,22-30], посвященные изучению поведения длинного джозефсоновского перехода в магнитном поле. Рассмотрен стационарный случай распределения полей в переходе и частоты колебаний фазы в переходе. Решению уравнения (1.1.20) было посвящено много работ [22-30]. В данных работах было получено распределение плотности тока и магнитного поля в пространстве и времени. Отдельно решался стационарный случай уравнения (1.1.20). Впервые частный случай стационарного уравнения был рассмотрен в [22]. При этом рассматривался полу бесконечный сверхпроводник с граничными условиями в виде Распределение фазы в [22] было получено в виде В работах [22-24, 26-30] стационарная задача была сведена к решению уравнения нелинейного маятника для фазы с определёнными граничными условиями на краях контакта [23] d\ . —-7 = sinq , (1.2.3) ах здесь уравнение и граничные условия записаны в безразмерных переменных. Решение этого уравнения было получено в эллиптических функциях Якоби для двух частных случаев соотношений между внешним и внутренним полем. Когда внешнее поле меньше собственного поля перехода, было найдено [23] а когда внешнее поле больше собственного поля перехода [23], Было показано [3], что в переходе, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, это распределение, исходя из термодинамических соображений, должно быть мейсснеровским, т.е. экспоненциально убывающим внутрь перехода (1.2.5). В другом случае [3], когда собственное поле меньше внешнего магнитного поля, было показано, что эффект нарастания тока " в переходе имеет нелинейный пороговый характер.
При этом распределение магнитного поля подчиняется периодической функции координаты х с периодом [23] а в переходе появляются флюксоны, кванты магнитного потока, количество которых зависит от соотношения величин внешнего и критического поля (1.2.6). Было указано, что образование вихрей в переходе сопровождается увеличением энергии перехода на величину (1.1.32), однако при этом энергия магнитного поля уменьшается на величину (1.1.27). В предельном случае очень широкого туннельного барьера Куликом [23] были получены формулы, описывающие термодинамически равновесную кривую намагничивания слабого сверхпроводника. Им было, в частности, показано, что среднее поле в барьере Н равно нулю вплоть до некоторого критического значения Нс\, выше которого вихри начинают проникать в барьер, а среднее поле Н плавно увеличивается до значения внешнего поля Н = Не при Не»Нс;. Полученный вид кривой намагничивания перехода имеет непрерывный монотонный характер.
Связь эффекта Джозефсона с другими физическими явлениями
При исследовании свойств джозефсоновского контакта было показано, что распределение плотности тока и магнитного поля в переходе зависит от разности фаз [см. уравнения (1.1.9) и (1.1.16)]. Однако стандартные эксперименты непосредственно не отображают зависимость фазы, которая является неявной в теории [39]. Поэтому для лучшего понимания свойств джозефсоновского контакта, его поведения при различных режимах изучались его механические аналоги [38-40], основанные на эквивалентности уравнения, описывающего поведение джозефсоновского перехода, и уравнения жесткого маятника (1.2.13). При этом проводилась аналогия между разностью фаз ф и углом отклонения маятника от вертикали 9. Поскольку периодичность во временной зависимости угла В в механическом аналоге оказывается достаточно медленной, то нелинейности такой зависимости угла 0 можно наблюдать непосредственно. Этим и объясняется практический интерес к рассмотрению механических аналогий джозефсоновского контакта. Вопросу изучения поведения механического аналога были посвящены подробный обзор [38] и работы [39, 40]. Основной моделью при изучении поведения этих механических аналогов являлся жесткий маятник [39]. Уравнение для угла 9 как функции времени, описывающее движение маятника, при учёте сил трения имеет вид, аналогичный уравнению (1.1.22) без координатной части [38] где Mj - момент инерции маятника (емкость джозефсоновского контакта С), а Df- коэффициент затухания (проводимость \/R).
При этом приложенный вращающий момент mwrg является аналогом задаваемого тока, a mgl есть аналог максимального джозефсоновского тока Jc. Без учёта диссипации плазменная частота джозефсоновского перехода при нулевом токе в отсутствии магнитного поля равна Qj= с IXj и имеет величину порядка 109-1011Гц. Для механического аналога соответствующая частота в 109 раз меньше. Из уравнения (1.3.1) видно, что входящие в него параметры могут принимать очень широкий диапазон значений. В ходе исследования этих механических аналогов были получены [38, 39} экспериментальные данные о поведении маятника при различных режимах работы. Были рассмотрены малые и большие амплитудные колебания, однородное и неоднородное вращение, в том числе и неравномерное. В рассмотренных механических аналогах, так же, как и при рассмотрении поведения джозефсоновского перехода, было получено пороговое поведение механической системы. Такое поведение механического маятника является визуальной демонстрацией аналогии поведения фазы в джозефсоновском переходе и поведения угла отклонения маятника от вертикали в механической системе. Проведен обзор работ, посвященных поведению длинного джозефсоновского перехода в магнитном поле. Приведены основные уравнения, описывающие электродинамику эффекта Джозефсона. Установлено, что при рассмотрении уравнений, описывающих стационарное распределение полей, не было последовательного рассмотрения влияния на решения существования спектра собственных значений рассматриваемой задачи. Экспериментальное изучение зависимости фазы от времени проводилось на механической аналогии джозефсоновского перехода -физическом маятнике; задача изучения механической аналогии пространственного распределения фазы в переходе не ставилась. Уравнение, описывающее малые колебания фазы в переходе, было рассмотрено без учета граничных условий, при выводе этого уравнения не было учтено существование спектра собственных значений, получаемого при решении статической задачи о распределении фазы. Отсюда можно сформулировать цели настоящей работы. Рассмотреть аналогию между поведением упругого стержня и длинного джозефсоновского перехода.
Исследовать потерю устойчивости в джозефсоновском переходе. Изучить распределения плотности тока и магнитного поля вдоль перехода с учетом порогов потери устойчивости и исследовать структуры, возникающие при этом. Рассмотреть малые колебания поля в переходе с последовательным учетом граничных условий и найти собственные частоты таких колебаний.
Граничные условия и область изменения модуля эллиптических функций
Свободная энергия перехода определяется выражением (1.1.30), в свою очередь потенциал Гиббса можно найти из выражения где Н - среднее макроскопическое магнитное поле перехода. В случае, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, разность фаз определяется выражением (2.2.13), а первая производная от фазы соответственно (2.2.14). Тогда, используя преобразования для эллиптических функций, найдем выражение для потенциала Гиббса, приходящегося на единицу длины перехода В другом случае, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля, аналогично найдем выражение для потенциала Гиббса, приходящегося на единицу длины перехода здесь используется дополнительный модуль к 2 = 1 - й2. Выражение для потенциала Гиббса в случае, когда внешнее магнитное поле превышает собственное поле перехода, совпадает с выражением, полученным в работе [23]. Графическая зависимость потенциала Гиббса от модуля эллиптических функций представлена нарис. 2.5. В предыдущих параграфах этой главы было сказано, что в работах [22-24,26-28] не было последовательно рассмотрено существование спектра собственных значений, определяющего последовательность порогов потери устойчивости джозефсоновского перехода. В работах [1,2,43-46], рассматривающих решение аналогичного уравнения для упругой системы при определённых граничных условиях, были найдены выражения для динамических порогов потери устойчивости упругой системы, а также сами величины этих порогов.
Было указано, что соответствующие этим порогам формы изгиба могут быть достигнуты при импульсном воздействии на упругую систему с соответствующим достижением пороговых значений нагрузки. Возможность экспериментального обнаружения следующих, соответствующих динамическим порогам структур поля в джозефсоновском переходе определяется интервалом между величинами критического поля разрушения сверхпроводимости и соответствующими динамическими порогами. Поскольку величины порогов потери устойчивости магнитного поля в джозефсоновском переходе зависят от его продольного размера [см. (2.1.11) и (2.2.23)], для определенности воспользуемся характерной величиной магнитного поля, соответствующей джозефсоновскому минимальному критическому полю. На основании имеющихся экспериментальных данных [4-5, 8, 16] нами был проведен анализ, который показал [49], что для определённых типов сверхпроводников интервал полей между критическим полем разрушения сверхпроводимости и минимальным джозефсоновским магнитным полем достаточен для поиска в нем динамических порогов устойчивости (см. рис. 2.6, а также таблицу 2.1). Температурная зависимость критического поля разрушения сверхпроводимости дается выражением [8] а температурная зависимость минимального критического поля джозефсоновского перехода (1.1.33) выражается через лондоновскую глубину проникновения XL [8] ри расчёте температурных зависимостей критических полей использовались типичные параметры сверхпроводящих металлов и переходов на их основе, которые представлены в таблице 8.0 Рис. 2.6. Температурная зависимость критического поля разрушения сверхпроводимости Нс (сплошные кривые, левая ось) и нижнего критического поля джозефсоновского перехода Неї (пунктирные кривые, правая ось) для олова Sn и свинца РЬ. С использованием аналогии между поведением упругой и сверхпроводящей систем было получено выражение для первого статического порога потери устойчивости плотности тока и магнитного поля.
Установлено, что выражение для первого статического порога плотности тока является аналогом Эйлеровой силы, при этом минимальный ток, входящий в это выражение, соответствует жесткости упругого стержня. С использованием первого критического значения плотности тока как аналога Эйлеровой силы для сверхпроводящей системы найдены выражения для величин следующих порогов потери устойчивости поля и плотности тока, протекающего через переход, названных здесь динамическими порогами. Получены выражения, устанавливающие связь между плотностью тока, протекающего через переход, магнитным полем перехода и модулем эллиптических интегралов и функций, который является параметром задачи, определяющим вид распределений поля и тока. Определены диапазоны изменения этого параметра. Показано, что длинный джозефсоновский переход, находящийся во внешнем магнитном поле, аналогично упругой системе испытывает потерю устойчивости, связанную с проникновением вихрей магнитного поля в переход. В результате анализа известных экспериментальных данных показано, что критическое поле разрушения сверхпроводимости во много раз больше первых нескольких динамических пороговых полей.
Распределение плотности тока и магнитного поля в переходе, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля
Рассмотрим случай, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля. Здесь распределение фазы в переходе имеет вид (2.2.12). Аналогично рассмотренному выше случаю, учитывая последовательность порогов потери устойчивости в виде (2.2.29), найдем распределение плотности тока вдоль перехода, выраженное в эллиптических функциях Якоби [57, 58] Для нахождения распределения магнитного поля используем выражение для фазы в виде (2:2.12). Учитывая последовательность порогов потери устойчивости в виде (2.2.31), найдем распределение магнитного поля вдоль перехода, выраженное в эллиптических функциях Якоби [57, 58] J Соответственно, виды распределений плотности тока и магнитного поля для различных мод представлены на рис. 3.5-3.7. Зависимости распределений от величины модуля эллиптических функций к представлены нарис. 3.8. В случае, когда внешнее поле больше собственного поля перехода, также был рассмотрен предельный случай к- \ при т= 1, тогда используя асимптотическое выражение для эллиптических функций, получим Из выражений (3.2.3) и (3.2.4) нетрудно заметить, что период изменения плотности тока и магнитного поля пропорционален К(к\ как и было найдено в работе [24]. Интересно заметить, что в предельных случаях, когда к—»1 и к —э 1 при т = 1, выражения (3.2.6) и (3.1.5) совпадают по форме. Учитывая, что -»1 и к — \, находим фо=0. При дальнейшем рассмотрении будет показан физический смысл данного значения начальной фазы. НІН Рис, 3.5. Распределение плотности тока (вверху) и магнитного поля (внизу) вдоль перехода для различных мод: 1 - статической (т=\); 2 и 3 - динамической (т = 1 и т = 2), при одинаковом модуле к2= Уг. 8 Рис. 3.6. Распределение плотности тока (вверху) и магнитного поля (внизу) вдоль перехода для различных мод: 1 - статической (т=1); 2 и 3 - динамической (т=1ит = 2), при одинаковом модуле к= 0.9. 10 НІН, Рис. 3.7. Распределение плотности тока {вверху) и магнитного поля {внизу) вдоль перехода для различных мод: J - статической (т = 1); 2 и 3 - динамической {т = 1 и т = 2), при одинаковом модуле к= 0.99. Рис. 3.8. Распределение плотности тока (вверху) и магнитного поля (внизу) вдоль перехода для первой моды при различных значения модуля эллиптических функций: 1 - к-0.71; 2 к= 0.8; $ — к= 0.9; 4 — к-0.99. ПЕРЕХОДА Проведем более подробное рассмотрение полученных результатов по распределению плотности тока и магнитного поля в переходе. При определении последовательности порогов потери устойчивости, определяющих вид этих распределений, были введены первый критический порог для плотности тока J\ и порог для магнитного поля Н\. Найдем связь между полученными нами критическими полем и плотностью тока и известными минимальным критическим полем Нс\ и джозефсоновской критической плотностью тока Jc.
Аналогично работе [25] для удобства дальнейшего рассмотрения свойств перехода введём безразмерный параметр %, характеризующий размер перехода [58] Х = т -, (3.3.1) ZTZA.J где L — линейный размер джозефсоновского перехода, Xj — джозефсоновская глубина проникновения, определяемая выражением (1.1.19). Параметр х есть отношение линейного размера перехода к периоду изменения фазы ср и джозефсоновской глубине проникновения Xj. Можно определить, что если параметр % 1, то переход считается "большим", и в нем в принципе возможно появление кванта потока магнитного поля. А в случае, когда % 1, переход считается "малым", и распределение тока в нём однородно. Из сопоставления уравнения (1.1.20) и уравнения (2.2.1) видно, что джозефсоновская глубина проникновения Xj связана с минимальным током /0 (2.1.8) и джозефсоновской критической плотностью тока Jc .. XJ=J- (3.3.2) Тогда, используя введенное нами первое критическое значение плотности тока J\ (2.2.20), также включающее в себя минимальный ток /0, получим связь между J с и У], выраженную с помощью введенного нами безразмерного параметра % [57, 58] Таким образом, критическое значение плотности тока J\ и критическое поле Н\ связаны с джозефсоновской критической плотностью Jc и критическим полем джозефсоновского перехода Нс\ соотношением [57, 58] полученная зависимость представлена на рис. 3.9. Таким образом, формулы (3.3.3) и (3.3.4) показывают связь между размерными параметрами устойчивости системы - критической плотностью тока Ji и критическим полем Hi, с одной стороны, и материальными параметрами перехода - джозефсоновской критической плотностью тока Jc и минимальным критическим полем Нс\, с другой стороны. В работах [4, 24] было показано, что при размере перехода порядка 4Xj распределение магнитного поля в переходе однородно, но при увеличении размеров в переходе возможно появление вихрей. Из выражения (3.3.1) при X - 1 получаем размер перехода L к 6Xj. При таком размере критическое поле и плотность тока равны нижнему критическому полю и джозефсоновской критической плотности тока. При увеличении размеров перехода величина критической плотности тока и критического магнитного поля уменьшается, поскольку они определяются через размеры перехода.
