Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор используемых литературных источников 13
1.1. Выводы 26
ГЛАВА 2. Моделирование сканирования и восстановления изображения в трансмиссионной рентгеновской компьютерной томографии 28
2.1. Схемы сканирования 28
2.2. Моделирование сканирования 29
2.3. Алгоритм свертки и обратной проекции 31
2.4. Особенности реализации алгоритма свертки и обратной проекции 32
2.4.1. Влияние выбора фильтрующей функции на точность восстановления изображения 32
2.4.2. Реализация свертки в алгоритме свертки и обратной проекции 33
2.5. Моделирование отказа датчика 34
2.5.1. Экспериментальная часть 35
2.5.2. Теоретическая часть 36
2.6. Обсуждение результатов 39
2.7. Выводы 49
ГЛАВА 3. Методы исследования биоминералов 51
3.1. Трансмиссионная рентгеновская компьютерная томография 52
3.1.1. Обоснование методики 52
3.1.2. Методика РКТ-исследований 55
3.1.3. Влияние немоноэнергетичности рентгеновского излучения на томографическую плотность 61
3.2. Рентгенофлуоресцентный анализ 63
3.2.1. Основной принцип рентгенофлуоресцентного анализа 63
3.2.2. Аппаратурное обеспечение РФА 64
3.2.3. Метод внешнего стандарта 66
3.2.4. Подготовка образцов к РФА 68
3.2.4.1. Приготовление эталонов 68
3.2.4.2. Построение градуировочных графиков и их анализ.. 69
3.2.4.3. Подготовка образцов биоминералов 71
3.2.5. Определение содержания элементов в образце 71
3.3. Рентгеновский микроанализ и растровая электронная микроскопия 72
3.3.1. Количественный микроанализ 72
3.3.2. Спектрометр РСМА с дисперсией по энергии 73
3.3.3. Проведение анализа 74
3.3.3.1. Приготовление образцов биоминералов для количественного анализа и используемые эталоны 74
3.3.3.2. Определении концентрации химических элементов в образцах 74
3.3.4. Растровая электронная микроскопия: характеристика и подготовка образцов для исследования 75
3.4. Качественный рентгенофазовый анализ биоминералов 76
^ 3.4.1. Геометрия съемки дифрактограмм и чувствительность анализа 76
3.4.2. Приготовление препарата 78
3.4.3. Методика идентификации кристаллических фаз 79
3.5. Выводы 80
ГЛАВА 4. Результаты исследования биоминералов 81
4.1. Результаты томографических исследований 81
4.2. Результаты структурных исследований биоминералов 85
4.3. Физическое обоснование зависимости ЛКО биоминералов от их состава и структуры 97
4.3.1. Случай немоноэнергетического излучения 97
4.3.2. Случай моноэнергетического излучения 104
4.3.2.1. Метод двух точек 105
4.3.2.1.1. Оптимизация измерения ЛКО при наличии фона 106
4.3.2.2. Метод «спутника» 110
4.3.2.3. Обсуждение результатов 112
4.4. Выводы 115
ГЛАВА 5. Классификация и идентификация биоминералов по томографическим и рентгеноструктурным признакам. устойчивость классификации 116
5.1. Методика кластерного анализа 116
5.2. Кластерный анализ по структурным признакам 118
5.3. Кластерный анализ по томографическим признакам 122
5.4. Сопоставление результатов классификации по структурным и томографическим признакам 126
5.5. Оптимизация классификации 131
5.6. Методика дискриминантного анализа 138
5.7. Дискриминантный анализ по томографическим признакам 141
5.8. Устойчивость классификации 146
5.8.1. Устойчивость классификации по структурным признакам 148
5.8.2. Устойчивость классификации по томографическим признакам 153
5.9. Выводы 157
Заключение
- Особенности реализации алгоритма свертки и обратной проекции
- Влияние немоноэнергетичности рентгеновского излучения на томографическую плотность
- Случай моноэнергетического излучения
- Сопоставление результатов классификации по структурным и томографическим признакам
Особенности реализации алгоритма свертки и обратной проекции
Алгоритм свертки и обратной проекции реализует дискретный аналог формулы (2.1). Обозначим g(s)=Ref(s). Введем равномерную сетку по s и по ср, учитывая, что областью сканирования является круг радиуса -Rican:
To есть в этом случае функция R f измеряется в ns+l равномерно распределенных точках s, для np направлений от 0 до л -1, равномерно распределенных по окружности.
Тогда алгоритм свертки и обратной проекции реализуется в два шага. На первом шаге для j = 0,...,пф -1 вычисляются свертки:
На втором шаге вычисляется дискретная обратная проекция в каждой точке восстановления. При этом используется формула трапеций и линейная интерполяция [49].
Для вычисления свертки (2.4) можно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Эта свертка не является циклической, поэтому /и рассматривалось продолжение gm на отрезке [-w,,wj, равное нулю вне отрезка и продолжение wbm, периодическое с периодом 2п, вне интервала [-ns,ns -1]. Тогда свертка (2.4) вместе с несуществующими уравнениями для образует циклическую свертку длины 2ns, которую можно вычислить с помощью БПФ длины 2ns следующим образом:
Таким образом, вычисление свертки (2.4) сводится к двум БПФ, 2ns комплексным умножениям и обратному преобразованию Фурье.
Модель, используемая в данной работе для описания сканирования и восстановления изображения, является существенно идеализированной, т.к. она не учитывает таких существенных аспектов рентгеновского излучения, как полихроматичность, форма луча и рассеяние. В связи с этим потребовалась количественная оценка степени идеализации и корректности принятой модели, которая осуществлялась путем моделирования отказа группы датчиков. Такая ситуация может быть реализована и в компьютерной модели, и на реальном томографе, а сопоставление полученных результатов позволит ответить на вопрос о возможности использования подобной модели.
С качественной точки зрения подобные проблемы обсуждались в целом ряде работ [31, 49, 61, 82]. В [49], например, рассматривались особенности восстановления изображения при неполном сканировании, в [31, 61] - способы поиска неоднородных вкраплений в однородных объектах. Разные по постановке, эти задачи приводят к схожим математическим моделям. Приоритетом данной работы является количественный анализ соответствия моделей.
Экспериментальная часть
Эксперименты по отказу датчиков проводились на рентгеновском компьютерном томографе типа TOMOSCAN CX/Q. При этом два датчика томографа перекрывалась свинцовой пластиной. Для съемок по полной (с поворотом рентгеновской трубки на 360) и сокращенной (с поворотом на 240) схемам сканирования использовался однородный фантом из полиэтилена диаметром 230 мм и высотой 40 мм [25].
Компьютерные эксперименты выполнялись с помощью разработанного нами пакета программ алгоритма свертки и обратной проекции для параллельной схемы сканирования [57]. На рис. 2.3, 2.4 представлены изображения, полученные в результате выполнения томографических и компьютерных экспериментов.
Математически восстановление изображения в трансмиссионной томографии сводится к обращению преобразования Радона. На рис.2.5. изображена веерная схема сканирования. Внутренний круг представляет собой область сканирования. На внешнем круге расположены веерный источник излучения (рентгеновская трубка) и линейка датчиков, которые согласованно движутся по окружности во время сканирования.
Веерная схема сканирования Пусть f(x) - значение ЛКО в точке х = (х:,х2) изучаемого скана, s отклонение от начала координат прямой, проходящей через источник излучения и один из датчиков.
Для однородного фантома с постоянным коэффициентом ослабления можно применить модель радиально-симметричной функции В этом случае преобразование Радона функции /( ), которое обозначаем через g(s), зависит только от величины s и не зависит от угловой переменной. Сама же /( ) может быть найдена с помощью преобразования Абеля:
На рис. 2.6a-2.6d представлены графики различных способов задания функции g(s), моделирующих ситуацию отказа датчиков. Такой выбор обусловлен возможностью провести аналитическое вычисление интеграла (2.5). Через s0 обозначено отклонение от начала координат прямой, проходящей через источник излучения и некоторую точку свинцовой пластины, перекрывающей часть линейки датчиков, а параметр и = 2, 3,... задает величину асимметрии.
Виды функции g(s) В первом случае рассматривается симметричная относительно s0 кусочно-линейная функция, во втором и третьем случаях вводится асимметрия вправо и влево, соответственно, в четвертом случае расчеты проводятся для трапециидальной функции. Искомая функция /( ) находилась по формуле (2.5), которая в зависимости от выбранного интервала для каждого рассматриваемого вида g(s) позволила получить следующее [25]:
Влияние немоноэнергетичности рентгеновского излучения на томографическую плотность
Так как спектр излучения рентгеновской трубки томографа немоноэнергетичен, то задача реконструкции внутренней структуры объектов исследования в ТРКТ становится принципиально нелинейной, и пренебрежение этим обстоятельством сопровождается заметным уровнем ошибок, снижающих точность определения томографической плотности и следовательно ЛКО [31].
Из сопоставления (3.1,3.2) со случаем моноэнергетического излучения (1.3) видно, что неустранимой физической причиной возникающих ошибок является зависимость ЛКО от энергии фотонов. Вследствие этого абсолютный уровень ошибки при определении лучевых сумм g(6,s) будет изменяться в зависимости от состава объектов исследования, наличия окружающих тканей и соотношения вкладов фотонов различных энергий в экспериментальную оценку (3.2).
Можно показать, что для однородного цилиндрического объекта исследования диаметра D мера немоноэнергетических искажений определяется в виде [31]: 8И =-j-(aAE)2Mo(E0)DJl- J Circ j, (3.4) где //0(0) - ЛКО для эффективной энергии Е0; a - величина, зависящая от элементного состава объекта исследования; АЕ - интервал эффективных 1, 2rlD \ энергий; circ(2rlD) = О, 2r/D \
График зависимости 8И от интегрального ослабления /i0(E0)D для фиксированных значений огА приведен на рис.3.3 [31]. Если учесть, что типичные значения агД для биоминералов составляют 0,1-0,2, то мера немоноэнергетических искажений составляет для них не более 2%.
Согласно (3.4) и рис.3.3 величина погрешности монотонно увеличивается с ростом величины {i0(E0)D l-(2r/D)2 , что приводит к ряду важных следствий. Так, объекты исследования разного диаметра, имеющие одинаковый состав, на томограмме будут воспроизводиться с различными уровнями ЛКО, что создает серьезные трудности при определении томографической плотности методом ТРКТ. Причем материалы с большей плотностью и эффективным атомным номером в большей степени подвержены подобным артефактам. Кроме того, амплитуда немоноэнергетических искажений различна для разных точек восстанавливаемого изображения объекта исследования. Максимальное значение эти погрешности имеют в центре объекта исследования (г = 0), снижаясь до нуля к краям (r = D/2), т.е. с ростом размеров объектов исследования искажение томографической плотности для него возрастает.
Биоминералы обычно имеют размеры 0,5-5 см в диаметре и оценка систематической погрешности немоноэнергетичности составляет для них 0,5-1,5% в зависимости от состава. Однако в реальных исследованиях биоминерал окружен тканями, эквивалентом которых в проведенных исследованиях явился фантом из оргстекла. Учитывая, что диаметр тела человека при сканировании почек может существенно варьироваться в зависимости от комплекции больного на 5-50%, то при исследовании биоминералов томографическая плотность будет искажаться вследствие ужесточения рентгеновского излучения по мере прохождения через объект исследования (сечение фантома с биоминералом или сечение тела человека). Влияние немоноэнергетичности лишь частично компенсируется в томографах различными методами [38, 64], поэтому далее рассмотрено влияние немоноэнергетичности рентгеновского излучения на томографическую плотность биоминералов (п.4.3).
Рентгенофлуоресцентный анализ (РФА) основывается на зависимости интенсивности линий характеристического рентгеновского флуоресцентного спектра определяемых элементов от их содержания в пробе. При РФА первичное рентгеновское излучение, получаемое с помощью рентгеновской трубки R, падает на анализируемый образец Р (рис. 3.4).
В результате этого воздействия образец излучает вторичное рентгеновское излучение, которое в отдельных компонентах является характерным для элементного состава образца. Содержащиеся в пробе элементы с атомным номером Z,. излучают фотоны с характерными для них длинами волн Х{, с интенсивностью /,., пропорциональной концентрации Сг Значения Я, и /, определяются с помощью спектрометра 3 (рис. 3.4). На их основе осуществляется затем идентификация Z,. и С, [9, 11, 15,40,41, 60, 62]. Возможности применения РФА в данной задаче можно охарактеризовать следующим образом [11,41, 60, 62]: - анализ возможен для всех элементов периодической системы, начиная с элемента с порядковым номером Z = 9 (фтор) и в особых случаях с элемента Z = 6 (углерод); - скорость проведения анализа достаточно высока (порядка 15 мин для определения одного элемента); - анализ проводится на плоской поверхности образца диаметром порядка 40 мм, а охватываемая глубина образца, составляет максимально 0,1-0,5 мм от поверхности.
Кроме этого, одной из важнейших характеристик возможностей анализа является порог обнаружения (порог чувствительности определений) элемента в пробе, т.е. такое содержание элемента, которое вызывает полезный сигнал, превышающий флуктуации фона. РФА позволяет проводить количественный анализ для большинства элементов в области концентраций, начиная с 10"4-10 2%.
Случай моноэнергетического излучения
Для калибровочных растворов отклонение измеренных и рассчитанных значений ЛКО составляет 2-5% и возрастает с увеличением концентрации раствора, что объясняется занижением ЛКО в исследуемом растворе по причине оседания частиц растворенного вещества на стенках сосуда. В общем соответствие достаточно хорошее несмотря на то, что рассчитанные значения на 2-3% ниже реальных из-за погрешностей предложенной оценки ЛКО по ужесточению рентгеновского спектра. Однако, если для калибровочных растворов отклонение значений ЛКО составляет 4-8% с учетом всех погрешностей, то для биоминералов отклонение возрастает до 21%. Понятно, что полученное отклонение обусловлено не только погрешностями методик пересчета томографической плотности в ЛКО по калибровочной зависимости и расчета ЛКО на основе ужесточения спектра рентгеновского излучения, но и неточностями в определении физической плотности и состава биоминералов.
Таким образом, в случае немоноэнергетического излучения отклонение измеренных и рассчитанных значений ЛКО для биоминералов составляет максимум 21% и обусловлено такими факторами как погрешности измерения томографической плотности и пересчета ее в ЛКО по калибровочной зависимости; погрешности расчета ЛКО по рентгеновским спектрам; погрешности измерения физической плотности и расчета состава биоминералов. Однако в данном случае невозможно выделить долю погрешности физической плотности или погрешности расчета состава биоминералов из общего значения. Подобная оценка еще более усложняется в связи с тем, что для биоминералов метод гидростатического взвешивания вносит неопределенность в измеренное значение физической плотности по причине пористости исследуемых образцов, а для расчетов по рентгеновским спектрам использовалось такое значение физической плотности, при котором соответствие результатов колонок 3 и 4 максимально. Для того, чтобы исключить ряд погрешностей связанных с немоноэнергетичностью рентгеновского излучения и ответить на принципиальный вопрос о величине отклонения ЛКО по причине погрешностей определения физической плотности и химического состава биоминералов обратимся к случаю моноэнергетического излучения.
Случай моноэнергетического излучения Рассмотрим возможность измерения ЛКО биоминералов на моноэнергетическом у-излучении с помощью у-спектрометра с сцинтилляционным детектором.
Экспериментальное измерение ЛКО биоминералов проводилось на специально разработанной и изготовленной экспериментальной установке, схема которой приведена на рис.4.8.
Рис.4.8. Схема измерительной установки Установка состояла из изотопного источника у-излучения 1, помещенного в толстостенный свинцовый контейнер 2, снабженный коллиматором, и двух дополнительных медных коллиматоров 3, формирующих параллельный пучок у-излучения. На пути пучка у-квантов располагался исследуемый образец 4. Регистрация у-квантов осуществлялась сцинтилляционным детектором 5.
В качестве источника у-излучения использовался изотоп Am, испускающий моноэнергетические у-кванты с энергией 59,54 кэВ. Такой выбор источника обусловлен тем, что его энергия приближена к эффективной энергии спектра рентгеновского излучения в экспериментах с биоминералами, что позволяет разделить ЛКО минералов, слагающих почечные камни (рис.4.4) и увеличить надежность идентификации различных биоминералов к одному из классов.
Регистрация у-квантов, прошедших через коллиматоры и образец осуществлялась при помощи сцинтилляционного однокристального у-спектрометра, блок-схема которого изображена на рис.4.9. Спектрометр состоит из сцинтилляционного детектора, помещаемого в свинцовый экран, служащий защитой детектора от внешнего фонового излучения, согласующего блока (предусилителя), линейного усилителя импульсов и многоканального амплитудного анализатора. Энергия зарегистрированного у-кванта определялась по амплитуде импульса, снимаемого с выхода фотоэлектронного умножителя (ФЭУ).
Сопоставление результатов классификации по структурным и томографическим признакам
В результате структурных исследований биоминералов была получена матрица признаков (таблица 4.5), где каждый образец характеризовался концентрациями таких фаз, как вевеллит, струвит, витлокит, хлорапатит, гидроксилапатит, апатит и органической составляющей.
Далее матрица структурных признаков подвергалась обработке каждым из выбранных методов классификации, в результате чего для каждого метода получалась дендрограмма кластеризации, где по оси абсцисс указываются номера объединяемых образцов, а по оси ординат, соответствующее этому объединению расстояние, т.е. евклидово расстояние на котором объединяются рассматриваемые образцы или их группы.
Как указывалось выше, все агломеративные методы приводят к тому, что получается один большой кластер, содержащий все классифицируемые образцы, а изменение свойств первоначального пространства признаков к тому, что уровни расстояния, на котором получается один большой кластер для всех методов кластеризации - различны. В связи с этим для каждого метода кластеризации выбирался критический уровень расстояния, ниже которого рассматривались полученные группы образцов. Для классификации по структурным признакам использовался уровень критического расстояния, находящийся в пределах 33-50% от расстояния, при котором все образцы объединяются в один большой кластер.
Кластерный анализ по методу одиночной связи позволяет получить дендрогамму кластеризации, представленную на рис.5.1. Критический уровень расстояния на уровне 30 единиц, составляющий 50% от расстояния, при котором все образцы объединяются в один кластер, позволяет выделить следующие кластеры: 1) 1, 2, 3, 6, 10, 11, 16; 2) 5, 9, 12,18; 3) 13, 14, 20; 4) 4, 8; 5) 7; 6) 19. В данном случае получено четыре кластера, причем два образца образуют выбросы, не попавшие ни в один из полученных кластеров. 6 20 о га а. 0
Дендрограмма кластеризации по методу полной связи представлена на рис.5.2. Критический уровень расстояния в 50 единиц, составляющий 46% от расстояния, при котором все образцы объединяются в один кластер, позволяет выделить следующие кластеры: 1) 1, 2, 3, 6, 10,11, 16; 2) 5,7, 9,12, 18; 3) 13, 14; 4) 19, 20; 5) 4, 8. В данном случае не получено выбросов, однако третий кластер из-за присоединения к нему 19-го образца разбился на две части, а 7-й образец вошел в состав второго кластера.
Дендрограмма кластеризации по методу средней связи представлена на рис.5.3. Критический уровень расстояния в 40 единиц, составляющий 44% от расстояния, при котором все образцы объединяются в один кластер, позволяет выделить следующие кластеры: 1) 1, 2, 3, 6, 10, 11, 16; 2) 5, 7, 9, 12, 18; 3) 13, 14, 20; 4) 4, 8; 5) 19. Здесь выброс образует 19-й образец, при этом 7-й образец снова входит в состав второго кластера. Первый и четвертый кластеры как и в первых двух случаях остаются неизменными. JZL ,8 4П20 14 13,,7 12 13 9 5,19 12 1В В 11 10 3 кластер №4 кластер №3 кластер №2 кластер № i Рис.5.3. Дендрограмма кластеризации по методу средней связи на основе структурных признаков Дендрограмма кластеризации по методу Уорда представлена на рис.5.4. Критический уровень расстояния на уровне 100 единиц, составляющий 33% от расстояния, при котором все образцы объединяются в один кластер, позволяет выделить следующие кластеры: 1) 1, 2, 3, 6, 10, 11, 16; 2) 5, 7, 9, 12, 121 18; 3) 13, 14, 19, 20; 4) 4, 8. В данном случае, так же как в методе полной связи, не образуется выбросов, однако третий кластер не разбивается на два. Дендрограмма кластеризации по методу Уорда на основе структурных признаков
Проведенные процедуры классификации позволили выделить из общей совокупности образцов те, которые образуют устойчивые группы, сохраняющиеся во всех четырех методах классификации. Это образцы, образующие первый и четвертый кластер. Характерными чертами первого кластера является высокое содержание вевеллита для всех образцов ( 50%) и уровень органической составляющей 13-34%, содержание остальных фаз незначительно и находится в диапазоне 3-20%. Для четвертого кластера характерно высокое содержание органической составляющей ( 80%) и Н незначительное количество других фаз (4-10%). Второй кластер, состоящий из образцов 5, 7, 9, 12, 18, характеризуется высоким содержанием апатита (30-50%), немного уступает ему содержание вевеллита (25-30%) и струвита 6-20%. Уровень органической составляющей находится в диапазоне 10-35%. Однако 7-й образец не всегда входит в состав второго кластера. Это можно объяснить отсутствием в нем вевеллита, занимающего по значимости второе место для этого кластера и довольно высоким уровнем струвита в нем - 35%. Однако требуемый уровень основной компоненты - апатита, в большинстве случаев относит его во второй кластер.
