Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Кинетическое уравнение для электронного (дырочного) газа в полупроводниках со сложной зонной структурой. Решение кинетического уравнения 22
1.1. Кинетическое уравнение для электронного (дырочного) газа в полупроводни ках со сложной зонной структурой 22
1.2. Кинетическое уравнение для электронного газа в полупроводниках в случае слабо неупругого внутридолинного рассеяния электронов 25
1.3. Вычисление усредненных по поверхности постоянной энергии интегралов внутридолинных и междолинных столкновений 34
1.4. Решение кинетического уравнения в случае медленной междолинной релак сации электронов 38
1. Вырожденный электронный газ 38
2. Невырожденный электронный газ 41
1.5. Решение кинетического уравнения в случае быстрой междолинной релакса ции электронов 44
1. Вырожденный электронный газ 44
2. Невырожденный электронный газ 48
1.6. Вычисление плотности электрического тока 51
Выводы к Главе I 53
Глава II. Классическая теория циклотронного резонанса в полупроводниках со сложной зонной структурой в слабых и сильных электрических полях 55
2.1. Введение 55
2.2. Коэффициент поглощения электромагнитного излучения в многодолинных полупроводниках с непараболическим анизотропным законом дисперсии 55
2.3. Халькогениды свинца 59
2.4. Электронный германий 65
Выводы к Главе II 91
Глава III. Усиление и генерация электромагнитных волн при циклотронном резонансе тяжелых дырок с отрицательными эффективными массами в алмазе 96
3.1. Введение 96
3.2. Закон дисперсии тяжелых дырок в алмазе 98
3.3. Решение кинетического уравнения в активной области (є hojo) 102
3.4. Решение кинетического уравнения в пассивной области (є fiu 0) 106
3.5. Поперечная высокочастотная резонансная дифференциальная проводимость
тяжелых дырок 110
3.6. Коэффициент поглощения электромагнитной волны тяжелыми дырками 118
Выводы к Главе III 135
Глава IV. Взаимодействие сильного электромагнитного излучения с полупроводниками со сложной зонной структурой 140
4.1. Введение 140
4.2. Поглощение сильного электромагнитного излучения в полупроводниках с зонной структурой типа электронного германия 142
4.3. Поглощение сильного электромагнитного излучения в электронном кремнии 160
4.4. Преобразование частоты электромагнитного излучения в объемных однород ных полупроводниках со сложной зонной структурой 160
1. Полупроводники с непараболической зависимостью энергии электро нов от импульса (халькогениды свинца, полупроводники АщВу).
Высокие частоты 162
2. Полупроводники с параболической зависимостью энергии электронов от импульса. Высокие частоты 166
3. Полупроводники с параболической и непараболической зависимостью энергии электронов от импульса. Промежуточные частоты 169
4. Преобразование частоты электромагнитного излучения при наличии постоянного электрического поля 172
5. Преобразование высокочастотного сигнала в постоянный электрическийток 175
Выводы к Главе IV 178
Глава V. Влияние взаимного увлечения электронов и фононов на электропроводность полуметаллов и вырожденных полупроводников в сильных электрическом и магнитном полях 186
5.1. Введение 186
5.2. Система кинетических уравнений для электронов и фононов и ее решение 189
5.3. Вычисление электронной температуры и электропроводности 196
1. Сильное магнитное поле (/Q/ДЛ 1) 198
2. Магнитное поле Н — 0 216 5.4. Условие применимости полученных решений 222 Выводы к Главе V 224
Глава VI. Теория пробоя полупроводников и диэлектриков 231
6.1. Введение 231
6.2. Обобщенный критерий пробоя твердых тел. Тепловой пробой твердыхтел 232
1. Полупроводник с одним типом носителей заряда в однородном электрическом поле 233
2. Полупроводник с двумя типами носителей заряда в однородном электрическом поле 237
3. Тонкие слои полупроводников. Электронно-дырочные переходы 238
4. Тепловой пробой твердых тел и его закономерности 242
6.3. Функция распределения электронов в валентных полупроводниках при наличии электрического и магнитного полей. Вычисление вероятностей ударной ионизации и рекомбинации 246
1. Введение 246
2. Решение кинетического уравнения 247
3. Вычисление вероятностей ударной ионизации и рекомбинации в валентных полупроводниках 258
4. Функция распределения, вероятности ударной ионизации и рекомбинации для электронов в валентных полупроводниках с параболической зависимостью энергии электронов от импульса 260
5. Функция распределения, вероятности ударной ионизации и рекомбинации для носителей тока в валентных полупроводниках с непараболической зависимостью энергии носителей тока от импульса 268
6.4. Критерий электрического пробоя электронно-дырочных переходов в полупроводниках 271
6.5. Критерий электрического пробоя многодолинных полупроводников 276
6.6. Ударная ионизация примесных атомов в полупроводниках. Низкотемпературный электрический пробой полупроводников 279
1. Критерий электрического пробоя примесных полупроводников 279
2. Функции распределения электронов в долинах многодолинного полупроводника в электрическом и магнитном полях 280
3. Функции распределения электронов в области в области є htuj. Вычисление вероятности ударной ионизации примесных центров, вероятности рекомбинации и вероятности междолинных переходов электронов 287
3.1. На полупроводник действует постоянное электрическое поле Е 287
3.2. На полупроводник действуют постоянное электрическое поле Е и перпендикулярное ему сильное магнитное поле Н 292
3.3. На полупроводник действует высокочастотное электрическое поле Е„ = Ecoswt 294
6.7. Функция распределения, вероятности ударной ионизации и рекомбинации для носителей тока в ионных полупроводниках. Критерий электрического пробоя ионных полупроводников 295
1. Ионные полупроводники с параболической изотропной зависимостью энергии носителей тока от импульса. Функция распределения носителей тока в сильном электрическом поле 295
2. Вероятности ударной ионизации и рекомбинации 299
3. Ионные полупроводники с непараболической изотропной зависимостью энергии носителей тока от импульса. Функция распределения носителей тока в сильном электрическом поле. Вероятности ударной ионизации и рекомбинации 303
6.8. Сравнение теории с экспериментом 304
1. Германий. Коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок. Электрический пробой электронно-дырочных переходов и однородных полупроводников при высоких температурах 304
2. Германий. Низкотемпературный (примесный) электрический пробой 325
3. Кремний. Коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок. Электрический пробой электронно-дырочных переходов и однородных полупроводников при высоких температурах 331
4. Арсенид галлия. Коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок. Электрический пробой однородных образцов при высоких температурах 336
5. Щелочно-галоидные кристаллы. Электрический пробой однородных образцов 339
6. Замечания о заключительной стадии электрического пробоя 344
Выводы к Главе VI 346
Заключение 356
Приложения
- Кинетическое уравнение для электронного газа в полупроводниках в случае слабо неупругого внутридолинного рассеяния электронов
- Коэффициент поглощения электромагнитного излучения в многодолинных полупроводниках с непараболическим анизотропным законом дисперсии
- Решение кинетического уравнения в пассивной области (є fiu 0)
- Вычисление электронной температуры и электропроводности
Кинетическое уравнение для электронного газа в полупроводниках в случае слабо неупругого внутридолинного рассеяния электронов
Показано, что форма линий циклотронного резонанса в многодолинных полупроводниках в сильных электрических полях кардинальным образом отличается от формы линий циклотронного резонанса в однодолинных полупроводниках.
Получен ряд сравнительно простых соотношений, дающих возможность выразить электронные температуры в долинах; компоненты тензора эффективной массы и тензора частоты столкновений электронов; время релаксации энергии электронов; парам тры, характеризующие механизмы междолинного рассеяния электронов (частоту фонон участвующих в междолинном рассеянии электронов; параметры, определяющие энергетическую зависимость вероятности междолинного рассеяния электронов), через измеряемые при циклотронном резонансе физические величины: циклотронные частоты, коэффициент поглощения электромагнитной волны в резонансных точках, ширину резонансных линий.
Получено решение кинетического уравнения для функции распределения тяжелых дырок в полупроводниковом алмазе в постоянных электрическом Е и магнитном Н полях и поле циркулярно-поляризованнои электромагнитной волны с волновым вектором кЕН[001], где [001] - ось кристаллической решетки. Вычислен коэффициент поглощения электромагнитной волны.
Показано, что при определенных условиях (температуре решетки, концентрации тяжелых дырок и примесей, напряженности электрического и магнитного полей, направлении круговой поляризации электромагнитной волны) возможны усиление и генерация электромагнитных волн при циклотронном резонансе тяжелых дырок с отрицательными эффективными массами в алмазе на частоте любой из нечетных гармоник, т.е. на частотах (2п + 1)ш, где п = 0,1,2....
Показано, что усиление и генерация электромагнитных волн при циклотронном резонансе тяжелых дырок с отрицательными эффективными массами могут быть осуществлены в полупроводниковом алмазе при более высоких температурах (вплоть до комнатных) и в более коротковолновой области спектра (длина волны А = 0.15 — 1.0 мм ), чем в германии; коэффициент усиления на один-два порядка, а максимальная мощность, излучаемая с поверхности образца, на два-четыре порядка больше, чем в германии.
Построена кинетическая теория поглощения сильного электромагнитного излуче ния в многодолинных полупроводниках. Вычислен коэффициент поглощения сильно го электромагнитного излучения в слабо легированных (концентрация доноров Nj = 1011 — Ю14 см 3) многодолинных полупроводниках при сравнительно низких темпе ратурах решетки (10 Т0 100 А ) с учетом их реальной зонной структуры (электрон ный германий, электронный кремний и другие), анизотропии внутридолинного рассеяния электронов, которое предполагается квазиупругим, а также междолинных переходов элек тронов в результате как упругих (с примесями), так и неупругих (с фононами) столкно вений. Показано, что при определенных условиях (температуре решетки, концентрации примесей, частоте ІО и ориентации электрического поля Еш ) анизотропия электронного спектра в долинах, анизотропия внутридолинного рассеяния электронов и перераспределение электронов между долинами в сильном высокочастотном электрическом поле приводят к возникновению ряда эффектов (отрицательная высокочастотная дифференциальная проводимость, резкая анизотропия и аномальная частотная зависимость коэффициента поглощения и другие), которые невозможны в полупроводниках с однодолинным и изотропным энергетическим спектром электронов.
В приближении квазиупругого внутридолинного рассеяния электронов построена теория нелинейного преобразования частоты электромагнитного излучения в объемных однородных полупроводниках со сложной зонной структурой (многодолинные полупроводники с анизотропным параболическим и анизотропным непараболическим законами дисперсии, однодолинные полупроводники с непараболическим законом дисперсии) для случаев, когда падающий на полупроводник сигнал является либо одночастотным, либо двухчастотным, либо трехчастотным.
Показано, что в наиболее интересной области высоких частот (штр » 1 , где тр - время релаксации импульса электронов) узкозонные полупроводники с непараболическим законом дисперсии электронов являются наиболее эффективными преобразователями частоты электромагнитного излучения. Например, в электронном InSb при толщине образца / = 0.07 мм, температуре Т0 = 77 К коэффициент преобразования по току (отношение амплитуды тока на сторонней частоте Зи к амплитуде тока на частоте сигнала ш = 4.4 1011 с"1 ) A (3w,u ) « 0.12, а коэффициент преобразования по мощности при тех же значениях I, Т0 и ш равен A w(3u ,u;) и 10_3 . В полупроводниках (однодо-линных и многодолинных) с параболическим законом дисперсии электронов коэффициент преобразования по току при тех же условиях в 1/штр раз, а коэффициент преобразования по мощности в (lfujTp)2 раз меньше, чем в InSb.
Получена самосогласованная система кинетических уравнений для электронной и фононной функций распределения в кристаллах (металлах, полуметаллах, полупроводниках) с вырожденным электронным газом в сильных электрическом и магнитном (не-квантующем) полях с учетом произвольного взаимного увлечения электронов и фононов. Получено стационарное решение самосогласованной системы кинетических уравнений для электронов и фононов, которое позволило найти зависимость электронной температуры, электропроводности кристаллов и холловскои проводимости от электрического и магнитного полей, а также от длин свободного пробега электронов и фононов, определяемых различными механизмами рассеяния.
Показано, что при фиксированном значении сильного неквантующего магнитного поля Н _L Е, когда приведенная длина свободного пробега электронов /Q , определяемая в основном рассеянием на фононах (рассеяние на примесях не играет существенной роли), значительно превышает радиус ларморовской орбиты Rjr , с увеличением электрического поля Е и (Le - длина свободного пробега фононов, определяемая рассеянием на электронах; L -длина свободного пробега фононов, определяемая рассеянием на электронах, примесях и фононах резервуара; с - скорость света; vs - скорость звука) резко возрастает число взаимодействующих с электронами длинноволновых фононов, уменьшается приведенная длина свободного пробега электронов 1 (Е), что приводит, в свою очередь, к резкому возрастанию электронной температуры и электропроводности; электропроводность возрастает примерно в 1 1 Ял раз, после чего условие 1 (Е)/Яд 1 и условие применимости соответствующих выражений для электронной температуры и электропроводности будут нарушены, и электропроводность с дальнейшим ростом электрического поля начнет уменьшаться.
Коэффициент поглощения электромагнитного излучения в многодолинных полупроводниках с непараболическим анизотропным законом дисперсии
Итак, одним из условий применимости теории является условие Е Ес. В последней строке таблицы 3.1 указан интервал значений Е , в котором Е = (1 Ч- 13)-Ес
Отношения ATE/ТЕ можно оценить и для других механизмов рассеяния. Для этого необходимо знать зависимость соответствующих времен свободного пробега от энергии дырки. Время свободного пробега тор , определяемое рассеянием дырки с поглощением оптического фонона (спонтанное испускание дырками оптических фононов в пассивной области отсутствует), равно
Выражения для времен свободного пробега тс, тп , тее, определяемых рассеянием на заряженных и нейтральных примесях и дырках, приведены в [3.26]. Мы потребуем, чтобы величины ATE/ТЕ для различных механизмов рассеяния удовлетворяли неравенствам:
В противном случае для выполнения условия тр ТЕ потребуются более высокие, по сравнению с указанными в таблице 3.1, значения напряженности электрического поля. По причинам, указанным ниже, этого следует избегать. Неравенства (3.81) накладывают ограничения на температуру кристалла, концентрацию заряженных и нейтральных примесей, концентрацию дырок. Неравенства (3.81) выполняются, если температура кристалла То 300 К , концентрация заряженных примесей Nc 1016 см 3 , концентрация нейтральных примесей Nn Ю20 см 3 , концентрация дырок PQ 1016 см 3 . В нашем случае PQ = JVC . и = 107 см с (экспериментальное значение) перегрев АГ = 2.4 + 24 К, если Т0 = 100 К , Cv = 2 105 эрг/г град(К) (экспериментальное значение), t0 = Ю-9 -f- Ю-8 с, и ДТ = 8.7 -=- 26 К, если Г0 = 300 К , С„ = 5.23 10е эрг/г град(К), t0 = Ю-7 Н- 3 10 7 с. Заметим, что при Т0 300 К теплоемкость Cv TQ . Приведенные выше оценки были сделаны для наиболее неблагоприятного случая (предельно возможная концентрация дырок). При Ро 1015 см ъ значения to возрастут, естественно, на порядок. При выборе оптимальной температуры кристалла и оптимальной концентрации дырок, при которых выполняются условия применимости теории, с этими оценками следует считаться. Что касается времени At между двумя последовательными импульсами, за которое перегрев образца будет устранен, то оно существенно зависит от свойств окружающей образец среды, типа экспериментальной установки и т.д.
Нам остается определить интервал магнитных полей, в пределах которого выполняются неравенства (3.20) и (3.35). Неравенство (3.20), определяющее верхнюю границу этого интервала, приводит к условию
Перейдем, наконец, к непосредственному вычислению коэффициента поглощения. Вычисления проводились при таких значениях температуры кристалла, концентрации примесных атомов и дырок, напряженности электрического и магнитного полей, частоты электромагнитного излучения, при которых коэффициент поглощения принимал максимальные значения, а неравенства (3.11), (3.20), (3.35) выполнялись с возможно большим запасом прочности.
На рис. 3.1 представлена зависимость коэффициента поглощения т]шт\ = щ на частоте первой гармоники (правая круговая поляризация электромагнитной волны) от ш/йс при Г0 = 100 А , Р0 = 3 1015сл -3, Е = 5 103 В см 1 , А = 0.92 мм {ш = 2 1012c_1), Я = 35ч-550к;Э (кривая 1) и при Т0 = 20-200А", Р0 = Ю16 см 3 , Е = 104 В см 1 , А = 0.46 мм , Я = 70 — 1100 кЭ (кривая 2). При указанных значениях параметров коэффициент поглощения r/i , как следует из рис. 3.1, принимает отрицательные значения, причем на длине волны А = 0.92 мм он достигает значения r/i = —27 см 1 при Я = 55 кЭ (кривая 1), а на длине волны А = 0.46 мм он равен Ї/І — ( — 15) -і- (—31) см-1 при Я — 83 — 164 кЭ (кривая 2).
На рис. 3.2 представлена зависимость коэффициента поглощения 7/шг3 = т/з на частоте третьей гармоники (левая круговая поляризация электромагнитной волны) от ш/3йс при Г0 = 100 А", Р0 = 3 1015сле-3, Е = 5 103 В см-1 , А = 0.92 мм, Н = 18.3 ч- 183 кЭ (кривая 1) и при Г0 = 20 - 200 К , Р0 = 1016 см 3, Е = 104 В см 1 , А = 0.46 мм , Я = 36.6 -Ь 366 кЭ (кривая 2). На рис. 3.2 мы сохранили значения частот электромагнитного излучения (они те же, что и на рис. 3.1), уменьшив напряженность магнитного поля в 3 раза. Из рис. 3.2 следует, что на длине волны А = 0.92 мм коэффициент поглощения т?з = (—6.6) -і- (—30) см 1 при Н = 27 — 79 кЭ , а на длине волны А = 0.46 мм он равен г/з = (-7.3) -г- (-30) см 1 при Н = 55 4- 109 кЭ .
На рис. 3.3 представлена зависимость коэффициента поглощения r/з на частоте третьей гармоники (левая круговая поляризация электромагнитной волны) от ш/3йс при Го = 100 К , Р0 = 3 1015 см 3 , Е = 5 103 В см 1 , А = 0.31 мм (и = 6 1012 с 1), Н = 55 -т- 550 кЭ (кривая 1) и при Г0 = 20 - 200 К , Р0 = Ю16 см 3 , Я = 104 В см 1 , А = 0.15 мм {и — 1.2 1013 с-1), Я = ПО -г-1100 кЭ (кривая 2). На рис. 3.3 мы сохранили значения напряженности магнитного поля (они те же, что и на рис. 3.1), увеличив частоту электромагнитного излучения в 3 раза.
Итак, показано, что при определенных условиях коэффициент поглощения электромагнитных волн при циклотронном резонансе тяжелых дырок с отрицательными эффективными массами в полупроводниковом алмазе принимает отрицательные значения на частоте первой и третьей гармоник, достигая величины порядка (—10) -г (—30) см 1 . При этих условиях, следовательно, возможны усиление и генерация электромагнитных волн. Эти условия приведены в таблице 3.2.
Оценим максимальную мощность, излучаемую с поверхности образца.
В работах [3.10, 3.18] показано, что при Еш — EtgQT « ОЛЕ имеет место увеличение абсолютного значения коэффициента поглощения, связанное с динамической перестройкой функции распределения дырок с отрицательной циклотронной массой вследствие их затягивания на резонансный конус в = 0Г . Благодаря эффекту затягивания область существования отрицательного коэффициента поглощения расширяется до полей Еш » 0.4J3
Решение кинетического уравнения в пассивной области (є fiu 0)
Не исключена возможность получения указанной выше концентрации дырок путем инжекции. Наконец, последнее замечание. Для определения реальных условий усиления электромагнитной волны необходимо оценить роль механизмов, приводящих к ее поглощению. Таких механизмов несколько.
Этот вклад пренебрежимо мал по двум причинам. Во-первых, эффективные массы плотности состояний тех и других дырок (концентрации тех и других дырок) значительно меньше эффективной массы плотности состояний (концентрации) тяжелых дырок. Можно показать [3.16], что в сильном электрическом поле Ро/Рі = (тн/ті)2 13, Po/Pso (m/i/ras0)2 100 , где Ро , Рі і Pso концентрации, а т , ггц , ms0 - эффективные массы плотности состояний дырок в подзонах. Во-вторых, поглощение электромагнитных волн легкими дырками и дырками отщепленной подзоны носит антирезонансный характер, а их циклотронные частоты заметно больше абсолютной величины циклотронной частоты тяжелых дырок.
В качестве примера оценим коэффициент поглощения rj (и) на прямых оптических переходах между подзонами легких и тяжелых дырок в отсутствие магнитного поля, но при наличии сильного электрического поля, удовлетворяющего условиям (3.11). Для простоты законы дисперсии легких и тяжелых дырок будем считать изотропными, т.е.
Полученные выше оценки показывают, что коэффициент поглощения т)М(ш) на прямых оптических переходах между подзонами легких и тяжелых дырок в 10 -г-100 раз меньше абсолютной величины коэффициента поглощения т)шг. Лишь на переходах с со = 1.2 1013с-1 , для Е и 104 В см 1 , .Ро = Ю16 см 3 величина r)M(uj) сравнивается с т/Шгз. Однако следует иметь в виду, что приведенные значения т)Ы(и)) получены в отсутствие магнитного поля. В сильном магнитном поле коэффициент межподзонного поглощения т]Ы(и) сильно уменьшается, так как вследствие заметного различия циклотронных частот легких и тяжелых дырок переходы дырок из одной подзоны в другую возможны лишь между уровнями Ландау с существенно различными номерами.
Экспериментальное значение коэффициента фононного поглощения электромагнитных волн в алмазе на частоте си = 1.52 1014 с-1 (Л = 1.24 10 2 мм) равно і)ф — 0.2 см 1 [3.2]. С уменьшением частоты излучения (мы имеем дело с частотами ш « 1012 Ч- 1013с-1 ) величина г)ф должна заметно уменьшаться [3.2]. Следовательно, и Цф « \т]шг\. Более подробными исследованиями фононного поглощения электромагнитных волн в алмазе мы не располагаем.
Приведенные расчеты показали, что рассмотренный в этой главе механизм резонансного усиления электромагнитных волн в алмазе подавляет все механизмы поглощения. Тем самым доказана принципиальная возможность усиления и генерации электромагнитных волн в субмиллиметровом диапазоне (Л = 0.15-ї-1.5лш) при циклотронном резонансе тяжелых дырок алмаза с отрицательными эффективными массами в параллельных электрическом и магнитном полях, ориентированных вдоль оси кристаллической решетки [001].
1. Предложена модель закона дисперсии тяжелых дырок в алмазе, практически совпадающая с законом дисперсии, рассчитанным по теории Кейна, и позволяющая, в отличие от последнего, провести почти все вычисления в аналитическом виде.
2. Получено решение кинетического уравнения для функции распределения тяжелых дырок в полупроводниковом алмазе, вращающихся в магнитном поле НЕ(к[001], где Е - постоянное однородное электрическое поле, к - волновой вектор электромагнитной волны, [001] - ось кристаллической решетки. Предполагалось:
а) в области энергий 0 є %UQ (пассивная область; hu o - энергия оптического фонона) функция распределения определяется движением дырок во внешних полях практически без рассеяния и приходом дырок из области энергий є ftcuo (активная область) в результате испускания оптических фононов;
Показано, что в определенных условиях (температура кристалла, концентрация примесей и дырок, напряженность электрического и магнитного полей) коэффициент поглощения электромагнитных волн принимает отрицательные значения на частоте любой из п + 1 ( п = 0,4, 8 и т.д.) гармоник при правой (электронной) круговой поляризации электромагнитной волны и на частоте любой из п — 1 ( п = 4,8,12 и т.д.) гармоник при левой (дырочной) круговой поляризации электромагнитной волны.
Показано, таким образом, что возможны усиление и генерация электромагнитных волн при соответствующей их круговой поляризации на частоте любой из нечетных гармоник.
Усиление и генерация электромагнитных волн при циклотронном резонансе тяжелых дырок с отрицательными эффективными массами могут быть осуществлены в полупроводниковом алмазе при более высоких температурах (вплоть до комнатных) и в более коротковолновой области спектра, чем в германии; абсолютная величина коэффициента поглощения на один-два порядка, а максимальная мощность, излучаемая с поверхности образца, на два-четыре порядка больше, чем в германии.
Под сильным электромагнитным излучением подразумевается такое излучение, под действием которого средняя энергия электронного газа в полупроводнике є превышает ее термодинамически равновесное значение. В настоящее время, когда созданы мощные источники электромагнитного излучения, исследование этого вопроса представляет интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.
Электропроводность полупроводников в сильном переменном электрическом поле вычислялась в [4.1, 4.2]. В [4.1] предполагалось, что полупроводник является однодолинным, а зависимость энергии электронов от импульса - квадратичной и изотропной; в [4.2] рассмотрен случай однодолинного полупроводника с квадратичной анизотропной зависимостью энергии электронов от импульса. Анизотропия рассеяния электронов не учитывалась ни в [4.1], ни в [4.2]. В [4.2], кроме того, изотропная в импульсном пространстве часть функции распределения электронов разлагалась в ряд по степеням напряженности электрического поля, что справедливо в области электрических полей, при которых є — Т0 Т0, где Т0 - температура решетки в энергетических единицах.
При взаимодействии сильного электромагнитного излучения с полупроводниками со сложной зонной структурой возникает ряд новых физических эффектов, обусловленных анизотропией, непараболичностью и многодолинностью энергетического спектра носителей тока. В [4.3, 4.4] построена теория электропроводности для многодолинных полупроводников с произвольной зависимостью энергии электронов от импульса в долинах в произвольно зависящем от времени сильном электрическом поле с учетом анизотропии внутридолинного рассеяния электронов, которое предполагалось квазиупругим, а также междолинных переходов электронов в результате как упругих (с примесями), так и неупругих (с фононами) столкновений. Достаточно подробного анализа теории в [4.3] не сделано вследствие слишком общего подхода к решению поставленной задачи.
Вычисление электронной температуры и электропроводности
Полученный нами обобщенный критерий пробоя во всех случаях (см. (6.12), (6.20), (6.29), (6.36)) имеет ясный физический смысл: в критическом электрическом поле Ес, когда стационарное решение уравнения для плотности электрического тока отсутствует, число носителей тока (электронов и дырок), рождающихся в образце на единице пути (или в единицу времени) вследствие ударной и термической ионизации, равно числу носителей тока, рекомбинирующих в образце (или уходящих из образца в результате дрейфа) на единице пути (или в единицу времени).
Анализ формул (6.12), (6.20), (6.29), (6.36) показывает, что при низких температурах, когда второе слагаемое в их левой части мало по сравнению с первым (термическая ионизация не играет существенной роли), выполняется критерий электрического пробоя [6.6, 6.7, 6.11, 6.12, 6.14, 6.20, 6.22]; критическое поле Ес в этом случае, как будет показано ниже, слабо возрастает с температурой. Напротив, при высоких температурах, когда второе слагаемое в левой части (6.12), (6.20), (6.29), (6.36) велико по сравнению с первым (ударная ионизация не играет существенной роли), выполняется критерий теплового пробоя [6.4]; в этом случае критическое поле Ес экспоненциально уменьшается с ростом температуры. При Т0 = Т , когда оба слагаемых в левой части упомянутых выше формул сравнимы, т.е. когда ударная и термическая ионизация играют одинаковую роль (термоэлектрический пробой, по терминологии Б. М. Вула [6.1]), критическое поле достигает максимального значения Е — Е . Однако из соотношений (6.13) и (6.35) следует, что какова бы ни была причина возрастания тока в сильном постоянном электрическом поле (ударная или термическая ионизация) нарушение стационарного состояния полупроводника (пробой) происходит тогда, когда выделяемая в образце мощность jcVc = const, т.е. равна некоторой постоянной величине, определяемой тепловыми характеристиками твердого тела и внешними условиями теплоотвода (это справедливо для всех рассмотренных нами случаев).
Этот вывод теории подтвержден экспериментально [6.2, 6.32]. Таким образом, нарушение стационарного состояния твердого тела в сильном постоянном электрическом поле обусловлено тепловым действием электрического тока. Строго говоря, соотношения (6.13), (6.35) выполняются непосредственно перед пробоем при условии, что распределение температуры и тепловых потоков в образце в каждый момент времени устанавливаются в соответствии с заданным значением электрического поля (устанавливается стационарное значение всех физических величин). При незначительном увеличении электрического поля относительно критического значения Ес (Е — Ес « Ес) стационарное состояние в образце твердого тела будет нарушено, температура образца и плотность электрического тока будут значительно превышать значения, определяемые соотношениями (6.13), (6.17), (6.30), (6.35) (при электрическом пробое плотность тока возрастает на три - шесть порядков).
Вычислению коэффициентов ударной ионизации и рекомбинации и анализу закономерностей электрического пробоя будут посвящены следующие параграфы этой (шестой) Главы. В заключение данного параграфа мы дадим краткий анализ закономерностей теплового пробоя твердых тел. величиной, вычисленной из критерия В. А. Фока, не превышает 65% (из (6.37) получается меньшее значение пробивного напряжения). Однако критерий (6.37) значительно проще, так как его применение не требует решения трансцендентных уравнений. Кроме того, в (6.37) учитывается зависимость времени жизни и подвижности носителей тока от напряженности электрического поля, что может привести к иной, чем в теории В. А. Фока, зависимости пробивного напряжения от сопротивления твердого тела. В твердых телах с ионной связью, где вплоть до пробоя тг{Е) — тг(0), ц{Е) — ju(0) , пробивное напряжение, как следует из (6.37), пропорционально корню квадратному из сопротивления. Этот вывод теории также подтвержден экспериментально [6.2, 6.32]. В твердых телах с валентной связью, как будет показано ниже, зависимость пробивного напряжения от сопротивления иная. Зависимость пробивного напряжения от тепловых характеристик твердого тела и окружающей среды, от толщины образца легко просматривается из формул (6.37). Критерий теплового пробоя твердых тел с двумя типами носителей заряда
Сравнение критериев пробоя (6.37), (6.38) с критериями пробоя (6.39)-(6.42) показывает, что закономерности теплового пробоя тонких образцов полупроводников (2h итг) отличаются от закономерностей теплового пробоя толстых образцов полупроводников (2/г итт).
Есть и другие отличия, которые очевидны из сравнения упомянутых выше критериев теплового пробоя. Общими для всех рассмотренных выше случаев теплового пробоя являются следующие закономерности: (плавный электронно-дырочный переход), т.е. зависит от теплопроводности и толщины образца (в случае электронно-дырочного перехода имеется в виду его толщина в момент пробоя), а также от тепловых характеристик окружающей среды.
Все перечисленные выше общие закономерности теплового пробоя и ряд других закономерностей (зависимость пробивного напряжения от сопротивления, теплопроводности и толщины образца), определяемых критериями (6.37), (6.38), (6.39)-(6.42), подтверждены экспериментально [6.1, 6.2, 6.32, 6.36].
Функция распределения электронов в валентных полупроводниках при наличии сильного электрического поля вычислялась путем решения соответствующего кинетического уравнения в [6.11-6.14, 6.19, 6.33-6.35]. В [6.19, 6.33, 6.34] зависимость энергии электронов от импульса предполагалась квадратичной и изотропной, а кинетическое уравнение решалось методом Давыдова [6.35], допускающим представление функции распределения в виде двух первых членов ряда по полиномам Лежандра. Функция распределения является в этом случае слабо анизотропной.
В [6.13, 6.14] было показано, что метод Давыдова применим или в предельно слабых электрических полях, когда еЕ1 кТо (I - длина свободного пробега электронов), или в предельно сильных электрических полях, когда cEl hu!o ( НІОО - энергия оптического фонона); при кТ0 eEl hu o функция распределения электронов становится резко анизотропной, а приближение Давыдова неприменимо для решения кинетического уравнения. В [6.14] для с помощью преобразования Лапласа получено аналитическое решение кинетического уравнения в области є eEl, пригодное для любых значений электрического поля и температуры. Это решение дает правильную зависимость от энергии электрона как экспоненты, так и предэкспоненциального множителя в функции распределения.
Если зависимость энергии электронов от импульса не является квадратичной, то преобразование Лапласа не может быть использовано для решения кинетического уравнения. Преобразование Лапласа не может быть использовано для решения кинетического уравнения даже при квадратичной зависимости энергии электронов от импульса, если матричный элемент энергии взаимодействия электронов с фононами зависит от энергии электронов (ионные полупроводники), а также в том случае, когда полупроводник помещен в электрическое и магнитное поля.
